數(shù)學(xué)建模曲線擬合(共12頁)

1、曲線擬合摘要 根究已有數(shù)據(jù)研究y關(guān)于x的關(guān)系，對于不同的要求得到不同的結(jié)果。 問題一中目標(biāo)為使的各個觀察值同按直線關(guān)系所預(yù)期的值的偏差平方和為最小，利用MATLAB中函數(shù)在最小二乘法原理下擬合出所求直線。 問題二目標(biāo)為使絕對偏差總和為最小，使用MATLAB中的函數(shù)，在題目約束條件內(nèi)求的最優(yōu)答案，以此方法同樣求得問題三中最大偏差為最小時的直線。 問題四擬合的曲線為二階多項式，方法同前三問類似。 問題五為求得最佳的曲線，將之前的一次曲線換成多次曲線進行擬合得到新的結(jié)果。經(jīng)試驗發(fā)現(xiàn)高階多項式的階數(shù)越高擬和效果最好。關(guān)鍵詞： 函數(shù)擬合 最小二乘法 線性規(guī)劃1、 問題的重述已知一個量依賴于另一個量，現(xiàn)收

2、集有數(shù)據(jù)如下：0.00.51.01.51.92.53.03.54.04.51.00.90.71.52.02.43.22.02.73.55.05.56.06.67.07.68.59.010.01.04.07.62.75.74.66.06.812.3（1）求擬合以上數(shù)據(jù)的直線。目標(biāo)為使的各個觀察值同按直線關(guān)系所預(yù)期的值的偏差平方和為最小。（2）求擬合以上數(shù)據(jù)的直線，目標(biāo)為使的各個觀察值同按直線關(guān)系所預(yù)期的值的絕對偏差總和為最小。（3）求擬合以上數(shù)據(jù)的直線，目標(biāo)為使的各個觀察值同按直線關(guān)系所預(yù)期的值的最大偏差為最小。（4）求擬合以上數(shù)據(jù)的曲線，實現(xiàn)（1）（2）（3）三種目標(biāo)。（5）試一試其它的曲線，

3、可否找出最好的？2、 問題的分析 對于問題一，利用MATLAB中的最小二乘法對數(shù)據(jù)進行擬合得到直線，目標(biāo)為使各個觀察值同按直線關(guān)系所預(yù)期的值的偏差平方和為最小。 對于問題二、三、四均利用MATLAB中的fminsearch函數(shù)，在題目要求的約束條件下找到最佳答案。 對于問題五，改變多項式最高次次數(shù)，擬合后計算殘差，和二次多項式比較，再增加次數(shù)后擬合，和原多項式比較殘差，進而找到最好的曲線。3、 基本假設(shè)1. 表中數(shù)據(jù)真實可信，每個點都具有意義。4、 模型的建立與求解1. 問題一 對給定數(shù)據(jù)點，在取定的函數(shù)類 中，求，使誤差的平方和最小，。從意義上講，就是尋求與給定點 的距離平方和為最小的。稱為

4、擬合函數(shù)或，求擬合函數(shù)的方法稱為的最小二乘法。直接利用MATLAB中的函數(shù)進行曲線擬合，得到目標(biāo)函數(shù)如下：函數(shù)圖像如下：2. 問題二利用MATLAB中的函數(shù)，在題目要求的約束條件使的各個觀察值同按直線關(guān)系所預(yù)期的值的絕對偏差總和為最小下進行曲線擬合，得到目標(biāo)函數(shù)如下：函數(shù)圖像如下：3. 問題三 利用MATLAB中的函數(shù)，在題目要求的約束條件使的各個觀察值同按直線關(guān)系所預(yù)期的值的最大偏差為最小下進行曲線擬合，得到目標(biāo)函數(shù)如下：函數(shù)圖像如下：4. 問題四（1） 問題一 同問題一相似，只是擬合的曲線為二階多項式，利用MATLAB中的函數(shù)進行曲線擬合，得到目標(biāo)函數(shù)如下：函數(shù)圖像如下：（2） 問題二 同

5、問題二相似，只是擬合的曲線為二階多項式，利用MATLAB中的函數(shù)，在題目要求的約束條件使的各個觀察值同按直線關(guān)系所預(yù)期的值的最大偏差為最小下進行曲線擬合，得到目標(biāo)函數(shù)如下：函數(shù)圖像如下：（2） 問題三同問題三求解過程相似，只是擬合的曲線為二階多項式，利用MATLAB中的函數(shù)，在題目要求的約束條件使的各個觀察值同按直線關(guān)系所預(yù)期的值的最大偏差為最小下進行曲線擬合，得到目標(biāo)函數(shù)如下：函數(shù)圖像如下：5. 問題五選擇更高階多項式進行曲線擬合，利用MATLAB中的函數(shù)進行曲線擬合，得到目標(biāo)函數(shù)。比較方差，方差越小，得到結(jié)果越穩(wěn)定，即認(rèn)為曲線擬合越好，方差結(jié)果如下表所示：階數(shù)12345方差2.68842.

6、05771.71271.50491.4336可以得到函數(shù)階數(shù)越高，曲線擬合越好。各階多項式函數(shù)圖像如下：三階：四階：五階：5、 模型的評價 對于問題五中的模型，由于我們只選擇了最高為五階的高階多項式多項式進行曲線擬合，還需要選擇更多的函數(shù)進行擬合，并進行檢驗，找到最好的曲線。6、 附錄%1fun1=(a,x)a(1).*x +a(2); a=lsqcurvefit(fun1,0,0,x,y)xi=0:0.1:10;yi=a(1).*xi +a(2);plot(x,y,'*',xi,yi)a = 0.8117 -0.0264 %2syms p q fa0=a;a,fval=fmi

7、nsearch('fun2',a0)xi=0:0.1:10;yi=a(2)+a(1).*xi;plot(x,y,'*',xi,yi)%fuction2function f=fun2(a)x=0;0.500000000000000;1;1.50000000000000;1.90000000000000;2.50000000000000;3;3.50000000000000;4;4.50000000000000;0;5;5.50000000000000;6;6.60000000000000;7;7.60000000000000;8.50000000000000;9;

8、10;y=1;0.900000000000000;0.700000000000000;1.50000000000000;2;2.40000000000000;3.20000000000000;2;2.70000000000000;3.50000000000000;0;1;4;7.60000000000000;2.70000000000000;5.70000000000000;4.60000000000000;6;6.80000000000000;12.3000000000000;f=sum(abs(a(1).*x+a(2)-y);a = 0.6666 0.5001fval = 19.4000%

9、3syms p q fa,fval=fminsearch('fun3',a0)xi=0:0.1:10;yi=a(2)+a(1).*xi;plot(x,y,'*',xi,yi)%function3function f=fun3(a)x=0;0.500000000000000;1;1.50000000000000;1.90000000000000;2.50000000000000;3;3.50000000000000;4;4.50000000000000;0;5;5.50000000000000;6;6.60000000000000;7;7.600000000000

10、00;8.50000000000000;9;10;y=1;0.900000000000000;0.700000000000000;1.50000000000000;2;2.40000000000000;3.20000000000000;2;2.70000000000000;3.50000000000000;0;1;4;7.60000000000000;2.70000000000000;5.70000000000000;4.60000000000000;6;6.80000000000000;12.3000000000000;f=max(abs(a(1)*x+a(2)-y);a = 1.1300

11、-1.8790fval =2.8790%4-1fun4_1=(a,x)a(1).*x.2+a(2).*x+a(3);a=lsqcurvefit(fun4_1,0,0,0,x,y);xi=0:0.1:10;yi=a(1).*xi.2+a(2).*xi+a(3);plot(x,y,'*',xi,yi)a = 0.0953 -0.1096 1.3833%4-2syms p q fa0=a;a,fval=fminsearch('fun4_2',a0)xi=0:0.1:10;yi=a(1).*xi.2+a(2).*xi+a(3);plot(x,y,'*',

12、xi,yi)a = 0.0397 0.2902 0.9755fval =a =0.0264 -0.2971 1.4002 0.3003%4-3syms p q fa,fval=fminsearch('fun4_3',a0)xi=0:0.1:10;yi=a(1).*xi.2+a(2).*xi+a(3);plot(x,y,'*',xi,yi)a = 0.0994 -0.0909 1.7672fval = 2.7986%5fun4_1=(a,x)a(1).*x.3+a(2).*x.2+a(3).*x+a(4);a=lsqcurvefit(fun4_1,0,0,0,0,x,y)xi=0:0.1:10;yi=a(1).*xi.3+a(2).*xi.2+a(