概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 3.4多維隨機(jī)變量的特征數(shù)

1、 定理定理 設(shè)設(shè)Z是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量X,Y的函數(shù)的函數(shù)Z= g(X,Y)，則則Z也是一個(gè)隨也是一個(gè)隨機(jī)變量機(jī)變量.(1)若若(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量是二維離散型隨機(jī)變量,分布律為分布律為, ,1,2,ijijP Xx Yypi j 3.4 多維隨機(jī)變量的特征數(shù)多維隨機(jī)變量的特征數(shù)一、多維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望一、多維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 第二章中隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理可以推廣到第二章中隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理可以推廣到兩個(gè)或兩個(gè)以上隨機(jī)變量的情況兩個(gè)或兩個(gè)以上隨機(jī)變量的情況.(2) 若若(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量是二維連續(xù)型隨機(jī)變量,概論密度為概論密度為( ,),p x y

2、則則() (,)( ,) ( ,)E ZE g X Yg x y p x y dxdy 其中設(shè)上式右端的積分絕對(duì)收斂其中設(shè)上式右端的積分絕對(duì)收斂. 其中設(shè)上式右端的級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂其中設(shè)上式右端的級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.則則11()(,)(,)ijijijE ZE g X Yg xyp 特別地特別地()( ,)E Xxp x y dxdy ()( ,)E Yyp x y dxdy 例例1 1 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的分布律如下的分布律如下, ,求求E(XY).解解()0 1 0.150 2 0.151 1 0.451 2 0.25E XY 0.95 或者也可以先求出或者也可以先求出ZXY自己的概率分

3、布，即自己的概率分布，即0120.30.450.25ZXY于是于是( )()0 1 0.452 0.250.95E ZE XY 例例2 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為的概率密度為 .,20 , 10, 0, 1),(其他xyxyxf求求().E XY解解120021123000()( , )1 |222xxE XYxyf x y dxdydxxydyyxdxx dx 例例3 在長(zhǎng)為在長(zhǎng)為a的線段上任取兩個(gè)點(diǎn)，求兩點(diǎn)距離的均值的線段上任取兩個(gè)點(diǎn)，求兩點(diǎn)距離的均值.解解 設(shè)取到的的兩點(diǎn)分別為設(shè)取到的的兩點(diǎn)分別為X與與Y，則所求為，則所求為(|-|).EX Y顯然顯然(X，Y)在

4、區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)服從二維均勻分布，其中內(nèi)服從二維均勻分布，其中( , )|0,0Dx yxaya(X，Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為21, 0,0( , )0, xayap x ya其他200| ( , )1 |aaE XYxy p x y dxdyxydxdya 22000222011 ()()1 23 axaaxaxydydxyx dxdyaaaaxaxdxa 注意注意 根據(jù)定理，可以利用（根據(jù)定理，可以利用（X,Y）的聯(lián)合分布直接求出隨機(jī)）的聯(lián)合分布直接求出隨機(jī)變量函數(shù)變量函數(shù) Z=g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望，而不必求的數(shù)學(xué)期望，而不必求Z=g(X,Y)的分布。但在的分布。但在某些時(shí)候，

5、可能公式中的求和或積分很難算，此時(shí)也可先求某些時(shí)候，可能公式中的求和或積分很難算，此時(shí)也可先求Z=Z=g(X,Y)的分布，然后再由其分布求的分布，然后再由其分布求E(Z).例例4 設(shè)設(shè)X與與Y相互獨(dú)立且均服從指數(shù)分布相互獨(dú)立且均服從指數(shù)分布 , 求求 exp( )max(, )ZX Y的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望. ( )2( )( )21 0 0 ZXXzzpzFzpzeez其它解解 易得，易得， 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為max(, )ZX Y2( )max(, ), =( )( )( ) (z0)ZXYXFzPX YzP Xz YzFz FzFz則可則可得，得， 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為max(,

6、 )ZX Y于是有于是有0200( )( )21 22213 =22zzZzzE Zzpz dzzeedzzedzzedz性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)設(shè)X ,Y是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量, 則則 E(X+Y)=E(X)+E(Y)()() ( , )E XYxy p x y dxdy ( , )( , )xp x y dxdyyp x y dxdy 證明證明 設(shè)設(shè) (X,Y) p (x,y), g(X, Y)= X + Y, X ,Y的邊的邊際際密度函數(shù)密度函數(shù)分分( ),( ),XYpxpy別為別為則則二、數(shù)學(xué)期望與方差的運(yùn)算性質(zhì)二、數(shù)學(xué)期望與方差的運(yùn)算性質(zhì)( , )( , )xp x y dy dxyp x y

7、 dx dy( )( )XYxpx dxypy dy()( )E XE Y注注 可推廣到有限個(gè)可推廣到有限個(gè)隨機(jī)變量隨機(jī)變量X1,X2,.,Xn的情形的情形,即有即有E(X1+X2+Xn)=E(X1)+ E(X2)+ E(Xn)性質(zhì)性質(zhì)2 2 設(shè)設(shè)X ,Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 則則 E(XY)=E(X)E(Y)設(shè)設(shè) (X,Y) p(x,y), g(X, Y)= X Y,證明證明X ,Y的邊的邊際際密度函數(shù)密度函數(shù)( ),( ).XYpxpy分別為分別為因因X ,Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 則則( , )( )( )XYp x ypxpy()( , )E XYxyp x y dxdy 故故( )( )X

8、Yxypxpy dxdy ( ) ( )XYxpx dxypy dy() ( )E X E Y 注注 此性質(zhì)此性質(zhì)2可推廣到有限個(gè)可推廣到有限個(gè)隨機(jī)變量隨機(jī)變量X1,X2,.,Xn的情形的情形,即當(dāng)即當(dāng)E(X1X2Xn)=E(X1) E(X2) E(Xn)隨機(jī)變量隨機(jī)變量X1,X2,.,Xn相互獨(dú)立時(shí)，有相互獨(dú)立時(shí)，有例例5 若若Xb(n,p),求求 E(X)解解 設(shè)設(shè)10iX 第第i次試驗(yàn)事件次試驗(yàn)事件A發(fā)生發(fā)生第第i次試驗(yàn)事件次試驗(yàn)事件A不發(fā)生不發(fā)生1 niiXX 而而則則()iE Xp 1nipnp 1()()niiE XE X 故故例例6 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,.,Xn相互獨(dú)

9、立相互獨(dú)立,且均服從且均服從2(,)N 分布分布, ,求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量11niiXXn 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望解解11()()niiE XEXn 11()niiE Xn nn 例例7 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量XN(0,1),Y U(0,1),Z b(5,0.5),且且X,Y,Z獨(dú)立獨(dú)立,求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量U =(2X+3Y)(4Z1)的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望.()(23 )(41)E UEXYZ 解解2 ()3 ( )4 ()1)E XE YE Z (23 ) (41)EXY EZ 127(03)(4 2.51)22 (, ) ( 1,2;4,16;0)X YN 又例如，如果，則()()( )2

10、(, 0E XYE XE YXY 則 與 獨(dú)立），且22()() ()E XYE X E Y 例例8 設(shè)設(shè)N件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有M件次品，從中任意取出件次品，從中任意取出n件件()nMN，求其中次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望。，求其中次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望。解解 這是超幾何分布的數(shù)學(xué)期望問(wèn)題，這是超幾何分布的數(shù)學(xué)期望問(wèn)題，下面，我們用數(shù)學(xué)期下面，我們用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)計(jì)算。設(shè)望的性質(zhì)計(jì)算。設(shè)0 (i=1,2,M)1 iiXi第 件次品未被取出第 件次品被取出則取到的次品數(shù)為則取到的次品數(shù)為1MiiXX，因?yàn)?，因?yàn)?1(1) (1,2,)nNinNCnP XiMCN所以所以() (1,2,)inE XiMN11()(

11、)MMiiiinnMEXEXEXMNN故可得故可得 例例9 設(shè)一袋中裝有設(shè)一袋中裝有m個(gè)顏色各不相同的球，每個(gè)顏色各不相同的球，每次從中任取一個(gè)，有放回地抽取次從中任取一個(gè)，有放回地抽取n次，以次，以X表示在表示在n次取球中取到球的不同顏色的數(shù)目，求次取球中取到球的不同顏色的數(shù)目，求E(X).解解 令令 0 (i=1,2,M)1 iiXi， 第 種顏色的球至少被取出過(guò)一次，第 種顏色的球未被取出過(guò)則則 1MiiXX性質(zhì)性質(zhì)3 3 設(shè)設(shè)X ,Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 則則()()( )Var XYVar XVar Y (, ) ( 1,2;4,16;0)X YN 例如，如果，則(2)4()( ) 4

12、4+16=32VarXYVar XVar Y事實(shí)上：事實(shí)上：22 ()( ) 2()( )EXE XYE YXE XYE Y22()()() ()( )Var XYEXYE XYEXE XYE Y ()( )2 ()( )Var XVar YEXE XYE Y 定義定義 設(shè)設(shè)(X, Y)是二維隨機(jī)變量是二維隨機(jī)變量,若若EX E(X)Y E(Y)存存在在, , 則稱(chēng)則稱(chēng)之為隨機(jī)變量之為隨機(jī)變量X,Y的的記作記作Cov(X,Y), 即即 Cov(X,Y)= EX E(X)Y E(Y)三、協(xié)方差三、協(xié)方差 若二維連續(xù)型隨機(jī)變量若二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X, Y)的聯(lián)合的聯(lián)合密度函數(shù)密度函數(shù)為為p(x,

13、y), 則其協(xié)方差為則其協(xié)方差為Cov(,)()() (,)X YxEXyE Yp x y dxdy 則其協(xié)方差為則其協(xié)方差為(,)()()ijijijCov X YxEXyE Yp 若二維離散型隨機(jī)變量若二維離散型隨機(jī)變量(X, Y)的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為 Pi,j=PX=xi ,Y=yj (i,j=1,2,.)可以證明可以證明根據(jù)定義根據(jù)定義可以證明可以證明(,)()()()Cov X YE XYE X E Y (, )()( )Cov X YEXE XYE Y事實(shí)上：事實(shí)上：= ( )()() ( )E XYXE YE XYE X E Y= ()() ( )E XYE X E Y協(xié)

14、方差的性質(zhì)協(xié)方差的性質(zhì)定義：定義：當(dāng)當(dāng) Cov(X,Y)= 0時(shí)時(shí), ,稱(chēng)稱(chēng)X與與Y不相關(guān)不相關(guān). .（1）若）若X與與Y相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則 ，即，即X與與Y不相關(guān)不相關(guān).(,)0Cov X Y 但要注意，此命題的逆命題不成立，即但要注意，此命題的逆命題不成立，即Cov(X,Y)= 0并不能保證并不能保證X與與Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立. .(, )0Cov X a （2）對(duì)任意常數(shù)）對(duì)任意常數(shù)a,有有 (, )( ,)(3) Cov X YCov Y X (4) Cov(X,X)= Var(X)(5) Cov (aX, b Y)= ab Cov(X,Y) (其中其中a , b為常數(shù)為常數(shù)) (

15、6) Cov(X+Y, Z)=Cov (X, Z)+Cov (Y, Z) (, ) ( 1,2;4,16;0.3)X YN 例如，如果，則(23 +5)4()9( )4(, ) 44+9 1640.3416=150.4VarXYVar XVar YCov X Y 例例10 設(shè)設(shè) 相互獨(dú)立，且均服從相互獨(dú)立，且均服從正態(tài)分布正態(tài)分布 ,令令 12,nXXX2(0,)N11niiXXn求求(,) (k=1,2,)kCov XXk解解 注意到注意到 相互獨(dú)立，則有相互獨(dú)立，則有 時(shí)，時(shí)， 12,nXXXki(,) =0 kiCov XX則則111(,)(,) =(,)nkkikkiCov XXCov

16、 XXCov XXnn21 () ( =1,2,)kVar Xknnn二維隨機(jī)變量的期望向量和協(xié)方差矩陣二維隨機(jī)變量的期望向量和協(xié)方差矩陣.()()EXE Y 為為(X, Y)的期望向量的期望向量;稱(chēng)矩陣稱(chēng)矩陣()cov(,)cov(,)()D XX YX YD Y cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)XXX YX YY Y 為為(X, Y)的協(xié)方差矩陣的協(xié)方差矩陣.設(shè)設(shè)(X, Y)為二維隨機(jī)變量為二維隨機(jī)變量,稱(chēng)向量稱(chēng)向量四、相關(guān)系數(shù)四、相關(guān)系數(shù)定義定義 若若隨機(jī)變量隨機(jī)變量(X, Y)的方差和協(xié)方差均存在的方差和協(xié)方差均存在, ,D(X) 0, D(Y)0,則則稱(chēng)稱(chēng)Cov(,)

17、()()X YD XD Y*()( )()( )與XE XYE YXYD XD Y為為X與與Y的的.記作記作 .XY 即即Cov(,)()()XYX YD XD Y 的協(xié)方差的協(xié)方差.可以證明可以證明 : X與與Y的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù)XY 恰是標(biāo)準(zhǔn)化變量恰是標(biāo)準(zhǔn)化變量*Cov(,)()()XYE XE XYE Y *()( )()()( )XE XYE YE X YED XD Y Cov(,)()( )XYX YD X D Y 證：證：考慮考慮 的方差的方差, ,有有*()()*()()XE XYE YZXYD XD Y *( )()( *) 2cov(,) 1 1 22 1XYXYD ZD

18、XDYX Y ()0D Z 而而 1X Y即1 1XY（ ） 10XY故事實(shí)上事實(shí)上(2) 若若X與與Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立,則則 0XY Cov(,)0X Y (3) 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)X與與Y之間存在線性關(guān)系之間存在線性關(guān)系,即存在常數(shù)即存在常數(shù)a,b使使 證明證明 當(dāng)當(dāng)X與與Y相互獨(dú)立時(shí)相互獨(dú)立時(shí),有有Cov(,)0()()XYX YD XD Y 故故 1P YaXb時(shí)時(shí),它們的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值它們的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值 , 且且1xy 當(dāng)當(dāng)a0,當(dāng)當(dāng)a0,1,1,XY 例例 設(shè)設(shè)(X, Y)服從區(qū)域服從區(qū)域D:0 x1,0yx上的均勻分布上的均勻分布, ,求求X與與Y的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù). .D1 1x=y2( , )( , )0 x yDf x yothers 解解1002()( 2)3xE Xxdy dx注：注：當(dāng)（當(dāng)（X X，Y Y）服從二維正態(tài)分布）服從二維正態(tài)分布 時(shí)，時(shí)，X X與與Y Y不相關(guān)和不相關(guān)和X X與與Y Y相互獨(dú)立是等價(jià)的。這是因?yàn)閷?duì)于二維正態(tài)相互獨(dú)立是等價(jià)的。這是因?yàn)閷?duì)于二維正態(tài),