胡不歸與阿氏圓問題精講(已印)

1、中考數(shù)學(xué)培優(yōu)之胡不歸與阿氏圓問題精講一、胡不歸問題模型話說，從前有一小伙子外出務(wù)工， 某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家小伙子略懂數(shù)學(xué)常識，考慮到“ 兩點之間線段最短 ” 的知識，就走布滿沙石的路直線路徑， 而忽視了走折線雖然路程多但速度快的實際情況，當趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著 “ 胡不歸？胡不歸？ ”這個問題引起了人們的思索，小伙子能否節(jié)省路上時間提前到家？如果可以，他應(yīng)該選擇一條怎樣的路線呢？這就是流傳千百年的“ 胡不歸問題如圖，a 是出發(fā)點， b 是目的地，直線 ac 是一條驛道，而驛道靠目的地一側(cè)全是砂土，為了選擇

2、合適的路線，根據(jù)不同路面速度不同（驛道速度為a 米/秒，砂土速度為 b 米/秒），小伙子需要在ac 上選取一點 d，再折往至 b例題： 2019年長沙中考數(shù)學(xué)第12 題二、胡不歸問題典型題目匯總1.如圖所示，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)cbxaxy2的圖象經(jīng)過點a(-1.0)、b)3,0()、c(2,0)，其對稱軸與 x 軸交于點 d。（1）求二次函數(shù)的表達式及其頂點坐標。（2）若 p 為 y 軸上的一動點，連接pd，則pdpb21的最小值為 _ 。（3）tsm,為拋物線對稱軸上的一個動點。若平面內(nèi)存在點n，使得以 a、b、m、n 為頂點的四邊形為菱形，則這樣的點 n 共有_個。連接 ma 、

3、mb，若amb 不小于60，求 t 的取值范圍。2.二次函數(shù)cxaxy22的圖象與 x 軸交于 a、c 兩點,點 c（3，0）,與 y 軸交于點 b（0，3）. (1)a=_,c=_. (2)如圖 1,p是 x 軸上一動點 ,點 d（0，1）在 y 軸上,連接 pd,求pcpd2的最小值; (3)如圖 2,點 m 在拋物線上 ,若3mbcs,求點 m 的坐標 . 3.如圖 1,在平面直角坐標系中 ,直線 l 與 x 軸、y 軸分別交于點 b（4，0） 、c（0，3）,點 a 為 x 軸負半軸上一點 ,bcam于點 m 交 y 軸于點 n,滿足 4cn5on.已知拋物線cbxaxy2經(jīng)過點 a、

4、b、c. (1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式 ; (2)連接 ac,點 d 在線段 bc 上方的拋物線上 ,連接 dc、db,若bcd和abc面積滿足abcbcdss53,求點 d 的坐標 ; (3)如圖 2,e 為 ob 中點,設(shè) f 為線段 bc 上一點 (不含端點 ),連接 ef.一動點 p 從 e出發(fā),沿線段 ef以每秒 1 個單位的速度運動到f,再沿著線段 fc 以每秒35個單位的速度運動到 c 后停止 .若點 p在整個運動過程中用時最少,請直接寫出最少時間和此時點 f 的坐標 . 4.如圖，拋物線nmxxy221與直線321xy交于 a， b 兩點，交 x 軸與 d，c 兩點，連接 ac，

5、已知 a(0,3),c(3,0)。（1）求拋物線的解析式和bactan的值。（2）p為 y 軸右側(cè)拋物線上一動點，連接pa，過點 p 作papq交 軸于點q，問：是否存在點p 使得以 a，p，q 為頂點的三角形與acb 相似？若存在，請求出所有符合條件的點p 的坐標；若不存在，請說明理由。設(shè) e 為線段 ac 上一點（不含端點），連接de，一動點 m 從點 d 出發(fā)，沿線段 de 以每秒一個單位速度運動到e 點，再沿線段 ea 以每秒2個單位的速度運動到 a 后停止，當點 e 的坐標是多少時，點m 在整個運動中用時最少？三、阿氏圓問題模型已知平面上兩定點a 、 b，則所有滿足pa/pb=k（k

6、 不等于 1）的點 p 的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿氏圓。 在初中的題目中往往利用逆向思維構(gòu)造 “ 斜 a” 型相似（也叫 “ 母子型相似 ” 或“ 美人魚相似 ” ）+兩點間線段最短解決帶系數(shù)兩線段之和的最值問題。四、阿氏圓問題典型題目匯總1、問題提出：如圖 1，在 rtabc 中， acb90 ，cb4，ca6，c 半徑為 2，p 為圓上一動點，連結(jié)ap，bp，求 ap21bp 的最小值嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路：如圖2，連接 cp，在cb 上取點 d，使 cd1，則有21cbcpcpcd，又 pcdbcp，pcdbcp，21bpp

7、d，pd21bp，ap21bpappd請你完成余下的思考，并直接寫出答案：ap21bp 的最小值為自主探索：在 “ 問題提出 ” 的條件不變的情況下，31apbp 的最小值為拓展延伸：已知扇形cod 中，cod90o ，oc6，oa3，ob5，點 p 是弧 cd 上一點，求 2papb的最小值2、如圖 ,在 rt?abc 中,acb=90,cb=4,ca=6,c 半徑為 2,p為圓上一動點 ,連結(jié) ap,bp,bpap21的最小值為 ( ) a.37b.6 c.172d.4 3、如圖,半圓的半徑為 1,ab 為直徑 ,ac、bd 為切線,ac=1,bd=2,p 為弧 ab 上一動點,求pdpc

8、22的最小值。(第 3 題) （ 第4題）4、如圖,半圓的直徑 ab=4,p 是 ab 上一動點 ,c、d 在半圓上 ,弧 bc、弧 bd 的度數(shù)分別是75和15,則 pc+pd的最小值為. 5、如圖，點 a、b 在 o 上，且 oa=ob=12，且 oaob，點 c 是 oa 的中點，點 d在上， 且obod=10。動點 p 在o 上，則 pc+pd21的最小值為。（第 5 題）（第 6 題）（第 7 題）6、在正方形 abcd 中， g 為正方形內(nèi)的一點，ad=4， p為 bc 的中點， 且 bg=bp，則 gd+gc21的最小值是。7、如圖，在?abc 中，b=90，ab=cb=2，以點

9、 b 為圓心作 b 于 ac 相切，p且b 上任意一點，求pcpa22的最小值. 8、如圖，在 rt?abc 中，acb=90,ac=4,bc=3,點 d 是 rt?abc 內(nèi)一動點，且滿足 cd=2，則 ad+32bd 的最小值為. 9、如圖， o 的半徑為2，po=10，mo=2,pom=90， q 為o 上一動點，則pq+qm22的最小值為. 10、 (1)如圖 1,已知正方形 abcd 的邊長為 4,圓 b 的半徑為 2,點 p 是圓 b 上的一個動點 ,求pcpd21的最小值和pcpd21的最大值 ; (2)如圖 2,已知正方形 abcd 的邊長為 9,圓 b 的半徑為 6,點 p是

10、圓 b 上的一個動點,求pcpd32的最小值為和pcpd32的最大值；(3)如圖 3,已知菱形 abcd 的邊長為 4,b=60,圓 b 的半徑為 2,點 p是圓 b 上的一個動點 ,那么pcpd21的最小值和pcpd21的最大值。11、已知，如圖 1，pab 為o 的割線，直線 pc與o 有公共點 c，且pbpapc2，（1）求證： pca=pbc；直線 pc 是o 的切線。（2）如圖 2，作弦 cd，使 cdab，連接 ad、bc，若 ad=2，bc=6，求 o的半徑。（3）如圖 3，若 o 的半徑為2，po=10，mo=2，pom=90，o 上是否存在一點 q，使得qmpq22有最小值，若存在，請求出這個最小值；若不存在，說明理由。12、如圖，在 ?ace 中，ca=ce，3