三角形全等之手拉手模型、倍長(zhǎng)中線、截長(zhǎng)補(bǔ)短法、旋轉(zhuǎn)、尋找三角形全等方法歸納總結(jié)

1、一、手拉手模型要點(diǎn)一：手拉手模型特點(diǎn)：由兩個(gè)等頂角的等腰三角形所組成，并且頂角的頂點(diǎn)為公共頂點(diǎn) 結(jié)論：（1）abd aec （2）+boc=180° （3）oa平分boc變形： 例1.如圖在直線的同一側(cè)作兩個(gè)等邊三角形與，連結(jié)與，證明（1）(2)(3) 與之間的夾角為(4)(5)(6) 平分(7)變式精練1：如圖兩個(gè)等邊三角形與，連結(jié)與，證明（1）（2）（3） 與之間的夾角為（4） 與的交點(diǎn)設(shè)為,平分變式精練2：如圖兩個(gè)等邊三角形與，連結(jié)與，證明（1）(2）(3） 與之間的夾角為(4） 與的交點(diǎn)設(shè)為,平分例2：如圖，兩個(gè)正方形與,連結(jié),二者相交于點(diǎn)問(wèn)：（1）是否成立？（2） 是否與相

2、等？（3） 與之間的夾角為多少度？（4） 是否平分？例3：如圖兩個(gè)等腰直角三角形與，連結(jié),二者相交于點(diǎn)問(wèn)：（1）是否成立？（2）是否與相等？（3）與之間的夾角為多少度？（4）是否平分？例4：兩個(gè)等腰三角形與，其中,連結(jié)與，問(wèn)：（1）是否成立？（2）是否與相等？（3）與之間的夾角為多少度？（4）是否平分？二、倍長(zhǎng)與中點(diǎn)有關(guān)的線段倍長(zhǎng)中線類考點(diǎn)說(shuō)明：凡是出現(xiàn)中線或類似中線的線段，都可以考慮倍長(zhǎng)中線，倍長(zhǎng)中線的目的是可以旋轉(zhuǎn)等長(zhǎng)度的線段，從而達(dá)到將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化的目的?！纠?】 已知：中，是中線求證：【練1】在中，則邊上的中線的長(zhǎng)的取值范圍是什么？【練2】如圖所示，在的邊上取兩點(diǎn)、，使，連接、，求證：

3、【例2】 如圖，已知在中，是邊上的中線，是上一點(diǎn)，延長(zhǎng)交于，求證：【練1】如圖，已知在中，是邊上的中線，是上一點(diǎn)，且，延長(zhǎng)交于，求證：【練2】如圖，在中，交于點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，求證：為的角平分線【練3】如圖所示，已知中，平分，、分別在、上，求證：【例3】 已知為的中線，的平分線分別交于、交于求證：【練1】在中，是斜邊的中點(diǎn)，、分別在邊、上，滿足若，則線段的長(zhǎng)度為_【練2】在中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別為、上的點(diǎn)，且（1）若，以線段、為邊能否構(gòu)成一個(gè)三角形？若能，該三角形是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形？（2）如果，求證【例4】 如圖所示，在中，延長(zhǎng)到，使，為的中點(diǎn)，連接

4、、，求證【練1】已知中，為的延長(zhǎng)線，且，為的邊上的中線求證：全等之截長(zhǎng)補(bǔ)短：人教八年級(jí)上冊(cè)課本中，在全等三角形部分介紹了角的平分線的性質(zhì)，這一性質(zhì)在許多問(wèn)題里都有著廣泛的應(yīng)用.而“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”又是解決這一類問(wèn)題的一種特殊方1. 如圖所示，中，ad平分交bc于d。求證：ab=ac+cd。如圖所示，在中，的角平分線ad、ce相交于點(diǎn)o。求證：ae+cd=ac。2. 如圖所示，已知，p為bn上一點(diǎn)，且于d，ab+bc=2bd，求證：。3. 如圖所示，在中，ab=ac，ce垂直于bd的延長(zhǎng)線于e。求證：bd=2ce。5如圖所示，在中，ad為的平分線，=30，于e點(diǎn)，求證：ac-ab=2be。6.如圖所

5、示，已知/cd，的平分線恰好交于ad上一點(diǎn)e，求證：bc=ab+cd。7.如圖，e是的平分線上一點(diǎn)，垂足為c、d。求證：（1）oc=od； （2）df=cf。7三、截長(zhǎng)補(bǔ)短問(wèn)題1：垂直平分線（性質(zhì)）定理是_問(wèn)題2：角平分線（性質(zhì)）定理是_問(wèn)題3：等腰三角形的兩個(gè)底角_，簡(jiǎn)稱_；如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊也_，簡(jiǎn)稱_問(wèn)題4：當(dāng)見到線段的_考慮截長(zhǎng)補(bǔ)短，構(gòu)造全等或等腰轉(zhuǎn)移_、轉(zhuǎn)移_，然后和_重新組合解決問(wèn)題三角形全等之截長(zhǎng)補(bǔ)短（一）一、單選題(共4道，每道25分)1.已知，如圖，bm平分abc，p為bm上一點(diǎn)，pdbc于點(diǎn)d，bd=ab+cd求證：bap+bcp=180°

6、;請(qǐng)你仔細(xì)觀察下列序號(hào)所代表的內(nèi)容：；1=2；a=bep；ap=pe；以上空缺處依次所填最恰當(dāng)?shù)氖? )a. b. c. d. 2.已知，如圖，bm平分abc，點(diǎn)p為bm上一點(diǎn)，pdbc于點(diǎn)d，bd=ab+dc求證：bap+bcp=180°請(qǐng)你仔細(xì)觀察下列序號(hào)所代表的內(nèi)容：延長(zhǎng)ba，過(guò)點(diǎn)p作peba于點(diǎn)e；延長(zhǎng)ba到e，使ae=dc，連接pe；延長(zhǎng)ba到e，使dc=ae；以上空缺處依次所填最恰當(dāng)?shù)氖? )a. b. c. d. 3.已知，如圖，在五邊形abcde中，ab=ae，ad平分cde，bae=2cad，求證：bc+de=cd請(qǐng)你仔細(xì)觀察下列序號(hào)所代表的內(nèi)容：在cd上截取cf=

7、cb，連接af；在dc上截取df=de，連接af；在dc上截取df=de；ae=af；af=ae，4=3；4=3；以上空缺處依次所填最恰當(dāng)?shù)氖? )a. b. c. d. 4.已知，如圖，在五邊形abcde中，ab=ae，bae=2cad，abc+aed=180°，求證：bc+de=cd請(qǐng)你仔細(xì)觀察下列序號(hào)所代表的內(nèi)容：延長(zhǎng)de到f，使ef=bc，連接af；延長(zhǎng)de到f，使bc=ef；延長(zhǎng)de到f，連接af；以上空缺處依次所填最恰當(dāng)?shù)氖? )a. b. c. d. 第11頁(yè)共19頁(yè)四、三角形全等旋轉(zhuǎn)與截長(zhǎng)補(bǔ)短專題問(wèn)題一：題中出現(xiàn)什么的時(shí)候，我們應(yīng)該想到旋轉(zhuǎn)？(構(gòu)造旋轉(zhuǎn)的條件)問(wèn)題二：

8、旋轉(zhuǎn)都有哪些模型？【例1】如圖，p是正abc內(nèi)的一點(diǎn)，若將pbc繞點(diǎn)b旋轉(zhuǎn)到pba ，則pbp的度數(shù)是( ) a45°b60° c90° d120° 【例2】如圖，正方形bafe與正方形acgd共點(diǎn)于a，連接bd、cf，求證：bdcf并求出doh的度數(shù)?！纠?】如圖，正方形abcd中，fadfae 。求證：bedfae。1題干中出現(xiàn)對(duì)圖形的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)成的全等2圖形中隱藏著旋轉(zhuǎn)位置關(guān)系的全等形找到并利用3題干中沒(méi)提到旋轉(zhuǎn)，圖形中也沒(méi)有旋轉(zhuǎn)關(guān)系存在通過(guò)作輔助線構(gòu)造旋轉(zhuǎn)！【例4】已知：如圖：正方形abcd中，man45°，man的兩邊分別交cb、dc于點(diǎn)

9、m、n。求證：bmdnmn?！纠?】如圖，正方形abcd中，eaf45°，連接對(duì)角線bd交ae于m，交af于n，證明：dn2bm2mn2 【例6】如圖，已知oab和ocd是等邊三角形，連結(jié)ac和bd，相交于點(diǎn)e，ac和bo交于點(diǎn)f，連結(jié)bc。求aeb的大小。 【例7】如圖所示：abc中，acb90°，acbc，p是abc內(nèi)的一點(diǎn)，且ap3，cp2， bp1，求bpc的度數(shù)。本課總結(jié)問(wèn)題一：題中出現(xiàn)什么的時(shí)候，我們應(yīng)該想到旋轉(zhuǎn)？(構(gòu)造旋轉(zhuǎn)的條件) 1圖中有相等的邊(等腰三角形、等邊三角形、正方形、正多邊形) 2這些相等的邊中存在共端點(diǎn)。3如果旋轉(zhuǎn)(將一條邊和另一條邊重合)，會(huì)

10、出現(xiàn)特殊的角：大角夾半角、手拉手、被分割的特殊角。問(wèn)題二：旋轉(zhuǎn)都有哪些模型？構(gòu)造旋轉(zhuǎn)輔助線模型：1大角夾半角2手拉手(尋找旋轉(zhuǎn)) 3被分割的特殊角測(cè)試題1如圖，p是正內(nèi)的一點(diǎn)，且bp是abc的角平分線，若將繞點(diǎn)p旋轉(zhuǎn)到，則的度數(shù)是( )a45°b60°c90°d120° 2如圖：abc中，abac，bc為最大邊，點(diǎn)d、e分別在bc、ac上，bdce，f為ba延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，bfcd，則下列正確的是( )adfde bdcdfcecead不確定3如圖，四邊形abcd中，abc30°，adc60°，addc，則下列正確的是( )abd2ab

11、2bc2 bbd2ab2bc2cbd2ab2bc2 d不確定4已知中，于，ae為角平分線交cd于f，則圖中的直角三角形有( )a7個(gè)b6個(gè)c5個(gè)d4個(gè)5如圖，daab，eaac，adab，aeac，則下列正確的是( )abcd6如圖，已知p為正方形abcd的對(duì)角線ac上的一點(diǎn)(不與a、c重合)，pebc與點(diǎn)e，pfcd與點(diǎn)f，若四邊形pecf繞點(diǎn)c逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連結(jié)be、df，則下列一定正確的是( )abpdpbbe2ec2bc2cbpdfdbedf7如圖，等腰直角adb與等腰直角aec共點(diǎn)于，連結(jié)、，則下列一定正確的是( )abedcbadcecbecedbece8如圖，等邊三角形與等邊三角形

12、共點(diǎn)于，連接、，則的度數(shù)為( ) a45°b60° c90° d120° 9如圖，在四邊形中，、分別是邊、上的點(diǎn)，且。則下列一定正確的是( )a bc d10在正方形abcd中，be3，ef5，df4，則baedcf為( )a45°b60° c90°d120°五、尋找全等三角形的幾種方法利用全等三角形的性質(zhì)可以證明分別屬于兩個(gè)三角形中的線段或角相等. 在證明線段或角相等時(shí)，解題的關(guān)鍵往往是根據(jù)條件找到兩個(gè)可能全等的三角形，再證明這兩個(gè)三角形全等，最后得出結(jié)論下面介紹尋找全等三角形的幾種方法，供同學(xué)們參考一、利用公共

13、角例 1 如圖 1，ab ac, ae af. 求證: b c.分析：要證明b c，只需證明boecof 或abface. 而由圖形可知a 是公共角，又由已知條件 ab ac, ae af,所以abface，于是問(wèn)題獲證二、利用對(duì)頂角（題目中的隱含條件）例 2 如圖 2，b、e、f、d 在同一直線上，ab cd，be df，ae cf，連接 ac 交 bd 于點(diǎn) o求證： ao co分析：要證明 ao co，只需證明aoecof 或aobcod 即可根據(jù)現(xiàn)有條件都無(wú)法直接證明而由已知條件 ab cd，be df, ae cf 可直接證明abecdf，則 有aebcfd，進(jìn)而有aeo cfo,再

14、 利 用 對(duì) 頂 角 相 等，即可 證 明。三、利用公共邊（題目中的隱含條件）例 3 如圖 3，ab cd，ac bd求證：b c分析：設(shè) ac 與 bd 交于點(diǎn) o，此時(shí)b 與c 分別在aob和doc 中，而用現(xiàn)有的已知條件是不可能直接證明這兩個(gè)三角形全等的，需添加輔助線來(lái)構(gòu)造另一對(duì)全等三角形此時(shí)可以連接 ad，那么 ad是abd 和dca 的公共邊，這樣可以證明abddca四、利用相等線段中的公共部分例 4 如圖 4，e、f 是平行四邊形 abcd 的對(duì)角線 ac 上的兩點(diǎn)，af ce. 求證：bedf.分析：要證明 bedf, 只需證明bec dfa，此時(shí)可以轉(zhuǎn)換為證明aeb cfd,

15、進(jìn)而證明aebcfd.五、利用等角中的公共部分例 5 如圖 5，已知e 30°，ab ad，ac ae，baedac求c 的度數(shù)分析：已知e 30°，要求c，可考慮證明abcade,由bae dac,結(jié)合圖形可知bac dae，于是問(wèn)題獲解六、利用互余或互補(bǔ)角的性質(zhì)考點(diǎn)：同角或等角的余角相等例 6 如圖 6，已知dce 90°，dac 90°，beac 于b, 且 dc ec, 能否找出與 ab+ad 相等的線段，并說(shuō)明理由分析：由于 ac ab+bc，可以猜想 ac ab+ad，或 be ab+ad，此時(shí)只需證明 ad bc 即可而事實(shí)上，用同角的余角

16、相等可得到dca e，從而證明adcbce，問(wèn)題獲證例7，如圖71，在正方形abcd中，m,n分別是cd，ad上的點(diǎn)，bm與cn相交于點(diǎn)o,若bon=90°，求證：dnc cmb.變式：如圖72，在等邊abc中，m,n分別是ac,ab上的點(diǎn)，bm與cn相交于點(diǎn)o,若bon=60°，求證:anccmb七、利用角平分線的性質(zhì)（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）構(gòu)造全等三角形考點(diǎn)一：利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等例8，如圖8，點(diǎn)p是abc的平分線bn上一點(diǎn)，pe垂直ab所在的直線與e,pf垂直bc所在的直線于f,pab+pcb=180°。求證pa=pc.考點(diǎn)二：利用截長(zhǎng)補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形所謂截長(zhǎng)法是指在較長(zhǎng)得到線段上截取一條線段等于較短線段，而補(bǔ)短法是指延長(zhǎng)較短的線段等于較長(zhǎng)的線段，通過(guò)截長(zhǎng)補(bǔ)短可把分散的條件相對(duì)集中，以便構(gòu)造全等三角形。例9，如圖9，在abc中，c2b，12. 求證：ab=ac+cd. 分析：從結(jié)論分析，“截長(zhǎng)”或“補(bǔ)短”都可實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，即延長(zhǎng)ac至e使ce=cd，或在ab