(完整word版)高三專題復(fù)習(xí)：直線與圓知識點及經(jīng)典例題(含答案),推薦文檔

1、【高考專題資料】整理人：智名堂文韜第1頁共 7 頁專題:圓的方程、直線和圓的位置關(guān)系【知識要點】圓的定義：平面內(nèi)與一定點距離等于定長的點的軌跡稱為圓（一）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形如：（x a）2（y b）2r2這個方程叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。-說明：1 1、若圓心在坐標(biāo)原點上，這時a b 0,則圓的方程就是x2y2r2。2、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個基本要素：圓心坐標(biāo)和半徑；圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小，從而確定了圓，所以，只要 a,b,ra,b,r 三個量確定了且 r r 0 0,圓的方程就給定了。圓的一般方程的特點：（i i）x2和 y2的系數(shù)相同，不等于零；（iiii）沒有 xyxy 這樣的二次項。（三）

2、直線與圓的位置關(guān)系1 1、直線與圓位置關(guān)系的種類（1 1）相離-求距離；2 2、直線與圓的位置關(guān)系判斷方法:幾何方法主要步驟:（1 1）把直線方程化為一般式，利用圓的方程求出圓心和半徑（2 2）利用點到直線的距離公式求圓心到直線的距離就是說要確定圓的方程，必須具備三個獨立的條件-確定 a,b,ra,b,r,可以根據(jù)3 3 個條件，利用待定系數(shù)法來解決。將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(y的程都可以:成: :x22yDxb)2Ey2 2 2r，展開可得x y 2 ax 2byF 0。0的方程的曲線是不是圓?0左邊配方得：（xD2ED)(y/(1)與標(biāo)準(zhǔn)y2Dx Ey4Fy2Dx Ey20時，方程x2 2

3、 2a b r 0?？梢?，任何一個圓.D2E24F)2方程x2y2Dx Ey0表示以（-,-）為圓2 2F0只有實數(shù)解，解為xD E，y亍所以表示一個F 0沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形。y Dx Ey F 0稱為圓的一般方程. .相切-求切線;（3 3） 相交-求焦點弦長。（二） 圓的一般方程【高考專題資料】整理人：智名堂文韜第2頁共 7 頁（3 3）作判斷：當(dāng) drdr 時，直線與圓相離；當(dāng) d d= r r 時，直線與圓相切；當(dāng) drdr 時，直線與圓相交。 代數(shù)方法主要步驟：【高考專題資料】整理人：智名堂文韜y2r2上時，切線方程為：x)x yy r2；2 2 2a) (y b) r

4、上時，切線方程為：(xa)(x a) (yb)(y b) r類型一：圓的方程B(3, 2)且圓心在直線y 0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點P(2,4)與圓的關(guān)系.變式 1 1：求過兩點A(1,4)、B(3,2)且被直線y 0平分的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 變式 2 2：求過兩點A(1,4)、B(3,2)且圓上所有的點均關(guān)于直線y 0對稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. .的距離和圓的半徑的大小關(guān)系，若距離大于半徑，貝U點在圓外；若距離等于半徑，貝U點在圓上；若距離小于半徑,則點在圓內(nèi).解法一：(待定系數(shù)法解法二：(直接求出圓心坐標(biāo)和半徑)判斷方法直線f與矗c的位置關(guān)系r At+/jv+c=o |(x-a)2A)2= r比較圓心

5、到直線1的距離d與圓的半 徑r的大小相交兩組不同的實數(shù)解d r(3)(4)求出其的值，比較與 0 0 的大?。寒?dāng) 000 時，直線與圓相交。(1)把直線方程與圓的方程聯(lián)立成方程組(2)利用消元法，得到關(guān)于另一個元的一元二次方程圓的切線方程總結(jié)：當(dāng)(X。，y)在圓x2當(dāng)點(X。，y)在圓(x【典型例題】分析：欲求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出圓心坐標(biāo)的圓的半徑的大小，而要判斷點P與圓的位置關(guān)系，只須看點P與圓心例 1 1 求過兩點A(1,4)、設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2 2a) (yb).圓心在y0上，故b 0.圓的方程為(xa)2又該圓過A(1,4)、B(3,2)兩點.(1(3a)216a)242r2解之得

6、：ar1,r220.所以所求圓的方程為(x 1)2y220因為圓過A(1,4)、B(3,2)兩點,所以圓心C必在線段AB的垂直平分線I上，又因為kAB【高考專題資料】整理人：智名堂文韜的斜率為 1 1,又AB的中點為(2,3)，故AB的垂直平分線I的方程為：y 3又知圓心在直線y 0上，故圓心坐標(biāo)為C( 1,0)半徑r第 2 頁共 7頁AC(1 1)242、20.【高考專題資料】整理人：智名堂文韜第5頁共 7 頁化簡整理得t26t 5 0.解得：t 1或t 5圓心是(1,3)， 半徑為 5或圓心是(5,15)， 半徑為5. 5. 所求圓的方程為(x 1)2(y 3)25或(x 5)2(y 15

7、)2125.說明：本題解決的關(guān)鍵是分析得到圓心在已知兩直線的交角平分線上，從而確定圓心坐標(biāo)得到圓的方程，這是過定點且與兩已知直線相切的圓的方程的常規(guī)求法.類型二：切線方程、切點弦方程、公共弦方程例 4 4、已知圓O: x2y24，求過點P 2,4與圓O相切的切線.解：點P 2,4不在圓O上，切線PT的直線方程可設(shè)為y kx 2 4r -2. .解得k3所以y -x 2.1 k24,4因為過圓外一點作圓得切線應(yīng)該有兩條，可見另一條直線的斜率不存在.易求另一條切線為x 2.故所求圓的方程為(xd | PC7(2 1)例 2 2： 求過三點O O(0 0,0 0),解：設(shè)圓的方程為：X X2242M

8、 M ( 1 1,+ y y2配方：(x x 4 4 )2+例 3 3:求經(jīng)過點A(0,5),r.點P在圓外.1 1), N N (4 4, 2 2)的圓的方程，并求出這個圓的圓心和半徑。 +DxDx + EyEy + F F =0 0,將三個點的坐標(biāo)代入方程0 0, D D =8 8, E E =3 3 )2= 2525 圓心:F F =(y+且與直線x 2y 0和2x y6 6圓方程為：x x2+ y y28x8x + 6y6y = 0 0(4(4,3 3 ),半徑 r r = 5 50都相切的圓的方程.分析：欲確定圓的方程需確定圓心坐標(biāo)與半徑，由于所求圓過定點A，故只需確定圓心坐標(biāo).又圓

9、與兩已知直線相切，故圓心必在它們的交角的平分線上.解：圓和直線x 2y 0與2xy 0相切，圓心C在這兩條直線的交角平分線上,又圓心x 2y 0和2xy 0的距離相等x 2y52y.兩直線交角的平分線方程是x 3y 0或3x y0.又圓過點A(0,5)，圓心C只能在直線3x y 0上.設(shè)圓心C(t,3t) /C到直線2x y0的距離等于.t2(3t5)2.根據(jù)d4即3x 4y 100【高考專題資料】整理人：智名堂文韜第6頁共 7 頁說明：上述解題過程容易漏解斜率不存在的情況，要注意補回漏掉的解.本題還有其他解法，例如把所設(shè)的切線方程代入圓方程，用判別式等于0 0 解決(也要注意漏解).還可以運

10、用2xx yy r,求出切點坐標(biāo)x、y的值來解決，此時沒有漏解.例 5 5、自點 A(-3,3)A(-3,3)發(fā)出的光線 I I 射到 x x 軸上，被 x x 軸反射，其反射光線所在直線與圓x2y24x 4y 7 0相切, 求光線所在直線方程。例 6 6、兩圓Ci：x2y2DixEiyFi0與C2：x2y2D?xE?yF20相交于A、B兩點，求它們的公共弦AB所在直線的方程.分析：首先求A、B兩點的坐標(biāo)，再用兩點式求直線AB的方程，但是求兩圓交點坐標(biāo)的過程太繁.為了避免 求交點，可以采用 設(shè)而不求的技巧.解：設(shè)兩圓Ci、C2的任一交點坐標(biāo)為(x, y),則有：2Xo2y。Dix0EiyFi0

11、2X。2y。D2x0E2y0F20得：(DiD2)x0(EiE2)yFiF20./A、B的坐標(biāo)滿足方程(DiD2)X(EiE2)yFiF20.方程(DiD2)x (EiE2)yFiF20是過A、B兩點的直線方程.又過A、B兩點的直線是唯一的兩圓Ci、C2的公共弦AB所在直線的方程為(DiD2)x (EiE2)yFiF20.說明：上述解法中，巧妙地避開了求A、B兩點的坐標(biāo)，雖然設(shè)出了它們的坐標(biāo)，但并沒有去求它，而是利用曲線與方程的概念達到了目標(biāo).從解題的角度上說，這是一種設(shè)而不求”的技巧，從知識內(nèi)容的角度上說，還體現(xiàn)了對曲線與方程的關(guān)系的深刻理解以及對直線方程是一次方程的本質(zhì)認識它的應(yīng)用很廣泛.

12、例 7 7、求過點M (3,i)，且與圓(x i)2y24相切的直線丨的方程.解：設(shè)切線方程為y i k(x 3)，即kx y 3k i 0 ,圓心(i,0)到切線丨的距離等于半徑2,Ik 3k il33-2，解得k,切線方程為y i -(x 3)，即3x 4y i3 0, k2i244當(dāng)過點M的直線的斜率不存在時，其方程為x 3，圓心(i,0)到此直線的距離等于半徑2，故直線x 3也適合題意。所以，所求的直線丨的方程是3x 4y i3 0或x 3.【高考專題資料】整理人：智名堂文韜第7頁共 7 頁補充：圓x2y2Dx Ey F 0的切點弦方程:第8頁共 7 頁【高考專題資料】整理人：智名堂文

13、韜證明；設(shè)f(屯BIC：十十亍+。工十馬十幷一點過點P作圓C的妁兩管切誠，切點 I、叭團直找AB妁方卷是：倉;1+】姑丁 +芒蘭D +丄三工疋+尸0*證明：曰甲和幾何知誤昜,弦AB是國?與尿只0汐直經(jīng)喝慮的圜的相交弦.DE以P,C尙更徑奘點的同的方程是：總*=X工X)* 3 +7)(尹-3 J一0,洋：xyr -yoy + 21-11E+ F - 0,類型三：弦長、弧問題J3，故弦長AB 2 右2d22，從而 OABOAB 是等邊三角形，故截得的劣弧所對的圓心角為AOB . .3例 1010、圓 C C：(x 1)2(y 2)225，直線(2m 1)x (m 1)y 7m 40(m R),(I

14、)證明：不論 m m 取何值時，I與 C C 恒有兩個交點；(n)求最短弦長所在直線方程。分析：本題最關(guān)鍵的是直線交點系方程的轉(zhuǎn)化，挖掘出直線恒過定點。再探究定點在圓內(nèi)，下一步只需要去探究 點到直線的距離最大時，直線方程是什么。類型四：直線與圓的位置關(guān)系2 2例 1111、已知直線3x y 2 3 0和圓x y4，判斷此直線與已知圓的位置關(guān)系例 8 8、求直線l:3x y 60被圓C：x2y22x4y 0截例 9 9、直線X3x y 2 30截圓x2y24得的劣弧所對的圓心角為解：依題意得，弦心距d又兀 十十 Qh 十)十尸=0 =*+”！*-*-+*:D第9頁共 7 頁例 1212、若直線y

15、 x m與曲線y . 4 x2有且只有一個公共點，求實數(shù)m的取值范圍【高考專題資料】整理人：智名堂文韜第10頁共 7 頁2 m 2或m 2 2. .- l1與。1相切，與圓。1有一個公共點；I2與圓。1相交，與圓。1有兩個公共點即符合題意的點共3 3 個.類型五：圓中的最值問題(2)(2)已知圓O2:(x 2)2y21,P(x, y)為圓上任一點求 匚2的最大、最小值，求x 2y的最大、最小x 1值.分析：(1)(1)、兩小題都涉及到圓上點的坐標(biāo)，可考慮用圓的參數(shù)方程或數(shù)形結(jié)合解決本題類比于20172017 年高考理科全國二卷 1212 題，這類型題目的處理方法就是通過幾何意義用線性規(guī)劃的思路

16、來處理，或者用圓的參數(shù)方程， 分別把 x,x,y y表示出來，通過研究三角函數(shù)的最值研究。解：(1)(1)圓上點到原點距離的最大值d1等于圓心到原點的距離 d d；加上半徑 1 1,圓上點到原點距離的最小值d2等于圓心到原點的距離d；減去半徑1.所以d1. 32421 6d232421 4.解：曲線y .4 x2表示半圓x2y24( y 0),利用數(shù)形結(jié)合法，可得實數(shù)m的取值范圍是例 1313、圓(x 3)2(y 3)29上到直線3x 4y 110的距離為 1 1 的點有幾個?分析：借助圖形直觀求解或先求出直線11、|2的方程，從代數(shù)計算中尋找解答.2 2解法一：圓(x 3) (y 3)9的圓

17、心為。1(3,3)，半徑r 3設(shè)圓心Q到3 3 4 3 11直線3x 4y 110的距離為d，則d23如圖，在圓心O13242同側(cè)，與直線3x 4y 110平行且距離為 1 1 的直線|1與圓有兩個交點，這兩個交點符合題意.又r d 3 21.與直線3x 4y 110平行的圓的切線的兩個切點中有一個切點也符合題意符合題意的點共有3 3 個.解法3x 4y 11 0,且與之距離為 1 1 的直線和圓的交點.設(shè)所求直線為3x 4y m 0,則dm 113242115，即m6，或m 16，也即h：3x 4y 60,或l2：3x 4y 160設(shè)圓2 2Q:(x 3) (y 3)9的圓心到直線l1、I2

18、的距離為d1、d2,則d13 3 4 3324263，d23343 161.3242例 1414、圓x2y24x 4y 100上的點到直線x y 14解：圓(x2)2 (y2)2 18的圓心為(2 2, 2 2),半徑r直線與圓相離，圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是0的最大距離與最小距離的差是3-2，圓心到直線的距離(d r) (d r) 2rd106 汕例 1515、(1)(1)已知圓O1：(x 3)2(y 4)21,P(x, y)為圓O上的動點，求d2 2x y的最大、最小值.【高考專題資料】整理人：智名堂文韜第11頁共 7 頁類型六：直線與圓的綜合2 2例 1717、在平面直角坐標(biāo)系 x0yx0y 中，經(jīng)過點(0 0, 3 3)且斜率為 k k 的直線 I I 與圓x y 4有兩個不同的交點 P P、Q Q。(1)求 k k 的取值范圍；(2)設(shè) A(2,0),B(0,1)A(2,0),B(0,1)