《高等數(shù)學(xué)》電子課件（自編教材）：04第六章 習(xí)題課

1、2微微 元元 法法理理 論論 依依 據(jù)據(jù)名稱釋譯名稱釋譯所求量所求量的特點(diǎn)的特點(diǎn)解解 題題 步步 驟驟定積分應(yīng)用中的常用公式定積分應(yīng)用中的常用公式一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容3（3）部分量）部分量iU 的近似值可表示為的近似值可表示為iixf )( ；1 1、微元法的特點(diǎn)、微元法的特點(diǎn)41)根據(jù)問(wèn)題的具體情況，選取一個(gè)變量例如根據(jù)問(wèn)題的具體情況，選取一個(gè)變量例如x為為積分變量，并確定它的變化區(qū)間積分變量，并確定它的變化區(qū)間,ba；2）取取典型典型區(qū)間區(qū)間,dxxx ，求出相應(yīng)于這小區(qū)，求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量間的部分量U 的近似值如果的近似值如果U 能近似地表能近似地表示為示為,ba上的一個(gè)連續(xù)

2、函數(shù)在上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)在x處的值處的值)(xf與與dx的乘積，就把的乘積，就把dxxf)(稱為量稱為量U的元素且記作的元素且記作dU，即，即dxxfdU)( ； 3）以以所所求求量量U的的元元素素dxxf)(為為被被積積表表達(dá)達(dá)式式，在在區(qū)區(qū)間間,ba上上作作定定積積分分，得得 badxxfU)(，即即為為所所求求量量U2 2、微元法的步驟、微元法的步驟53 3、定積分應(yīng)用的常用公式、定積分應(yīng)用的常用公式(1) 平面圖形的面積平面圖形的面積xyo)(xfy badxxfA)(xyo)(1xfy )(2xfy badxxfxfA)()(12AA直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形abab6如果曲邊梯形的曲邊

3、為參數(shù)方程如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程 )()(tytx 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 21)()(ttdtttA （其其中中1t和和2t對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)曲曲線線起起點(diǎn)點(diǎn)與與終終點(diǎn)點(diǎn)的的參參數(shù)數(shù)值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，)(ty 連連續(xù)續(xù).參數(shù)方程所表示的函數(shù)參數(shù)方程所表示的函數(shù)7 dA2)(21xo d )( r xo)(2 r)(1 r dA)()(212122極坐標(biāo)情形極坐標(biāo)情形8(2) 體積體積xdxx xyodxxfVba2)( dyyVdc2)( xyo)(yx cd9xo badxxAV)(xdxx ab平行截面面積為已知的立體的體積平

4、行截面面積為已知的立體的體積)(xA10(3) 平面曲線的弧長(zhǎng)平面曲線的弧長(zhǎng)xoyabxdxx dy弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)dxysba 21A曲線弧為曲線弧為 )()(tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)dttts )()(22)(xfy B曲線弧為曲線弧為11C曲線弧為曲線弧為)( )( rr 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng) drrs )()(2212(4) 細(xì)棒的質(zhì)量細(xì)棒的質(zhì)量oxdxx )(x xl lldxxdmm00)( (6) 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量abxyxdxx o babayydxxxdII)(2 )(為為線線密密度度x 13(7) 變力所作的功變力所作的功)(xFo

5、 abxdxx x babadxxFdWW)(8) 水壓力水壓力xyoabxdxx )(xf babadxxxfdPP)( )(為為比比重重 14(9) 引力引力xyxdxx oAl l llllyyxadxGadFF2322)( . 0 xF)(為引力系數(shù)為引力系數(shù)G(10) 函數(shù)的平均值函數(shù)的平均值 badxxfaby)(1(11) 均方根均方根 badxxfaby)(12151、試求由拋物線 和拋物線相切于縱坐標(biāo) 處的切線以及 軸所圍成的圖形的面積。122xy)(30yx二、典型例題二、典型例題解：拋物線 122xy)(處處的的切切線線方方程程在在30y)(2213xy如圖6-1，取，

6、,yyydyyydA)()(4212216例例2 2.;)(sincos體積體積體體它繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)它繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)它的弧長(zhǎng)它的弧長(zhǎng)它所圍成的面積它所圍成的面積求求星形線星形線已知已知000333210ataytaxa aoyx3023029964212dyyydyyyA)()()(17解解.10A設(shè)面積為設(shè)面積為由對(duì)稱性由對(duì)稱性,有有 aydxA04 0223)sin(cos3sin4dtttata 20642sinsin12dttta.832a .20L設(shè)弧長(zhǎng)為設(shè)弧長(zhǎng)為由對(duì)稱性由對(duì)稱性,有有 2022)()(4dtyxL 20sincos34tdtta.6a a aoyx18.V設(shè)

7、旋轉(zhuǎn)體的體積為設(shè)旋轉(zhuǎn)體的體積為03由對(duì)稱性由對(duì)稱性,有有 adxyV022 02262)sin(cos3sin2dtttata 20273)sin1(sin6dttta.105323a a aoyx193例例 設(shè)半徑為 的圓，其圓心在點(diǎn) 處 ， 求將此圓繞 軸旋轉(zhuǎn)一周而成一環(huán)體的體積。 r),(0R)(rR y方法一 由題意圓的方程為222ryRx)(2221yrRx,)(為積分變量為積分變量取取y1; ryr上上求求微微元元在在,)(yyy2dyxxdyxdyxdV)(21222122 dyyrRyrR)()(222222 dyyrR224 20積分積分)(3dyyrRVrr224 Rrdy

8、yrRr2222028 方法二 ,)(rRrRxx作作為為積積分分變變量量取取1上上求求微微元元在在,)(dxxx2ydxxdV22 xydx 4積分積分)(3dxRxrxxydxVrRrRrRrR2244)( dttrRtrrRtx224)( 令令RrdttrRr2222028 21方法三 用平面截面為已知求體積， xyorry)()(2122xxyA 224yrR rrdyyAV)(RrdyyrRrr222224 22方法四 環(huán)體的體積看作由曲邊梯形ABCDE繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體體積 與由曲邊梯形ABFDE繞 軸轉(zhuǎn)一周所得立體體積 之差得到， 如圖6-12。 y1Vy2V,dyxVrr2

9、21 dyxVrr212 dyxxVVVrr)(212221 RrdyyrRr2222028 23方法五 如圖6-11，取半徑為 圓的圓心繞 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)的弧長(zhǎng) 為積分變量rys,Rs 20上上在在,sssdsrdV2 RrdsrVR222022 24例例4 4?,)(;)()( .至少需作功多少至少需作功多少若再將滿池水全部抽出若再將滿池水全部抽出面上升的速度面上升的速度時(shí)水時(shí)水求在池中水深求在池中水深內(nèi)注水內(nèi)注水的半球形水池的半球形水池的流量往半徑為的流量往半徑為以每秒以每秒201RhhRaoxyRh解解如圖所示建立坐標(biāo)系如圖所示建立坐標(biāo)系.).()(RyRRyx0222半圓的方程為半圓的方程

10、為于是對(duì)半圓上任一點(diǎn)于是對(duì)半圓上任一點(diǎn),有有).()(RyyRyRyRx02222225時(shí)水池內(nèi)水的體積為時(shí)水池內(nèi)水的體積為為為的球缺的體積即水深的球缺的體積即水深故半球內(nèi)高為故半球內(nèi)高為的立體的立體軸旋轉(zhuǎn)而成軸旋轉(zhuǎn)而成圓繞圓繞因已知半球可看作此半因已知半球可看作此半hhy,)1(dyyRydyxhVhh02022)()( ,th時(shí)已注水的時(shí)間為時(shí)已注水的時(shí)間為又設(shè)水深又設(shè)水深,)(athV則有則有atdyyRyh022)( 即即得得求導(dǎo)求導(dǎo)兩邊對(duì)兩邊對(duì),t,)(adtdhhRh22 26故所求速度為故所求速度為.)(22hRhadtdh .)(所需的功所需的功水全部提升到池沿高度水全部提升到

11、池沿高度需的最小功即將池內(nèi)需的最小功即將池內(nèi)將滿池的水全部抽出所將滿池的水全部抽出所2的功約為的功約為所需所需降到降到抽水時(shí)使水位從抽水時(shí)使水位從dyyRyy )0()1(),(2水的比重水的比重 yRdyx,222yRyx 又又.)(2(2dyyRyRydW 即功元素即功元素27故將滿池水全部提升到池沿高度所需功為故將滿池水全部提升到池沿高度所需功為 RdyyRyRyW02)(2( RdyyRyyR0322)32(.44R 28例例5 5.,4,20,3050,的靜壓力的靜壓力求閘門一側(cè)所受的水求閘門一側(cè)所受的水米米頂部高出水面頂部高出水面如果閘門如果閘門米米高為高為米米米和米和分別為分別為

12、梯形的上下底梯形的上下底如圖所示如圖所示一等腰梯形閘門一等腰梯形閘門解解xyo164 xdxx AB如圖建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系,的方程為的方程為則梯形的腰則梯形的腰 AB.2321 xy此閘門一側(cè)受到靜水壓力為此閘門一側(cè)受到靜水壓力為29 160)2321(2dxxgxP 16023)233(xxg )25623409631( g g 67.4522 ).(1043. 47牛牛 30一、一、 選擇題：選擇題：1 1、 曲線曲線xyln 與直線與直線ex1 ，ex 及及0 y所圍成所圍成 的區(qū)域的面積的區(qū)域的面積 S（ ） ；） ；（A A）)11(2e ； （B B）ee1 ；（C C）ee

13、1 ； （D D）11 e . .2 2、曲線、曲線 sin2 r與與 2cos2 r所圍圖形公共部分所圍圖形公共部分 的面積的面積 S（ ） ；） ；（A A）23112 ； （B B）41324 ；（C C）21312 ； （D D）2316 . .測(cè)測(cè) 驗(yàn)驗(yàn) 題題313 3、曲曲線線,cos3 ax 3sinay 所所圍圍圖圖形形的的面面積積 S（ ） ； （A A）2323a ； （B B）283a ； （C C）221a； （D D）2161a . .4 4、由球面、由球面9222 zyx與旋轉(zhuǎn)錐面與旋轉(zhuǎn)錐面2228zyx 之之 間包含間包含z軸的部分的體積軸的部分的體積 V( )(

14、 )； （A A） 144； （B B） 36； （C C） 72； （D D） 24 . .325 5、用一平面截半、用一平面截半r徑為徑為的球，設(shè)截得的部分球體高的球，設(shè)截得的部分球體高 為為)20(rhh 體體V積為積為，則，則 V（ ） ；） ；（A A）)2(32hrh ； （B B）)3(32hrh ；（C C）)2(2hrh ； （D D）)3(42hrh . . 6 6、曲線、曲線422 xxy上點(diǎn)上點(diǎn))4,0(0M處的切線處的切線 TM0 與曲線與曲線)1(22 xy所圍圖形的面積所圍圖形的面積 S（ ） ；） ； （A A）;49 （B B）94； （C C）1213； （

15、D D）421. .337 7、拋物線、拋物線pxy22 )0( p自點(diǎn)自點(diǎn))0,0(至點(diǎn)至點(diǎn)),2(pp 的一段曲線弧長(zhǎng)的一段曲線弧長(zhǎng)L= =（ ） ；） ； (A)(A) pppln)21ln(22 ； (B)(B) )21ln(22212ppp； (C)(C) )21(ln22 pp； (D)(D) )21ln(22 p . .348 8、曲線、曲線xhry ，hx 0，軸軸繞繞 x旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體 的側(cè)面積的側(cè)面積 S（ ） ；） ； （A A）22hrr ； （B B）22hrh ； （C C）22hrhr ； （D D）222hrr . .二、在區(qū)間二、在區(qū)間 e,1內(nèi)

16、求內(nèi)求0 x一一點(diǎn)點(diǎn)，使，使,0,ln yxy 1 y及及0 xx 所圍成兩塊面積之和為最小所圍成兩塊面積之和為最小 . .三三 、設(shè)設(shè)曲曲邊邊梯梯形形是是由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy )0)( xf，軸軸x與與兩兩直直線線bxax ,所所圍圍成成的的，求求證證：存存在在直直線線 x ),(ba 將將曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積平平分分 . .35四四、求求擺擺線線 )cos1()sin(tayttax，)20( t 1 1、軸軸繞繞 x旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周所所成成曲曲面面的的面面積積 ； 2 2、軸軸繞繞 y旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周所所成成曲曲面面的的面面積積 . .五五、有有一一旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體，它它由由曲曲線線211xy ，軸軸y，軸軸x以以及及直直線線1 x所所圍圍成成的的平平面面圖圖形形軸軸繞繞 y旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成，已已知知其其上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)的的體體密密度度等等于于該該點(diǎn)點(diǎn)到到旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)軸軸的的距距離離，求求它它的的質(zhì)質(zhì)量量 . .六、以六、以a每秒每秒的流量往半的流量往半R徑為徑為的半球形水池內(nèi)注水的半球形水池內(nèi)注水1 1、 求在水池