數(shù)值分析試卷及答案

1、二1 求A的LU分解，并利用分解結(jié)果求解 由緊湊格式故 從而 故2 求證：非奇異矩陣不一定有LU分解證明 設(shè)非奇異，要說明A不一定能做LU分解，只需舉出一個(gè)反例即可?，F(xiàn)考慮矩陣，顯然A為非奇異矩陣。若A有LU分解，則故，而，顯然不能同時(shí)成立。這矛盾說明A不能做LU分解，故只假定A非奇異并不能保證A能做LU分解，只有在A的前階順序主子式時(shí)才能保證A一定有LU分解。3 用追趕法求解如下的三對(duì)角方程組解 設(shè)有分解由公式其中分別是系數(shù)矩陣的主對(duì)角線元素及其下邊和上邊的次對(duì)角線元素，故有從而有故 ，故 ，4 設(shè)A是任一階對(duì)稱正定矩陣，證明是一種向量范數(shù)證明 （1）因A正定對(duì)稱，故當(dāng)時(shí)，而當(dāng)時(shí)，（2）對(duì)任

2、何實(shí)數(shù)，有（3）因A正定，故有分解，則故對(duì)任意向量和，總有綜上可知，是一種向量范數(shù)。5 設(shè)，已知方程組的精確解為（1）計(jì)算條件數(shù)；（2）若近似解，計(jì)算剩余；（3）利用事后誤差估計(jì)式計(jì)算不等式右端，并與不等式左邊比較，此結(jié)果說明了什么？解 （1）（2）（3）由事后誤差估計(jì)式，右端為而左端 這表明當(dāng)A為病態(tài)矩陣時(shí)，盡管剩余很小，誤差估計(jì)仍然較大。因此，當(dāng)A病態(tài)時(shí)，用大小作為檢驗(yàn)解的準(zhǔn)確度是不可靠的。6 矩陣第一行乘以一數(shù)成為，證明當(dāng)時(shí)，有最小值證明 設(shè)，則又 故 從而當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有最小值，且7 討論用雅可比法和高斯-賽德爾法解方程組時(shí)的收斂性。如果收斂，比較哪一種方法收斂較快，其中 解 對(duì)雅可比方

3、法，迭代矩陣 ，故雅可比法收斂。對(duì)高斯-賽德爾法，迭代矩陣，故高斯-賽德爾法收斂。因=故高斯-賽德爾法較雅可比法收斂快。8 設(shè)，求解方程組，求雅可比迭代法與高斯-賽德爾迭代法收斂的充要條件。解 雅可比法的迭代矩陣 ，故雅可比法收斂的充要條件是。高斯-賽德爾法的迭代矩陣，故高斯-賽德爾法收斂的充要條件是。9 設(shè)求解方程組的雅可比迭代格式為，其中，求證：若，則相應(yīng)的高斯-賽德爾法收斂。證明 由于是雅可比法的迭代矩陣，故 又，故，即，故故系數(shù)矩陣A按行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，從而高斯-賽德爾法收斂。10 設(shè)A為對(duì)稱正定矩陣，考慮迭代格式求證：（1）對(duì)任意初始向量， 收斂； （2）收斂到的解。證明 （1）所給格

4、式可化為這里存在是因?yàn)?，由A對(duì)稱正定，故也對(duì)稱正定。設(shè)迭代矩陣的特征值為，為相應(yīng)的特征向量，則與做內(nèi)積，有因正定，故，從而，格式收斂。（2） 設(shè)收斂到，則即，即收斂到的解。三1 設(shè)且求證：證明 以和為插值節(jié)點(diǎn)建立的不超過一次的插值多項(xiàng)式應(yīng)用插值余項(xiàng)公式有 2 求一個(gè)次數(shù)不高于4次的多項(xiàng)式，使它滿足解法一（待定參數(shù)法） 滿足的Hermite插值多項(xiàng)式為設(shè)，令得于是解法二（帶重節(jié)點(diǎn)的Newton插值法） 建立如下差商表這樣可以寫出Newton插值公式 3 設(shè)，在上取，按等距節(jié)點(diǎn)求分段線性插值函數(shù)，計(jì)算各節(jié)點(diǎn)間中點(diǎn)處與的值，并估計(jì)誤差解 步長(zhǎng)，在區(qū)間上的線性插值函數(shù) 分段線性插值函數(shù)定義如下， 各區(qū)

5、間中點(diǎn)的函數(shù)值及插值函數(shù)值如表所示估計(jì)誤差：在區(qū)間上 而令得的駐點(diǎn)，于是故有結(jié)論， 右端與無關(guān)，于是有， 四1 確定參數(shù)和，使得積分取得最小值，并計(jì)算該最小值解 本題實(shí)質(zhì)上是求，關(guān)于權(quán)函數(shù)的二次最佳平方逼近多項(xiàng)式選切比雪夫多項(xiàng)式為基函數(shù)進(jìn)行計(jì)算：于是得的二次最佳平方逼近多項(xiàng)式 進(jìn)而有參數(shù)最小值就是平方誤差： 2 對(duì)彗星1968Tentax的移動(dòng)在某個(gè)極坐標(biāo)系下有如表所示的觀察數(shù)據(jù)                  &

6、#160;    假設(shè)忽略來自行星的干擾，坐標(biāo)應(yīng)滿足其中為參數(shù)，為離心率，試用最小二乘法擬合和，并給出平方誤差解 由于關(guān)于參數(shù)和是非線性的，變形為，這樣有下表的數(shù)據(jù)記，得擬合模型求解法方程組得 進(jìn)而有，擬合方程為平方誤差為3 求函數(shù)在指定區(qū)間上關(guān)于的最佳平方逼近多項(xiàng)式解 對(duì)做線性變換，即利用勒讓德正交多項(xiàng)式為基建立的一次最佳平方逼近多項(xiàng)式的最佳平方逼近為五1 確定中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精確度盡量高，并指明求積公式所具有的代數(shù)精確度。解 令，代入公式兩端并令其相等，得解得 令，得令，得故求積公式具有3次代數(shù)精確度。2 計(jì)算積分，若復(fù)化梯形公式，問區(qū)間應(yīng)分多

7、少等份才能使截?cái)嗾`差不超過 ？若改用復(fù)化辛普森公式，要達(dá)到同樣精確度，區(qū)間應(yīng)分多少等份？解 由于，故對(duì)復(fù)化梯形公式，要求即 。取，即將區(qū)間分為213等份時(shí)，用復(fù)化梯形公式計(jì)算，截?cái)嗾`差不超過。用復(fù)化辛普森公式，要求即。取，即將區(qū)間等分為8等份時(shí)，復(fù)化辛普森公式可達(dá)精度。3 確定求積公式中的系數(shù)，使代數(shù)精確度盡量高，并給出的表達(dá)式。公式中。解 這是一個(gè)帶權(quán)的且?guī)?dǎo)數(shù)值的求積公式。為了積分方便，設(shè)該求積公式對(duì)準(zhǔn)確成立，得化簡(jiǎn)得解得又因?yàn)楣是蠓e公式具有3次代數(shù)精確度。下面估計(jì)求積公式的余項(xiàng)。設(shè)在上三次插值多項(xiàng)式為，即滿足。因前述求積公式具有3次代數(shù)精確度，故它對(duì)于是準(zhǔn)確成立的，且因此有注意到在上不變

8、號(hào)，故余項(xiàng)4 已知。（1）推導(dǎo)以這3個(gè)點(diǎn)作為求積節(jié)點(diǎn)在上的插值型求積公式；（2）指明求積公式所具有的代數(shù)精確度；（3）用所求公式計(jì)算。解 （1）過這3個(gè)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式故其中故所求的插值型求積公式為（2）上述求積公式是由二次插值函數(shù)積分而來，故至少具有2次代數(shù)精確度。再將代入上述求積公式，有故上述求積公式具有3次代數(shù)精確度。（3）由于該求積公式具有3次代數(shù)精確度，從而為的精確度。5設(shè)。求證：（1）（2）（提示：直接使用泰勒展開即可得證）七1 對(duì)于迭代函數(shù)，試討論：（1） 當(dāng)為何值時(shí)，產(chǎn)生的序列收斂于；（2） 取何值時(shí)收斂最快？（3） 分別取計(jì)算的不動(dòng)點(diǎn)，要求解 （1），根據(jù)定理7.3，當(dāng)，亦即時(shí)

9、迭代收斂。（2）由定理7.4知，當(dāng)，即時(shí)迭代至少是二階收斂的，收斂最快。（3）分別取，并取，迭代計(jì)算結(jié)果如表7-4所示。01612131.21.481.4133695861.4142093031.414215327012341.21.3979898991.4141205051.4142135591.414213562此時(shí)都達(dá)到。事實(shí)上，2（牛頓迭代法收斂性定理）設(shè)在上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且滿足條件（1）；（2）在上；（3）滿足。則由牛頓迭代法產(chǎn)生的序列單調(diào)收斂于在內(nèi)的唯一實(shí)根，并且是平方收斂的。證明 因在上連續(xù)，由條件（1）知，方程在內(nèi)有根。又由條件（2）知在上恒正或恒負(fù)，所以在上嚴(yán)格單調(diào)，因而是在內(nèi)的唯一實(shí)根。條件（1）（2）共有四種情形：（1）（2）（3）（4）僅就（1）進(jìn)行定理證明，其余三種情況證明方法類似。由，可知，再由知單增且。又由牛頓迭代法知由臺(tái)勞展開的其中介于，之間。利用得由以及前面證明的有一般地，設(shè)，則必有且再由臺(tái)勞及，得根據(jù)歸納法原理數(shù)列單調(diào)下降有下界，因此有極限。設(shè)，對(duì)迭代式兩端取的極限，并利用，的連續(xù)性知即。由上述證明知，有關(guān)系式，即對(duì)于單根，牛頓迭代法是平方收斂的。3 給定函數(shù)