七、線性變換習(xí)題課

1、七、線性變換習(xí)題課1復(fù)習(xí)線性變換的概念 例1 將C看成R上的線性空間，變換是線性的，看成C上的線性空間則不是。證明：R上：有=            又            故A是R上線性空間C的線性變換。      C上：取及，有，而  ，故A不是C上線性空間C的線性變換。由上例，變換A是否為線性變換與所討論的數(shù)域

2、有關(guān)。2利用運(yùn)算的意義，運(yùn)算律推證線性變換的等式，利用線性變換與n階方陣代數(shù)同構(gòu)解決有關(guān)問題。            例2 設(shè)A,B是線性變換，如果證明：           ，（k>0）證明: 由已知,對k=1結(jié)論成立,故考慮用數(shù)學(xué)歸納法.     對k用歸納法.當(dāng)k=1時(shí)結(jié)論成立. K=2時(shí),由已知    

3、=AB=(BA+E)A+A-BA2             =BA2+A+A-BA2=2A  結(jié)論成立.     設(shè)當(dāng)k時(shí)結(jié)論成立,即,也即.     當(dāng)k+1時(shí),                   

4、0;      =ABAk+AkAk-1-BAk+1=(BA+E)Ak+kAk-BAk+1                         =BAk+1+Ak+kAk-BAk+1=(k+1)Ak     所以結(jié)論對k+1也成立,從而對一切k1成立.  

5、;        例3 設(shè)V是數(shù)域P上n維線性空間,證明:V的與全體線性變換交換的線性變換是數(shù)乘變換.證明: 需要表達(dá)出線性變換,聯(lián)系到某基下的矩陣.     設(shè)令A(yù),B在某基下的矩陣分別為A,B.                         &

6、#160;因?yàn)?所以由得AB=BA.由的任意性,也是任意的,從而存在某個(gè)k使得A=kE為數(shù)量陣(P.204,ch.4.ex.7.3),于是為數(shù)量變換.有了變換乘積,進(jìn)一步可考慮可逆變換.3. 系統(tǒng)小結(jié)可逆線性變換的的等價(jià)條件,并舉例說明一些基本論證方法.  A可逆10 存在使=E.         A是雙射.         A在基下的矩陣A可逆有限維  例4 設(shè)是線性空間V的一組基,A是V上的線性變換,證明:可逆當(dāng)

7、且僅當(dāng)線性無關(guān).證明:證法一:“” ,若=0,有B()=0,即=0, =0,即線性無關(guān).“” 線性無關(guān),     因dimV=n,故使得     =A()     令使=()     易見,且,即     又任給設(shè)=     有()=故,從A可逆.證法二:利用雙射“” A是雙射,則0=A()     得0=(0對應(yīng)0)

8、     故,線性無關(guān).“” 由dimV=n,V的任一向量可由唯一表示,即V中任一向量有唯一(要證明)原像(顯然).故A是雙射.證法三:利用矩陣A可逆A在下的矩陣A可逆            ()A也是一組基=n      線性無關(guān)               

9、;             例5 設(shè),W1,W2是V的子空間,且,則可逆.證明:由,有V,可設(shè)W1的一組基為, W2的一組基為,則為V的一組基.“” A可逆,故線性無關(guān),1,2的秩為r,n-r, 和分別為1和2的基,故.“” ,有dimV=dim,=(),故為AV的一組基,即線性無關(guān),A可逆.4.小結(jié):線性變換矩陣的求法,進(jìn)一步掌握矩陣的概念.   為V的一組基,   () =()A, ()=()X為另一組基,有 &

10、#160; ()=()例6 在空間Pxn中,是線性變換,求在基,下的矩陣.證明: 首先由ex.1.5)知,是線性變換,是線性變換,故是線性變換.     其次,只要求出,用表示,就可得A.     =(1)=1-1=0,     =-         =         = 所以, (,)=(,), 所求矩陣為.例7

11、設(shè)三維線性空間V上的線性變換A在基下的矩陣為,1).求在基()下的矩陣;2).求在基()下的矩陣,其中k;3).求在基()下的矩陣.證明:1).  =           =           = = ()=()所求矩陣為。又可()=()=（）故所求矩陣為A2)= ()又()=()故所求矩陣為A=A3). =         

12、   =         =         =  所求矩陣為又()=()故所求矩陣為A  =  A 例8 ,在任一組基下矩陣都相同,則是數(shù)乘變換.證明: 要證在任一組基下矩陣是數(shù)量陣.     設(shè)在基下下的矩陣為A,對任一n階非退化方陣X,()=()X為V的另一組基,在此基下的矩陣為即,由的任意性, A為數(shù)量陣.事實(shí)上,此時(shí)A與任意可換:設(shè)可逆矩陣使,則可逆,與A交

13、換,得        于是,由P.204 ex.7 3), A為數(shù)量陣,從而為數(shù)量變換.例9 證明:下面兩個(gè)矩陣相似,其中是1,n的一個(gè)排列:, .證明: 曾在二次型中證明過它們合同,顯然它們等價(jià),將它們看成一個(gè)線性變換在不同基下的矩陣.設(shè),在基()下的矩陣為A,則顯然()是V的另一組基,此基下的矩陣為B.將線性變換與方陣的特征諸概念列表對比,指出異同,明確求法. 線性變換矩陣A特征多項(xiàng)式特征值特征向量有限維例11 設(shè)是線性變換的兩個(gè)不同特征值, 是分別屬于的特征向量,證明: 不是的特征向量.證明:只要證 

14、;    若有這樣的存在,則         =         而屬于不同的特征值,線性無關(guān),故,矛盾.將此結(jié)果與屬于同一個(gè)特征值的特征向量的和(0)作比較, 是的屬于的兩個(gè)特征向量,則當(dāng)0時(shí), 是的一個(gè)特征向量(屬于).例12 證明:如果以V中每個(gè)非零向量為特征向量,那麼是數(shù)乘變換.分析:          每個(gè)非

15、零向量都是特征值k的特征向量          每個(gè)非零向量都是特征向量且特征值只有一個(gè) 證明:若,有都是的特征向量.      若是分別屬于兩個(gè)不同的特征值,那麼由上題, 即不可能是的特征向量,矛盾.      故,有是屬于的同一特征值的特征向量.設(shè)這個(gè)特征值為k,于是,又=k0=0,故. 例13. 可逆,則1). 有特征值,則不為0;2). 是的特征值,則-1是的特征值.證法一:1).設(shè)是的特

16、征值,是屬于的特征向量,則.        因可逆, -1存在,且-1L(V),有        ,       即,而,有.     2).由1), -1是的特征值.     3).的特征向量是的特征向量.證法二:當(dāng)V是有限維時(shí),設(shè)在基下的矩陣為A,則由可逆,A可逆.1).若是的特征值,則0=與A可逆矛盾.2).若是

17、的特征值,則,且即-1是的特征值,而,故-1是的特征值.(注:一般情況與有限維時(shí)證明方法不一樣;此結(jié)論要求掌握.) 特殊變換的特征值例14 設(shè),若,稱為對合變換,求的特征值.證明: 設(shè)是的特征值, 是相應(yīng)的特征向量,有,     ,而,故P，即若有特征值只能是1或-1.    則則確有特征值1或-1.證法二：又,若是的特征值,則-1是的特征值.且若是的屬于的特征向量，則是的特征向量，必有=-1，=.          

18、0;                                ,則的特征值只能是1,0;若則,即有特征值1;時(shí),有特征值1;當(dāng)?shù)闹?lt;n時(shí),0也是的特征值.例15 設(shè)dimV=n, ，證明：是對合變換時(shí)必可對角化。分析：的特征值至多有兩個(gè)1和-1，從而不好利用第一個(gè)充分條件。設(shè)法

19、用充要條件，證明屬于1的線性無關(guān)特征向量數(shù)與屬于-1的線性無關(guān)特征向量數(shù)之和為n；即(E-A)X=0的基礎(chǔ)解系個(gè)數(shù)+（-E-A）X=0的基礎(chǔ)解系個(gè)數(shù)=n；即  r(E-A)+r(-E-A)=n.證明：設(shè)為V的一組基，且在此基下的矩陣為A，由，有A2=E,故0=E-A2=(E-A)(E+A),r(E-A)+r(E+A)=n，最后一個(gè)等式由Chap.4.補(bǔ)3.P.208.      設(shè)r(E-A)=r0,則r(-E-A)= r(E+A)=n-r,故(E-A)X=0的基礎(chǔ)解系有n-r個(gè)線性無關(guān)解; (-E-A)X=0的基礎(chǔ)解系有r個(gè)線性無關(guān)

20、解.即的屬于1的線性無關(guān)特征向量有n-r個(gè),屬于-1的線性無關(guān)特征向量有r個(gè);而有定理9,屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān),故有n個(gè)線性無關(guān)特征向量,從而可對角化.1.   由(E-A)(-E+A)=0,有,若,則=0,即1不是特征值則-1必是,兩者必有一,但可不全是.2.   冪等變換,可對角化,也可仿此證.例16 設(shè)是4維空間V的一組基，在此基下的矩陣為.1).求在基,                &

21、#160;                下的矩陣;2).求的特征值與特征向量;3).求可逆矩陣T使得T-1AT為對角陣.證明:1).=                      =S易知從而在下的矩陣為B=S-1AS=.2). 的特征多項(xiàng)式為=故的特征值為0

22、,1,0.5P.解方程組(E-B)X=0=0:BX=0, =0因?yàn)?得基礎(chǔ)解系.的屬于0的特征向量為= 其中不全為0.=1: (E-B)X=0, =0解得,得基礎(chǔ)解系,的屬于1的特征=向量為=其中不為0.=0.5: (0.5E-B)X=0, =0解得,得基礎(chǔ)解系.的屬于0.5的特征向量為=其中不為0.3).由2).所得4個(gè)特征向量,線性無關(guān),可作為V的一組基,在此基下的矩陣為,而由到這組基的過渡陣為,且.例17  設(shè)是4維線性空間V的一組基,已知線性變換在此基下的矩陣為1).求在以下基下的矩陣:,2).求的核與值域.3).在的核中選一組基,把它擴(kuò)充為V的一組基,并求在此基下的矩陣.4

23、).在中選一組基擴(kuò)充為V的基,并求在此基下的矩陣.證明:1).由基到的過渡矩陣為         ,在 下的矩陣為2).,設(shè)()      0=()=()A      A=0, =0解此齊次線性方程組得                   

24、     所以基礎(chǔ)解系為(-4,-3,2,0),(-1,-2,0,1)從而           是的一組基,即=.   因dim=4-dim=4-2=2,而=,的坐標(biāo)列為A的列,且A的前2列線性無關(guān),從而線性無關(guān),      即=.3).由(),及故向量組()=()=()Q線性無關(guān),即是V的一組基,此基由的一組基擴(kuò)充而成,其中Q為由到的過渡陣.在下的矩陣為(其中后兩列是0因?yàn)橹性蛔饔煤?/p>

25、在任何基下的坐標(biāo)均為(0,0,0,0)4).()=() ,而故向量組()=()=()P線性無關(guān),是V的一組基,由的基擴(kuò)充而成,由到的過渡陣為P,在此基下的矩陣為         (后兩行為0因?yàn)槿我幌蛄勘蛔饔煤蠖荚谥?由線性表出).例18 設(shè),證明:1).與有相同的值域當(dāng)且僅當(dāng);2). 與有相同的核當(dāng)且僅當(dāng).證明:1).“”：故存在，于是               

26、         “”： ，即，同理 ，          故。     2). “”：即           故同理               &

27、#160;                            “”：        有        同理,故例19 設(shè)是有限維線性空間V的線性變換,W是V的子空間,表示由W中向量的像組

28、成的子空間,證明:dim()+dim()=dimW分析:定理11 dim()+dim()=dimV的證明中,取的基,擴(kuò)充為V的基.證明:取的一組基,將它擴(kuò)充為W的一組基       , 即W=L(,)由于故       W=L(,)=L()若有     即存在使得=故有即線性無關(guān)，dim W=m-r=dimW-dim()附注：dim()+dim()=dimV是對V而言的，對子空間的值域和核也一樣。例20 設(shè)為n維線性空間V的線性變換,證

29、明:的秩的秩+的秩-n.分析:chap4補(bǔ)10.(p209) r(AB)r(A)+r(B)-n,設(shè)法將變換的秩與相應(yīng)矩陣的秩對應(yīng).證法一: 設(shè)在基下的矩陣分別為A,B,則的秩= r(AB), 的秩= r(A), 的秩= r(B).由chap4.補(bǔ)10. r(AB)r(A)+r(B)-n,得證.證法二:注意到的秩=dim,可用定理11.由定理11和補(bǔ)9, 秩(AB)=dim=dim-dim()而,dim()dim故秩()dim-dim=秩-(n-秩)= r(A)+r(B)-n.例21 設(shè),W是子空間,若可逆,證明:W也是-子空間.注7.8.1 在證時(shí),有人認(rèn)為可逆,從而是一一對應(yīng),故既單(=0,

30、=0)又滿(),從而,不必考慮有限維,這是錯誤的: 在間一一對應(yīng),不是在間一一對應(yīng).反例:V=Px=L(1,x,x2,x3,),W=f(x2)x2|f(x)=L(x2,x4,x3,)                                    

31、60;                                       顯然可逆(因是一一對應(yīng)),但如.另在間單,dimW有限,因而在間滿.例22. 設(shè)V是復(fù)數(shù)域上n維線性空間,證明:1).如果是的一個(gè)特征值,那麼是的不變子空間;     2).至少有一個(gè)公共特征向量.證明:1). 是子空間, ,故使得          所以,     2).因?yàn)閂是C上的線性空間, 至少有一個(gè)特征值,設(shè)為的特征值,由1), 為子空間.令,則有特征值,設(shè)為,則存在0使得,故為的公共特征向量.注7.8.2 此