張量分析在彈性力學(xué)中的應(yīng)用

1、張量分析在彈性力學(xué)中的應(yīng)用自然界的許多問題用數(shù)學(xué)語言來描述時(shí)都需要引入坐 標(biāo)系，但其本質(zhì)又與 坐標(biāo)無關(guān)。當(dāng)有些自然 規(guī)律用坐標(biāo)形式表達(dá)后，由于 復(fù)雜的方程式往往使得人 們忽略了它的內(nèi)在本 質(zhì)。張量是一種特殊的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，它描述的 結(jié)果不會(huì) 因?yàn)樽鴺?biāo)系的變化而發(fā)生變化1,因此可以擺脫坐標(biāo)系的影響，反 應(yīng)事物的本 質(zhì)。此外通過愛因斯坦求和約定、相關(guān)記法的規(guī)定等常用的表示方法，使得 張 量的表達(dá)形式變得十分簡潔。彈性力學(xué)，又稱 彈性理論，主要是研究 彈性體在外力和其它外界因素作用 下產(chǎn)生的應(yīng)力、形變和位移，廣泛 應(yīng)用于建筑、機(jī)械、化工、航天等工程 領(lǐng)域。 為了求得一定邊界條件下物體的 應(yīng)力、應(yīng)變和

2、位移，先對構(gòu)成物體的材料以及 物體的變形作了五條基本假 設(shè)，即：連續(xù)性假設(shè)、均勻性假 設(shè)、各向同性假 設(shè)、 完全彈性假設(shè)和小變形假設(shè)，然后分別從問題的靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)方面 出發(fā)，導(dǎo)得彈性力學(xué)的基本方程，即平衡微分方程、幾何方程和本構(gòu)方程，共 15個(gè)方程2。由于方程數(shù)目的眾多，使得我 們在分析過程中往往將大部分注意 力集中在了方程的形式上，從而忽略 問題的本質(zhì)。如果將張量引入到物體的應(yīng)力、應(yīng)變和位移中，關(guān)于彈性問題的15個(gè)方程 都可以用相關(guān)的符號(hào)而不是展 開式來表示，一方面可以使得 書寫簡便，更重要 的是可以將大部分注意力集中在物理原理上而不是方程本身，從而深化對問題的分析3,4。由于表達(dá)

3、簡潔、不會(huì)改變方程式的本質(zhì)，張量分析得到了廣泛的 應(yīng)用。黃 勇對張量的概念做出了具體的分析5;林誠之利用張量的概念推 導(dǎo)了形狀比能 的表達(dá)式6;趙超先7、黃曉琴網(wǎng)將張量應(yīng)用于物理學(xué)中，利用 應(yīng)力張量對麥克 斯韋磁場力進(jìn)行了重新推導(dǎo)；明華軍等利用監(jiān)測得到的張量結(jié)果得到了巖體破 裂面空間方位的計(jì)算方法9;楊天鴻等以現(xiàn)場巖體滲透結(jié)構(gòu)面概率模型 統(tǒng)計(jì)資 料為依據(jù)，采用離散介 質(zhì)方法建立典型裂隙網(wǎng) 絡(luò)模型，提出計(jì)算巖體結(jié)構(gòu)面網(wǎng) 絡(luò)的等效滲透系數(shù)張量方法10 o本文的目的并不是概述 張量在工程中的應(yīng)用，而是主要介 紹張量在彈性力 學(xué)中的應(yīng)用，具體介紹彈性力學(xué)中基本方程的 張量表達(dá)形式以及用 張量概念推 導(dǎo)

4、的彈性應(yīng)變能函數(shù)的表達(dá)式。2彈性力學(xué)中基本方程的張量表達(dá)形式2,3,42.1 用張量表示彈性力學(xué)中的基本物理量對于空間問題，受力物體在外力作用下，物體的各個(gè)點(diǎn)都會(huì)長生相應(yīng)的應(yīng)力、應(yīng)變和位移。將受力物體上一點(diǎn)的 應(yīng)力狀態(tài)用應(yīng)力張量,來表示二 11二 12013-21-22:-23二 310 32033二 x- yxzx- xy- xz0 y- yz- zy；- z(1)其中，i,j =1,2,3 ,下標(biāo)1、2、3表示笛卡爾坐標(biāo)，以下表達(dá)式中i, j的取值也是如此。對于 ,當(dāng)i = j時(shí)表示正應(yīng)力；i¥j時(shí)，等表示剪切 應(yīng)力。將受力物體上一點(diǎn)的位移用位移張量ui來表示。Fluivwj小應(yīng)

5、變條件下,受力物體一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)可以用應(yīng)變張量句來表示cuex1國 cu+ -)2 cx %1 ,cu NN 一(一十一)2 tz ex1 Fv Fu2(7x 7y.:v:y1 .:v.:w( )2 1 zcy1 j u Fw()2 fz ；x1 ；:v w(.一)2 二 z 二 yw(3)其中，對于可，當(dāng)i = j時(shí)表示正應(yīng)變；i # j時(shí)表示剪應(yīng)變。2.2 彈性力學(xué)中的基本方程(1)平衡方程：；二-：xv；： . j fx = 0.:x.:y:zyx 三：yz 入2 y：:zfy =0(4)J :x ：:y ：:zfz =0(2)幾何方程r一-:u-:z.出xy - yz:x二 y：:w2

6、v一-zx-y二 z-：UWN:z：x(5)(3)本構(gòu)方程% =匚/z _N（Ox 十%）Yzx =；EGG2.3 將彈性力學(xué)中的基本方程用 張量表示利用應(yīng)力張量，受力物體的平衡微分方程可簡化為：6i + fi=0（7）j , j利用應(yīng)變張量，受力物體的幾何方程可以簡化為：哥j =； （uij+u.i ）物體的本構(gòu)方程可以表示為： %- -dijcr（9）式中,6j 為 Kronecker符號(hào), 仃=<111 +仃22 +仃33 =Gx +0y +crz。將式（4）、式（5）和式（6）與（7）、式（8）和式（9）進(jìn)行對比，我 們可以發(fā)現(xiàn)將張量形式引入到彈性力學(xué)后，基本方程的表達(dá)式明 顯得到簡化， 當(dāng)然簡化的前提是我 們對張量表示的應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)以及相應(yīng)的張量計(jì)算規(guī)則 達(dá)到一定的熟通過將用張量形式表達(dá)后的 彈性力學(xué)基本方程與原方程 進(jìn)行對