數(shù)列知識點及常用結(jié)論16頁

1、數(shù)列知識點及常用結(jié)論一、等差數(shù)列（1）等差數(shù)列的基本公式通項公式： （從第1項開始為等差） （從第m項開始為等差） 前項和公式：（2）證明等差數(shù)列的法方定義法：對任意的n，都有（d為常數(shù)）為等差數(shù)列等差中項法：（n）為等差數(shù)列通項公式法：=pn+q (p，q為常數(shù)且p0) 為等差數(shù)列 即：通項公式位n的一次函數(shù)，公差，首項前項和公式法： (p， q為常數(shù)) 為等差數(shù)列 即：關(guān)于n的不含常數(shù)項的二次函數(shù)（3）常用結(jié)論若數(shù)列，為等差數(shù)列，則數(shù)列，(k， b為非零常數(shù))均為等差數(shù)列.若m+n=p+q (m，n，p，q)，則=.特別的，當(dāng)n+m=2k時，得=在等差數(shù)列中，每隔k(k)項取出一項，按原來

2、的順序排列，所得的數(shù)列仍為等差數(shù)列，且公差為(k+1)d(例如：，仍為公差為3d的等差數(shù)列)若數(shù)列為等差數(shù)列，則記，則，仍成等差數(shù)列，且公差為d若為等差數(shù)列的前n項和，則數(shù)列也為等差數(shù)列. 此性質(zhì)對任何一種數(shù)列都適用求最值的方法：I: 若>0，公差d<0，則當(dāng)時，則有最大值,且最大； 若<0，公差d>0，則當(dāng)時，則有最小值，且最??；II：求前項和的對稱軸，再求出距離對稱軸最近的正整數(shù)，當(dāng) 時，為最值，是最大或最小，通過的開口來判斷。二、等比數(shù)列（1）等比數(shù)列的基本公式通項公式： （從第1項開始為等比） （從第m項開始為等差）前項和公式：，（2）證明等比數(shù)列的法方定義法：

3、對任意的n，都有(q0) 為等比數(shù)列等比中項法：（0）為等比數(shù)列通項公式法：為等比數(shù)列（3）常用結(jié)論若數(shù)列，為等比數(shù)列，則數(shù)列， (k為非零常數(shù)) 均為等比數(shù)列.若m+n=p+q (m， n， p， q)，則=.特別的，當(dāng)n+m=2k時，得=在等比數(shù)列中，每隔k(k)項取出一項，按原來的順序排列，所得的數(shù)列仍為等比數(shù)列，且公比為 (例如：，仍為公比的等比數(shù)列)若數(shù)列為等差數(shù)列，則記，則，仍成等比數(shù)列，且公差為三、求任意數(shù)列通項公式的方法（1）累加法：若滿足an+1=an+f(n)利用累加法求：例題：若，且，求：練習(xí)題：若數(shù)列滿足，且（2）累乘法：若滿足利用累乘法求： 例題：在數(shù)列an中，求：.

4、練習(xí)題：在數(shù)列an中，且，求： （提示：）（3）遞推公式中既有，又有，用逐差法 特別注意：該公式對一切數(shù)列都成立。（4）若滿足，則兩邊加：，在提公因式P，構(gòu)造出一個等比數(shù)列，再出求：例題：已知數(shù)列，滿足：，且，求：習(xí)題1：已知數(shù)列滿足：且，求：習(xí)題2：已知數(shù)列滿足：，且，求：（5）若滿足，則兩邊同時除以：，構(gòu)造出一個等差數(shù)列，再求出：例題：已知滿足：，求： 解：，既有： 所以：是首項為：，公差的等差數(shù)列 所以：習(xí)題1：已知且，求：習(xí)題2：已知且，求：（六）待定系數(shù)法：若滿足以下關(guān)系： 都可用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)變成一個等比數(shù)列來：溫馨提示：提，對待定系數(shù)例題1：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式. 解：，

5、與原式對應(yīng)得， 所以：是首項，公比的等比數(shù)列 既有：例題2：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式. 解：，與原式對應(yīng)得： 所以：是首項為：，公比的等比數(shù)列既有：（七）顛倒法：若滿足：，用顛倒法； 所以：，所以：是以首項為：，公差的等差數(shù)列例題1：已知，且，求：例題2：已知，且，求：（八）倒數(shù)換元法：若數(shù)列滿足：，則顛倒變成然后再用兩邊加：或者待定系數(shù)法既可求出，再顛倒就可得到：例題：若數(shù)列滿足：，且，求：解：，兩邊加：1得： ，所以：是首項為：，公比：的等比數(shù)列；既有：若用待定系數(shù)法： 與原式子對應(yīng)得，然后的方法同上；習(xí)題：已知且，求：四、求前n項和Sn的方法（1）錯位相減求和 主要適用于等差數(shù)列和等比數(shù)列乘積的數(shù)列的前n項和；或者是等差與等比的商的前n項和；（是商的時候，適當(dāng)轉(zhuǎn)變一下就變成了乘積形式）。既：設(shè)為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，求：或的前n項和常用此方法（都轉(zhuǎn)變?yōu)槌朔e形式）例題1：已知數(shù)列，數(shù)列的前項和，求數(shù)列的前項和例題2：求數(shù)列的的前項和習(xí)題1：求：習(xí)題2：設(shè)數(shù)列，求的前n項和（2）裂項相消求和 適用于的形式，變形為：例題：求數(shù)列的前n項和習(xí)題1：求數(shù)列的前n項和 習(xí)題2：求數(shù)列的前n項和.（3）、分組法求和：有些數(shù)列是和可以分成幾部分分開求，在進(jìn)行加減；例題：求的前和？習(xí)題1：已知是一個遞增的等差數(shù)列且，前n項和為數(shù)列的前n項和為