2018版高中數(shù)學(xué)小問題集中營專題4.3三角函數(shù)的值域與最值

1、專題三三角函數(shù)的值域與最值、問題的提出12017課標(biāo)11理141函數(shù)fX 2x Tcosx-扌（-_0,-）的最大值是 -；該題可以運(yùn)用同角三角函數(shù)平方關(guān)系進(jìn)行消元，再轉(zhuǎn)化為復(fù)合型二次函數(shù)來解決。三角函數(shù)的值域與最值是三角函數(shù)的重要性質(zhì)，也是高考數(shù)學(xué)中經(jīng)常涉及的問題它對(duì)三角函數(shù)的恒等變形能力及綜合應(yīng)用要求較高,是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)解決這一類問題的基本途徑，同求解其他函數(shù)最值一樣，一方面應(yīng)充分利用三角函數(shù)自身的特殊性（如有界性等），另一方面還要注意將求解三角函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為求一些我們所熟知的函數(shù)（二次函數(shù)等）最值問題 本專題就來探討求三角函數(shù)最值的一些基本方法、問題的探源本題的解法：化簡三角函數(shù)

2、的解析式：f x = 1 - cos2x、3 cosx -3- - cos2x、3 cosx -,442tJ3當(dāng)cosx時(shí)，函數(shù)f X取得最大值 1。三角函數(shù)的值域問題，大多是含有三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)值域問題，常用的方法為：化為代數(shù)函數(shù)的值域，也可以通過三角恒等變形化為求y=Asin（wx+ ） +B的值域；或化為關(guān)于 sinx（或 cosx）的二次函數(shù)式，再 利用換元、配方等方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在限定區(qū)間上的值域求三角函數(shù)的值域（最值）時(shí)，代數(shù)中求值域（最值）的方法均適用，如配方法（注意三角函數(shù)的取值范圍）、換元法（注意換元后的范圍變化）、判別式法、不等式法等這里特別提醒以下幾種方法：（1）對(duì)于

3、形如y=Asin（wx+0） +b（或y=Acos（wx+0） +b），可利用弦函數(shù)的有界性求值域或最值；若x范圍給定可直接求出wx+0的范圍，然后根據(jù)單調(diào)性求解；對(duì)于形如y二asi n2x bsin xcosx ccos2x d，可借助于二倍角公式及輔助角公式，化為y = As in 2x0B形式,再借助弦函數(shù)有界性求解；對(duì)于形如y =asin2x bsinx c的函數(shù)可通過配方法求值域;（4）含有sinx cosx,sin xcosx的函數(shù)可通過換元求解 .三、問題的佐證由自變量的范x 0,可得：cosx 1.0,1)1 2若函數(shù)表達(dá)式中只含有正弦函數(shù)或余弦函數(shù)，切它們次數(shù)是 2 時(shí)，一般

4、就需要通過配方或換元將給定的函數(shù)配方法若函數(shù)表達(dá)式中只含有正弦函數(shù)或余弦函數(shù)，切它們次數(shù)是 2 時(shí)，一般就需要通過配方或換元將給定的函數(shù)化歸為二次函數(shù)的最值問題來處理【例 1】函數(shù)y - _sin2x -3cosx - 3的最小值為（）.1A.2B . 0 C .- D 64【解析】本題可通過公式sin2x = l-cosax將函數(shù)表達(dá)式化為y讓-30兀+厶因含有CMX的二次式可換元令則一=配方得? 蘭才蘭1二當(dāng)A1時(shí) r 即【例 2】求函數(shù) y=5sinx+cos2x 的最值【分析】觀察三角函數(shù)名和角，其中一個(gè)為正弦，一個(gè)為余弦，角分別是單角和倍角，所以先化簡，使三角函數(shù)的名和角達(dá)到統(tǒng)一 2

5、2(5f【解析】y =5sin x +(1 2sin2x )= 2sin2x+5sinx+1 = 2 sin x-兀81 33Q-1 Esinx 1,. sin x = -1,x=2k , k乙ymin=-26216c 133,max-2416 8引入輔助角法C.f x = sinx -2cosx =-、5sinx-,其中：f，sin十5，當(dāng)函數(shù)fx“宀曲取得最大值時(shí):本題選擇C選項(xiàng).三利用三角函數(shù)的有界性338JIsin x =1. x = 2k ,k z, y2【例 3】設(shè)當(dāng) x - v 時(shí)，函數(shù)f x =sinx-2cosx取得最大值，則B.【解析】 利用輔助角公式可得:f， 2，則：c

6、o宀cos2k：22一55在三角函數(shù)中，正弦函數(shù)與余弦函數(shù)具有一個(gè)最基本也是最重要的特征一一有界性,利用正弦函數(shù)與余弦函4數(shù)的有界性是求解三角函數(shù)最值的最基本方法rr2rr【例 4】若向量a = (2sinot, 1 ), b = (cosot ,2sin a +m )(ot R卜【解析】丁乙=(2加久一1) = cos a.2SJDaER),且云丄示藥、2a+ -1,T垃E旳+E二用的最小值為21 &【例 5】求函數(shù)y =2C0SX 1的值域2cosx -1【分析】此為 y =aC0SX b型的三角函數(shù)求最值問題，分子、分母的三角函數(shù)同名、同角，這類三角函數(shù)ccosx d一般先化為部

7、分分式，再利用三角函數(shù)的有界性去解 .或者也可先用反解法，再用三角函數(shù)的有界性去解.2i解法一：原函數(shù)變形為y =1 +-，“cosx蘭1,可直接得到：y啟3或y2cosx13解法一：原函數(shù)變形為cosx- ，；cosx - 1，.2(y1) I絹四換元法sinx+cosx，與 sinxcosx 的函數(shù)，運(yùn)用關(guān)系式（sin x cosx f = 1 2sinxcosx，t 的二次函數(shù)去求最值，但必須要注意換元后新變量的取值范圍【例 6】求函數(shù)y二2sin x 1 2cosx 1的值域.【解析】y二2sin x 1 2cosx 1二4sin xcosx 2 sin x cosx 1(1ry_3或

8、y乞1.32 y-1對(duì)于表達(dá)式中同時(shí)含有般都可在三角函數(shù)中，正弦函數(shù)與余弦函數(shù)具有一個(gè)最基本也是最重要的特征一一有界性,利用正弦函數(shù)與余弦函5五利用基本不等式法利用基本不等式求函數(shù)的最值,要合理的拆添項(xiàng)，湊常數(shù)，同時(shí)要注意等號(hào)成立的條件，否則會(huì)陷入誤區(qū)令 sinx+cosx=t,貝Vsin xcosx =t2-1,其中t所以y=2t22t -1 =2lt1I 2丿【例 7】已知LABC中，sinA 2sinBcosC = 0,則tanA的最大值是（）【解析】suiAlsinBcosC =0,+ C5 + 2sinBcosC =0,/SsinBcosC+cosBsinC = 0,cosC工0,

9、cosB工0化為3tanB= -innC可得:2tan2l + 3ta?月_J_+3tan5六數(shù)形結(jié)合由于sin2x cos2x =1,所以從圖形考慮，點(diǎn)（cosx,sinx）在單位圓上，這樣對(duì)一類既含有正弦函數(shù)，又含有余弦函數(shù)的三角函數(shù)的最值問題可考慮用幾何方法求得【例 8】 求函數(shù)y竺冬0 x ：二的最小值2 cosx0 _ sin x【解析】法一：將表達(dá)式改寫成y,y 可看成連接兩點(diǎn) A（2,0）與點(diǎn)（cosx,sinx）的直線的斜率.由2 cosx于點(diǎn)（cosx,sinx）的軌跡是單位圓的上半圓（如圖），所以求 y 的最小值就是在這個(gè)半圓上求一點(diǎn)，使得相應(yīng)的直線斜率最小.設(shè)過點(diǎn) A 的

10、切線與半圓相切與點(diǎn) B,則kAB乞y0.5二33二可求得kAB= tan所以 y 的最小值為（此時(shí)x）.6333法二：該題也可利用關(guān)系式asinx+bcosx=. a2b2sinx亠i （即引入輔助角法）和有界性來求解 四、問題的解決1 .函數(shù)y =2sinx sinx cosx的最大值為()A.1,2B.,2 -1C.2D. 2【答案】An【解析】由題意，得y =2sinx sinx cosx二2sin x 2sinxcosx二sin2x - cos2x 1B.、-3D.4_33B為銳角，C為鈍角.血M =如（0 +（7）二tanJ + tacC1 tanBtanC 半當(dāng)且僅當(dāng)/爭(zhēng)寸取等號(hào).

11、-W1A的最大值是71 _ , 2 1；故選A.又點(diǎn)P位于函數(shù)y =sin2x的圖像上，所以sin2n- s二cos2s=丄 14丿2由此可排除選項(xiàng) C.故選 A.nn解法二：由可得，2s=2kn土一（kz）,s = kn土一（kz）.36再由s 0,可得s的最小值為上.故選 A.63在銳角ABC中，角代B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若_?空（0_92色A,cosB 、.3sinB = 2,b c 3in C則a - c的取值范圍（）A. B. 討3C. 子D.;3【答案】BcosB cosC 2 .3 sin A“口【解析】由題意可得：b c 3sin CccosB bcosC _ sinC

12、cosB sin BcosC sin B C _ 2、3 sin AbcbsinCbsinC3sin CP.若P位于函數(shù)A.t丄,s的最小值為nB26c.tJ,s的最小值為nD23【答案】Ans的最小值為一6ns的最小值為一3在函數(shù)y二sin7t2x -的圖像上,1可得t =2,這樣就可排除選項(xiàng)B,D.進(jìn)而可得點(diǎn)2.向左平移s s 0個(gè)單位長度得到點(diǎn)y二sin 2x的圖像上,貝9（）【解析】 解法一 （排除法）由點(diǎn)9，cosB+73si nB=2cosB+s in B =2s ini B+C21. A B二sin B3最大值,貝y COST =【答案】1【解析】/(x) = cos(x+25P

13、) )+2siDsm(x+?) = cos(x+)cos-sin(x+)sio-F2SID= cos(x+ )cos sinJD0 = co時(shí)JC+00)=cosx故函數(shù)/&)的最大值為1應(yīng)埴1 5.MBC的三個(gè)內(nèi)角為A,B,C，若A丄，則2cosB+sin2C的最大值為43【答案】32，兀f Jif Ji【解析】Q A,2cosB sin2C = -2cos A Csin2C = -2cosC -cos 2C414丿123故2cosB - sin2C的最大值為-，故答案為26.函數(shù)v=cosx2的最小值為.cosx 1-3【答案】3JITt 310：2,0*2石：A：2f2兀a c二

14、s in A si n C = si nA sin A13= ?sin A2cosA= 3sin A -2Tt313-(兀)Q:：A ,二一-2函數(shù)的最小值為2(1)求函數(shù)f X的最值及對(duì)稱軸方程;(2)若0,3，求函數(shù)f X的取值范圍.【答案】(1 )最大值為0，最小值為-2，x=k,k：=z； ( 2)-3_fx_0232【解析】由已知于6)=半曲2丸弋空 cos2x1 = sin I 2x- | 1?22I 6丿因?yàn)閤ei?,所以一1壬品( (2兀一彳卜1：則/(兀)的最大值為0,最小值為一2.令2x-=k+-?解得兀=竺+蘭盤FS,6223(2)因?yàn)樗?、王,所則一蘭/(英疋02 6

15、 6 6 2 6 / 28.設(shè)ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，ABC的面積S滿足4. 3S二a2 b2- c2.(1)求角 C 的值；(2)求sinB -cosA的取值范圍ni 1【答案】(1)C； (2)sinB -cosA,16122卄？ _2【解析】(1)coearmbga2b2c24,32abcosC4.31absinC,2tanC、33解法由y=COSXz|,得CoSX=,又 1WcosXV1, 1Wcosx- 1y-1y- 2V1.7.已知函數(shù)耳n2x22-cos X -(2)sin BCOSA二_cos i A 或者sini A一I 3丿cos A +王w f-1,1 I所以sinB -cosA壬-I3八2Icos6-B，因?yàn)锳吟，所以A