EMF18 恒定電流場(chǎng)

1、第第1818講講 分界面上的邊界條件，分界面上的邊界條件，電電導(dǎo)與接地電阻導(dǎo)與接地電阻授課內(nèi)容授課內(nèi)容分界面上的邊界條件分界面上的邊界條件邊值問題邊值問題恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬電導(dǎo)與接地電阻電導(dǎo)與接地電阻接地電阻接地電阻 以分界面上點(diǎn)P 作為觀察點(diǎn)，作一小扁圓柱高斯面（ ）。 0LD021nnJJ1 1）、）、 電流密度的邊界條件電流密度的邊界條件120nnJSJSD-D=則有 根據(jù) 0JdS= 12n Jn Jn為分界面的法線方向的單位矢量，由介質(zhì)2指向介質(zhì)1。1. 1. 分界面的邊界條件分界面的邊界條件0sJ dS0lEdl積分形式積分形式當(dāng)場(chǎng)量通過(guò)不同電導(dǎo)率 和 的

2、兩種導(dǎo)電媒質(zhì)的分界面時(shí)，界面兩側(cè)的J和E一般會(huì)發(fā)生變換。1s2s在電介質(zhì)分界面上應(yīng)用高斯定律J11s2sJ2J11s2sJ21122nnEE2 2）、電場(chǎng)強(qiáng)度）、電場(chǎng)強(qiáng)度E E 的邊界條件的邊界條件 以點(diǎn)P 作為觀察點(diǎn)，作一小矩形回路（ ）。 0hD120ttElElD-D=21ttEE分界面兩側(cè)分界面兩側(cè) E E 的切向分量連續(xù)。的切向分量連續(xù)。121122012111 222lattnabbnnnEdlEalEalEahEahEahEah= D- D+D+D-D-D 21nEnE根據(jù) 則有 0lEdl = 00001211121222ttttttJJJEEJssss=212121201l

3、i ml i m ()022nndddEdlEE12因此用電位函數(shù) 表示分界面上的邊界條件 設(shè)點(diǎn)1與點(diǎn)2分別位于分界面的兩側(cè)，其間距為d ， ,則0d12n Jn J1122nnEE1122nnaa1212nn因?yàn)閚a折射定律為折射定律為1122tantan121122si nsi nttEEEEqq=12111222coscosnnJJEE媒質(zhì)媒質(zhì)2 2媒質(zhì)媒質(zhì)1 121212E1Ene3 3）、四種特殊情況分界面上的電場(chǎng)分布。）、四種特殊情況分界面上的電場(chǎng)分布。由折射定理得1122tantanasas=，則20a解：a ) 媒質(zhì)1是良導(dǎo)體， 71510/s ms=，媒質(zhì)2是不良導(dǎo)體2210

4、/s mss-=土壤 它表明，只要 ，電流線垂直于良導(dǎo)體表面穿出，良導(dǎo)體表面近似為等位面。12媒質(zhì)媒質(zhì)1 1媒質(zhì)媒質(zhì)2 21s2s1a1Er2Er12()ss b b） 媒質(zhì)媒質(zhì)1 1是導(dǎo)體，是導(dǎo)體， 媒質(zhì)媒質(zhì)2 2是理想介質(zhì)是理想介質(zhì) 情況。情況。 1()s攻2(0)s=222100 0nnJJJs=Q表明 1 分界面導(dǎo)體側(cè)的電流一定與導(dǎo)體表面平行。1t121/0ttEEJs=表明 2 導(dǎo)體與理想介質(zhì)分界面上必有恒定（動(dòng)態(tài)平衡下的）面電荷分布。表明 3 電場(chǎng)切向分量不為零，導(dǎo)體非等位體，導(dǎo)體表面非等位面。2220 nnJEs=Q1110nnJEs= 若 （理想導(dǎo)體），導(dǎo)體內(nèi)部電場(chǎng)為零，電流分

5、布在導(dǎo)體表面，導(dǎo)體不損耗能量。1s222t xnyEEeEe=+導(dǎo)體周圍介質(zhì)中的電場(chǎng)導(dǎo)體與理想介質(zhì)分界面載流導(dǎo)體表面的電場(chǎng)2122nnnsDDEer-=ab11 、媒質(zhì)媒質(zhì)1 1媒質(zhì)媒質(zhì)2 21s20s=1Erne2Er1()s媒質(zhì)媒質(zhì)1 1媒質(zhì)媒質(zhì)2 21s20s=1Jrne2Jr1()sc） 兩種不同導(dǎo)電媒質(zhì)的分界面上一般有自由電荷分布。如在第一媒質(zhì)（1、1）和第二媒質(zhì)（2、2）的分界面上，自由面電荷密度為：121122snnnnDDEEree=-=-121122,nnnnJJEEss=由于即所以21221()snEsrees=-d） 若兩種導(dǎo)電媒質(zhì)是金屬媒質(zhì)，則 1 2 0， s=( 2

6、/ 1-1) 0E2n ,由于21，即s0。這些電荷是在電場(chǎng)、電流進(jìn)入穩(wěn)恒之前的過(guò)渡過(guò)程中積累的。只有1122sese=0sr=12IJJJS=JEs=由，得1212,JJEEss=12112212ddUE dE dJss驏=+=+桫121221UJddssss=+21121122121221,JUJUEEddddssssssss=+【例3-2】電壓U加于面積為S的平行板電容器上，兩塊極板之間的空間填充兩種有損電介質(zhì)，它們的厚度，介電常數(shù)，電導(dǎo)率分別為，如圖3-4所示。求：（1）極板間的電流密度J；（2）在兩種電介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度 和 ；（3）極板上和介質(zhì)分界面的 。121212,ddeess，

7、1E2Esr解解 （1）設(shè)通過(guò)電容器的電流為I，顯然，導(dǎo)板極的電導(dǎo)率遠(yuǎn)大于有損介質(zhì)的電導(dǎo)率，故介質(zhì)中的電流 應(yīng)垂直于導(dǎo)板面，又由J的法向分量連續(xù)性保證了兩種媒質(zhì)中的電流密度相同，即（2）兩種電介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為 S + + + + + + + + 11 1J 1d U - 22 e s 2J 2d - - - - - - - - S 填充兩種介質(zhì)的電容器 因?yàn)楣剩?）上下極板的面電荷密度,SSrr上下1221112212211221,SnSnUUEEdddde se sreressss=-=-+上下2211nnsEEree=-中SSrr上下，0SSSrrr+=上下。 S + + + + +

8、 + + + 11 1J 1d U - 22 2J 2d - - - - - - - - S 介質(zhì)分界面上s為從這些結(jié)果可以看出，U1d2d11,22,zo2. 2. 恒定電場(chǎng)的邊值問題恒定電場(chǎng)的邊值問題分界面銜接條件121212nn 很多恒定電場(chǎng)問題的解決，都可以歸結(jié)為一定條件下，求出拉普拉斯方程的解答（邊值問題）。20拉普拉斯方程得00()0EEJEEEfsssfs汛=-炎=炎= - 炎 籽=由基本方程出發(fā)121122nnnnJJEE0 lEdl = 0恒定電場(chǎng)中是否存在泊松方程？思考【例例】 試用邊值問題求解電弧片中電位、電場(chǎng)及面電荷的分布？試用邊值問題求解電弧片中電位、電場(chǎng)及面電荷的分

9、布？221112122211()0zffffrrrrrj抖抖=+=抖抖1(g區(qū)域）電位 2012010121212124()4,()()UUUgsssfjfjp ssssp ss-=+=+00 解：選用圓柱坐標(biāo)，邊值問題為：0 21200,Upjjff=場(chǎng)域邊界條件2(g區(qū)域）22222210ffrj=銜接條件121212 , ()4 201012121244 ()()UUEeEejjssp ss rp ss r= -= -+電場(chǎng)強(qiáng)度電荷面密度00020112124(-) ()sUEE E, 與 無(wú)關(guān)，是 的函數(shù)。s12 , ABCD通解r1hr2 0J3. 3. 導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的

10、比擬導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬3.1 靜電比擬表2 兩種場(chǎng)對(duì)應(yīng)物理量 表1 兩種場(chǎng)所滿足的基本方程和重要關(guān)系式 )(0導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場(chǎng)（電源外）0D炎=DEe=SqD dS0 EEf汛=-JEs=20f=20f=SIJdS=靜電場(chǎng)1212 ttnnEEDD=1212 ttnnEEJJ=0 EEf汛=-0J炎=兩種場(chǎng)各物理量所滿足的方程一樣，若邊界條件也相同，那么，通過(guò)兩種場(chǎng)各物理量所滿足的方程一樣，若邊界條件也相同，那么，通過(guò)對(duì)一個(gè)場(chǎng)的求解或?qū)嶒?yàn)研究，利用對(duì)應(yīng)量關(guān)系便可得到另一個(gè)場(chǎng)的解。對(duì)一個(gè)場(chǎng)的求解或?qū)嶒?yàn)研究，利用對(duì)應(yīng)量關(guān)系便可得到另一個(gè)場(chǎng)的解。靜電場(chǎng))0(導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場(chǎng)（電源外

11、）E EE EfD DJ JIqesf參見參見P P103103，表，表3-13-1 兩種場(chǎng)的電極形狀、尺寸與相對(duì)位置相同（相擬）; 數(shù)學(xué)物理方程相同;3.2 3.2 靜電比擬的條件靜電比擬的條件 若兩種場(chǎng)中媒質(zhì)分布均勻，只要分界面具有相似的幾何形狀，且滿足條件 時(shí) ，則這兩種場(chǎng)在分界面處折射情況仍然一樣，相擬關(guān)系仍成立。11221）. 靜電場(chǎng)便于計(jì)算 用靜電比擬方法計(jì)算恒定電場(chǎng)12212122(,)eeetttteeee- =+若1s為土壤1(0) ,s2s為空氣2(0),s=則,0III =。3.3 3.3 靜電比擬的應(yīng)用靜電比擬的應(yīng)用圖4.1 靜電場(chǎng)與恒定電流場(chǎng)的鏡像法比擬靜電場(chǎng)1212

12、Issss-=+2 122Isss=+2 2）. . 恒定電場(chǎng)便于實(shí)驗(yàn)恒定電場(chǎng)便于實(shí)驗(yàn) 某些靜電場(chǎng)問題可用恒定電流場(chǎng)實(shí)驗(yàn)?zāi)M某些靜電場(chǎng)問題可用恒定電流場(chǎng)實(shí)驗(yàn)?zāi)M固體模擬 （媒質(zhì)為固體，如平行板靜電場(chǎng)造型） 實(shí)驗(yàn)?zāi)M方法液體模擬 （媒質(zhì)為液體，如電解槽模擬）靜電場(chǎng)電極表面近似為等位面；工程上的實(shí)驗(yàn)?zāi)M裝置。工程近似 在兩種場(chǎng)的模擬實(shí)驗(yàn)中，工程上往往采用近擬的邊界條件處理方法恒定電流場(chǎng)電極表面近似為等位面（ 條件 ）。電極s媒質(zhì)s圖4.2 靜電場(chǎng)平行板造型 圖示恒定電流場(chǎng)對(duì)應(yīng)什么樣的靜電場(chǎng)？比擬條件？1） 通過(guò)電流場(chǎng)電導(dǎo)的計(jì)算1. 直接用電流場(chǎng)計(jì)算 當(dāng)滿足比擬條件時(shí)，用靜電比擬法，由電容計(jì)算電導(dǎo)。

13、sLssLsDdsEdlEdsQ UCGI UJdsEdlEdseess鬃=鬃蝌蝌4. 4. 電導(dǎo)與接地電阻電導(dǎo)與接地電阻 2） 靜電比擬法設(shè) JIIJEUEdlGUs=樁=設(shè)() IUEJEIJ dSGUjs=樁=或CG即靜電問題中的一個(gè)重要內(nèi)容是計(jì)算電極間的電容，而在恒定電場(chǎng)中，重要內(nèi)容之一是計(jì)算電極間的電導(dǎo)。PN電流場(chǎng)PN靜電場(chǎng)多導(dǎo)體電極系統(tǒng)的部分電導(dǎo)可與靜電系統(tǒng)的部分電容比擬。（自學(xué)）【例3-3】 求同軸電纜的絕緣電阻。設(shè)內(nèi)外的半徑分別為R1、R2，長(zhǎng)度為l,中間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為 ，介電常數(shù)為。解法一解法一 直接用電流場(chǎng)的計(jì)算方法設(shè)22IJIIJErlrlpsps=電導(dǎo)212lnIlGR

14、URp s=絕緣電阻2111ln2RRGlRps=解法二解法二 靜電比擬法由靜電場(chǎng)解得212,lnlCRRp e=則根據(jù)CGes=關(guān)系式得212,lnlGRRp s=同軸電纜電導(dǎo)211ln2RRr lRp s=絕緣電阻2121l n22RRIIRUEdldrrllRp sps= =蝌圖5.1 同軸電纜橫截面見 P73，例2-15【例】 求圖示電導(dǎo)片的電導(dǎo)，已知給定 時(shí)， 時(shí)， 。00 0; Ufjfqj=222210rjjf=000 , Uffqjj=方程通解為 ，代入邊界條件，可得12CCjf=+電流密度0UJEerfssq= -電流210021()()l nRSRUU hRIJ dSehd

15、rerRffssqq= =-=蝌電導(dǎo)201l n()IhRGS mURsq=00() ,UUEeerrffjjfjqfq- = - = -電位函數(shù)解：取圓柱坐標(biāo)系， ，邊值問題：( )jj f=圖5.2 弧形導(dǎo)電片r1hr2 0J5. 5. 接地電阻接地電阻接地：就是將電氣設(shè)備的某一部分和大地連接。保護(hù)接地：為了保證工作人員的安全，并使設(shè)備可靠地工作而接地工作接地：利用大地作為傳輸導(dǎo)線，或者消除設(shè)備的導(dǎo)電部分對(duì)地電壓的升高而接地接地電阻：電流由接地體流向大地和電流流經(jīng)大地時(shí)都要遇到一些電阻，這些電阻統(tǒng)稱為接地電阻。 接地電阻接地器電阻接地導(dǎo)線電阻接地器與土壤之間的接觸電阻兩接地體之間土壤電阻1

16、. 深埋球形接地器 解：深埋接地器可不考慮地面影響,其電流場(chǎng)可與無(wú)限大區(qū)域的孤立圓球的電流場(chǎng)相似。深埋球形接地器解法一 直接用電流場(chǎng)的計(jì)算方法24IIJrp=解法二 靜電比擬法24JIErsps=244aIIUdrarpsps=1 4RaCGes=4,Cape=4,Gaps=1 4Ra1 1） 求深埋球形接地器的電阻求深埋球形接地器的電阻2. 非深埋的球形接地器解：考慮地面的影響，可用鏡像法鏡像法處理。我們要求的電阻應(yīng)等于實(shí)際電極與其鏡象所構(gòu)成系統(tǒng)的接地電阻的兩倍（電極與其鏡象是并聯(lián)關(guān)系，即電壓相同），對(duì)于相應(yīng)的接地電導(dǎo)，應(yīng)為二分之一。實(shí)際電導(dǎo) 2 ,GG =接地器接地電阻 1 2Raps=3 3） 淺埋半球形接地器淺埋半球形接地器,44CCaGaGepepss=解：考慮地面的影響用鏡像法處理。此時(shí)由靜電比擬2 2） 非深埋的球形接地器非深埋的球形接地器44(2 )IIah111()42RIah為保護(hù)人畜安全起見OUU （危險(xiǎn)電壓取40V)在電力系統(tǒng)的接地體附