小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)算理的結(jié)構(gòu)及教學(xué)策略講解

1、小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)算理的結(jié)構(gòu)分析及教學(xué)策略江蘇省常州市局前街小學(xué) 蔣敏杰摘要：小學(xué)階段運(yùn)算能力的形成，主要圍繞“理解算理”“構(gòu)造算法”“解決問題”三個(gè)層面展開?！袄斫馑憷怼毙枰黄坪唵螌哟蔚闹v述及操作，借助意義連接，結(jié)構(gòu)貫通，類比聯(lián)系，模型構(gòu)造的過程，幫助學(xué)生在算法形成、技能建立中，認(rèn)識(shí)到算理對于運(yùn)算能力形成的重要性，從而達(dá)到循“理”入“法”，以“理”馭“法”，同步提升學(xué)生綜合能力。關(guān)鍵詞 算理，結(jié)構(gòu)分析，教學(xué)策略，建模計(jì)算是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)中最基本的技能和最基本的素質(zhì)，其在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有重要的地位，甚至有人將其及思維并稱為“數(shù)學(xué)的本質(zhì)”。德國教育學(xué)家赫爾巴特說：“所有比較確定的知識(shí)，都必須從計(jì)

2、算開始”。在小學(xué)階段，運(yùn)算能力（技能）的形成，主要通過“理解算理”“構(gòu)造算法”“解決問題”三個(gè)層面，體現(xiàn)在整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的口算和筆算中。其過程發(fā)展體現(xiàn)兩個(gè)顯著特點(diǎn)：一是集中學(xué)習(xí)及綜合應(yīng)用相融合，“理解算理”“構(gòu)造算法”的過程經(jīng)驗(yàn)成為學(xué)生初步應(yīng)用數(shù)學(xué)的方式，理解、分析、解決現(xiàn)實(shí)（數(shù)學(xué)）問題的基礎(chǔ)；二是“理解算理”及“構(gòu)造算法”的螺旋交互，學(xué)生運(yùn)算技能的形成，一般均經(jīng)歷從算理直觀到算法抽象的過程，由解決具體問題的方法內(nèi)化，實(shí)現(xiàn)對計(jì)算技能、內(nèi)容本質(zhì)的內(nèi)涵理解，同步形成豐富運(yùn)算建模的方式及一般方法，為后續(xù)數(shù)學(xué)認(rèn)知及基本思想方法的形成奠定基礎(chǔ)。新課程推進(jìn)以來，數(shù)學(xué)教師對于運(yùn)算能力提升的認(rèn)識(shí)，經(jīng)歷了簡單

3、“算法”、技能“訓(xùn)練”向“算理”“算法”協(xié)同發(fā)展的教學(xué)思維轉(zhuǎn)變，教學(xué)研究的側(cè)重點(diǎn)同步聚焦在“算法”及“算理”的融合，力圖講清“算理”，還原形式化“算法”的本質(zhì)。但具體運(yùn)算的“算理”是什么？如何“講清”“算理”？“算理”及“算法”如何螺旋交互，如何綜合地體現(xiàn)于具體的計(jì)算學(xué)習(xí)過程一系列的問題也是現(xiàn)實(shí)中困擾像我這樣的一線教師的問題，思考不清、定位不準(zhǔn)、方式不活，使得有些時(shí)候計(jì)算教學(xué)仍停滯于具體計(jì)算的“技能”形成層面，而無法觸及或較少涉及基于“算理”解讀的“算法”提煉及應(yīng)用。如何在幫助學(xué)生理解“算理”的基礎(chǔ)上，提升運(yùn)算能力，是小學(xué)計(jì)算教學(xué)的基本任務(wù)。 一、小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算中“算理”的認(rèn)識(shí)?！八憷怼痹跀?shù)學(xué)的

4、定義上，是指四則計(jì)算的理論依據(jù)，它是由數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定律等內(nèi)容構(gòu)成的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論知識(shí)，其內(nèi)涵包括數(shù)和運(yùn)算的意義，運(yùn)算的規(guī)律和性質(zhì)。如果說算法是解決“怎樣計(jì)算”的問題，是一種經(jīng)過壓縮的、一般化的計(jì)算程序，那么算理則是說明“為什么這樣算”的數(shù)學(xué)原理，其為學(xué)生形成可操作化的計(jì)算，提供了正確可靠的數(shù)學(xué)依據(jù)及思維過程，是學(xué)生運(yùn)算能力形成及提高的有力支撐。“計(jì)算教學(xué)既需要讓學(xué)生在直觀中理解算理，也要讓學(xué)生掌握抽象的法則，更需要讓學(xué)生充分體驗(yàn)由直觀算理到抽象算法的過渡和演變過程 侯正海在理解算理的基礎(chǔ)上構(gòu)建算法J小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2010（7、8）。”理清算理、對其進(jìn)行整體的深層理解，才能真正促進(jìn)學(xué)生對具體算

5、法產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的綜合認(rèn)識(shí)。從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的角度來看，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)不斷探究、不斷提高思維能力的過程。對“算理”的理解及表述，除了作用于具體計(jì)算“算法”的形成及提升，更是學(xué)生數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的外顯形式，是學(xué)生提升數(shù)學(xué)的思維方式的有效平臺(tái)。從數(shù)學(xué)知識(shí)獲得的過程上分析，“算理”探究及理解，可幫助教師及學(xué)生共同聚焦于抽象的形式化地?cái)?shù)學(xué)問題解決，并在分析“為什么”的過程中實(shí)現(xiàn)由經(jīng)驗(yàn)表述到形式化原理認(rèn)識(shí)具體算法抽象。從數(shù)學(xué)建模的角度來講，“算理”認(rèn)知的過程是“材料感知、提出問題探究感悟，理解算理聚類抽象，形成算法相互轉(zhuǎn)化，意義內(nèi)化 吳亞萍中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)課型研究M福建：福建教育出版社，2014：252

6、”過程的重要一環(huán)，其本質(zhì)也是學(xué)生對計(jì)算本質(zhì)內(nèi)涵的理解、逐步生成及應(yīng)用的過程。如此，小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中的算理理解及內(nèi)化除了一般意義上服務(wù)于構(gòu)造算法外，還需關(guān)注算理本身對于“計(jì)算”的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，從而達(dá)到循“理”入“法”，以“理”馭“法”。 二、小學(xué)計(jì)算教學(xué)中“算理”認(rèn)識(shí)的整體分析小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中計(jì)算主要涉及三個(gè)領(lǐng)域，四種運(yùn)算，即整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的加、減、乘、除運(yùn)算及四則混合運(yùn)算。閱讀分析小學(xué)階段各年級計(jì)算學(xué)習(xí)的結(jié)構(gòu)體例，“算理”的體驗(yàn)及理解主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：從“算理”的呈現(xiàn)方式上看，低年級側(cè)重借助實(shí)物圖、主題圖、數(shù)學(xué)工具（小棒、計(jì)數(shù)器等），借助生活經(jīng)驗(yàn)及簡單數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)歷操作活動(dòng)，直觀理解算

7、理。比如通過操作小棒的“合并”“分拆”“重組”理解百以內(nèi)加、減法計(jì)算。中年級側(cè)重借助以學(xué)生原有的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，借助概念、定律等，通過“優(yōu)化”“再構(gòu)”等初步數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)，理解算理，比如二位數(shù)乘一位數(shù)豎式的理解。高年級側(cè)重于結(jié)合數(shù)及形的結(jié)合，以數(shù)量關(guān)系為突破，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行簡單抽象、歸納，比如分?jǐn)?shù)乘法中計(jì)算中分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算理認(rèn)識(shí)。從“算理”的引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)方式上看，低年級整數(shù)加、減法計(jì)算，主要借助于學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的再現(xiàn)及應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生將生活化經(jīng)驗(yàn)提煉成數(shù)學(xué)化的表達(dá)及應(yīng)用，幫助學(xué)生在建立“位值制”原則的基礎(chǔ)上進(jìn)行引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，其注重基于自我經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)化方式。中年段整數(shù)乘、除法的學(xué)習(xí)主要以具體的簡單實(shí)際問題為載體，引導(dǎo)學(xué)生

8、將“位值制”原則進(jìn)行整合及再構(gòu)，其注重基于自我“再創(chuàng)造”基礎(chǔ)上的理解。高年段“小數(shù)、分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）”計(jì)算中則側(cè)重于借助知識(shí)的有效遷移及類比，注重“算理”的“形”及“質(zhì)”的溝聯(lián)式理解。即從計(jì)算過程的具體形象思維逐步過度到抽象思維。從“算理”理解及“算法”形成的結(jié)構(gòu)關(guān)系上看，低年級“算理”以操作為主，結(jié)合數(shù)的意義和四則運(yùn)算意義的概念學(xué)習(xí)，同步于具體的“算法”，即將“算理”及“算法”融合于計(jì)算技能的形成過程之中。中年級“算理”的認(rèn)識(shí)是半抽象的過程，以“位值制”為基礎(chǔ)，結(jié)合豎式的抽象產(chǎn)生過程，形成基于“算理”認(rèn)識(shí)上的“算法”構(gòu)造及應(yīng)用。高年級“算理”的理解則圍繞數(shù)學(xué)思想及基本原理的應(yīng)用，體現(xiàn)個(gè)人“算法

9、”建構(gòu)中的知識(shí)遷移、類比及發(fā)現(xiàn)，“算理”及“算法”呈現(xiàn)多次的螺旋交互。因此就橫向計(jì)算類型（口算、估算、筆算）豐富性上分析，無論是簡單整數(shù)加、減法口算還是復(fù)雜的整數(shù)四則運(yùn)算計(jì)算，“算理”的理解中，數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定律始終融于具體的運(yùn)算能力的形成過程中（見結(jié)構(gòu)圖）馬立平小學(xué)數(shù)學(xué)的掌握和教學(xué)M上海：華東師范大學(xué)出版社，2011：18，44，76（略有修改）。10以內(nèi)加減法20以加減法100以內(nèi)加減法進(jìn)位及退位10的分及合加減法互為逆運(yùn)算位值制（十進(jìn)制）不進(jìn)位、不退位加減法二、三位數(shù)加減法圖一：整數(shù)加、減法結(jié)構(gòu)圖加減法意義一位數(shù)乘法數(shù)的組成乘法的意義二位數(shù)乘法三位數(shù)乘法分配律位值制概念圖二：整數(shù)乘法結(jié)

10、構(gòu)圖從圖中可以看出，整數(shù)加、減、乘法中“位值概念”及“運(yùn)算意義侯正海在理解算理的基礎(chǔ)上構(gòu)建算法J小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2010（7、8）”是整數(shù)加、減、乘法運(yùn)算“算理”的基礎(chǔ)。從縱向計(jì)算的拓展性（整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)）上分析，“算理”的理解呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)化特征。即“算理”的理解不是對孤立的某個(gè)運(yùn)算的理解，而是及其他內(nèi)容相融合，并呈現(xiàn)循環(huán)向上的結(jié)構(gòu)特征，把握結(jié)構(gòu)，將有助于引導(dǎo)學(xué)生對“算理”的深化理解及主動(dòng)剖析。整數(shù)加、減法小數(shù)加、減法位值概念類比遷移整數(shù)乘、除法小數(shù)乘、除法位值概念化歸思想圖三 小數(shù)四則運(yùn)算結(jié)構(gòu)圖加法意義整數(shù)乘法意義分?jǐn)?shù)乘法的意義分?jǐn)?shù)除法的意義分?jǐn)?shù)的概念運(yùn)算律及運(yùn)算性質(zhì)單位的概念整數(shù)乘法意義逆運(yùn)算

11、的概念圖四 分?jǐn)?shù)乘、除法運(yùn)算結(jié)構(gòu)圖轉(zhuǎn)化從圖中可以看出，小數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算的“算理”一方面來源于對數(shù)概念的意義引申，借助“形”及“式”的結(jié)合，幫助學(xué)生直觀理解，另一方面數(shù)學(xué)思想有機(jī)融于“算理”的分析中，學(xué)生的“算理”分析借助化歸思想、類比思想、推理能力等的滲透，綜合體現(xiàn)于具體問題的分析解決之中。三、小學(xué)計(jì)算教學(xué)中“算理”理解的教學(xué)策略1融合“數(shù)概念”“運(yùn)算意義”的意義認(rèn)識(shí)，為理解“算理”提供基礎(chǔ)保障。計(jì)算技能、運(yùn)算能力的形成依賴于學(xué)生對于“數(shù)”“數(shù)的意義”的認(rèn)識(shí)。因此蘇教版教材在編排中將計(jì)算教學(xué)及數(shù)概念、運(yùn)算意義的教學(xué)融為一體，體現(xiàn)“算理”及“算法”的無縫對接。數(shù)概念是按照10以內(nèi)、20以內(nèi)、

12、100以內(nèi)、萬以內(nèi)的方式編排的，計(jì)算也是按照10以內(nèi)數(shù)的計(jì)算、100以內(nèi)數(shù)的計(jì)算、萬以內(nèi)數(shù)的計(jì)算的方式編排。這樣，夯實(shí)對“數(shù)概念”“運(yùn)算意義”的清晰認(rèn)識(shí)，有助于使計(jì)算教學(xué)融于具體的問題解決情況中，實(shí)現(xiàn)兩者雙向通達(dá)式的互為補(bǔ)充，使學(xué)生對它們有整體性的認(rèn)識(shí)，形成較完整知識(shí)系統(tǒng)。比如“9加幾”的教學(xué)，是學(xué)生在學(xué)習(xí)了20以內(nèi)數(shù)后組織的學(xué)習(xí)活動(dòng)，教材主題圖呈現(xiàn)了如下情境：盒子里放著9個(gè)紅蘋果，盒子外放了4個(gè)綠蘋果，啟發(fā)學(xué)生思考“一共有多少個(gè)？”學(xué)生通過主題圖的認(rèn)識(shí)，借助“加法意義”理解，認(rèn)識(shí)到“一共有多少個(gè)”，就是將兩種蘋果合并起來，用加法計(jì)算。9+4可以從加法的基數(shù)意義理解，從第一個(gè)開始依次數(shù)完；也可

13、以從加法的序數(shù)意義入手，即從9個(gè)開始數(shù)起，依次數(shù)完盒子外的蘋果。數(shù)一數(shù)的方法及加法意義相融合，同步揭示9+4的算理。然后，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考，“可以有更快捷的方法嗎？”這樣學(xué)生就需要對計(jì)算方法進(jìn)行優(yōu)化，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察盒子里一共有10格，再放一個(gè)正好放滿，正好是10個(gè)，再加剩下的3個(gè)，一共是13個(gè)蘋果，學(xué)生借助對“合并”過程的理解，體驗(yàn)到具體數(shù)數(shù)過程中“湊十法”的原理及意義，這也是學(xué)生后續(xù)進(jìn)行計(jì)算中的重要“算理”體現(xiàn)。其后再進(jìn)行形式化的“分解”，即用算式來表達(dá)算理，結(jié)合“滿十進(jìn)一”的計(jì)數(shù)原則，進(jìn)一步提升學(xué)生對于“湊十法”的理解及應(yīng)用。如此，“理解算理”及“構(gòu)造算法”有機(jī)結(jié)合，20以內(nèi)

14、進(jìn)位加法的“算法”建立通過整數(shù)概念、加法運(yùn)算意義的形成“算理”理解，數(shù)的概念及計(jì)算原理的交互融合，對于學(xué)生形成合理的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、方法結(jié)構(gòu)是十分有益的。2完善直觀操作表象操作抽象分析的過程提升，為理解“算理”提供思維支撐。小學(xué)階段，尤其是低年級小學(xué)生的思維特點(diǎn)以具體形象思維為主，有意注意時(shí)間短，記憶主要是短時(shí)記憶。因此計(jì)算教學(xué)中“算理”理解應(yīng)充分考慮學(xué)生的年齡特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合具體的情境，觀察具體學(xué)習(xí)對象，調(diào)動(dòng)學(xué)生手、腦、口等各種感官參及，借助“小棒”“計(jì)數(shù)器”等數(shù)學(xué)工具，通過直觀操作活動(dòng)將抽象的算理形象地顯現(xiàn)出來，為算法的構(gòu)建提供原型支撐。比如“139”教學(xué)時(shí)，可讓學(xué)生試著動(dòng)手“去一去”，使學(xué)生

15、在呈現(xiàn)及交流不同“去”的方式中，體會(huì)“破十法”和“做減想加”的算理。又如整數(shù)除以分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)中，教師以直觀的操作結(jié)果啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)4÷和4×2之間的聯(lián)系，在學(xué)生初步感悟分?jǐn)?shù)除以整數(shù)及乘法之間的聯(lián)系后，進(jìn)一步指導(dǎo)學(xué)生在圖形中分一分，經(jīng)歷平均分的操作活動(dòng)，利用直觀的操作結(jié)果發(fā)現(xiàn)4÷=4×3，4÷=4×4，從而在具體操作中初步形成形象化的算理認(rèn)識(shí)。直觀操作可幫助學(xué)生“感悟”算理，但對于“算理”的理解卻不能僅停于直觀操作，還需向“表象操作”“思維表征”過渡。即算理理解需逐步深入，“直觀”的成分應(yīng)逐步減少，逐步引導(dǎo)學(xué)生擺脫對具體形象的依賴，在豐富的數(shù)

16、學(xué)活動(dòng)中，經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程中，不斷提高思維的水平，學(xué)會(huì)抽象地思考問題。比如“13-9”的直觀操作后，要引導(dǎo)學(xué)生變化不同20以內(nèi)的數(shù)減9情況，嘗試用計(jì)數(shù)器、數(shù)學(xué)語言，抽象算式來表達(dá)算理；在“整數(shù)除以分?jǐn)?shù)”教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考：“如果除數(shù)是這樣的非分?jǐn)?shù)單位又如何來說清算理呢”？啟發(fā)學(xué)生聯(lián)系上面的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，用畫圖、數(shù)學(xué)驗(yàn)證、表達(dá)等方式再次進(jìn)行觀察及分析，進(jìn)一步明確整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的算理，同步形成算法。從直觀操作到表象操作再到抽象分析，在算理剖析的過程中，一方面要以操作的過程及經(jīng)驗(yàn)推理算理的直觀理解；另一方面，也要重視由算法向具體操作的“反思”，這樣雙向互通式的“形象”及“抽象”的結(jié)合，可以幫助

17、學(xué)生真正理解算理，構(gòu)建算法。3激活已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)，橫向意義聯(lián)接，為理解“算理”提供動(dòng)力源泉。小學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)、技能的習(xí)得及數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)積累是循序漸進(jìn)、螺旋上升的，學(xué)生運(yùn)算能力形成也是如此，先前計(jì)算的技能及經(jīng)驗(yàn)是后繼計(jì)算能力形成的基礎(chǔ)。因此在新的計(jì)算學(xué)習(xí)上，尤其是“算理”的認(rèn)識(shí)活動(dòng)中，應(yīng)注重激活學(xué)生已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)，并將新計(jì)算的“算理”理解及解晰建立在及原有相關(guān)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展及聯(lián)系的基礎(chǔ)之上，使得新舊知識(shí)得以在多角度、多側(cè)面共通，并在靈活應(yīng)用這些知識(shí)過程中，理解新產(chǎn)生的“算理”，使得“算理”在學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中“扎根”。比如口算是在“位值制概念”及運(yùn)算意義的基礎(chǔ)上直接形成的“算理”認(rèn)識(shí)及應(yīng)用，筆算的“算理

18、”則是由口算演化形成的“規(guī)范”過程，復(fù)雜筆算又是在簡單筆算基礎(chǔ)上延伸及發(fā)展的。而分?jǐn)?shù)加減法算理來源于整數(shù)運(yùn)算的類推，分?jǐn)?shù)乘、除法的算理則來源于分?jǐn)?shù)乘、除法意義。因此，從整體結(jié)構(gòu)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)上分析，教師需要明確每種計(jì)算在整體計(jì)算學(xué)習(xí)中的節(jié)點(diǎn)地位，從整體發(fā)展的角度，在不同“算理”的認(rèn)識(shí)節(jié)點(diǎn)激活相應(yīng)的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)，通過橫向意義的聯(lián)系，使“算理”理解成為一個(gè)整體綜合地內(nèi)循環(huán)過程。對已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)的“再構(gòu)”，生成“算理”的理解?！八憷怼钡母形?、理解是學(xué)生構(gòu)造算法的基礎(chǔ)，而算理背后的原理認(rèn)識(shí)則是通過具體的認(rèn)識(shí)活動(dòng)逐步清晰的，因此對于“算理”的理解，教師一方面要對學(xué)生的知識(shí)、能力作全面的了解，另一方面也要對教材

19、內(nèi)容作細(xì)致的分析，巧設(shè)新舊知識(shí)的矛盾沖突，引導(dǎo)學(xué)生走進(jìn)問題情境，讓學(xué)生在參及中找出新舊知識(shí)的連接點(diǎn)，感悟、理解中“再構(gòu)”認(rèn)識(shí)算理，并最終形成計(jì)算的新方法。以典型的“12×3”教學(xué)為例，教師借助主題圖的觀察，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究，在多種引導(dǎo)方式中，學(xué)生形成對二位數(shù)乘一位數(shù)“算理”的逐層理解。第一層次：乘法的意義結(jié)合操作活動(dòng)，激活學(xué)生原有認(rèn)知：“12×3的實(shí)質(zhì)就是求3個(gè)12的和是多少”。第二層次：“合并”的引入學(xué)生借助“位值概念”，進(jìn)行數(shù)的有機(jī)“分拆”，使學(xué)生理解計(jì)算12×3時(shí)，可以先算3個(gè)10是30，3個(gè)2是6，再把30及6合起來就是36。通過上述兩個(gè)層次的原有知識(shí)、經(jīng)

20、驗(yàn)的激活及發(fā)展，學(xué)生對于12×3的“算理”形成初步自我認(rèn)識(shí)的體驗(yàn)。在此基礎(chǔ)上，教師及時(shí)對已有分項(xiàng)計(jì)算過程及豎式進(jìn)行意義聯(lián)接，使學(xué)生理解豎式中“位值”的表示方式，即3乘十位上的1結(jié)果是30，從而使學(xué)生明確“3為什么在十位的意義”，產(chǎn)生“0可不可以不寫”的思考，為進(jìn)一步豎式的優(yōu)化奠定認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)。 由“算法”應(yīng)用的展開，反向深化理解“算理”。當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷自我學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)體驗(yàn)，直觀理解“算理”，初步抽象算法，形成認(rèn)識(shí)后，并非就能形成較完整地“算理”理解，一般情況下，此時(shí)學(xué)生的“算理”理解仍處理形象化的直觀認(rèn)識(shí)階段。這時(shí)，老師就需要借助一定的數(shù)學(xué)問題，幫助學(xué)生在應(yīng)用中加深認(rèn)識(shí)，通過“算法”應(yīng)用的實(shí)踐反

21、思，對“算理”進(jìn)行綜合化提煉，在算法應(yīng)用中深化理解算理。比如異分母分?jǐn)?shù)加減法教學(xué)中，教師通過畫圖、折紙等方式引導(dǎo)學(xué)生從“統(tǒng)一計(jì)數(shù)單位（分?jǐn)?shù)單位）”的角度得出異分母分?jǐn)?shù)加法的算理后，可順應(yīng)學(xué)生思維發(fā)展的線索，指導(dǎo)學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中主動(dòng)探索及歸納，將算理遷移應(yīng)用到異分母減法計(jì)算中，一方面用減法驗(yàn)證加法，另一方面通欣賞、改錯(cuò)、估計(jì)、拓展等豐富的練習(xí)，幫助學(xué)生反向深入理解算理。因此初步理解算理后，不應(yīng)立刻進(jìn)行抽象的算法演練，可以讓學(xué)生繼續(xù)通過操作、看圖，直觀地進(jìn)行計(jì)算，在計(jì)算應(yīng)用中加深對算理的理解，再逐步脫離形象，形成抽象的算法，在鞏固應(yīng)用中形成問題具體化下的“算理”理解，同步實(shí)現(xiàn)“算理”及“

22、算法”的深層溝通。4注重“算理”遷移、類比及拓展，為“算法”解構(gòu)提供“再創(chuàng)造”平臺(tái)。北京師范大學(xué)周玉仁教授對小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程曾這樣闡述：小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)激活、利用、調(diào)整、積累、提升的過程，是“對生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象的解讀”，是“建立在經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上的一個(gè)主動(dòng)建構(gòu)的過程”。從主動(dòng)建構(gòu)的過程看，計(jì)算教學(xué)同樣需要經(jīng)歷過程體驗(yàn)，感受知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，尤其注重“算理”中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法的主動(dòng)遷移、類比，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)個(gè)性化的再創(chuàng)造。同化順應(yīng)，促進(jìn)“算理”理解上的“算法”構(gòu)造理解。同概念形成的一般規(guī)律一致，“算法”的認(rèn)識(shí)過程也涉及形成及同化兩個(gè)方面。形成階段學(xué)生經(jīng)歷對具體數(shù)學(xué)現(xiàn)象的觀察，對特定（特殊）

23、問題進(jìn)行分析，從而形成對操作規(guī)范的形象感知；同化階段學(xué)生經(jīng)歷豐富素材的比較過程，教師聚焦不同現(xiàn)象中的相似性，幫助學(xué)生對“算理”進(jìn)行主體性構(gòu)造分析，實(shí)現(xiàn)具體特殊原理向一般化的轉(zhuǎn)化。因此教學(xué)中，教師要選擇具有典型特征的現(xiàn)象，啟發(fā)學(xué)生從多種角度（式、圖等）進(jìn)行分析，借助豐富個(gè)案的溝通，幫助學(xué)生對“算理”體驗(yàn)及理解。比如小數(shù)乘法教學(xué)中，0.8（元/千克）×3（千克）就是通過買賣問題中“貨幣單位”的轉(zhuǎn)換獲得最初地直觀認(rèn)識(shí)，進(jìn)而結(jié)合“位值制”原則，啟發(fā)學(xué)生借助已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分析，并在多個(gè)例證中的應(yīng)用中使學(xué)生對于整數(shù)乘小數(shù)的“算理”及整數(shù)乘法“算理”相通，明晰“轉(zhuǎn)化”原理，形成意義建構(gòu)。 模式識(shí)別，

24、促進(jìn)學(xué)生在“算理”關(guān)聯(lián)遷移中形成“算法”?！翱吹揭皇挛锬苈?lián)想到那兒，有時(shí)是很奇怪的沒有規(guī)律可循的，但就理解了問題的實(shí)質(zhì)”劉紹學(xué)談?wù)劼?lián)想數(shù)學(xué)通報(bào)J，1997，6（封2）從學(xué)生運(yùn)算能力的形成過程上看，主動(dòng)把握具體計(jì)算的“算理”內(nèi)涵，識(shí)別其主要特征，展開意義聯(lián)接，進(jìn)行主動(dòng)遷移、類比推理，能為學(xué)生有效地形成“新算法”，進(jìn)行結(jié)構(gòu)建模提供幫助。具體體現(xiàn)在教師要幫助學(xué)生分析不同形式算法中算理的內(nèi)在聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)“算理、算法”的整體認(rèn)識(shí)。比如五年級小數(shù)乘法計(jì)算中，實(shí)現(xiàn)小數(shù)及整數(shù)乘法的聯(lián)系是學(xué)生理解算法，解構(gòu)算法的重要環(huán)節(jié)。教學(xué)中教師可借助具體情境，引導(dǎo)學(xué)生嘗試解決相關(guān)的問題，在問題解決中進(jìn)行類比、“算法”遷移，順

25、應(yīng)內(nèi)在聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)整體運(yùn)算能力的拓展延伸。其一，類比類型。小數(shù)乘法及整數(shù)乘法位值制一致，運(yùn)算一致，即為十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。同時(shí)演化涉及加、減、除。向前及加減法聯(lián)系，向后為小數(shù)除法溝聯(lián)作準(zhǔn)備。其二，類比算理。小數(shù)乘法及整數(shù)乘法相對應(yīng)，在具體的情境解瘊中體現(xiàn)“轉(zhuǎn)化”思想，即可將小數(shù)計(jì)算轉(zhuǎn)化為整數(shù)計(jì)算。其三，類比運(yùn)算律。小數(shù)乘法及整數(shù)乘都體現(xiàn)一般運(yùn)算律，在運(yùn)算中可結(jié)合數(shù)據(jù)特點(diǎn)進(jìn)行簡算。其四，類比應(yīng)用。小數(shù)乘法及整數(shù)乘法的實(shí)際問題結(jié)構(gòu)一致，都可以通過相關(guān)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行關(guān)系分析。以上四合為一，即將小數(shù)及整數(shù)乘法運(yùn)算相融合，實(shí)現(xiàn)兩者的運(yùn)算結(jié)合。同時(shí)，學(xué)生在認(rèn)識(shí)中進(jìn)一步強(qiáng)化了結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)，由易到難、由簡到繁，漸進(jìn)地由一個(gè)

26、小數(shù)乘法知識(shí)點(diǎn)，聯(lián)系到后繼計(jì)算問題的結(jié)構(gòu)化，為實(shí)現(xiàn)“運(yùn)算能力”的綜合提升提供經(jīng)驗(yàn)。逐層分析 從模型視角實(shí)現(xiàn)“算理”再創(chuàng)造“算”是“思”的外衣，“算理”教學(xué)就要是引導(dǎo)學(xué)生撥開外衣，探尋實(shí)質(zhì)?！八憷怼钡膽?yīng)用不能僅停留于“會(huì)算”的階段，按照算法規(guī)則進(jìn)行邏輯推理而獲得正確結(jié)果僅僅是計(jì)算的一個(gè)方面，更重要的，在計(jì)算能力中包含著對算法的構(gòu)造、設(shè)計(jì)、選擇曹才翰 章建躍數(shù)學(xué)教育心理學(xué)【M】北京：北京師范大學(xué)也版社，2007：30。因此從形象的計(jì)算，到抽象的算理解構(gòu)需要突出算理的合理性，通過逐步的漸進(jìn)式的“解剖”及“深挖”，從而實(shí)現(xiàn)對于“算理”個(gè)性化理解后的“再創(chuàng)造”。以異分母分?jǐn)?shù)加減法為例，教材為學(xué)生“算理”

27、理解提供了較豐富的實(shí)踐素材，學(xué)生通過主題圖引領(lǐng)下的直觀操作，在“數(shù)”及“形”協(xié)同中，獲得統(tǒng)一分?jǐn)?shù)單位后才能進(jìn)行計(jì)算的初步直觀感悟。隨后以具體分?jǐn)?shù)意義、通分意義等切入“原理”，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)“創(chuàng)造”“化異為同”的策略。值得進(jìn)一步思考的是，此時(shí)的“化異為同”，即統(tǒng)一計(jì)數(shù)單位（分?jǐn)?shù)單位）不僅有呈現(xiàn)形式的異中求同，也有表達(dá)方式的異中求同。異分母分?jǐn)?shù)加減法不僅是要讓學(xué)生知道“算理”后會(huì)算，還需要引導(dǎo)學(xué)生拓展“算理“，形成基于數(shù)據(jù)分析之上的多元計(jì)算途徑選擇，幫助學(xué)生打開思路，激發(fā)對計(jì)算本身的探究樂趣。這樣，“直觀操作式的探究”需要向不同問題情境的逐層變化推理轉(zhuǎn)變，逐步建立整體的“算理”認(rèn)識(shí)。在本課的推進(jìn)中，我設(shè)計(jì)了三個(gè)不同層次的活動(dòng)。其一是直觀操作及“算理”抽象同步，借助經(jīng)驗(yàn)遷移，幫助學(xué)生對異分母加減法“算理”進(jìn)行多元解構(gòu)，啟發(fā)學(xué)生從多個(gè)角度解決問題的意識(shí)及思想；其二在練習(xí)中，抓住 四組計(jì)算問題的數(shù)據(jù)特點(diǎn)，在自主解決中幫助學(xué)生感悟基于數(shù)據(jù)特點(diǎn)下計(jì)算方法的優(yōu)選、甄別過程，實(shí)現(xiàn)運(yùn)算技能及數(shù)理邏輯思維的提升；其三在拓展中發(fā)散學(xué)生思維，通過特定探索性問題，幫助學(xué)生進(jìn)一步打開思路，實(shí)現(xiàn)內(nèi)容向課外研究延伸。三個(gè)層次逐層推進(jìn)，聚焦于學(xué)生在計(jì)算中基于“算理”理解上的思維發(fā)展及建構(gòu)，使學(xué)生在不同問題情境中展開探索，進(jìn)而逐步實(shí)現(xiàn)規(guī)則建構(gòu)。對“算理”的“解剖”及“深挖”同樣也離不開對問題構(gòu)