D13函數(shù)的極限02749學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1D13函數(shù)的極限函數(shù)的極限02749 第一章 二、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限二、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限自變量變化過程的六種形式:一、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 :函數(shù)的極限 第1頁/共40頁第2頁/共40頁.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx第3頁/共40頁.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx第4頁/共40頁.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx第5頁/共40頁.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx第6頁/共40頁.sin時的變化趨勢時的

2、變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx第7頁/共40頁.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx第8頁/共40頁.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx第9頁/共40頁.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx第10頁/共40頁.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx第11頁/共40頁通過上面演示實驗的觀察通過上面演示實驗的觀察: :問題問題: :如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)“無限接近無限接近”. .第12頁/共40頁XXAAOxyA定義定義1 . 設(shè)函數(shù)大于某一正數(shù)時有定義,若則稱常數(shù)時的極限,2、幾何

3、解釋、幾何解釋:記作A 為函數(shù)1 1、定義、定義第13頁/共40頁證證:取因此就有故,0欲使只要Oxy第14頁/共40頁直線 y = A 仍是曲線 y = f (x) 的漸近線,0,0X當(dāng)時, 有,0,0X當(dāng)時, 有 Axf)(幾何意義幾何意義 :第15頁/共40頁第16頁/共40頁第17頁/共40頁第18頁/共40頁請請記記住住這這些些結(jié)結(jié)論論! !第19頁/共40頁 先觀察一個簡單的例子?？疾旌瘮?shù)：先觀察一個簡單的例子?？疾旌瘮?shù)：y = x2 當(dāng)當(dāng)x無限接近于無限接近于1 1時的變化趨勢。從圖形中時的變化趨勢。從圖形中，我們看到當(dāng)，我們看到當(dāng)x趨向于趨向于1 1時，時，y就趨向于就趨向于1

4、 1，且，且x越接近越接近1 1，y就越接近就越接近1 1，記作，記作x 1 1時，時，y = x2 1。 1第20頁/共40頁xyO1 再考察函數(shù)再考察函數(shù) 當(dāng)當(dāng)x無限趨近于無限趨近于1 1時（不等于時（不等于1 1）的變化趨勢。）的變化趨勢。112xxy從函數(shù)圖形中看出，當(dāng)從函數(shù)圖形中看出，當(dāng)x趨向于趨向于1 1時，時，y就趨向于就趨向于2 2。雖然函數(shù)在點雖然函數(shù)在點x = 1處沒有定義，處沒有定義， 但只要但只要x 1時，時，y 2。 第21頁/共40頁柯西 最早由柯西給出最早由柯西給出1 1、精確定義、精確定義( (“語言語言”) ) 在點在點的某去心鄰域內(nèi)有定義的某去心鄰域內(nèi)有定義

5、 ,當(dāng)當(dāng)時時, 有有則稱常數(shù)則稱常數(shù) A 為函數(shù)為函數(shù)當(dāng)當(dāng)時的極限時的極限,或或即即,0,0當(dāng)當(dāng)時時, 有有若若記作記作Axfxx)(lim0第22頁/共40頁2.2.幾何解釋幾何解釋: :)(xfy xyo注意：注意：第23頁/共40頁證證:故故,0對任意的對任意的當(dāng)當(dāng)時時 , 因此因此總有總有第24頁/共40頁證證:Axf)(欲使,0取則當(dāng)時, 必有因此只要1)12(lim1xx第25頁/共40頁證證:Axf)(故,0取當(dāng)10 x時, 必有因此211lim21xxx第26頁/共40頁左極限 :當(dāng)時, 有右極限 :,0,0當(dāng)時, 有.)( Axf定理定理2 .第27頁/共40頁討論 時)(x

6、f的極限是否存在 . 解解: 因為顯然所以不存在 .xyO第28頁/共40頁定理定理3 3.(.(唯一性唯一性) ) 若若 存在存在, , 則極限值則極限值 A 唯一唯一.(.(自己思考自己思考) )定理定理4 4. .( (局部有界性局部有界性)()(自己思考）自己思考） 若若 存在存在, , 則一定存在常數(shù)則一定存在常數(shù) , , 第29頁/共40頁定理定理5 . 若且 A 0 ,),(0時使當(dāng)xUx證證: 已知,)(lim0Axfxx即,0當(dāng)時, 有當(dāng) A 0 時, 取正數(shù)則在對應(yīng)的鄰域上則存在AA0 x0 xAx0 xy)(xfy 第30頁/共40頁0 x的某去心鄰域內(nèi), 且 則證證:

7、用反證法.則由定理 1,0 x的某去心鄰域 ,使在該鄰域內(nèi)與已知所以假設(shè)不真, 存在假設(shè) A 0 , 條件矛盾,故第31頁/共40頁子列收斂性子列收斂性( (函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系) )定義定義3 3定理定理7. Axfxx)(lim0有定義有定義,有有第32頁/共40頁Axfxx)(lim0有定義,且設(shè)即,0,0當(dāng)有)(,0nnxfxx 有定義 , 且, )(0nxxn對上述 ,時, 有于是當(dāng)Nn 時故可用反證法證明. (略)有證證：當(dāng) xyA“ ”“ ”0 xO第33頁/共40頁說明說明: 1、它常用于判斷函數(shù)極限不存在 .法法1 找一個數(shù)列不存在 .法法2 找兩

8、個趨于0 x的不同數(shù)列及使第34頁/共40頁不存在 .證證: 取兩個趨于 0 的數(shù)列及有由定理6 知不存在 .xy1sin 第35頁/共40頁例如例如, ,xxysin 2、此定理也可用于求數(shù)列極限.第36頁/共40頁1 1、函數(shù)極限的、函數(shù)極限的或或定義及應(yīng)用定義及應(yīng)用2 2、函數(shù)極限的性質(zhì)、函數(shù)極限的性質(zhì): :3 3、極限的重要性、極限的重要性（1 1） 極限是一種思想方法，揭示了極限是一種思想方法，揭示了常量與變量，常量與變量，有限與無限有限與無限的對立統(tǒng)一關(guān)系的對立統(tǒng)一關(guān)系 從認(rèn)識有限到把握無限從認(rèn)識有限到把握無限 從了解離散到理解連續(xù)從了解離散到理解連續(xù) 從認(rèn)識靜態(tài)從認(rèn)識靜態(tài)( (不變的常量）來把握動態(tài)（變量）不變的常量）來把握動態(tài)（變量）第37頁/共40頁（2 2）極限是一種概念）極限是一種概念（3 3） 極限是一種計算方法極限是一種計算方法 微積分中許多概念是微積分中許多概念是用極限定義的用極限定義的許多許多物理、幾何量、經(jīng)濟問題需要用極限來求物理、幾何量、經(jīng)濟問題需要用極限來求第38頁/共40頁法國數(shù)學(xué)家, 他對數(shù)學(xué)的貢獻主要集中在微積分學(xué),柯 西全集共有 27 卷.其中最重要的的是為