2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題47圓的方程教學(xué)案理

1、 專題47圓的方程 1. 掌握確定圓的幾何要素，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程. 2. 初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想. 重點(diǎn)知識(shí)橢理 1 圓的定義和圓的方程 定義 平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做圓 方程 標(biāo)準(zhǔn) (x a) + (y b)= r2(r 0) 圓心C(a, b) 半徑為r 一般 x2 + y2 + Dx+ Ey+ F= 0 充要條件：D + E 4F 0 (D E 圓心坐標(biāo)：2， 2j 半徑 r = D2+ E2 4F 2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 平面上的一點(diǎn) Mxo, yo)與圓 C： (x a)2 + (y b)2= r2之間存在著下列關(guān)系: 2 2 2 (1) dr?

2、M在圓外，即(xo a) + (yo b) r ?M在圓外; (2) d= r? M在圓上，即(xo a) + (yo b) = r ?M在圓上; dvr? M在圓內(nèi)，即(xo a) + (yo b) v r ?M在圓內(nèi). 高頻考點(diǎn)一求圓的方程 例 1、(1)(2016 天津卷)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點(diǎn) M0, ,5)在圓C上，且圓心 到直線 2 x y= O 的距離為-55，則圓C的方程為 _ . (2)以拋物線y2= 4x的焦點(diǎn)為圓心，與該拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 _ 解析 (1)因?yàn)閳AC的圓心在x軸的正半軸上，設(shè) C(a, O)，且aO，所以圓心到直線 2xy =O 的

3、距離d= 啟=455，解得a= 2,所以圓C的半徑r = | CM = 4 + 5 = 3,所以圓C的方程 2 2 為(x 2) + y = 9. 拋物線y2= 4x的焦點(diǎn)為(1 , 0)，準(zhǔn)線為x = 1，故所求圓的圓心為(1 , 0)，半徑為 2,所 2 2 考情解-2 - 以該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（X 1） + y = 4. 答案（1）（ x 2）2 + y2 = 9 （2）（ x 1）2+ y2 = 4 2 2 【舉一反三】一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓令+4 = i 的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 _ . 答案 x12+ y2= 7 解析 由題意知圓過(guò)（4,0） , （0,2）

4、, （0， 2）三點(diǎn)，（4,0） , （0， 2）兩點(diǎn)的垂直平分線方程 為 y + 1 = 2（ x 2）, 3 3 5 令y = 0,解得x=，圓心為，0 ,半徑為. （2）根據(jù)下列條件，求圓的方程. 經(jīng)過(guò)P（ 2,4）、Q3 , 1）兩點(diǎn)，并且在x軸上截得的弦長(zhǎng)等于 6; 圓心在直線 y = 4x上，且與直線I : x + y 1 = 0 相切于點(diǎn) R3 , 2）. 解CD設(shè)圓的方程為陷+乎+加+咼，+”=0 將P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得 2D-4E-F-2Q, 3D_E+F二 一 10. 又令二0得尸=0- 設(shè)X1,期是方程的兩根） 由pci-X2|=6 有 02 4尸=3 由* * 解

5、得D=2, 5=-4,嚴(yán)二一8,或D=6, E=-8, F=O. 故所求圓的方程為 0 +護(hù)一2z-令一8=0,或工+乎&一 4x 2 方法一 如圖，設(shè)圓心（X0, 4X0），依題意得= 1 , 3 Xo xo = 1，即圓心坐標(biāo)為(1 , 4)，半徑r = 2 2, 故圓的方程為(x 1)2+ (y+ 4)2= 8. 方法二 設(shè)所求方程為(xxo)2+ (y yo)2= r2, -3 - yo= 4xo， 2 2 2 xo + 2 yo = r , 根據(jù)已知條件得 |xo+ yo 11 =r， Xo= 1 , 解得yo= 4， r = 2 2. 因此所求圓的方程為(x 1)2+ (y

6、+ 4) 2= 8. 【感悟提升】(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程. (2)待定系數(shù)法 若已知條件與圓心(a, b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程依據(jù)已知條件列出關(guān)于 a, b, r 的方程組，從而求出 a, b, r的值； 若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于 D E、 F的方程組，進(jìn)而求出 D E、F的值. 【變式探究】 若圓C的半徑為 1,其圓心與點(diǎn)(1,0)關(guān)于直線y= x對(duì)稱，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方 程為 _ . 過(guò)點(diǎn)A(4,1)的圓C與直線x y 1 = 0 相切于點(diǎn)B(2 , 1)，則圓C的方程為 2 2 2 2

7、答案 (1) x + (y 1) = 1 (2)( x 3) + y = 2 解析 由題青知圓 C 的圓心初半徑為 b 所以圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為於+ -1 丫=1” 由已知血=0,所臥AB的中垂線方程為 x=3. 過(guò)月點(diǎn)且垂直于直線北-廠 1 二 0 的直線方程為廠仁-0-功 即 _ 3 聯(lián)立，解得7/ ly=o, 所以圓心坐標(biāo)為 00), 半徑r= 7 4_3 丁+ 1-0 2-邁， 所以圓 C 的方程為(工一為龍+尸二 高頻考點(diǎn)二 與圓有關(guān)的最值問題 例 2、已知實(shí)數(shù)x, y滿足方程x2+ y24x+ 1 = 0.1 -4 - （1）求丫的最大值和最小值； x 求y x的最大值和最小值；

8、2 2 求X +y的最大值和最小值 解 原方程可化為（x 2）2+ y2= 3,表示以（2 , 0）為圓心，3 為半徑的圓 （1） y的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率， x 所以設(shè)y = k,即y = kx. x 當(dāng)直線y = kx與圓相切時(shí)，斜率k取最大值或最小值，此時(shí) 雀=2 = 3,解得k=3（如 Vk “ 、 圖 1）. 所以x的最大值為 3，最小值為 3. 2）?-x可看作是直線y=x+b在y軸上的截距,當(dāng)直線與圓相切時(shí)，縱載距b取得最大值或最小 宦 此時(shí)亍也二田解得*一 2 土?xí)橙鐖D 所以$工的最大值為一 2 + 岳，最小信為一 2-勺& （3+表示圓上的一點(diǎn).與原點(diǎn)距

9、直的平方由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)和圓心連絃與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得 最犬值和最小值儀口團(tuán) 3 丄 又圓心到嫌點(diǎn)的距離為 V 2-0） = + 70-0） 2=2, 所以於十護(hù)的最大值是（2十訴 2=7+4 曲，X+乎的最小值是 Q 田尸=74 點(diǎn) 【感悟提升】與圓有關(guān)的最值問題的常見類型及解題策略 （1）與圓有關(guān)的長(zhǎng)度或距離的最值問題的解法一般根據(jù)長(zhǎng)度或距離的幾何意義，利用圓的幾 何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解. . y b 與圓上點(diǎn)（x, y）有關(guān)代數(shù)式的最值的常見類型及解法形如 u=工二 型的最值問題，可 轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)（a, b）和點(diǎn)（x, y）的直線的斜率的最值問題；形如 t = ax+ by型的最值問題

10、， 可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線的截距的最值問題；形如 （x a）2+ （y b）2型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到 定點(diǎn)（a, b）的距離平方的最值問題. 【變式探究】（1）設(shè)P是圓（x 3）2+ （y + 1）2= 4 上的動(dòng)點(diǎn)，Q是直線x= 3 上的動(dòng)點(diǎn)，則| PQ 的最小值為（ ）-5 - C. 3 D. 2 答案 B 解析|PQ的最小值為圓心到直線的距離減去半徑因?yàn)閳A的圓心為 (3 , - 1)，半徑為 2,所 以|PQ的最小值 d= 3- ( 3) 2= 4. (2)已知M為圓C: x + y 4x 14y+ 45= 0 上任意一點(diǎn)，且點(diǎn) Q 2,3). 求| MQ的最大值和最小值； n 3 若Mm

11、 n)，求石帀的最大值和最小值. imp 2 2 2 解 由圓 C: x + y 4x 14y+ 45= 0, 可得(x 2) + (y 7) = 8, 所以圓心C的坐標(biāo)為(2,7)，半徑r = 2 2. 又 I QC = . 2+2 2+ ；： 2= 4 .2 所以 | MQmax= 4 2+ 2 2 = 6 2, | MQmin= 4 . ：2-2 2= 2 2. n 3 可知 表示直線MQ的斜率， m+ 2 設(shè)直線MQ的方程為y 3= k(x + 2), n 3 即 kx y + 2k+ 3= 0,貝 U = k. n+ 2 由直線MQ與圓C有交點(diǎn)， 可得 2 .3 kw2+ .3, 所

12、以 1 的最大值為 2 + 3，最小值為 2 3. 變式探究三 與圓有關(guān)的軌跡問題 例 3、設(shè)定點(diǎn)M 3,4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓x2+ y2= 4 上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M ON為兩邊作平行四邊形 MONP 求點(diǎn)P的軌跡學(xué)一一 為3,乎.由于平行四邊形的對(duì)角線互相平分， A. 6 B. 4 -6 - ix y 解 如圖所示，設(shè)P(x, y) , N(xo, yo)，則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為-,；，線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)-7 - Xo= x + 3, .從而* |yo= y 4. y-4)在圓上，故(x + 3)2+ (y 4)2= 4. 2 2 因此所求軌跡為圓：(x+ 3) + (y 4) = 4, (9 12

13、( 21 28、 t 但應(yīng)除去兩點(diǎn) 一 5, 5 和5，5(點(diǎn)P在直線OM上的情況). 【舉一反三】已知點(diǎn) P(2 , 2)，圓 c： x2 + y2 8y = 0，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線I與圓C交于A, B兩 點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為 M 0為坐標(biāo)原點(diǎn) (1)求M的軌跡方程； 當(dāng)|0P = |0M時(shí)，求I的方程及厶POM勺面積 解 圓C的方程可化為x2+ (y 4)2= 16,所以圓心為 Q0, 4)，半徑為 4. 設(shè) M(x, y)，則 CM= (x, y 4) , MP= (2 x, 2 y). 由題設(shè)知 CMA MP 0,故 x(2 x) + (y 4)(2 y) = 0, 2 2 即(x 1)

14、+ (y 3) = 2. 由于點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部，所以 M的軌跡方程是(x 1)2+ (y 3)2= 2. 由 可知M的軌跡是以點(diǎn)N(1 , 3)為圓心，.2 為半徑的圓.由于| Op = | OM，故O在線段 PM的垂直平分線上，又 P在圓N上，從而 ONL PM 1 因?yàn)镺N的斜率為 3,所以I的斜率為一 3, 故I的方程為x + 3y 8 = 0. 又|OM =|OP = 2 2, O到I的距離為 土10, 4 航 1 4 低 410 16 所以| PM= ,SAPOI= X X , 5 2 5 5 5 故厶POM勺面積為匚. 5 【感悟提升】求與圓有關(guān)的軌跡問題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采

15、用以下方法: y yo+ 4 又 N(x + 3, -8 - 直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程. 定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程. 幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程. 代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等. . . 2 2 . . . . 【變式探究】已知圓 X + y = 4 上一定點(diǎn)A(2,0),政 1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P, Q為圓上的動(dòng)點(diǎn). (1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程； 若/ PBQ= 90，求線段 PQ中點(diǎn)的軌跡方程. 解(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為 Mx, y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知， P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x 2,2 y). 因?yàn)镻點(diǎn)在圓x2+ y2= 4 上， 所以

16、(2x 2)2+ (2 y) 2= 4, 故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x 1)2+ y2= 1. 設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x, y)，連接BN 在 Rt PBC中, | PN| =|BN 設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接 ON則ONL PQ 所以 | OP2 =|ON2+ |PN2=I ON2+ | BN2, 所以 x2+ y2 + (x 1)2+ (y 1)2= 4. 故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為 x2+ y2 x y 1 = 0. 1.【2016 高考新課標(biāo) 2 理數(shù)】圓x2 y2-2x-8y 13 =0的圓心到直線ax，y-1 = 0的距 離為 1，則a=( ) 4 3 l (A) ( B) (C)丿3 (

17、 D) 2 3 4 【答案】A 【解析】圓的方程可化為(x -1)2 (y -4)2 =4，所以圓心坐標(biāo)為(1,4)，由點(diǎn)到直線的距離 公式得： a +4 _1 4 d = -=1，解得 a = ，故選 A. a2 1 3 1. 【2015 高考新課標(biāo) 2,理 7】過(guò)三點(diǎn) A(1,3) , B(4,2) , C(1-7)的圓交y軸于M N兩點(diǎn)，則 |MN|=() -9 - A. 2 ,6 B . 8 C . 4 .6 D . 10 【答案】C-10 - 【解析】由已知得二 12 二 14 1 7+7 咯=孑二二一 3,所以咕所以血丄即C為 4 直角三角形，其外接圓圓心為（t-2）,半客為 5,

18、所決外接圓方程為儀-1尸+0 + 2）25,令0, 得y = 16-2f所以網(wǎng)=惑,故 iSC. 2. 【2015 高考山東，理 9】一條光線從點(diǎn) -2,-3射出，經(jīng)y軸反射后與圓 斜率為，則反身光線所在直線方程為： y，3二kx-2 ，即：kx-y-2k-3 = 0. 2 2 3k-2-2k-3 又因?yàn)楣饩€與圓相切， x，3i亠iy-2 1所以， - 1 , Vk +1 4 3 整理：12 k2 25k *12 =0，解得：k ，或k ,故選D. 3 4 1 3. 【2015 高考陜西，理 15】設(shè)曲線y =ex在點(diǎn)（0,1 ）處的切線與曲線y （X - 0）上點(diǎn)P處 X 的切線垂直，則 的

19、坐標(biāo)為 _ . 【答案】1,1 【解析】因?yàn)閥 =ex，所以yex，所以曲線y =ex在點(diǎn)0,1處的切線的斜率 1 1 K=y x=0=e 1，設(shè)P 的坐標(biāo)為（x0,y0）（ XAO）,則 ，因?yàn)?y=,所以 X0 x 1 1 y二丐，所以曲線y=在點(diǎn)P處的切線的斜率k2 = yxN x x 1 2 5 3 3 2 5 4 (A)或 (B) 或 (C) 3 _5 2 3 4 5 3 4 【答案】 D 2 2 （x+3 ） +（y -2 ） =1相切，則反射光線所在直線的斜率為（ ） 【解析】由光的反射原理知, 反射光線的反向延長(zhǎng)線必過(guò)點(diǎn) 2,-3 ，設(shè)反射光線所在直線的 ，因?yàn)閗1 k2 XO

20、 -11 - 所以- =-1，即XO =1，解得X。二1，因?yàn)閤o 0 ,所以XO = 1，所以y。= 1，即P的 XO 坐標(biāo)是1,1，所以答案應(yīng)填： 1,1 . 2 2 4. 2015 高考廣東，理 20】已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線與圓 C1：x +y -6X+5 = 0相交于不同的兩-12 - 點(diǎn) A , B . (1) 求圓C1的圓心坐標(biāo)； (2) 求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程； (3) 是否存在實(shí)數(shù)，使得直線 L:y = k(x-4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)：若存在，求出的取值 范圍；若不存在，說(shuō)明理由. 2 2 2 2 【解析】(1)由x y _6x 0得X-3 y =4, 圓C1的圓心坐標(biāo)

21、為 3,0 ； 設(shè)M x，y，則 點(diǎn)M為弦AB中點(diǎn)即C1M - AB y y kC1M kAB = -1 即 x _3 x 【答案】(1) 3,0 ; X? y2=9 5*3 413 ;(3) VS 線段AB的中點(diǎn)M的軌跡的方程為 (3)由 2)知點(diǎn)M的軌跡是以 3 C 2，0 為圓心 9 5 I 4 3 3 2為半徑的部分圓弧 EF (如下圖所示, E|5跡 不包括兩端點(diǎn))，且 3 3 F即晉，又直線L ：2 y ：x _ -13 - 3 ） k4 10 12 丿 _3 3 當(dāng)直線L與圓C相切時(shí)，由 k 1 2得 4，又 45 7 ，結(jié)合上圖可知當(dāng) ,直線 L : y=k X-4與曲線C只有

22、一個(gè)交點(diǎn). 2 1. （2014 福建卷）設(shè) P, Q分別為圓X2+ （y 6）2= 2 和橢圓爲(wèi)+ y2= 1 上的點(diǎn)，貝 U P, Q兩點(diǎn) 間的最大距離是（ ） A. 5 2 B. 、#46+ 2 C. 7+ 2 D . 6 2 【答案】D【解析】設(shè)圓心為點(diǎn) C,則圓X2+ （y 6）2= 2 的圓心為 Q0, 6），半徑r = 2 0 2 2 2 點(diǎn)Qx, y0）是橢圓上任意一點(diǎn)，貝U + y= 1,即卩X0 = 10 10y, ,2.設(shè) I CQ = 10 10y2+( y。 6) 2=、 ： 9y0 12y + 46 = 2 當(dāng)y0= 3 時(shí)，|CQ有最大值 5 2, 3 則P, Q

23、兩點(diǎn)間的最大距離為 5 2 + r = 6 2. 2. (2013 新課標(biāo)全國(guó)卷 I)已知圓 M: (x + 1)2+ y2= 1，圓 N: (x 1)2 + y2 = 9,動(dòng)圓 P 與圓 L -14 - M 外切并且與圓 N 內(nèi)切，圓心 P 的軌跡為曲線 C. (1) 求 C 的方程； (2) 1 是與圓 P,圓 M 都相切的一條直線，I與曲線 C 交于 A, B 兩點(diǎn)，當(dāng)圓 P 的半徑最長(zhǎng)時(shí)， 求 |AB|. 【解析】解：由已知得圓皿的圓心為臨 T, 0),半徑口=1;圓 N 的圓心為 0),半徑 設(shè)圓 P 的圓心為 P(x,小半徑為趾 因?yàn)閳A P 與圓 M外切并且與圓 N 內(nèi)切，所以 |

24、PM + |PN|=(R+ ft) + (fi - R)= n +1?=4. 由橢圓的定義可知，曲線 C是嘆嶇 N 為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為短半軸長(zhǎng)為西的橢圓佐頂點(diǎn)除外 其方程為手+普=1(辭一 2) (2)對(duì)于曲線 C 上任意一點(diǎn) P(x , y)，由于|PM| - |PN| = 2R-2 2,所以 R0，解得一 2 av： 答案 D 3 2 2 2 C.(x + 4) + (y- 2) = 4 D.(x + 2) + (y- 1) = 1 押題專2 3. 2 -17 - 4點(diǎn)P(4 , - 2)與圓x2+ y2= 4 上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是 ( ) 2 2 2 2 A.( x-2)

25、 + (y + 1) = 1 B.( x- 2) + (y + 1) = 4-18 - 因?yàn)辄c(diǎn) Q在圓 x4 + y2= 4 上，所以 xo+ y2= 4，即(2x 4)2+ (2y+ 2) 2= 4,化簡(jiǎn)得(x 2)2+ (y + 1)2= 1. 答案 A 5. 已知三點(diǎn)A(1 , o),巳 0 , 3) , Q2 , 3)，則 ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為 ( ) A5 B亜C甕D 4 3 3 3 3 解析 由點(diǎn)CQ,曲力得線段恥的垂直平分線方程為x=l, 由點(diǎn)丄(1, 0), 5(0,麻得線段肋的垂直平分線方程為 yT= 聯(lián)立，解得3C外接圓的圓心坐標(biāo)為(1,箏 苴到原點(diǎn)的距離為 *

26、 + (剪二孚故選B 答案B 6. 若圓C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)(4 , o)，且與直線y = 1 相切，則圓C的方程是 _ . 3 5 解析 設(shè)圓心C坐標(biāo)為(2 , b)( bo)，則 I b| +1= 4 + b2.解得b=，半徑r = | b| + 1=-, 2 f 3 25 故圓C的方程為：(x 2) + iy +=才. 4 ( 3 25 答案(x 2) + y+ = 7 7. 已知圓 C： x2+ y2+ kx + 2y = k2，當(dāng)圓C的面積取最大值時(shí)，圓心 C的坐標(biāo)為 _ . 解析 圓C的方程可化為 jx+幕+ (y+ 1)2= |k2+ 1.所以，當(dāng)k = 0 時(shí)圓C的面積最大. 答案 (0， 1) 8. 已知點(diǎn)M1 ,