微分學(xué)的定理及應(yīng)用

1、會(huì)計(jì)學(xué)1微分學(xué)的定理及應(yīng)用微分學(xué)的定理及應(yīng)用第3.1節(jié) 中值定理第3.2節(jié) LHospital法則第3.3節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值第3.4節(jié) 曲線(xiàn)的凸性、漸近線(xiàn)第3.5節(jié) 函數(shù)作圖第3.6節(jié) 曲率第3.7節(jié) 經(jīng)濟(jì)中的優(yōu)化問(wèn)題第3.8節(jié) Mathematica環(huán)境下求函數(shù)的極值第3章 微分學(xué)的定理及應(yīng)用 證 明證 明 不 妨 設(shè)是的 極 大 值 點(diǎn) ， 則 當(dāng)充 分 小 時(shí) ， 有因?yàn)樵邳c(diǎn)處可導(dǎo)，所以當(dāng)時(shí)有 0)()(lim)()( 00000 xxfxxfxfxfx0)()(lim)()( 00000 xxfxxfxfxfx第3.1節(jié) 中值定理定義 導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù)的駐點(diǎn)。 Ferm

2、at定理指出函數(shù)曲線(xiàn)內(nèi)可導(dǎo)的極值點(diǎn)一定為駐點(diǎn) 。由于 f(a)= f(b)，因此最大值 M 和最小值 m，至少有一個(gè)在區(qū)間內(nèi)部取得，不妨設(shè)存在(a，b)，使得 f()=M.顯然也是 f(x)的極大值點(diǎn)，且)(xf在點(diǎn)處可導(dǎo)。 注注 作為 Rolle 定理的三個(gè)充分條件是缺一不可的， 否則就有可能定理的結(jié)論不成立。 （請(qǐng)舉例說(shuō)明請(qǐng)舉例說(shuō)明） Rolle定理的幾幾何何意意義義：如果連續(xù)曲線(xiàn)弧AB上每一點(diǎn)都有不垂直于x軸的切線(xiàn)， 并且兩端點(diǎn)BA,處于同一水平線(xiàn)， 則在A(yíng)B上至少有一條切線(xiàn)與x軸平行，見(jiàn)圖。 yooABab12注 作為Rolle定理的三個(gè)充分條件是缺一不可的，否則就有可能定理的結(jié)論不成

3、立。（請(qǐng)舉例說(shuō)明） 定定理理（Lagrange） 若函數(shù) f(x)在a，b上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)(a，b)，使得 abafbff )()()( 幾何意義yooABab12說(shuō)明ababf lnln1)(.lnaababbab 兩個(gè)推論第3.2節(jié) LHospital法則同樣如果,)(lim,)(lim00 xgxfxxxx當(dāng)0 xx 時(shí)， 我們也無(wú)法確定)()(xgxf的變化趨勢(shì)， 這也是一種不定式， 稱(chēng)為 型的不定式。 此外還有00,1 ,0 ,0 等諸多類(lèi)型的不定式。以下我們以00型和 型為基礎(chǔ)來(lái)討論如何求不定式的極限。而對(duì)于其余幾種類(lèi)型的不定式，一般均可化為這兩種不定式來(lái)

4、解決。 00 型未定式型未定式 定理定理 設(shè)函數(shù) f(x),g(x)滿(mǎn)足條件: （1）在0 x點(diǎn)附近(0 x點(diǎn)除外)，f(x),g(x)均可導(dǎo)，且0)( xg （2）, 0)(lim, 0)(lim00 xgxfxxxx （3）Axgxfxx )()(lim0 則)()(lim0 xgxfxx存在，且有 Axgxfxgxfxxxx )()(lim)()(lim00 (A 可以是無(wú)窮大) 1注616sinlim3cos1limsinlim02030 xxxxxxxxxx20!lim) 1(limlimlim21xxxnxxnxxnxenexnnenxex1一般，將以上五種類(lèi)型的未定式化為00或這

5、兩種未定式來(lái)解決。30lim11lim1lnlimlnlim02000 xxxxxxxxxxx0sincos2sinlimcossincos1limsinsinlim)1sin1(lim0000 xxxxxxxxxxxxxxxxxx1limlim0lnlimln000 eeexxxxxxxxx1)sincos1(lim1)sin(cot1limlncotlnlim0200 xxxxxxxxxxx.2arctan11lim1112arctan12lim1)arctan2ln(lim)arctan2ln(lim2222xxxxxxxxxxxxxx第3.3節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值)()()(12

6、12xxfxfxf 注求函數(shù)最值的一般方法和步驟： 第3.4節(jié) 曲線(xiàn)的凸性、漸近線(xiàn)yxab1x2x221xx )(xfy yxab1x2x221xx )(xfy 下凸圖形上凸圖形拐點(diǎn) xyo)(xfy MMxyo)(xfMM注第3.5節(jié) 函數(shù)作圖函數(shù)作圖的步驟 o x y -1 -2 1 20.40.30.20.1Oy)(xfy 0MM1Ma0 xxxxbyyyxyssO第3.6節(jié) 曲率求弧函數(shù)的微分弧微分1A2A1B2BxyOxyO1A2A3A121圖2圖ABsxyO)(xfy 3圖曲率的計(jì)算RA1AO1O1Rl圖4第3.7節(jié) 經(jīng)濟(jì)中的優(yōu)化問(wèn)題經(jīng)濟(jì)意義函數(shù)表達(dá)式的格式函數(shù)表達(dá)式的格式意義意義

7、Solveeqn,x求次數(shù)不超過(guò)4的多項(xiàng)式方程的所有的根（包括復(fù)根）NSolveeqn,x求多項(xiàng)式方程的所有根的近似形式FindRooteqn,x,x0求超越方程eqn的在初值x0為附近的一個(gè)近似根 求一元方程的根 第3.8節(jié) Mathematica環(huán)境下求函數(shù)的極值 2. 一元函數(shù)的極值 求一元函數(shù)極小值的函數(shù)表達(dá)式函數(shù)表達(dá)式的格式函數(shù)表達(dá)式的格式意義意義FindMinimumf(x),x, x0搜索f(x)在x0附近的局部極小值，返回形式為：極小值，x-極值點(diǎn)FindMinimumf(x),x, x0, x1以x0, x1為初值搜索f(x)的極值，如果f(x)沒(méi)有導(dǎo)數(shù)時(shí)，必須用此函數(shù)FindMinimumf(x),x, x0, a, b以x0為初值搜索f(x)在a, b內(nèi)的極值由于 f(a)= f(b)，因此最大值 M 和最小值 m，至少有一個(gè)在區(qū)間內(nèi)部取得，不妨設(shè)存在(a