自考計(jì)算方法(數(shù)值分析)：計(jì)算方法復(fù)習(xí)試題

1、第1章 誤差一、考核知識(shí)點(diǎn)： 誤差的來(lái)源，絕對(duì)誤差、絕對(duì)誤差限、相對(duì)誤差，相對(duì)誤差限，有效數(shù)字，準(zhǔn)確數(shù)位，誤差傳播。二、考核要求： 1知道誤差的主要來(lái)源，誤差傳播。2了解絕對(duì)誤差、絕對(duì)誤差限、相對(duì)誤差，相對(duì)誤差限、掌握其判別方法。3掌握有效數(shù)字，準(zhǔn)確數(shù)位的求法。三、重、難點(diǎn)分析例1. 近似值的誤差限為（ ）。a 0.5 b. 0.05 c 0.005 d. 0.0005.解 因 ，它為具有3位有效數(shù)字的近似數(shù)，其誤差限為 。或，其誤差限為 所以 答案為b.例2. 已知，求的誤差限和相對(duì)誤差限。解：（絕對(duì)）誤差限： 所以（絕對(duì)）誤差限為，也可以取。一般地，我們?nèi)≌`差限為某位數(shù)的半個(gè)單位，即取 。

2、相對(duì)誤差限： 所以，相對(duì)誤差限例3 .已知 求近似值的誤差限，準(zhǔn)確數(shù)字或有效數(shù)字。解 由 誤差限為 因?yàn)?，所以由定義知是具有4位有效數(shù)字的近似值，準(zhǔn)確到位的近似數(shù)。注意：當(dāng)只給出近似數(shù)時(shí)，則必為四舍五入得到的有效數(shù)，則可直接求出誤差限和有效數(shù)字。例4. 已知近似數(shù)求的誤差限和準(zhǔn)確數(shù)位。解 因， 所以 準(zhǔn)確到 位。準(zhǔn)確到位。注意：函數(shù)運(yùn)算的誤差概念，特別是其中的符號(hào)。第2章 插值與逼近一、考核知識(shí)點(diǎn)拉格朗日插值法及其余項(xiàng)、差商定義及性質(zhì)、牛頓插值法及其余項(xiàng)、最小二乘法、矛盾方程組。二、考核要求：1熟練掌握拉格朗日插值法及其余項(xiàng)。2了解差商定義及性質(zhì)，熟練掌握牛頓插值法及其余項(xiàng)。3了解最小二乘法的

3、基本思想，熟練掌握求最小二乘多項(xiàng)式與矛盾方程組最小二乘解的方法。三、重、難點(diǎn)分析例1 已知用線性插值計(jì)算，并估計(jì)誤差。解 取插值節(jié)點(diǎn)x0= 4,x1= 9，兩個(gè)插值基函數(shù)分別為 故有 誤差為 例2已知函數(shù)數(shù)值表為 1 2 3 1 3 7用拋物插值法求近似值。解 作差商表：一階差商二階差商112323741 代入牛頓插值多項(xiàng)式得： 故 例3已知的函數(shù)表 x012y8-7.5-18 求在0，2內(nèi)的零點(diǎn)近似值。解 因?yàn)閥i關(guān)于x嚴(yán)格單調(diào)減少，用反插值法求f(x) 零點(diǎn)的近似值比較簡(jiǎn)單，具體作法如下：先作反函數(shù)表 x8-7.5-18y012 將節(jié)點(diǎn)x0=8,x1=-7.5，x2=-18及對(duì)應(yīng)函數(shù)值y0

4、=0,y1=1,y2=2代入二次拉格朗日插值多項(xiàng)式（2.2），再令x=0,得于是得f(x)在0，2內(nèi)零點(diǎn)值得注意的是，只有所給函數(shù)（或函數(shù)表）在a,b上嚴(yán)格單調(diào)情況下，才能使用反插值方法，否則可能得出錯(cuò)誤結(jié)果。例4 已知數(shù)表：1233.87.210求最小二乘一次式。解 設(shè)最小一次式為，由系數(shù)公式得： 于是有法方程組 解法方程組得 所以最小二乘一次式 例5 求下列矛盾方程組的最小二乘解。 解 令 由 得法方程組 解得 所以最小二乘解為 例6 已知插值基函數(shù)，證明 ：當(dāng)時(shí)，證明：令 ， 則有 因?yàn)?，所以。?章 數(shù)值積分一、考核知識(shí)點(diǎn)：內(nèi)插求積公式， 代數(shù)精度，梯形公式及其余項(xiàng)，辛卜生公式及其余項(xiàng)

5、，復(fù)化梯形公式及其余項(xiàng)，復(fù)化辛卜生公式及其余項(xiàng)。二、考核要求：1知道內(nèi)插求積公式及其性質(zhì)，會(huì)計(jì)算內(nèi)插求積公式。 2了解代數(shù)精度概念，掌握內(nèi)插求積公式代數(shù)精度的判別方法。3熟練掌握梯形、復(fù)化梯形公式及其余項(xiàng)；熟練掌握辛卜生、復(fù)化辛卜生公式及其余項(xiàng)，熟練掌握運(yùn)用它們計(jì)算定積分的近似值。三、重、難點(diǎn)分析例1 在區(qū)間上，求以為節(jié)點(diǎn)的內(nèi)插求積公式。解：由系數(shù)計(jì)算公式得 所以求積公式為例2求積公式的代數(shù)精確度為（ ）。 解 由于此公式為3個(gè)節(jié)點(diǎn)的內(nèi)插求積公式，代數(shù)精度至少為2。 令，代入內(nèi)插求積公式得 左邊=，右邊， 所以 左邊=右邊 再令，代入內(nèi)插求積公式得 左邊=，右邊= 所以 左邊右邊所以此公式具有

6、3次代數(shù)精度。例3 用梯形公式和的復(fù)化梯形公式求積分，并估計(jì)誤差。解 （1） 梯形公式 因?yàn)?，代入梯形公式得 則 （2） 復(fù)化梯形公式 因?yàn)?和復(fù)化梯形公式得 因?yàn)?， ， 所以 注意：在用復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛卜生公式計(jì)算 積分時(shí)注意系數(shù)的排列。例4 用辛卜生公式和復(fù)化辛卜生公式計(jì)算 積分 ，使誤差小于解 （1） 辛卜生公式 因?yàn)椋胄敛飞降?4（2） 復(fù)化辛卜生公式 因?yàn)榻獠坏仁?得 ，用，復(fù)化辛卜生公式計(jì)算得 例5 設(shè)為內(nèi)插求積公式系數(shù) 證明 證明：設(shè) ，因?yàn)?所以 。第4章 線性方程組直接解法一、考核知識(shí)點(diǎn)：簡(jiǎn)單消元法，主元消元法（列主元消元法），緊湊格式法，矩陣的三角分解。二、

7、考核要求：1了解簡(jiǎn)單消元法、主元消元法、緊湊格式的基本思想和使用條件2掌握矩陣的三角分解（doolittle分解,crout分解,ldu分解） 3熟練掌握用列主元消元法和緊湊格式求解線性方程組的方法。三、重、難點(diǎn)分析例1 用列主元消元法的方程組 注意：每次消元時(shí)主元的選取是各列中系數(shù)最大的。解 第1列主元為3，交換第1、2方程位置后消元得， 第2列主，元為交換第2、3方程位置后消元得 回代解得 例2將矩陣a進(jìn)行三角分解（doolittle分解,crout分解,ldu分解） 其中說(shuō)明：一般進(jìn)行矩陣的三角分解采用緊湊格式。即應(yīng)用矩陣乘法和矩陣相等原則進(jìn)行矩陣的三角分解（或代入公式求得相應(yīng)元素）。在

8、分解時(shí)注意矩陣乘法、矩陣求逆等代數(shù)運(yùn)算。 解： 則矩陣的doolittle分解為 因?yàn)閷?duì)角陣，則所以矩陣的ldu分解為 矩陣的crout分解為例3 用緊湊格式求解方程組 注意：消元過程是解方程組，和回代過程是解方程組。解：（1）將矩陣進(jìn)行三角分解，由上例得： 矩陣的三角分解為 （2）解方程組（3）解方程組 所以 第5章 線性方程組的迭代解法一、考核知識(shí)點(diǎn)：向量范數(shù)與矩陣范數(shù)及其性質(zhì)，譜半徑，嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，迭代法的收斂性，雅可比迭代法與高斯-塞德爾迭代法及其收斂性。 二、考核要求：1了解向量范數(shù)的定義、性質(zhì)；了解矩陣范數(shù)的定義、性質(zhì)，知道譜半徑的定義。2了解嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣；了解迭代法的收斂

9、性。3熟練掌握雅可比迭代法，了解其收斂性。4熟練掌握高斯-塞德爾迭代法，了解其收斂性。三、重、難點(diǎn)分析例1 已知向量x=（1，-2，3）,求向量x的三種常用范數(shù)。 解 ，例2 證明 證明 因?yàn)?所以例3 已知矩陣，求矩陣a的三種常用范數(shù)。解 ，例4 已知方程組（1）寫出解此方程組的雅可比法迭代公式（2）證明當(dāng)時(shí)，雅可比迭代法收斂（3）取,，求出。解 （1）對(duì)，從第個(gè)方程解出，得雅可比法迭代公式為：（2）當(dāng)時(shí)，a為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，所以雅可比迭代法收斂。（3）取， 由迭代公式計(jì)算得 ， ， ， ， 則 =（， ，）例5 用高斯塞德爾迭代法解方程組 （1）證明高斯塞德爾迭代法收斂（2）寫出高斯塞德

10、爾法迭代公式（3）取，求出解 （1）因?yàn)閍為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，故高斯塞德爾迭代收斂。 （2）對(duì)，從第個(gè)方程解出，得高斯塞德爾法迭代公式為（3） ， ， ， ， 則=（， ，）第六章 矩陣特征值與特征向量一、考核知識(shí)點(diǎn)：乘冪法、逆冪法、雅可比法二、考核要求：1知道乘冪法，逆冪法的基本思想；會(huì)用乘冪法求矩陣的特征值與特征向量。 2知道雅可比法的基本思想；會(huì)用雅可比法計(jì)算對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量。 三、重、難點(diǎn)分析例1 已知，用乘冪法求說(shuō)明：乘冪法是求實(shí)方陣a的按模最大特征值及其特征向量的一種迭代方法。逆冪法是求實(shí)方陣a的按模最小特征值及其特征向量的一種反迭代方法。注意：初始值不能取零向量。解 取

11、，用乘冪法迭代公式，計(jì)算如下表 0111133329993272727, 例2 用雅可比法求的全部特征值與特征向量。注意：平面旋轉(zhuǎn)矩陣r的元素的排列順序和旋轉(zhuǎn)角的確定。解 雅可比法是求對(duì)稱矩陣的全部特征值與特征向量的變換方法。， ，所以 ， , , 第七章 非線性方程求根一、考核知識(shí)點(diǎn)：區(qū)間二分法，弦位法（單點(diǎn)弦法、雙點(diǎn)弦法）、切線法、一般迭代法，收斂性。二、考核要求： 1熟練掌握用區(qū)間二分法求方程近似根的方法。2熟練掌握用單點(diǎn)弦法、雙點(diǎn)弦法求方程近似根的方法。了解其收斂性。3熟練掌握用切線性求方程近似根的方法。了解其收斂性。4掌握用一般迭代法求方程的方法近似根的方法。了解其收斂性。三、重、難

12、點(diǎn)分析例1 證明計(jì)算的切線法迭代公式為：并用它求的近似值（求出即可）解 （1）因計(jì)算等于求正根，代入切線法迭代公式得 (2) 設(shè)，因 所以 在上 由 ，選用上面導(dǎo)出的迭代公式計(jì)算得 例2用單點(diǎn)弦法求方程 的最小正根(計(jì)算出)解：由于 則 在0，0.5， 由取則單點(diǎn)弦法迭代公式 計(jì)算得 例3 用雙點(diǎn)弦法，一般迭代法求的最小正根（求出即可）。解 （1）用雙點(diǎn)弦法因，故，在上，取 ，用雙點(diǎn)弦迭代公式，計(jì)算得 （2）用一般迭代法因，故在上將，同解變形為 則 取 應(yīng)用迭代公式 ，計(jì)算得 例4 求方程的根時(shí)，用切線法求具有（ ）收斂速度。用單點(diǎn)弦法求具有（ ）收斂速度。用雙點(diǎn)弦法求具有（ ）收斂速度。用一般迭代法求具有（ ）收斂速度。第八章 常微分方程數(shù)值解法一、考核知識(shí)點(diǎn)：歐拉法，改進(jìn)歐拉法，龍格-庫(kù)塔法，單步法的收斂性與穩(wěn)定性。二、考核要求：1 熟練掌握用歐拉法，改進(jìn)歐拉法求微分方程近似解的方法。2 了解龍格-庫(kù)塔法的基本思想；掌握用龍格-庫(kù)塔法求微分方程近似解的方法。3 了解單步法的收斂性、穩(wěn)定性與絕對(duì)穩(wěn)定性。三、重、難點(diǎn)分析例1 用歐拉法，預(yù)估校正法求一階微分方程初值問題，在（0.1）0.2近似解解 （1）用歐拉法計(jì)算公式，計(jì)算得 （2）用預(yù)估校正法計(jì)算公式計(jì)算得 ，例