隨機誤差實用教案

1、隨機誤差性質(zhì)(xngzh)：原因(yunyn)：對稱性有界性抵償(dchng)性單峰性絕對值相等的正負誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多隨機誤差絕對值不會超過一定程度當(dāng)測量次數(shù)足夠多時，隨機誤差算術(shù)平均值趨于0裝置誤差、環(huán)境誤差、人員誤差統(tǒng)計分析、計算處理 減小處理：第1頁/共24頁第一頁，共24頁。數(shù)據(jù)處理：算術(shù)(sunsh)平均值法表述(bio sh)：x1, x2, xn - 測量(cling)數(shù)據(jù)原理： 多次重復(fù)測量時，取全部測量數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值為測量結(jié)果 niinxnnxxxx1211無限多次測量算術(shù)平均值作為真值的理論依據(jù) 概率論的大數(shù)定理最佳估計的意義滿

2、足無偏性、有效性、一致性滿足最小二乘原理在正態(tài)分布條件下，滿足最大似然原理第2頁/共24頁第二頁，共24頁。使用場合(chng h)：（1）在測量次數(shù)不同時進行對比測量。（2）用不同精度的儀器等進行比對測量。 不等權(quán)測量(cling) 不同的測量(cling)儀器，不同的測量(cling)條件，不同的測量(cling)方法，不同的測量(cling)次數(shù)，不同的測量(cling)人員等。 測量測量結(jié)果的可靠程度用數(shù)值表示，這數(shù)結(jié)果的可靠程度用數(shù)值表示，這數(shù)值稱為該測量結(jié)果的值稱為該測量結(jié)果的“權(quán)權(quán)”，記為，記為p p。第3頁/共24頁第三頁，共24頁。權(quán)的確定(qudng)原則按 測量條件的優(yōu)劣

3、(yu li)、 測量儀器和測量方法所能達到的精度高低、 重復(fù)測量次數(shù)的多少、 測量者水平的高低等因素確定權(quán)的大小。測量精度愈高，可靠性愈高，應(yīng)給予的“權(quán)”應(yīng)愈大。l測量條件和測量者水平皆相同，則重復(fù)測量次數(shù)(csh)愈多，其可靠程度也愈大，因此完全可由測量的次數(shù)(csh)來確定權(quán)的大小。結(jié)論：每組測量結(jié)果的權(quán)與其相應(yīng)的算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)論：每組測量結(jié)果的權(quán)與其相應(yīng)的算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差平方差平方成反比成反比。第4頁/共24頁第四頁，共24頁。加權(quán)算術(shù)(sunsh)平均值 若對同一被測量進行 組不等權(quán)測量，得到(d do) 個測量結(jié)果 ，設(shè)相應(yīng)的測量次數(shù)為 ，即12m,x xxL12m,n nn

4、L11miiimiip xxp11miimiiipxp第5頁/共24頁第五頁，共24頁。iizp x將不等權(quán)測量的各組測量結(jié)果 皆乘以自身權(quán)數(shù)的平方根 ，此時得到的新值z的權(quán)數(shù)就為1ixip用這種方法可以(ky)把不等權(quán)的各組測量結(jié)果皆進行了單位權(quán)化，使該測量列轉(zhuǎn)化為等權(quán)測量列。第6頁/共24頁第六頁，共24頁。單位(dnwi)權(quán) 具有同一方差 的等權(quán)單次測得值的權(quán)數(shù)為。若已知方差 ，只要確定各組的權(quán) ，就可分別(fnbi)求得各組的方差 。 測得值的方差 的權(quán)數(shù)為，故特稱等于的權(quán)為單位權(quán)，而 為具有單位權(quán)的測得值方差，s為具有單位權(quán)的測得值標(biāo)準(zhǔn)偏差。12222212mxxmxp sp sp

5、ssL12222212(1)mxxmxp sp sp spspL2sip2ixs2s2s2s第7頁/共24頁第七頁，共24頁。加權(quán)算術(shù)(sunsh)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差對同一(tngy)被測量進行m組不等精度測量，得到m個測量結(jié)果 若所有單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差均為s，12,Lmxxx1,2,Lixissimn 121Lxmmiisssnnnn 比較上面兩式,還可得由任意一組的算術(shù)(sunsh)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差，來求加權(quán)算術(shù)(sunsh)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差的公式為：11iiiixxxmmiiiinpsssnp各組算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為：加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為：第8頁/共24頁第八頁，共24頁。 上述由任意一組的標(biāo)

6、準(zhǔn)差來求加權(quán)算術(shù)平上述由任意一組的標(biāo)準(zhǔn)差來求加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差的公式，雖然是由所有單次測均值的標(biāo)準(zhǔn)差的公式，雖然是由所有單次測量量(cling)的標(biāo)準(zhǔn)差均為的標(biāo)準(zhǔn)差均為s（只是測量（只是測量(cling)次數(shù)不同）時推導(dǎo)出的，但也適合于其它情次數(shù)不同）時推導(dǎo)出的，但也適合于其它情況下的加權(quán)計算【具有普遍性】：況下的加權(quán)計算【具有普遍性】：1iixxmiipssp 第9頁/共24頁第九頁，共24頁。例題：對一鋼卷尺進行(jnxng)三組不等精度測量，其結(jié)果為1122332000.45,0.052000.15,0.202000.60,0.10 xxxxmmsmmxmmsmmxmmsmm 求：各

7、組測量(cling)結(jié)果的權(quán)、加權(quán)算術(shù)平均值、加權(quán)算術(shù)平均值的實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差。解：123222222123111111:16:1:4(0.05)(0.20)(0.10)xxxpppsss4, 1,16321ppp各組測量(cling)結(jié)果的權(quán)：加權(quán)算術(shù)平均值：1116 2000.451 2000.154 2000.602000.461614miiimiip xxp mm mm加權(quán)算術(shù)平均值的實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差為：1160.050.0441614iixxmiipssp mm mm第10頁/共24頁第十頁，共24頁。而不等權(quán)測量還可能出現(xiàn)第二種實際而不等權(quán)測量還可能出現(xiàn)第二種實際(shj)問題類型，問題類

8、型， 即：當(dāng)各組測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差為不可知時。即：當(dāng)各組測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差為不可知時。 miimixixpmvpi112) 1(xxvixi其中(qzhng)：m為測量組數(shù) pi為各測量組的權(quán)這時應(yīng)利用以下的公式(gngsh)計算：以上為不等權(quán)測量時可能出現(xiàn)的第一種實際問題類型， 即：當(dāng)各組測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差為可知時的計算分析方法。第11頁/共24頁第十一頁，共24頁。例2 工作基準(zhǔn)米尺在連續(xù)3天內(nèi)與國家基準(zhǔn)器比較(bjio)，得到工作基準(zhǔn)米尺的平均長度為 999.9425mm（3次測量的）；999.9416mm （2次測量的）；999.9419mm （5次測量的）；求：算術(shù)平均值及算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)

9、差。解：按測量次數(shù)(csh)來確定權(quán)ppp1233,2,5,11999.9425 3999.9416 2999.9419 5325999.9420miiimiip xxpmm 第12頁/共24頁第十二頁，共24頁。112211999.9425999.94200.00050.5999.9416999.94200.00040.4999.94219999.94200.00010.1xxxvxxmmmvxxmmmvxxmmm 211222(1)3 0.52 ( 0.4)5 ( 0.1)(31) (325)0.24imixixmiip vmpm 第13頁/共24頁第十三頁，共24頁。第四節(jié) 置信區(qū)間 2

10、112()Pxfx dxp 置信區(qū)間計算公式置信區(qū)間計算公式 測量(cling)總體的概率密度 置信概率或置信水平, 為顯著(xinzh)水平 期望值 下半置信區(qū)間寬度(kund)， 上半置信區(qū)間寬度(kund) 概率密度呈對稱分布的情形，常取 ( )f x12 12, ( )f xp12高置信水平下的置信區(qū)間半寬度又稱為極限誤差極限誤差1p 第14頁/共24頁第十四頁，共24頁。置信區(qū)間半寬度置信區(qū)間半寬度(kund)的常用的常用表示方法表示方法k ppk 或 或 置信(zhxn)因子 標(biāo)準(zhǔn)差 kpk確定置信區(qū)間半寬度的關(guān)鍵是在已估計(gj)標(biāo)準(zhǔn)差下如何確定置信因子 第15頁/共24頁第十五

11、頁，共24頁。一、正態(tài)分布的置信區(qū)間第16頁/共24頁第十六頁，共24頁。1、總體(zngt)標(biāo)準(zhǔn)差已知的情形()pP xk置信區(qū)間計算公式置信區(qū)間計算公式,kk 221exp22kkxdx202exp22ktdt2( ) 1k 置信區(qū)間半寬度置信區(qū)間半寬度(kund)(kund)為為( )ppxk(單次測量(cling)( )ppxkn(n次測量)2( ,)xN (0,1)xNn( ,)xNn 第17頁/共24頁第十七頁，共24頁。2、大樣本(yngbn)標(biāo)準(zhǔn)差已知的情形s置信因子(ynz)由 查表得到pk2 () 1ppk 總體(zngt)標(biāo)準(zhǔn)差未知，但已知大樣本標(biāo)準(zhǔn)差 置信概率或置信水平

12、p 正態(tài)積分函數(shù)，可查表獲得( )x( )ppxks(單次測量)( )ppxksn(n次測量)k2.03.02.580.990.010.9540.0461.960.950.051.6450.900.101.00.6830.3170.67450.50.5p0.99730.00273.300.9990.001第18頁/共24頁第十八頁，共24頁。3、小樣本(yngbn)標(biāo)準(zhǔn)差已知的情形 置信區(qū)間半寬度置信區(qū)間半寬度(kund)(kund)為為( (單次單次測量測量) ) ( )pxts ( )/pxtsn置信區(qū)間半寬度置信區(qū)間半寬度(kund)(kund)為為(n(n次次測量測量) )自由度 ，為

13、樣本容量 1nn 值可通過查 分布表得到， 為置信水平 pttp ( )xts ( )xtsn第19頁/共24頁第十九頁，共24頁。總結(jié)總結(jié)(zngji)大樣本小樣本單次測量 多次測量置信因子正態(tài)分布 t分布標(biāo)準(zhǔn)差單次測量標(biāo)準(zhǔn)差算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差第20頁/共24頁第二十頁，共24頁。1175.0175.0875.04510ixxn210.03030.030(mm)1isxxn用游標(biāo)卡尺對某一試樣尺寸(ch cun)測量10次，假定測量服從正態(tài)分布，并已消除系統(tǒng)誤差和粗大誤差，得到數(shù)據(jù)如下（單位mm）：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02

14、，75.05，75.08(1) 求算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差；(2) 求算術(shù)平均值的極限誤差（ =0.9973）。 【例例】【解解】(1) 分別(fnbi)計算0.0303( )0.0096(mm)10ss xnp第21頁/共24頁第二十一頁，共24頁。（2）先按小樣本(yngbn)估計，查 分布臨界值表, t0.9973(10 1)4.09t有0.9973( )(1) ( )4.09 0.00960.040()xtns xmm再按大樣本(yngbn)估計，查正態(tài)分布臨界值表， 0.99733.0k有0.9973( )( )3.0 0.00960.029()xks xmm綜上所述：（1）算術(shù)平均值是

15、處理等權(quán)測量(cling)數(shù)據(jù)的一個最佳估計量；（2）一般按貝塞爾公式計算和，樣本數(shù)時只能用最大誤差法計算；（3）算術(shù)平均值的極限誤差一般按確定。( )/s xsnss1n (1) ( )ptns x計算結(jié)果計算結(jié)果第22頁/共24頁第二十二頁，共24頁。思考(sko)與練習(xí)題 3-1 如果測量(cling)完全正相關(guān)，以測量(cling)次數(shù)為2的簡單情形，試證明其算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差仍與單次測量(cling)的標(biāo)準(zhǔn)差相同。3-2 什么是殘差？常用什么符號表示？它與誤差的定義有何不同？試驗證如下兩條性質(zhì)(xngzh)：（1）殘差之和等于零；（2）殘差的平方和滿足最小二乘原理，即有min)()(2xxxLi3-5 以下是甲乙兩人用同一臺儀器重復(fù)測同一個試樣3次所得的數(shù)據(jù) 甲：5