直線和圓【概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)】

1、概念.方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)直線和直線的傾斜角：1. 定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與兀軸相交的直線/,如果把兀軸繞著交點(diǎn) 按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到和直線/重合吋所轉(zhuǎn)的最小正角記為那么q就叫做直線的傾斜角。 當(dāng)直線/與兀軸重合或平行時(shí)，規(guī)定傾斜角為0；2. 傾斜角的范圍（u）o如（1）直線xcos + v3y-2 = 0的傾斜角的范圍是（答:o,-u,龍）；6 6（2）過(guò)點(diǎn)p（-v3,1）,2（0,772）的直線的傾斜角的范圍awf,空,那么加值的范圍是（答：m < 一2或加> 4 ）二. 直線的斜率：1. 定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線

2、的斜率即r = t3na （ah90° ）；傾斜角為90°的直線沒(méi)有斜率；（2.斜率公式：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)人（心）1）、2（兀2丿）的直線的斜率為k=（xx2）；x, -x2 3直線的方回回量丄（1,幻，直線的方向向量與直線的斜率有何關(guān)系？4.應(yīng)用：證明三點(diǎn)共線：kab = kbc o如（1）兩條直線斜率相等是這兩條直線平行的條件（答：既不充分也不必要）；（2）實(shí)數(shù)滿足3x-2y-5 = 0 （l<x<3）,則上的最大值、最小值分別為2 （答：-,-1）3三. 直線的方程：1 點(diǎn)斜式：已知直線過(guò)點(diǎn)（弘兒）斜率為貝ij直線方程為-兀0）,它不包 括垂直于兀軸的直線。2.斜

3、截式：已知直線在y軸上的截距為b和斜率r,則直線方程為y = kx + b,它不包括垂直于兀軸的直線。3. 兩點(diǎn)式：已知直線經(jīng)過(guò)片（坷,沖、只（d）兩點(diǎn)，則直線方程為丄二2二仝二玉 °歹2一歹1 兀2_兀1它不包括垂宜于坐標(biāo)軸的宜線。4.截距式:它不包已知直線在x軸和y軸上的截距為,則直線方程為蘭+丄=1, a h括垂直于坐標(biāo)軸的直線和過(guò)原點(diǎn)的直線。5.般式：任何直線均可寫(xiě)成a% + by + c = 0（a,b不同吋為0）的形式。如（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2, 1）且方向向量為=（-1,73）的直線的點(diǎn)斜式方程是（答：y-l = -v3（x-2）；（2）直線（加+ 2）兀一（2加-l）y-（

4、3加一4） = 0 ,不管加怎樣變化恒過(guò)點(diǎn)（答：（一1,一2）；（3）若曲線y = alxl與y = % + q（a>0）有兩個(gè)公共點(diǎn)，則d的取值范圍是（答：°>1）提醒：（1）宜線方程的各種形式都有局限性.（如點(diǎn)斜式不適用丁斜率不存在的直線, 還有截距式呢？ ）； （2） 育線在坐標(biāo)軸上的截距可正、可負(fù)、也可為0直線兩截距相等o 直線的斜率為1或直線過(guò)原點(diǎn);直線兩截距互為相反數(shù)o直線的斜率為1或直線過(guò)原點(diǎn); 直線兩截距絕對(duì)值相等o直線的斜率為±1或直線過(guò)原點(diǎn)。如過(guò)點(diǎn)4（1,4）,且縱橫截距的 絕對(duì)值相等的直線共冇條（答：3）四. 設(shè)直線方程的一些常用技巧：1.

5、 知直線縱截距b,常設(shè)其方程為y = kxh；2. 知直線橫截距x。，常設(shè)其方程為x = my + x.（它不適用于斜率為0的直線）；3 知直線過(guò)點(diǎn)gw。）,當(dāng)斜率r存在時(shí)，常設(shè)其方程為y = /r（x-x0） + y0,當(dāng)斜率£ 不存在時(shí)，則其方程為x =4. 與直線i: ax + by + c二0平彳丁的直線可表小力ax + by + c= 0 ；5與直線/: ax + by + c = 0垂直的直線可表示為bx- ay + c, =0.提醒：求直線方程的基木思想和方法是恰當(dāng)選擇方程的形式，利用待定系數(shù)法求解。 五點(diǎn)到直線的距離及兩平行直線間的距離：（1）點(diǎn) p（x0,y0）到直

6、線 ax-by + c = 0 的距離d =佗+ 歎+°.a/a2 + b2（2）兩平行線厶：ax + by + g =0,厶：ax + by + c? =0間的距離為d=一?！?#39;j a? + b?六.直線厶：+耳y + g = 0與直線厶：舛兀+場(chǎng)y + c? = 0的位置關(guān)系:1. 平行0 4場(chǎng)一媯=0 （斜率）且bg - b2g h 0 （在y軸上截距）；2. 相交u> ajb. -a2b h 0 ；3. 重合o人場(chǎng)一血耳=0且=0。提醒：（1）4=如工2、工如、僅是兩直線平行、相交、重合 ay b° c 44 b° c的充分不必要條件！為什么

7、？（2）在解析幾何屮，研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系吋，有可能 這兩條直線重合，而在立體幾何中提到的兩條直線都是指不重合的兩條直線；（3）直線 /j: ax + + c = 0 與 i?: % 兀 + + g = 0£ % + b、br = 0 °如（1）設(shè)直線/：兀+加+ 6 = 0和厶：（加一2）兀+ 3? + 2加=0,當(dāng)加=時(shí)厶厶；當(dāng)加=時(shí)厶丄厶；當(dāng)加時(shí)厶與厶相交；當(dāng)加=時(shí)厶與厶重合（答：一1； ； "2 h 3且加工一1； 3）；2（2）已知直線/的方程為3x + 4y-12 = 0,則與/平行，且過(guò)點(diǎn)（一1, 3）的直線方程是（答：3x + 4y-9 = 0）

8、；（3）兩條直線血+丿-4 = 0與兀2二0相交于第一象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（答：1 < tz < 2 ）；（4）設(shè)a,b,c分別是 abc中za、zb、zc所對(duì)邊的邊長(zhǎng)，則宜線sin agx + ay + c = 0與bx-sinbgy + sinc = 0的位置關(guān)系是(答：垂直)；(5) 已知點(diǎn)時(shí)(旺,開(kāi))是直線i: /(%,y) = 0上一點(diǎn)，p2(x2,y2)是直線/外一點(diǎn)，則方程/(x,y)+/(xi，y) + /(x2，y2)=0所表示的直線與/的關(guān)系是(答：平行)；(6) 直線/過(guò)點(diǎn)(1 , 0 ), 11被兩平行直線3兀+ y-6 = 0和3x + y + 3

9、= 0所截得的線段長(zhǎng)為9,則直線/的方程是(答：4x + 3y -4 = 0和x = 1 )七. 到角和夾角公式：1 厶到厶的角是指直線厶繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到和直線厶重合所轉(zhuǎn)的角&，0 e (),%)月.tan= (kk2 h -1)；1+& £ 7(2) 厶與仁的夾角是指不大于直角的角,處(0,各且伽&=丨占杏 丨伙再工-1)。21 + k1k2提醒：解析兒何中角的問(wèn)題常用到角公式或向量知識(shí)求解。如已知點(diǎn)m是直線2x-j-4 = 0與兀軸的交點(diǎn)，把直線/繞點(diǎn)m逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45° , 得到的直線方程是(答：3x+y-6 = 0)八. 對(duì)稱(中心

10、對(duì)稱和軸對(duì)稱)問(wèn)題代入法：如(1) 已知點(diǎn)m(a,b)與點(diǎn)w關(guān)于兀軸對(duì)稱，點(diǎn)p與點(diǎn)n關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)q與點(diǎn)p關(guān)于直線無(wú)+)匸0對(duì)稱，則點(diǎn)q的坐標(biāo)為(答:(b,a)(2) 已知直線厶與厶的夾角平分線為尸兀，若厶的方程為q + by + c = ()(“0),那么人的方程是(答：bx + ay + c = 0)；(3) 點(diǎn)a (4, 5 )關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)為b(2,7),貝畀的方程是(答：y=3x+3)；(4) 已知一束光線通過(guò)點(diǎn)a (-3 , 5 ),經(jīng)直線/:3x-4y+4=0反射。如果反射光線通過(guò)點(diǎn)b (2, 15),則反射光線所在直線的方程是(答：18x+y-51 = 0)；(5) 已知

11、a abc頂點(diǎn)a(3, - 1 ), a b邊上的中線所在直線的方程為6x+10y-59=0, zb的平分線所在的方程為x4y+10=0,求b c邊所在的直線方程(答：2x + 9y-65 = 0 )；(6) 直線2x y4=0上有一點(diǎn)p,它與兩定點(diǎn)a (4, 1)、b (3,4)的距離之差最大，則p的坐標(biāo)是(答：(5,6)；(7) 已知agx軸，bwl:y = x, c (2, 1), nabc周長(zhǎng)的最小值為(答：v10 )o 提醒：在解兒中遇到角平分線、光線反射等條件常利用對(duì)稱求解。九. 簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃：i.二元一次不等式表示的平面區(qū)域：法一：先把二元一次不等式改寫(xiě)成y>kx + b

12、 或y vd + b的形式，前者表示直線的上方區(qū)域，后者表示直線的下方區(qū)域；法二：用特殊點(diǎn)判斷；無(wú)等號(hào)時(shí)用虛線表示不包含直線/,有等號(hào)時(shí)用實(shí)線表示包含直線設(shè) 點(diǎn)q（x2,y2）,若 ax|+b）+c ax2 4- by2 + c 同號(hào)，則 p, q 在直線/的同側(cè)，異號(hào)則在直線/的異側(cè)。如已知點(diǎn)a （2, 4）, b （4, 2）,且直線l:y = kx-2與線段ab恒和交，則k的取值 范圍是（答：（00, 3u1, +oo）2. 線性規(guī)劃問(wèn)題中的有關(guān)概念： 滿足關(guān)于兀,y的一次不等式或一次方程的條件叫線性約束條件。 關(guān)于變量兀），的解析式叫目標(biāo)函數(shù)，關(guān)于變量次式的目標(biāo)函數(shù)叫線性目標(biāo)函 數(shù)；

13、求目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題，稱為線性規(guī)劃問(wèn)題； 滿足線性約朿條件的解（x,y）叫可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域; 使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解；3. 求解線性規(guī)劃問(wèn)題的步驟是什么？根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的約束條件列出不等式；作 出可行域，寫(xiě)岀口標(biāo)函數(shù)；確定口標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)位置，從而獲得最優(yōu)解。如（1）線性目標(biāo)函數(shù)z=2x-y在線性約束條件下，取最小值的最優(yōu)解是（答：（一1, 1 ）；（2）點(diǎn)（一2, t）在直線2x-3y+6=0的上方，貝時(shí)的取值范圍是2 （答>蘭）;3（3）不等式lx-ll + ly-ll<2表示的平面區(qū)域的面積是（答：8）；

14、x y + 2 n 0（4）如果實(shí)數(shù)兀,y滿足<% +y-4>0，貝0 z =1 x + 2y -41的最大值2x - y - 5 < 0（答：21）4.在求解線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)要注意：將口標(biāo)函數(shù)改成斜截式方程；尋找最優(yōu)解時(shí) 注意作圖規(guī)范。十.的方程:1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（x-a）2+（y-b）2=r2o2.圓的一般方程：x2 + y2 +dx + ey + f = 0（d2+e24f>0）,特別提醒：只有當(dāng)n fd2+e2-4f>0 r1,方程 + y2 + dx+ey + f=0 才表示圓心為（-一,-一）,半徑為 2 2d2e2-4f的圓（二元二次方程ax2 +

15、bxy + cy2 +dx + ey + f = 0表示圓的充要條件 是什么？ （ a = c0,hb=0_ad2 + e2-4af>0）；3. 圓的參數(shù)方程：g二策;囂彳（&為參數(shù)），其中圓心為（小,半徑為廠。圓的 參數(shù)方程的主要應(yīng)用是三角換元：x2-y2 = r2x=rcos0,y = rsin0； x2-f-/<r>% = /- cos 0,y = r sin &（0 <r < &）。4. a（召,x）,b（x2,）s）為直徑端點(diǎn)的圓方程（兀一兀j（x-總）+（y-y）（y- ） = o如（1）圓c與圓（x-l）2 + /=l關(guān)于直線

16、尸-x對(duì)稱，則圓c的方程為(答：x2 +(y+ 1)2 = 1 )；(2) 圓心在直線2兀-)=3上，且與兩坐標(biāo)軸均相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(答：(3)2+()，-3尸=9或(兀-1)2+()，+ 1)2 =1 )；(3) 12知p(-l")是圓 蔦;常纟(&為參數(shù)，0"<2龍)上的點(diǎn)，則圓的普通方程為，p點(diǎn)對(duì)應(yīng)的&值為,過(guò)p點(diǎn)的圓的切線方程是(答：x（答:（x-1）2 + y2 =2）；（2）弦長(zhǎng)問(wèn)題：圓的弦長(zhǎng)的計(jì)算：常用弦心距d,弦長(zhǎng)一半丄a及圓的半徑廠所構(gòu) + y2=4 ； 2.； x-v3y+ 4 = 0 )；3(4) 如果直線/將圓：x2+y2-

17、2x-4y=0平分，且不過(guò)第四象限，那么/的斜率的取值 范圉是_(答:0, 2)；(5) 方程x2+y'x+y+k=0表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(答：*<-)；2(6) 若m=g)l忙蒙贈(zèng)(&為參數(shù)，0<<龍), n = (x,y)y = x-b,若mi n h 0 ,則b的取值范圍是(答：(-3,32) h點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：已知點(diǎn)m(x0,y0)及圓c：(x-a)2 +(y-/?)2 =r2(r >0),(1) 點(diǎn) m 在圓 c 外 o |cm| > r <=> (x0-tz)2 +(y()> r2 ；(2) 點(diǎn) m 在圓

18、 c 內(nèi) o|cm|vro(xod)2+bo/<)22；(3) 點(diǎn) m 在圓 c ±« |cm| = r « (x0 -6/)2 +(y() -/?)2 = r2 o 如點(diǎn)p(5a+l,12a)在圓(x l)2+y2=l的內(nèi)部，則a的取值范圍是 (答:lal< )13 十二。直線與圓的位置關(guān)系：直線/:ax + by + c = 0和圓c：(x-«)2+(y-/7)2=r2(r>0)有相交、相離、相切?？蓮?代數(shù)和兒何兩個(gè)方面來(lái)判斷：(1) 代數(shù)方法(判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況)：相交； a < o <=>

19、; +n 離;=()<=> 和切；(2) 幾何方法(比較圓心到直線的距離與半徑的人小)：設(shè)圓心到直線的距離為d, 則dso相交；d>r o相離；d = o相切。提醒：判斷直線與圓的位置關(guān)系一般用 幾何方法較簡(jiǎn)捷。如(1 )圓 2嚴(yán) +2y2 = 1 與直線 xsin+y-1 = 0(g+k7r , k wz)的位置關(guān)系為(答：相離);(2) 若直線 ax + by-3 = 0 與圓 %2 + y2 +4x-l = 0 切于點(diǎn) p(-1,2),則 的值(答：2)；(3) 直線x + 2y = 0被曲線兀2 + y2_62y-15 = 0所截得的弦長(zhǎng)等于(答：4a/5 )；(4)

20、 一束光線從點(diǎn)a(1,1)岀發(fā)經(jīng)x軸反射到圓c:(x-2)2+(y-3)2=l .上的最短路程是(答：4)；（5）已知m（d,b）伽ho）是i員|0：兀2 +，2=尸2內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)有以m為中點(diǎn)的弦所在直線 m和直線i: ax + by = r* 成的直如三如形來(lái)解：r2=d2+（a）2；過(guò)兩圓g :/（x,y） = o、c2:g（xfy） = o交點(diǎn)的圓（公 共弦）系為fcr,y） + 2g（x,y） = 0 ,當(dāng)2 = -1時(shí)，方程/（x,y） + 2g（x, y） = 0為兩圓公共弦所在直 線方程。十五.解決直線與圓的關(guān)系問(wèn)題時(shí)，要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質(zhì)的作用（如半徑、 半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成直介三介形，切線長(zhǎng)定理、割線定理、弦切和定理等等）! ,則a. mill ,且/與圓相交 b. /丄加，且/與圓相交 cmill ,且/與圓相離 d. /丄加，且/與圓相離（答：c）；（6）已知圓c： x2 +（y-l）2 = 5 ,直線l：加x-y + l 2 = 0。求證：對(duì)加w/?,直 線l與圓c總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；設(shè)l與圓c交于a、b兩點(diǎn)，若|ab| = v17,求l 的傾斜角；求直線l中，截岡所得的弦最長(zhǎng)及最短時(shí)的直線方程.（答：60°或120°最長(zhǎng)：y = l,最短：x = l ）十三.圓與圓的位置關(guān)系（