偏微分方程的有限元法-文檔資料

1、計(jì)算物理學(xué)1/43第五章第五章 偏微分方程的有限元法偏微分方程的有限元法5.1 泛函與變分原理泛函與變分原理5.2 基于變分原理的有限元法基于變分原理的有限元法5.3 matlab有限元法工具箱有限元法工具箱計(jì)算物理學(xué)2/43第五章第五章 偏微分方程的有限元法偏微分方程的有限元法有限元法（有限元法（FEA，F(xiàn)inite Element Analysis，F(xiàn)EM） 有限元法的基本思想是用有限元法的基本思想是用較簡(jiǎn)單的問(wèn)題較簡(jiǎn)單的問(wèn)題代替代替復(fù)雜問(wèn)復(fù)雜問(wèn)題題，然后再對(duì)簡(jiǎn)單問(wèn)題進(jìn)行求解的數(shù)值計(jì)算方法。，然后再對(duì)簡(jiǎn)單問(wèn)題進(jìn)行求解的數(shù)值計(jì)算方法。 有限元法將求解域看成是由許多被稱為有限元法將求解域看成是

2、由許多被稱為有限元有限元的小的互的小的互連子域組成，對(duì)每一單元假定一個(gè)較簡(jiǎn)單的近似解，然后推連子域組成，對(duì)每一單元假定一個(gè)較簡(jiǎn)單的近似解，然后推導(dǎo)求解這個(gè)域總的滿足條件，從而得到問(wèn)題的解。這個(gè)解不導(dǎo)求解這個(gè)域總的滿足條件，從而得到問(wèn)題的解。這個(gè)解不是準(zhǔn)確解，而是近似解。有限元不僅計(jì)算精度高，而且能適是準(zhǔn)確解，而是近似解。有限元不僅計(jì)算精度高，而且能適應(yīng)各種復(fù)雜形狀，因而成為行之有效的數(shù)值計(jì)算方法。應(yīng)各種復(fù)雜形狀，因而成為行之有效的數(shù)值計(jì)算方法。 有限元法于上世紀(jì)有限元法于上世紀(jì)50年代首先在力學(xué)領(lǐng)域年代首先在力學(xué)領(lǐng)域-飛機(jī)結(jié)飛機(jī)結(jié)構(gòu)的靜、動(dòng)態(tài)特性分析中得到應(yīng)用，隨后很快廣泛的應(yīng)用構(gòu)的靜、動(dòng)態(tài)特

3、性分析中得到應(yīng)用，隨后很快廣泛的應(yīng)用于求解熱傳導(dǎo)、電磁場(chǎng)、流體力學(xué)等連續(xù)性問(wèn)題。于求解熱傳導(dǎo)、電磁場(chǎng)、流體力學(xué)等連續(xù)性問(wèn)題。有限元法主要用于求解有限元法主要用于求解拉普拉斯方程拉普拉斯方程和和泊松方程泊松方程所描述的所描述的各類物理場(chǎng)中。各類物理場(chǎng)中。計(jì)算物理學(xué)3/43第五章第五章 偏微分方程的有限元法偏微分方程的有限元法有限元法有限元法-變分原理變分原理 基于變分原理的有限元法是逼近論、偏微分方程、變基于變分原理的有限元法是逼近論、偏微分方程、變分與泛函分析的巧妙結(jié)合。分與泛函分析的巧妙結(jié)合。 基于變分原理的有限元法以基于變分原理的有限元法以變分原理變分原理為基礎(chǔ)，把所為基礎(chǔ)，把所要求解的要

4、求解的微分方程微分方程定解問(wèn)題，首先轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的定解問(wèn)題，首先轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的變分問(wèn)變分問(wèn)題題，即，即泛函求極值泛函求極值問(wèn)題；它將求解域看成是由許多稱為問(wèn)題；它將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互連子域組成，然后利用有限元的小的互連子域組成，然后利用剖分插值剖分插值，對(duì)每一，對(duì)每一單元假定一個(gè)合適的單元假定一個(gè)合適的(較簡(jiǎn)單的）近似解，把離散化的較簡(jiǎn)單的）近似解，把離散化的變分變分問(wèn)題問(wèn)題轉(zhuǎn)化為普通多元函數(shù)的轉(zhuǎn)化為普通多元函數(shù)的極值問(wèn)題極值問(wèn)題，然后推導(dǎo)求解這，然后推導(dǎo)求解這個(gè)域總的滿足條件個(gè)域總的滿足條件(邊界條件），即最終歸結(jié)為一組多元的邊界條件），即最終歸結(jié)為一組多元的代數(shù)方程組代數(shù)方程

5、組，求解代數(shù)方程組，就得到待求邊值問(wèn)題的，求解代數(shù)方程組，就得到待求邊值問(wèn)題的數(shù)值解。數(shù)值解。計(jì)算物理學(xué)4/43第五章第五章 偏微分方程的有限元法偏微分方程的有限元法有限元法有限元法-加權(quán)余數(shù)法加權(quán)余數(shù)法 自從自從1969年以來(lái)，某些學(xué)者在流體力學(xué)中應(yīng)用加權(quán)余年以來(lái)，某些學(xué)者在流體力學(xué)中應(yīng)用加權(quán)余數(shù)法中的迦遼金法或最小二乘法等同樣獲得了有限元方程，數(shù)法中的迦遼金法或最小二乘法等同樣獲得了有限元方程，因而有限元法可應(yīng)用于以任何微分方程所描述的各類物理因而有限元法可應(yīng)用于以任何微分方程所描述的各類物理場(chǎng)中，而不再要求這類物理場(chǎng)和泛函的極值問(wèn)題有所聯(lián)系。場(chǎng)中，而不再要求這類物理場(chǎng)和泛函的極值問(wèn)題有所

6、聯(lián)系。 加權(quán)余數(shù)法的核心思想是：近似解與解析解相比會(huì)存加權(quán)余數(shù)法的核心思想是：近似解與解析解相比會(huì)存在誤差在誤差R，但是可以通過(guò)一個(gè)準(zhǔn)則使，但是可以通過(guò)一個(gè)準(zhǔn)則使R盡量小，求解這個(gè)等盡量小，求解這個(gè)等式，就可以得到待定常數(shù)的值，也就得到了近似解。式，就可以得到待定常數(shù)的值，也就得到了近似解。計(jì)算物理學(xué)5/43第五章第五章 偏微分方程的有限元法偏微分方程的有限元法 有限元法特點(diǎn)有限元法特點(diǎn)有限元法的物理意義直觀明確，理論完整可靠。有限元法的物理意義直觀明確，理論完整可靠。 因?yàn)橐驗(yàn)樽兎肿兎衷碓砻枋隽酥湮锢憩F(xiàn)象的物理學(xué)中的描述了支配物理現(xiàn)象的物理學(xué)中的最小作用原理最小作用原理（如力學(xué)中的最小

7、勢(shì)能原理）。（如力學(xué)中的最小勢(shì)能原理）。 優(yōu)異的解題能力。有限元法對(duì)優(yōu)異的解題能力。有限元法對(duì)邊界幾何形狀復(fù)雜邊界幾何形狀復(fù)雜以及以及媒媒質(zhì)物理性質(zhì)變異質(zhì)物理性質(zhì)變異等復(fù)雜物理問(wèn)題求解上，有突出優(yōu)點(diǎn)：等復(fù)雜物理問(wèn)題求解上，有突出優(yōu)點(diǎn)： 不受幾何形狀和媒質(zhì)分布的復(fù)雜程度限制。不受幾何形狀和媒質(zhì)分布的復(fù)雜程度限制。 不必單獨(dú)處理第二、三類邊界條件。不必單獨(dú)處理第二、三類邊界條件。 離散點(diǎn)配置比較隨意，通過(guò)控制有限單元剖分密度和離散點(diǎn)配置比較隨意，通過(guò)控制有限單元剖分密度和單元插值函數(shù)的選取，可以充分保證所需的數(shù)值計(jì)算精度。單元插值函數(shù)的選取，可以充分保證所需的數(shù)值計(jì)算精度。計(jì)算物理學(xué)6/435.1

8、 泛函與變分原理泛函與變分原理 數(shù)學(xué)上，通常自變量與因變量間的關(guān)系稱為函數(shù)，數(shù)學(xué)上，通常自變量與因變量間的關(guān)系稱為函數(shù)，而泛函則是函數(shù)集合的函數(shù)，也就是而泛函則是函數(shù)集合的函數(shù)，也就是函數(shù)的函數(shù)函數(shù)的函數(shù)，即，即自變量為函數(shù)，而不是變量。自變量為函數(shù)，而不是變量。5.1.1 泛函的定義泛函的定義 泛函通常是指一種定義域?yàn)楹瘮?shù)，而值域?yàn)閷?shí)數(shù)的泛函通常是指一種定義域?yàn)楹瘮?shù)，而值域?yàn)閷?shí)數(shù)的“函數(shù)函數(shù)”。 設(shè)設(shè)C是函數(shù)的集合，是函數(shù)的集合，B是實(shí)數(shù)集合。如果對(duì)是實(shí)數(shù)集合。如果對(duì)C中的任中的任一元素一元素y(x)，在，在B中都有一個(gè)元素中都有一個(gè)元素J與之對(duì)應(yīng)，則稱與之對(duì)應(yīng)，則稱J為為y(x)的泛函，記

9、為的泛函，記為Jy(x)。計(jì)算物理學(xué)7/435.1 泛函與變分原理泛函與變分原理例例5.1.1 質(zhì)點(diǎn)在重力作用下，沿一條光滑的從質(zhì)點(diǎn)在重力作用下，沿一條光滑的從A點(diǎn)到點(diǎn)到B點(diǎn)的曲線運(yùn)動(dòng)，如圖所示。求下落時(shí)間最短的曲線。點(diǎn)的曲線運(yùn)動(dòng)，如圖所示。求下落時(shí)間最短的曲線。曲線上任一小段線元長(zhǎng)度為：曲線上任一小段線元長(zhǎng)度為：ABxyOx0 x122222)1 (dxdxdydydxdsdxyds)1 (2捷線問(wèn)題捷線問(wèn)題計(jì)算物理學(xué)8/435.1 泛函與變分原理泛函與變分原理線元處的質(zhì)點(diǎn)速度為線元處的質(zhì)點(diǎn)速度為ABxyOx0 x1gyv2dxgyyvdsdT212ds線元下落時(shí)間為線元下落時(shí)間為從從A點(diǎn)到

10、點(diǎn)到B點(diǎn)的下落時(shí)間為點(diǎn)的下落時(shí)間為)(21102xyJdxgyyTxxmin)(xyJ計(jì)算物理學(xué)9/435.1 泛函與變分原理泛函與變分原理5.1.2 函數(shù)的變分函數(shù)的變分 設(shè)設(shè)y(x)是泛函是泛函J定義域內(nèi)任一函數(shù)，如果定義域內(nèi)任一函數(shù)，如果y(x)變化為變化為新函數(shù)新函數(shù)Y(x) ，且，且Y(x)屬于泛函屬于泛函J的定義域，則的定義域，則Y(x)與與y(x)之差為函數(shù)之差為函數(shù)y(x)的變分。的變分。)()(xyxYy變分變分y是是x的函數(shù)，它不同于函數(shù)的的函數(shù)，它不同于函數(shù)的增量增量y。性質(zhì)：函數(shù)求導(dǎo)與求變分可以交換次序性質(zhì)：函數(shù)求導(dǎo)與求變分可以交換次序 )()()()()(yxyxYx

11、yxYy yy xxy x 計(jì)算物理學(xué)10/435.1 泛函與變分原理泛函與變分原理5.1.3 泛函的變分泛函的變分定義定義最簡(jiǎn)泛函最簡(jiǎn)泛函10),()(xxdxyyxFxyJF(x,y,y)稱為泛函的稱為泛函的“核函數(shù)核函數(shù)”泛函的變分泛函的變分10),(),()()(xxdxyyxFyyyyxFyJyyJJ最簡(jiǎn)泛函最簡(jiǎn)泛函: 核函數(shù)只包含自變量核函數(shù)只包含自變量 x、未知函數(shù)、未知函數(shù)y(x)以及導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)y(x)計(jì)算物理學(xué)11/435.1 泛函與變分原理泛函與變分原理利用二元函數(shù)的泰勒展開(kāi)利用二元函數(shù)的泰勒展開(kāi)2222222( ,)1( , ,)( , ,)( , ,)1!1( , ,

12、)( , ,)( , ,) 22!F x yy yyF x y yF x y yF x y yyyyyF x y yF x y yF x y yyy yyyy yy 計(jì)算物理學(xué)12/435.1 泛函與變分原理泛函與變分原理其中其中10222122! yyxxyyyyy yFyFyJdxFyFy yFyJJ 1010222122xyyxxyyyyy yxJFyFy dxJFyFy yFydx 分別稱為泛函的分別稱為泛函的一階變分一階變分和和二階變分二階變分。22 yyyFFFFyy()( )JJ yyJ y 計(jì)算物理學(xué)13/435.1 泛函與變分原理泛函與變分原理泛函取極值的必要條件：泛函取極值

13、的必要條件：一階變分為零一階變分為零0J性質(zhì)：對(duì)于最簡(jiǎn)泛函，變分運(yùn)算可以與積分、微性質(zhì)：對(duì)于最簡(jiǎn)泛函，變分運(yùn)算可以與積分、微分運(yùn)算交換次序分運(yùn)算交換次序1100( , ,)( , ,)xxxxJF x y y dxF x y y dxdyyddxdx計(jì)算物理學(xué)14/435.1 泛函與變分原理泛函與變分原理5.1.4 泛函的極值問(wèn)題泛函的極值問(wèn)題 泛函的一階變分泛函的一階變分10()xxFFJyy dxyy 利用利用dFdFFyydxydxyydFFydydyyxdxy1 泛函的極值問(wèn)題的間接解法泛函的極值問(wèn)題的間接解法 轉(zhuǎn)化為微分方程：歐拉方程轉(zhuǎn)化為微分方程：歐拉方程0J()yy計(jì)算物理學(xué)15

14、/435.1 泛函與變分原理泛函與變分原理11100011000 xxxxxxxxxxFdFFJy dxydxyydxyyFdFFydxyydxyy 對(duì)于駐定問(wèn)題，對(duì)于駐定問(wèn)題，兩邊界固定兩邊界固定0FdFydxy010 x xx xy 這就是最簡(jiǎn)泛函的這就是最簡(jiǎn)泛函的歐拉方程歐拉方程，等價(jià)于泛函取極值的必要條件。，等價(jià)于泛函取極值的必要條件。把把變分問(wèn)題轉(zhuǎn)化微分方程的定解問(wèn)題（邊值問(wèn)題）來(lái)求變分問(wèn)題轉(zhuǎn)化微分方程的定解問(wèn)題（邊值問(wèn)題）來(lái)求解解。10()xxFFJyy dxyyFdFdFyyydxydxyy計(jì)算物理學(xué)16/435.1 泛函與變分原理泛函與變分原理 對(duì)于例對(duì)于例5.1.1求下落時(shí)間

15、最短的軌跡求下落時(shí)間最短的軌跡0FdFydxy利用最簡(jiǎn)泛函的利用最簡(jiǎn)泛函的歐拉方程歐拉方程。)(21102xyJdxgyyTxxmin)(xyJ212yFgy計(jì)算物理學(xué)17/435.1 泛函與變分原理泛函與變分原理代入歐拉方程代入歐拉方程23212 2yFyg y221Fyygyy232210212 2yFdFdyydxydxgyyg y23221012ydydxyyy212yFgy計(jì)算物理學(xué)18/435.1 泛函與變分原理泛函與變分原理變換得到變換得到222101dyydxyyy進(jìn)一步化簡(jiǎn)得到進(jìn)一步化簡(jiǎn)得到2101ddxyy積分積分211yyc計(jì)算物理學(xué)19/435.1 泛函與變分原理泛函與

16、變分原理做變量替換做變量替換cossintyt 得得22211211sinsin1ytcycty而而21112sin cos2sin(1cos2 )cossincttdtdydxctdtct dttyt計(jì)算物理學(xué)20/435.1 泛函與變分原理泛函與變分原理對(duì)上式積分得到對(duì)上式積分得到121(sin 2 )2xc ttc這樣就得到了下落時(shí)間最短曲線的參數(shù)方程這樣就得到了下落時(shí)間最短曲線的參數(shù)方程12211(sin 2 )2sinxc ttcyct式中常數(shù)式中常數(shù)c c1 1和和c c2 2由始末兩點(diǎn)位置確定由始末兩點(diǎn)位置確定練習(xí)：畫(huà)出經(jīng)過(guò)練習(xí)：畫(huà)出經(jīng)過(guò)(0,0)和和(1,1)的下落時(shí)間最短曲線

17、。的下落時(shí)間最短曲線。連接兩個(gè)點(diǎn)上凹的唯一一段旋輪線連接兩個(gè)點(diǎn)上凹的唯一一段旋輪線343sin1cosxcttcyct計(jì)算物理學(xué)21/435.1 泛函與變分原理泛函與變分原理2 泛函的極值問(wèn)題的直接解法泛函的極值問(wèn)題的直接解法 基本做法：基本做法：瑞利瑞利-里茲里茲(Rayleigh-Ritz)法法(1) 選定一組具有相對(duì)完備性的基函數(shù)，構(gòu)造一個(gè)線選定一組具有相對(duì)完備性的基函數(shù)，構(gòu)造一個(gè)線性組合的近似函數(shù)性組合的近似函數(shù)(2) 將含有將含有n個(gè)待定系數(shù)的構(gòu)造函數(shù)作為近似的極值個(gè)待定系數(shù)的構(gòu)造函數(shù)作為近似的極值函數(shù)，代入泛函函數(shù)，代入泛函 12,nJ y xI a aa1 niiiiiyaa：基

18、函數(shù) ：待定系數(shù)10),()(xxdxyyxFxyJ計(jì)算物理學(xué)22/435.1 泛函與變分原理泛函與變分原理0 i=1,2,3niIa(3) 為了求泛函的極值，按照多元函數(shù)取極值的必要條件為了求泛函的極值，按照多元函數(shù)取極值的必要條件(4) 求解以上方程組，求出求解以上方程組，求出 就可以得就可以得到極值函數(shù)的近似解到極值函數(shù)的近似解 12,na aa(5) 再將含有再將含有n+1個(gè)待定系數(shù)的函數(shù)個(gè)待定系數(shù)的函數(shù)作為近似極值函數(shù)，重復(fù)作為近似極值函數(shù)，重復(fù)(2)(4)，就可以得到極值函數(shù)，就可以得到極值函數(shù)新的新的近似解近似解 。如果連續(xù)兩次所得到的結(jié)果接近，就認(rèn)為。如果連續(xù)兩次所得到的結(jié)果接

19、近，就認(rèn)為最后得到的函數(shù)就是極值函數(shù)的近似解最后得到的函數(shù)就是極值函數(shù)的近似解 。11niiiya111nniiiiiiaa計(jì)算物理學(xué)23/435.1 泛函與變分原理泛函與變分原理例例5.1.2 求下列泛函的極值函數(shù)。求下列泛函的極值函數(shù)。解：為了滿足邊界條件，取基函數(shù)為解：為了滿足邊界條件，取基函數(shù)為 1220(4)(0)(1)0J yyyxy dxyy(1)iixx近似函數(shù)為近似函數(shù)為11niiiya xx計(jì)算物理學(xué)24/435.1 泛函與變分原理泛函與變分原理當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)時(shí)代入泛函代入泛函11ya xx 12221111012141J yaa xa xxa xxdxI a取極值取極值12

20、22110121221410Iaxaxxxx dxa 1220(4)J yyyxy dx計(jì)算物理學(xué)25/435.1 泛函與變分原理泛函與變分原理計(jì)算得到計(jì)算得到近似函數(shù)近似函數(shù)159a 5(1)9yxx 同理同理n=2時(shí)時(shí)7172 (1)36941yxxx 利用歐拉方程，得到的精確解利用歐拉方程，得到的精確解2sin2sin1xyx計(jì)算物理學(xué)26/435.1 泛函與變分原理泛函與變分原理00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-0.16-0.14-0.12-0.1-0.08-0.06-0.04-0.020 xyn=1n=2精 確 解計(jì)算物理學(xué)27/435.1 泛函與變分原理泛

21、函與變分原理 泛函的極值問(wèn)題可以通過(guò)變分運(yùn)算產(chǎn)生一個(gè)微分方泛函的極值問(wèn)題可以通過(guò)變分運(yùn)算產(chǎn)生一個(gè)微分方程和相應(yīng)的邊界條件，即歐拉方程，其解對(duì)應(yīng)于最簡(jiǎn)泛程和相應(yīng)的邊界條件，即歐拉方程，其解對(duì)應(yīng)于最簡(jiǎn)泛函的極值函數(shù)。也就是函的極值函數(shù)。也就是泛函的極值問(wèn)題泛函的極值問(wèn)題可以等價(jià)為可以等價(jià)為在在一定邊界條件下求解微分方程問(wèn)題。一定邊界條件下求解微分方程問(wèn)題。 變分原理變分原理 通過(guò)求解一個(gè)相應(yīng)的泛函的極小函數(shù)而得到通過(guò)求解一個(gè)相應(yīng)的泛函的極小函數(shù)而得到偏微分方程邊值問(wèn)題的解。偏微分方程邊值問(wèn)題的解。 有限元法有限元法正是正是里茲法里茲法與與有限差分法有限差分法相結(jié)合的成果，它相結(jié)合的成果，它取長(zhǎng)補(bǔ)短

22、地在理論上以變分為基礎(chǔ)，在具體方法構(gòu)造上又取長(zhǎng)補(bǔ)短地在理論上以變分為基礎(chǔ)，在具體方法構(gòu)造上又利用了有限差分法網(wǎng)格離散化處理的思想。利用了有限差分法網(wǎng)格離散化處理的思想。計(jì)算物理學(xué)28/435.1 泛函與變分原理泛函與變分原理 20世紀(jì)世紀(jì)60年代初首次提出結(jié)構(gòu)力學(xué)計(jì)算有年代初首次提出結(jié)構(gòu)力學(xué)計(jì)算有限元概念的克拉夫（限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地將其）教授形象地將其描繪為：描繪為：“有限元法有限元法=Rayleigh Ritz法法分片函分片函數(shù)數(shù)”。 有限元法是有限元法是Rayleigh Ritz法的一種局部化法的一種局部化情況。不同于求解滿足整個(gè)定義域邊界條件的情況。不同于求解滿足

23、整個(gè)定義域邊界條件的允許函數(shù)的允許函數(shù)的Rayleigh Ritz法（往往是困難的），法（往往是困難的），有限元法將函數(shù)定義在簡(jiǎn)單幾何形狀（如二維有限元法將函數(shù)定義在簡(jiǎn)單幾何形狀（如二維問(wèn)題中的三角形或任意四邊形）的單元域上問(wèn)題中的三角形或任意四邊形）的單元域上（分片函數(shù)），且不考慮整個(gè)定義域的復(fù)雜邊（分片函數(shù)），且不考慮整個(gè)定義域的復(fù)雜邊界條件，這是有限元法優(yōu)于其它近似方法的原界條件，這是有限元法優(yōu)于其它近似方法的原因之一。因之一。計(jì)算物理學(xué)29/435.2 基于變分原理的有限元法基于變分原理的有限元法對(duì)于具有不同物理性質(zhì)和數(shù)學(xué)模型的問(wèn)題，有限對(duì)于具有不同物理性質(zhì)和數(shù)學(xué)模型的問(wèn)題，有限元法的

24、基本做法是相同的，只是具體公式推導(dǎo)和元法的基本做法是相同的，只是具體公式推導(dǎo)和運(yùn)算求解不同。運(yùn)算求解不同。有限元法基本做法有限元法基本做法首先把待求的偏微分方程邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的變分問(wèn)首先把待求的偏微分方程邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的變分問(wèn)題。題。然后通過(guò)有限單元剖分的離散處理，構(gòu)造一個(gè)分片解析然后通過(guò)有限單元剖分的離散處理，構(gòu)造一個(gè)分片解析的有限元子空間。的有限元子空間。通過(guò)構(gòu)造近似函數(shù)，把變分問(wèn)題近似地轉(zhuǎn)化為有限元子通過(guò)構(gòu)造近似函數(shù)，把變分問(wèn)題近似地轉(zhuǎn)化為有限元子空間中的多元函數(shù)極值問(wèn)題，由此直接利用空間中的多元函數(shù)極值問(wèn)題，由此直接利用Rayleigh Ritz法探求變分問(wèn)題的近似解（極值函數(shù)

25、解），以此作法探求變分問(wèn)題的近似解（極值函數(shù)解），以此作為所求邊值問(wèn)題的近似解。為所求邊值問(wèn)題的近似解。 計(jì)算物理學(xué)30/435.2 基于變分原理的有限元法基于變分原理的有限元法有限元法具體求解步驟有限元法具體求解步驟 建立積分方程建立積分方程根據(jù)變分原理或方程余量與權(quán)函數(shù)正交化原理，建立與微根據(jù)變分原理或方程余量與權(quán)函數(shù)正交化原理，建立與微分方程初邊值問(wèn)題等價(jià)的積分表達(dá)式，這是有限元法分方程初邊值問(wèn)題等價(jià)的積分表達(dá)式，這是有限元法的出發(fā)點(diǎn)。的出發(fā)點(diǎn)。區(qū)域單元剖分區(qū)域單元剖分根據(jù)求解區(qū)域的形狀及實(shí)際問(wèn)題的物理特點(diǎn)，將區(qū)域剖分根據(jù)求解區(qū)域的形狀及實(shí)際問(wèn)題的物理特點(diǎn)，將區(qū)域剖分為若干相互連接、不重

26、疊的單元。區(qū)域單元?jiǎng)澐质遣捎脼槿舾上嗷ミB接、不重疊的單元。區(qū)域單元?jiǎng)澐质遣捎糜邢拊椒ǖ那捌跍?zhǔn)備工作，這部分工作量比較大，除有限元方法的前期準(zhǔn)備工作，這部分工作量比較大，除了給計(jì)算單元和節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)和確定相互之間的關(guān)系之了給計(jì)算單元和節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)和確定相互之間的關(guān)系之外，還要表示節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，同時(shí)還需要列出自然邊外，還要表示節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，同時(shí)還需要列出自然邊界和本質(zhì)邊界的節(jié)點(diǎn)序號(hào)和相應(yīng)的邊界值。界和本質(zhì)邊界的節(jié)點(diǎn)序號(hào)和相應(yīng)的邊界值。計(jì)算物理學(xué)31/435.2 基于變分原理的有限元法基于變分原理的有限元法確定單元基函數(shù)確定單元基函數(shù)根據(jù)單元中節(jié)點(diǎn)數(shù)目及對(duì)近似解精度的要求，選擇滿足一根據(jù)單元中

27、節(jié)點(diǎn)數(shù)目及對(duì)近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條件的插值函數(shù)作為單元基函數(shù)。有限元方法中定插值條件的插值函數(shù)作為單元基函數(shù)。有限元方法中的基函數(shù)是在單元中選取的，由于各單元的基函數(shù)是在單元中選取的，由于各單元 具有規(guī)則的具有規(guī)則的幾何形狀，在選取基函數(shù)時(shí)可遵循一定的法則。幾何形狀，在選取基函數(shù)時(shí)可遵循一定的法則。 單元分析單元分析將各個(gè)單元中的求解函數(shù)用單元基函數(shù)的線性組合表達(dá)式將各個(gè)單元中的求解函數(shù)用單元基函數(shù)的線性組合表達(dá)式進(jìn)行逼近；再將進(jìn)行逼近；再將 近似函數(shù)代入積分方程，并對(duì)單元區(qū)近似函數(shù)代入積分方程，并對(duì)單元區(qū)域進(jìn)行積分，可獲得含有待定系數(shù)域進(jìn)行積分，可獲得含有待定系數(shù)(即單元中各節(jié)

28、點(diǎn)即單元中各節(jié)點(diǎn) 的的參數(shù)值參數(shù)值)的代數(shù)方程組，稱為單元有限元方程。的代數(shù)方程組，稱為單元有限元方程?？傮w合成總體合成在得出單元有限元方程之后，將區(qū)域中所有單元有限元方在得出單元有限元方程之后，將區(qū)域中所有單元有限元方程按一定法則進(jìn)行累加，形成總體有限元方程。程按一定法則進(jìn)行累加，形成總體有限元方程。計(jì)算物理學(xué)32/435.2 基于變分原理的有限元法基于變分原理的有限元法 邊界條件的處理邊界條件的處理一般邊界條件有三種形式，對(duì)于第二類邊界條件，一般在一般邊界條件有三種形式，對(duì)于第二類邊界條件，一般在積分表達(dá)式中可自動(dòng)得到滿足。對(duì)于第一類邊界條件和積分表達(dá)式中可自動(dòng)得到滿足。對(duì)于第一類邊界條件

29、和第三類邊界條件，需按一定法則對(duì)總體有限元方程進(jìn)行第三類邊界條件，需按一定法則對(duì)總體有限元方程進(jìn)行修正滿足。修正滿足。解有限元方程解有限元方程根據(jù)邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未根據(jù)邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉方程組，采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值計(jì)算方法求解，知量的封閉方程組，采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值計(jì)算方法求解，可求得各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值?？汕蟮酶鞴?jié)點(diǎn)的函數(shù)值。計(jì)算物理學(xué)33/435.2 基于變分原理的有限元法基于變分原理的有限元法 有限元分析可分成三個(gè)階段：有限元分析可分成三個(gè)階段： 前置處理、計(jì)算求解和后置處理。前置處理、計(jì)算求解和后置處理。 前置處理是建立有限元模型，完成單

30、元網(wǎng)格劃分；后前置處理是建立有限元模型，完成單元網(wǎng)格劃分；后置處理則是采集處理分析結(jié)果，使用戶能簡(jiǎn)便提取信息，置處理則是采集處理分析結(jié)果，使用戶能簡(jiǎn)便提取信息，了解計(jì)算結(jié)果。了解計(jì)算結(jié)果。 計(jì)算物理學(xué)34/435.2 基于變分原理的有限元法基于變分原理的有限元法1. 求解區(qū)域離散求解區(qū)域離散 離散單元基本要求：離散單元基本要求：各單元只能在頂點(diǎn)處相交。各單元只能在頂點(diǎn)處相交。不同單元在邊界處相連，既不能相互分離又不能相互重不同單元在邊界處相連，既不能相互分離又不能相互重疊。疊。 各單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)循序應(yīng)一致，一律按各單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)循序應(yīng)一致，一律按逆時(shí)針?lè)较蚰鏁r(shí)針?lè)较颍瑥淖?，從最小?jié)點(diǎn)號(hào)開(kāi)始。同一單

31、元節(jié)點(diǎn)編號(hào)相差不能太懸殊，對(duì)小節(jié)點(diǎn)號(hào)開(kāi)始。同一單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)相差不能太懸殊，對(duì)多區(qū)域的編號(hào)，按區(qū)域連續(xù)編號(hào)。多區(qū)域的編號(hào)，按區(qū)域連續(xù)編號(hào)。 把求解區(qū)域分割成有限個(gè)單元體的集合。單元體形把求解區(qū)域分割成有限個(gè)單元體的集合。單元體形狀原則上是任意的，一般取有規(guī)則形體。狀原則上是任意的，一般取有規(guī)則形體。有限元法計(jì)算步驟有限元法計(jì)算步驟計(jì)算物理學(xué)35/435.2 基于變分原理的有限元法基于變分原理的有限元法 三角單元是經(jīng)常使用的單元剖分方法，剖分時(shí)應(yīng)注三角單元是經(jīng)常使用的單元剖分方法，剖分時(shí)應(yīng)注意幾下幾點(diǎn)：意幾下幾點(diǎn)： 三角形不能重疊。三角形不能重疊。不能把一個(gè)三角形的頂點(diǎn)取為相鄰三角形的邊上。不能把

32、一個(gè)三角形的頂點(diǎn)取為相鄰三角形的邊上。剖分的三角形應(yīng)該避免鈍角。剖分的三角形應(yīng)該避免鈍角。三角形不可過(guò)于狹長(zhǎng)，最長(zhǎng)邊一般不大于最短邊的三角形不可過(guò)于狹長(zhǎng)，最長(zhǎng)邊一般不大于最短邊的3倍。倍。三角形三邊之比盡量接近三角形三邊之比盡量接近1。不能把一個(gè)三角形跨越不同的介質(zhì)。不能把一個(gè)三角形跨越不同的介質(zhì)。每個(gè)三角形最多只有一個(gè)邊在邊界上。每個(gè)三角形最多只有一個(gè)邊在邊界上。三角形單元面積越小，計(jì)算精度越高三角形單元面積越小，計(jì)算精度越高計(jì)算物理學(xué)36/435.2 基于變分原理的有限元法基于變分原理的有限元法把求解區(qū)域劃分把求解區(qū)域劃分m個(gè)三角形有限單元，共有個(gè)三角形有限單元，共有n個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn)在有限單

33、元在有限單元e(j,k,l)上進(jìn)行分片線性插值，插值函數(shù)為上進(jìn)行分片線性插值，插值函數(shù)為 e123ux,yaa xa y2. 選擇近似函數(shù)選擇近似函數(shù)計(jì)算物理學(xué)37/435.2 基于變分原理的有限元法基于變分原理的有限元法在單元節(jié)點(diǎn)上在單元節(jié)點(diǎn)上jj12j3jjkk12k3kkll12l3llu x ,yaa xa yu u x ,yaa xa yuu x ,yaa xa yu求解以上方程組可以得到求解以上方程組可以得到j(luò)jjkkklll1jjkklljjkklluxyuxy1uxyaa ua ua u1xy21xy1xyjkllkkljjlljkljax yx yax yx yax yx y

34、jjkkll1xy11xy21xy 3. 求解單元形函數(shù)求解單元形函數(shù)e123ux,yaa xa y123a a a計(jì)算物理學(xué)38/435.2 基于變分原理的有限元法基于變分原理的有限元法同理可以求出同理可以求出jjkkll2jjkklljjkkll1uy1uy11uyab ub ub u1xy21xy1xyjklkljljkbyybyybyy計(jì)算物理學(xué)39/435.2 基于變分原理的有限元法基于變分原理的有限元法jjkkll3jjkklljjkkll1xu1xu11xuac uc uc u1xy21xy1xyjlkkjllkjcxxcxxcxxjkkj1b cb c2 計(jì)算物理學(xué)40/435

35、.2 基于變分原理的有限元法基于變分原理的有限元法則插值函數(shù)可以寫(xiě)為則插值函數(shù)可以寫(xiě)為e123jjjjkkkkllllessj k lux,yaa xa yab xc y uab xc y u1 2ab xc y u u Nx,yessss1Nx,yab xc y sj,k,l2單元形函數(shù)（基函數(shù)）單元形函數(shù)（基函數(shù)）1jjkkll2jjkkll3jjkkll1aa ua ua u21ab ub ub u21ac uc uc u2計(jì)算物理學(xué)41/435.2 基于變分原理的有限元法基于變分原理的有限元法三角元三角元e插值函數(shù)可以改寫(xiě)為矩陣形式插值函數(shù)可以改寫(xiě)為矩陣形式 jeeeejklkeelu

36、ux,yNNNuu NU jeeejklekel uuu NN NNU計(jì)算物理學(xué)42/435.2 基于變分原理的有限元法基于變分原理的有限元法下面以泊松方程為例討論有限元解法下面以泊松方程為例討論有限元解法22220uu0 x,yDxyu (x,y)ux,y 22mee 1DuuJ udxdyJuxy所對(duì)應(yīng)的泛函為所對(duì)應(yīng)的泛函為4. 建立單元特征式建立單元特征式難點(diǎn)難點(diǎn)：尋找與微分方程對(duì)應(yīng)的泛函：尋找與微分方程對(duì)應(yīng)的泛函計(jì)算物理學(xué)43/435.2 基于變分原理的有限元法基于變分原理的有限元法在第在第e個(gè)三角元的泛函個(gè)三角元的泛函22eeeDuuJx,ydxdyxyue123ux,yaa xa

37、y由于由于2222e22jjkkllDDu1dxdya dxdyab ub ub ux4 1jjkkll2jjkkll3jjkkll1aa ua ua u21ab ub ub u21ac uc uc u2e2u=ax計(jì)算物理學(xué)44/435.2 基于變分原理的有限元法基于變分原理的有限元法 jjjkjlkjkk22ejjkkllD2jjklxljljllklkljjjklkjklklljTjklklu1dxdyb ub ub ux4b1 uuu b4bbu1 b bb bb b1b bb uuu bbbb u4buuuuuuubb b4b bb bb beeeUKU改寫(xiě)為矩陣形式改寫(xiě)為矩陣形式計(jì)

38、算物理學(xué)45/435.2 基于變分原理的有限元法基于變分原理的有限元法其中其中jjjkjlxkjkkklljljllb bb bb b1b bb bb b4b bb bb beK2TeyDudxdyyeeeUKU同理同理jjjkjlykjkkklljljllc cc cc c1c cc cc c4c cc cc ceK jkeluuuU計(jì)算物理學(xué)46/435.2 基于變分原理的有限元法基于變分原理的有限元法三角元三角元e的泛函的泛函 TxTTyeJu eeeeeeeeeKUUUUKUUKeeejjjkjleeekjkkkleeeljlkllKKKKKKKKKeK其中其中eerssrrsrs1K

39、Kb bc c4jjjkjlxkjkkklljljllb bb bb b1b bb bb b4b bb bb beKjjjkjlykjkkklljljllc cc cc c1c cc cc c4c cc cc ceKr sj,k,l、計(jì)算物理學(xué)47/435.2 基于變分原理的有限元法基于變分原理的有限元法改寫(xiě)改寫(xiě)Ke到所有到所有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，即把擴(kuò)充部分添零，以方便總體個(gè)節(jié)點(diǎn)，即把擴(kuò)充部分添零，以方便總體矩陣的處理矩陣的處理 TeJu eUKU其中其中eeejjjkjleeekjkkkleeeljlkll000KKK0KKK0KKK000eK123nuuUuu mee 1J uJu計(jì)算物理學(xué)48/

40、435.2 基于變分原理的有限元法基于變分原理的有限元法求解區(qū)域上的總體泛函求解區(qū)域上的總體泛函 mmTTee 1e 1J uJueUKUUKU其中其中meijije 1 KKi, j1,2, n 變分問(wèn)題被離散化的多元二次函數(shù)的極值問(wèn)題變分問(wèn)題被離散化的多元二次函數(shù)的極值問(wèn)題 T12nnnijiji 1 j 1J uJ u ,u ,u K u uminUKU5. 建立系統(tǒng)有限元方程建立系統(tǒng)有限元方程計(jì)算物理學(xué)49/435.2 基于變分原理的有限元法基于變分原理的有限元法根據(jù)多元函數(shù)極值理論根據(jù)多元函數(shù)極值理論iJ0 i1,2,nu得到第得到第i點(diǎn)有限元方程點(diǎn)有限元方程nijjj 1K u0即

41、即 0KU求解上述有限元方程（線性代數(shù)方程組），就可以得到求解上述有限元方程（線性代數(shù)方程組），就可以得到節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值。節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值。計(jì)算物理學(xué)50/435.2 基于變分原理的有限元法基于變分原理的有限元法 獲得有限元方程之后，就可以選擇各種方法求解相應(yīng)獲得有限元方程之后，就可以選擇各種方法求解相應(yīng)的代數(shù)方程組，常用方法有高斯消去法、列元素消去法、的代數(shù)方程組，常用方法有高斯消去法、列元素消去法、迭代法等等。迭代法等等。 在變分問(wèn)題中第二類、第三類邊界條件已經(jīng)自然包在變分問(wèn)題中第二類、第三類邊界條件已經(jīng)自然包含在泛函達(dá)到極值的要求中，不必單獨(dú)處理，稱為含在泛函達(dá)到極值的要求中，不必單獨(dú)處理

42、，稱為自然自然滿足的邊界條件滿足的邊界條件，只需考慮，只需考慮第一類強(qiáng)加邊界條件第一類強(qiáng)加邊界條件，強(qiáng)加邊界條件的處理方法因代數(shù)方程組的解法而異。強(qiáng)加邊界條件的處理方法因代數(shù)方程組的解法而異。6. 有限元方程求解與邊界條件處理有限元方程求解與邊界條件處理計(jì)算物理學(xué)51/435.2 基于變分原理的有限元法基于變分原理的有限元法迭代法求解迭代法求解：凡是遇到邊界節(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的方程均不迭：凡是遇到邊界節(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的方程均不迭代，節(jié)點(diǎn)值始終保持給定值，不必單獨(dú)處理邊界。代，節(jié)點(diǎn)值始終保持給定值，不必單獨(dú)處理邊界。直接法求解直接法求解：節(jié)點(diǎn)：節(jié)點(diǎn)m為邊界，函數(shù)值為邊界，函數(shù)值um=u0，處理方法，處理方法為

43、，把對(duì)角元素的特征元素設(shè)置為為，把對(duì)角元素的特征元素設(shè)置為1，即，即kmm=1,然后把然后把m行與行與m列的其它元素全部設(shè)置為列的其它元素全部設(shè)置為0，方程的，方程的等式右邊等式右邊改改為給定的函數(shù)值為給定的函數(shù)值u0，其它元素則要減去該節(jié)點(diǎn)處理前對(duì)，其它元素則要減去該節(jié)點(diǎn)處理前對(duì)應(yīng)的應(yīng)的m列的特征系數(shù)列的特征系數(shù)kim與與u0的乘積。的乘積。1111n11mn1nnnKKKu0KKKu0KKKu0mmmmmnnm111n110m0n1nnn0KKu001u00KKumnmK uuK u計(jì)算物理學(xué)52/435.2 基于變分原理的有限元法基于變分原理的有限元法 例例 5.2.1 一個(gè)邊長(zhǎng)為一個(gè)邊

44、長(zhǎng)為1的二維正方形靜電場(chǎng)域，電位函數(shù)的二維正方形靜電場(chǎng)域，電位函數(shù)為為(x,y)，邊界條件如圖所示，試用有限元法確定二維靜，邊界條件如圖所示，試用有限元法確定二維靜電場(chǎng)域的電位分布。電場(chǎng)域的電位分布。解：該二維靜電場(chǎng)域的電位函數(shù)解：該二維靜電場(chǎng)域的電位函數(shù)(x,y),可以用下列第一類邊界條可以用下列第一類邊界條件的偏微分方程描述：件的偏微分方程描述：2222010 y10 x 10 xSave As直接生成直接生成M代碼。代碼。計(jì)算物理學(xué)69/435.3 matlab有限元法工具箱有限元法工具箱PDE Toolbox求解偏微分方程類型求解偏微分方程類型 1 橢圓型方程（橢圓型方程（Ellipt

45、ic ）( )*div cgrad ua uf2 拋物線型方程（拋物線型方程（Parabolic）*( )*d udiv cgrad ua uf3 雙曲型方程（雙曲型方程（Hyperbolic ）*( )*d udiv cgrad ua uf計(jì)算物理學(xué)70/435.3 matlab有限元法工具箱有限元法工具箱 4 特征值方程（特征值方程（Eigenmodes）( )*div cgrad ua ud u上述微分方程中上述微分方程中121212( , )( ),nnnuu x xx tgrad uuxxxdivxxxc、a、d、f在在橢圓型方程橢圓型方程中可以為中可以為函數(shù)函數(shù)，但在其它方，但在其

46、它方程中必須為程中必須為常數(shù)常數(shù)。計(jì)算物理學(xué)71/435.3 matlab有限元法工具箱有限元法工具箱PDE Toolbox 邊界條件邊界條件 1 狄里赫利條件（狄里赫利條件（Didchlet）hur2 諾依曼條件（諾依曼條件（Neumann）*( )*n c grad uq ugn為邊界上的單位外法線矢量，為邊界上的單位外法線矢量，h、r、q、g可以為函數(shù)可以為函數(shù)計(jì)算物理學(xué)72/435.3 matlab有限元法工具箱有限元法工具箱PDE Toolbox 啟動(dòng)啟動(dòng) 1 啟動(dòng)啟動(dòng)2 界面界面計(jì)算物理學(xué)73/435.3 matlab有限元法工具箱有限元法工具箱PDE Toolbox 菜單菜單 O

47、ptions打開(kāi)或關(guān)閉柵格打開(kāi)或關(guān)閉柵格調(diào)整柵格大小調(diào)整柵格大小打開(kāi)或關(guān)閉捕捉柵格功能打開(kāi)或關(guān)閉捕捉柵格功能繪圖軸的坐標(biāo)范圍繪圖軸的坐標(biāo)范圍打開(kāi)或關(guān)閉繪圖方軸打開(kāi)或關(guān)閉繪圖方軸關(guān)閉幫助信息關(guān)閉幫助信息圖形縮放圖形縮放選擇應(yīng)用模式選擇應(yīng)用模式重新顯示圖形重新顯示圖形計(jì)算物理學(xué)74/435.3 matlab有限元法工具箱有限元法工具箱PDE Toolbox 菜單菜單 Draw進(jìn)入繪圖模式進(jìn)入繪圖模式對(duì)角點(diǎn)繪矩形對(duì)角點(diǎn)繪矩形固定中心繪矩形固定中心繪矩形矩形對(duì)角點(diǎn)繪橢圓矩形對(duì)角點(diǎn)繪橢圓固定中心繪橢圓固定中心繪橢圓繪多邊形繪多邊形旋轉(zhuǎn)已選圖形旋轉(zhuǎn)已選圖形將幾何描述矩陣輸出到主工作空間將幾何描述矩陣輸出到

48、主工作空間計(jì)算物理學(xué)75/435.3 matlab有限元法工具箱有限元法工具箱PDE Toolbox 菜單菜單 Boundary進(jìn)入邊界模式進(jìn)入邊界模式對(duì)已選邊界輸入條件對(duì)已選邊界輸入條件顯示邊界區(qū)域標(biāo)識(shí)開(kāi)關(guān)顯示邊界區(qū)域標(biāo)識(shí)開(kāi)關(guān)顯示子區(qū)域標(biāo)識(shí)開(kāi)關(guān)顯示子區(qū)域標(biāo)識(shí)開(kāi)關(guān)刪除已選的子域邊界刪除已選的子域邊界刪除所有刪除所有 的子域邊界的子域邊界將分解幾何矩陣、邊界條件矩陣輸將分解幾何矩陣、邊界條件矩陣輸出到主工作空間出到主工作空間計(jì)算物理學(xué)76/435.3 matlab有限元法工具箱有限元法工具箱PDE Toolbox 菜單菜單 PDE進(jìn)入偏微分方程模式進(jìn)入偏微分方程模式顯示子區(qū)域標(biāo)識(shí)開(kāi)關(guān)顯示子區(qū)域標(biāo)

49、識(shí)開(kāi)關(guān)調(diào)整調(diào)整PDE參數(shù)和類型參數(shù)和類型將將PDE參數(shù)輸出到主工作空間參數(shù)輸出到主工作空間計(jì)算物理學(xué)77/435.3 matlab有限元法工具箱有限元法工具箱PDE Toolbox 菜單菜單 Mesh輸入網(wǎng)格模式輸入網(wǎng)格模式初始化三角形網(wǎng)格初始化三角形網(wǎng)格加密當(dāng)前三角形網(wǎng)格加密當(dāng)前三角形網(wǎng)格優(yōu)化網(wǎng)格優(yōu)化網(wǎng)格退回上一步退回上一步用數(shù)字化的顏色顯示網(wǎng)格質(zhì)量，大于用數(shù)字化的顏色顯示網(wǎng)格質(zhì)量，大于0.6可接受可接受顯示網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)標(biāo)識(shí)顯示網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)標(biāo)識(shí)顯示三角形網(wǎng)格標(biāo)識(shí)顯示三角形網(wǎng)格標(biāo)識(shí)修改網(wǎng)格生成參數(shù)修改網(wǎng)格生成參數(shù)輸出網(wǎng)格矩陣到主工作空間輸出網(wǎng)格矩陣到主工作空間計(jì)算物理學(xué)78/435.3 matlab有

50、限元法工具箱有限元法工具箱PDE Toolbox 菜單菜單 Solve對(duì)已經(jīng)定義的偏微分方程求解對(duì)已經(jīng)定義的偏微分方程求解調(diào)整解調(diào)整解PDE的參數(shù)的參數(shù)輸出解到主工作空間輸出解到主工作空間Plot顯示圖形解顯示圖形解繪圖參數(shù)設(shè)置繪圖參數(shù)設(shè)置輸出動(dòng)畫(huà)輸出動(dòng)畫(huà)計(jì)算物理學(xué)79/435.3 matlab有限元法工具箱有限元法工具箱PDE Toolbox 求解步驟求解步驟 求解區(qū)域設(shè)置求解區(qū)域設(shè)置應(yīng)用模式設(shè)置應(yīng)用模式設(shè)置輸入邊界條件輸入邊界條件微分方程參數(shù)設(shè)定微分方程參數(shù)設(shè)定網(wǎng)格剖分網(wǎng)格剖分初值和誤差設(shè)置初值和誤差設(shè)置解方程解方程圖形解顯示參數(shù)設(shè)置圖形解顯示參數(shù)設(shè)置File-Save As直接生成直接生

51、成M代碼代碼計(jì)算物理學(xué)80/435.3 matlab有限元法工具箱有限元法工具箱例例5.3.1 如圖帶有矩形孔（如圖帶有矩形孔（0.1*0.8）的金屬板（）的金屬板（1*1.6），），金屬板左側(cè)保持在金屬板左側(cè)保持在100，右側(cè)熱量可以向環(huán)境定常流動(dòng)，右側(cè)熱量可以向環(huán)境定常流動(dòng)，上下側(cè)及內(nèi)孔保持絕熱，初始溫度為上下側(cè)及內(nèi)孔保持絕熱，初始溫度為0。求。求t=0.1、0.3、0.5、1.5s時(shí)金屬板溫度分布時(shí)金屬板溫度分布 解：此問(wèn)題可以表示為如下定解問(wèn)題解：此問(wèn)題可以表示為如下定解問(wèn)題222200100 1 0 0tuuutxyuununu 左邊界右邊界其它邊界計(jì)算物理學(xué)81/435.3 mat

52、lab有限元法工具箱有限元法工具箱 求解區(qū)域設(shè)置求解區(qū)域設(shè)置 提示符輸入提示符輸入pdetool 1 選擇畫(huà)矩形選擇畫(huà)矩形2 畫(huà)矩形畫(huà)矩形3 雙擊矩形，彈出對(duì)話框，雙擊矩形，彈出對(duì)話框，輸入準(zhǔn)確矩形參數(shù)輸入準(zhǔn)確矩形參數(shù)計(jì)算物理學(xué)82/435.3 matlab有限元法工具箱有限元法工具箱 同樣畫(huà)出矩形孔，利用兩個(gè)矩形運(yùn)算得到求解區(qū)域同樣畫(huà)出矩形孔，利用兩個(gè)矩形運(yùn)算得到求解區(qū)域圖形運(yùn)算圖形運(yùn)算計(jì)算物理學(xué)83/435.3 matlab有限元法工具箱有限元法工具箱 2. 應(yīng)用模式設(shè)置應(yīng)用模式設(shè)置計(jì)算物理學(xué)84/435.3 matlab有限元法工具箱有限元法工具箱 3 輸入邊界條件輸入邊界條件1 點(diǎn)擊，

53、顯示邊界點(diǎn)擊，顯示邊界2 雙擊邊界，彈出邊雙擊邊界，彈出邊界條件窗口界條件窗口*( )*100 1 0 hurn c grad uq uguunun 左邊界右邊界其他邊界h=1,r=100計(jì)算物理學(xué)85/435.3 matlab有限元法工具箱有限元法工具箱 輸入每個(gè)邊的邊界條件輸入每個(gè)邊的邊界條件紅色：紅色：Dirichlet藍(lán)色：藍(lán)色：Neumann計(jì)算物理學(xué)86/435.3 matlab有限元法工具箱有限元法工具箱 4. 微分方程參數(shù)設(shè)定微分方程參數(shù)設(shè)定1 點(diǎn)擊，設(shè)置方程，彈出窗口點(diǎn)擊，設(shè)置方程，彈出窗口2 拋物線型拋物線型d=1 c=1 a=0 f=02222*( )*0d udiv cgrad ua ufuuutxy計(jì)算物理學(xué)87/435.3 matlab有限元法工具箱有限元法工具箱 5. 網(wǎng)格剖分網(wǎng)格剖分點(diǎn)擊，網(wǎng)格剖分點(diǎn)擊，網(wǎng)格剖分點(diǎn)擊，加密網(wǎng)格點(diǎn)擊，加密網(wǎng)格計(jì)算物理學(xué)88/435.3 matlab有限元法工具箱有限元法工具箱 6. 初值和誤差設(shè)置初值和誤差設(shè)置單擊單擊Solve菜單中的菜單中的Paramenters計(jì)算物理學(xué)89/435.3 matlab有限元法工具箱有限元法工具箱 7. 解