頻率響應(yīng)及信號的頻譜

1、第第十十二二章章 頻頻率率響響應(yīng)應(yīng)及及信信號號的的頻頻譜譜重點：重點：1 串聯(lián)諧振及并聯(lián)諧振的特點及分析串聯(lián)諧振及并聯(lián)諧振的特點及分析2 正弦交流電路的幅頻特性與相頻特性正弦交流電路的幅頻特性與相頻特性3 非正弦周期電路的分析非正弦周期電路的分析平均值、有效值及平均功率平均值、有效值及平均功率難點：難點：1 頻率特性的分析頻率特性的分析2 非正弦周期函數(shù)的分解非正弦周期函數(shù)的分解3 信號頻譜的理解信號頻譜的理解12.1 諧諧振振有關(guān)“諧振”的物理性質(zhì)可以用運動學中的“共振”來對應(yīng)理解。諧振的定義：如果在某一特定頻率下工作的含有動態(tài)元件的無源單口網(wǎng)絡(luò)的阻抗角為零，認為該單口網(wǎng)絡(luò)在此頻率情況下發(fā)生

2、諧振。諧振電路是一種具有頻率選擇性的電路，它可以根據(jù)頻率去選擇某些需要的信號，而排除其他頻率的干擾信號。12.1.1 串聯(lián)諧振串聯(lián)諧振1串聯(lián)諧振的條件我們來看下面這個 RLC 串聯(lián)的電路：前面我們分析過 RLC 串聯(lián)電路的復(fù)阻抗情況，|ZZ，其中，2222)1()(|CLRXXRZCLRCLarctgRXXarctgCL1按照諧振的定義：當，即：時，CjLj1LC1。此時。01RCLarctgRXXarctgCLRXXRZCL22)(|這里，我們稱（或）為諧振頻率。LC10LCf210諧振時的電壓相量圖為 12-2。2串聯(lián)諧振發(fā)生時的電路特性1）電路阻抗最小U 不變時，I 最大 圖圖 12-2

3、 RLC 串串聯(lián)聯(lián)諧諧振振相相量量圖圖 U I RU CU LU R 1/jC + + - + - + jL _ _ 圖圖 12-1 RLC 串串聯(lián)聯(lián)電電路路的的相相 量量模模型型 U I RU LU CU |Z| R O I f0 fU/R O f0 f圖圖 12-3（a） |Z| R O I f0 fU/R O f0 f圖圖 12-3（b）2）電路呈阻性電源供給電路的能量全部消耗在電阻 R 上，而動態(tài)元件的儲能與放能過程完全在電容與電感之間完成；即儲能元件并不與電源之間交換能量。3）串聯(lián)諧振為電壓諧振， 當時，。URXIXUCCCURXIXULLLRX UUX電力系統(tǒng)中，常常盡量避免諧振，

4、以免擊穿電路設(shè)備（L、C 等） ；而電子線路中，常用此方法獲得高壓。4）選頻特性與品質(zhì)因數(shù) Q電容或電感上的電壓有效值與電源電壓有效值之間的倍數(shù)。Q 越大，網(wǎng)絡(luò)選頻的選擇性越強。CLRRCRLUUUUQLC110012.1.2 并聯(lián)諧振并聯(lián)諧振情況情況 1 + + R + 1/C + L _ _ _ _ 圖圖 12-4 RLC 并并聯(lián)聯(lián)諧諧振振電電路路一一RUUCULILURICII 該 RLC 并聯(lián)電路的復(fù)阻抗，而，當時，電路發(fā)生諧YZ1| ZCjLjR11YR1Y振。此時電路呈現(xiàn)阻性，阻抗為。RYZ1可見發(fā)生并聯(lián)諧振的條件仍然為：電源頻率等于諧振頻率（或） 。LC10LCf210諧振時的電

5、流相量圖為 12-5：2并聯(lián)諧振發(fā)生時的電路特性1）電路阻抗最大I 不變時，U 最大見圖12-62）電路呈阻性電源供給電路的能量全部消耗在電阻 R 上，而動態(tài)元 圖圖 12-5 并并聯(lián)聯(lián)諧諧振振相相量量圖圖一一 I RI LI CI U |Z| R O I f0 f U/R O f0 f 圖圖 12-6 件的儲能與放能過程完全在電容與電感之間完成；即儲能元件并不與電源之間交換能量。3）串聯(lián)諧振為電流諧振， 當時，。IXRICCIXRILLXR IIX4）選頻特性與品質(zhì)因數(shù) Q定義為電容或電感上的電流有效值與干路電流有效值之間的倍數(shù)。Q 越大，網(wǎng)絡(luò)選頻的選擇性越強。LCRCRLRIIIIQLC0

6、0情況情況 2實際上的并聯(lián)電路往往是以下這種模型 該 RLC 并聯(lián)電路的復(fù)阻抗，YZ1| Z即 LCRCjLjRCjLjRCjLjR211)(1)(Z當時 LR)1(112LCjLRCLCRCjLjZ電路發(fā)生諧振時，電路呈現(xiàn)阻性，阻抗為。RCLZ可見發(fā)生并聯(lián)諧振的條件仍然為：電源頻率等于諧振頻率（或） 。LC10LCf210諧振時的電流相量圖為 12-8，這種情況下并聯(lián)諧振發(fā)生時的電路特性與前面的并聯(lián)諧振情況相同。12.2 頻頻率率特特性性在前面的內(nèi)容中，我們著重討論固定頻率（同一頻率）情況下正弦交流電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。這一節(jié)中，我們開始研究在電路其他參數(shù)不變的前提下，僅改變電路（電源）的頻率時的

7、電路響應(yīng)的情況。所謂頻率特性，正是用來分析電路的響應(yīng)隨著頻率變化的規(guī)律。在前面的內(nèi)容中，我們曾經(jīng)提到過電容元件通高頻阻低頻、電感元件通低頻阻高頻的性質(zhì)，其實這正是兩種元件在不同的頻率情況下響應(yīng)不同的體現(xiàn)。12.2.1 幅頻特性與幅頻特性曲線幅頻特性與幅頻特性曲線以網(wǎng)絡(luò)函數(shù)中的策動點阻抗為例。前面我們談到過單口網(wǎng)絡(luò)的阻抗的意義：，其中為端口電壓與端口電流的幅值比隨著頻率變化的關(guān)系，即表征)(| )(|jZIUZ| )(|jZ了在相同電流源大小的情況下，在單口網(wǎng)絡(luò)與電流源同一端口產(chǎn)生的電壓大小與電源頻率之間的關(guān)系。 圖圖 12-8 并并聯(lián)聯(lián)諧諧振振相相量量圖圖二二 U CI I CI RI LI

8、+ R -jXC _ jXL 圖圖 12-7 RLC 并并聯(lián)聯(lián)諧諧振振電電路路二二 U LI CI I 感性負載 mmIUIUjZ | )(|幅頻特性曲線在以頻率為橫軸，為縱軸的平面上所繪出的曲線稱為該響應(yīng)的幅頻特| )(|jZ性曲線。12.2.2 相頻特性與相頻特性曲線相頻特性與相頻特性曲線其中表征端口電壓與端口電流的相位關(guān)系隨著頻率變)(化的規(guī)律。相頻特性曲線在以頻率為橫軸，為縱軸的平面上所繪出的曲線稱為該響應(yīng)的相頻特性曲)(線。12.2.3 示例示例以前面講到的 RLC 并聯(lián)電路為例)(1)1(11111LRCRjRLCjRCjLjRZ前面我們已經(jīng)得出：，所以：，CRLRQ000QCR，

9、代入上式：0QLR)(1)(00jQRjZ 這樣，阻抗對應(yīng)的幅頻特性為：2002)(1| )(|QRjZ 相頻特性為：)()(00arctgQ因此，該電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)策動點阻抗對應(yīng)的幅頻特性曲線及相頻特性曲線如下，當電路的品質(zhì)因數(shù)變化時，相頻特性的變化規(guī)律同時見圖 12-9。12.2.4 通頻帶通頻帶在上述電路中，如果電路入端阻抗的模不低于諧振時阻抗模的（=0.707）的頻率范圍。稱為“通頻帶” 。通頻帶的寬度決21定了幅頻特性曲線的尖銳程度通頻帶越窄，幅頻特性曲線越尖銳，Q 值越高，選擇性越好；但是通頻帶太窄，傳送信號時越容易產(chǎn)生波形失真。因此，在利用網(wǎng)絡(luò)的頻率特性進行選頻的時候，往往要綜合考

10、慮選擇性與通頻帶這兩個方面的問題。見圖 12-10。 + + R + 1/C + L _ _ _ _ RU U CU LI LU RI CI I |Z(j)| R Q =50 Q =100 Q =200 幅頻特性曲線 1 /0 () Q =200 90o Q =100 Q =50 60o 30o 0o /0 -30o -60o 相頻特性曲線 -90o 圖圖 12-9 RLC 并并聯(lián)聯(lián)電電路路的的頻頻率率特特性性曲曲線線 |Z(j)| R 0.707 R 幅頻特性曲線 1 /0 圖圖 12-10 頻頻率率特特性性的的通通頻頻帶帶 12.2.5 濾波器濾波器低通、高通、帶通、帶阻、全通。實際上，產(chǎn)

11、生諧振時，電路的幅頻特性即為一種帶通的濾波性質(zhì)。這里只介紹一階濾波器（在網(wǎng)絡(luò)函數(shù)部分將介紹二階濾波器）1RC 串聯(lián)電路的低通濾波器圖中，所以其電壓放大函數(shù)為：，RCjCjRCjii1111UUUoRCjjio11)(UUH其中，網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的幅頻特性為：，網(wǎng)絡(luò)的相頻特性為：2)(11)(RCH)()(RCarctg 其幅頻特性曲線及相頻特性曲線如 12-12。 R + + C - - 圖圖 12-11 RC 低低通通濾濾波波器器 iU oU H() 1 0.707 O /0 () O -45o -90o 圖圖 12-12 低低通通濾濾波波器器頻頻率率特特性性 2RC 串聯(lián)電路的高通濾波器 12-1

12、3 C + + R - - 圖圖 12-13 RC 高高通通濾濾波波器器 iU oU H() 1 0.707 O /0 () 90o 45o 0 圖圖 12-14 高高通通濾濾波波器器頻頻率率特特性性 在圖中，因此，其電壓放大函數(shù)的表達式為：RCjRCjCjRRii11UUUo)(90)(11)(2RCarctgRCRCRCjRCjjoH其中，幅頻特性為：，相頻特性為：2)(1)(RCRCH)(90)(oRCarctg 其幅頻特性曲線及相頻特性曲線如 12-143超前滯后網(wǎng)絡(luò)在電子技術(shù)中，該網(wǎng)絡(luò)常常用在正弦波振蕩器（文氏電橋振蕩器）中作為選頻部分（幾個 Hz 到幾百 kHz）參見模擬電子技術(shù)或

13、高頻電子技術(shù)，而在自動控制理論中，常常利用其相位超前及滯后的特點。 R C + + C R - -圖圖 12-15 超超前前滯滯后后網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)絡(luò)iUoU在圖中，所求的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的表達式為：1)(3)()1(1111)1()/1(/1)(2RCjRCjRCjRCjRCjRCjRCjRCjRCjRCjRCjjiUUHo令，該網(wǎng)絡(luò)函數(shù)變?yōu)?RCC11)(3)()(2CCCjjjH其中若，則該網(wǎng)絡(luò)函數(shù)變?yōu)?Ck2222229)1 ()1 (313)(kkkjkkkjkjkjH其中，網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的幅頻特性為：，網(wǎng)絡(luò)的相頻特性為：2)(1)(RCRCHkkarctg31)(2由該相頻特性可見，該網(wǎng)絡(luò)可以因為電源頻率

14、的不同，使得輸出電壓超前或者滯后于輸入電壓（在自控理論中常用） 。特別地，在滿足一定條件時，兩者還可以同相，分析如下。當即時，12k1k319)1 ()1 (3)(22222kkkjkkjH這說明，該網(wǎng)絡(luò)的輸入電壓與輸出電壓同相，且輸出電壓為輸入電壓的三分之一，滿足該性質(zhì)的網(wǎng)絡(luò)要求電壓的輸入頻率為，即。1CkRCC112.3 非非正正弦弦周周期期電電路路與與頻頻譜譜對于線性非時變電路而言，可以運用疊加定理計算多個正弦電源作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，前面我們往往只涉及到同頻率的情況，如果這些正弦電源的頻率不同，電路分析的情況又會有改變。本章中，我們先從疊加的角度來看非正弦周期電路的分析，然后，我們再從分解

15、的角度來看非正弦周期電路的分析及頻譜的概念。12.3.1 正弦穩(wěn)態(tài)的疊加正弦穩(wěn)態(tài)的疊加一、不同頻率的激勵作用時根據(jù)線性電路的疊加定理，我們可以分別計算該電路中的兩個電源作用時產(chǎn)生的響應(yīng)。我們看下面的電路，其中，由于兩個電源的頻率不同，就整個電路來VtuS 5cos210A 4cos22tiS說，我們不能直接使用相量法。但是根據(jù)疊加定理，我們可以將該線性電路的響應(yīng)分為兩個不同頻率點單個電源作用下產(chǎn)生響應(yīng)的和，因此，我們可以單獨對每一個電源作用下的電路使用相量法。再筆筒頻率下，電容與電感對應(yīng)的阻抗為不同的值，再相量電路繪出之后，就可以按照原來所學的方法計算該電路的響應(yīng)了。 1 1F + 1H uS

16、 _ iS圖圖 12-17 不不同同頻頻率率的的電電源源疊疊加加 1 -0.2j + 5j 10o0 o I -(a) 1 -0.25j 4j 2o0 o I(b)圖（a）是電壓源單獨作用時的電路，其中的阻抗根據(jù)計算；圖（b）是電流源單獨作srad /5用時的電路，其中的阻抗根據(jù)計算； srad /4圖（a）中Ajjjjj.jj.jooo8 .112 .105242502 . 055205)20(51010I圖（b）中Ajjjjooo9 .1406. 24153225. 041402I所以：Atio)8 .115cos(22 .10oAtio)9 .144cos(206. 2 o待求量：AtA

17、tiiiooo)9 .144cos(206. 2)8 .115cos(22 .10 oo二、各種頻率正弦激勵的疊加tAtfsin4)(1)3sin31(sin4)(2ttAtf)5sin513sin31(sin4)(3tttAtf P267)7sin715sin513sin31(sin4)(4ttttAtf f1(t) 4A/ O t f2(t) A O t f3(t) A O t f4(t) A O t 12.3.2 非正弦周期函數(shù)的傅立葉分解與信號的頻譜非正弦周期函數(shù)的傅立葉分解與信號的頻譜一、非正弦周期函數(shù)的傅立葉分解1定義如果給定的周期函數(shù)滿足狄里赫利條件（函數(shù)在任意有限區(qū)間內(nèi)，具有有

18、限個極值點與不連)(tf續(xù)點） ，則該周期函數(shù)定可展開為一個收斂的正弦函數(shù)級數(shù)。而在電工技術(shù)中，我們所遇到的周期函數(shù)通常均滿足該條件。這樣1010)cos()sincos()(kkkmkkktkAAtkbtkaatf其中，兩式中的各個系數(shù)的計算公式及對應(yīng)的系數(shù)的關(guān)系2200)(1)(1TTTdttfTdttfTa)()cos()(1)()cos()(1)cos()(2)cos()(220220tdtktftdtktfdttktfTdttktfTaTTTk)()sin()(1)()sin()(1)sin()(2)sin()(220220tdtktftdtktfdttktfTdttktfTbTTT

19、k參見教材 P265。在該展開式中，稱為周期函數(shù)的恒定分量，也稱為直流分量；與原周期函數(shù)的周期相同的0A)(tf正弦分量稱為一次諧波，也稱為基波分量。其他各項稱為高次諧波（如 2 次諧波、3)cos(11tAm次諧波等等）2各種常用周期信號的傅立葉展開1）方波 f(t) A t 0.5T -A T圖圖 12-18(c) 矩矩形形波波三三，其中的)7sin715sin513sin31(sin4)(ttttAtfT22）三角波 f(t) A t T -A 圖圖 12-19 三三角角波波，其中的)7cos4915sin2513sin91(sin8)(2ttttAtfT23）鋸齒波 f(t) A t

20、T 2T 3T圖圖 12-20 鋸鋸齒齒波波，其中)4sin413sin312sin21(sin2)(ttttAAtfT24）正弦整流全波 f(t) A t O 0.5T T圖圖 12-21 正正弦弦全全波波整整流流波波形形，其中)8cos6316cos3514cos1512cos3121(4)(tttAtfT212.3.3 非正弦周期函數(shù)的有效值與平均功率非正弦周期函數(shù)的有效值與平均功率一、有效值以電流為例，周期電壓、電流的有效值的定義為：TdttiTI02)(1前面已經(jīng)談到，任意周期函數(shù)均可展開為傅立葉級數(shù)：110)sin()(nnnmtnIIti代入有效值的定義式：TnnnmdttnII

21、TI02110)sin(1積分號內(nèi)的平方式展開有以下幾種情況：200201IdtITT2)(sin120122nmTnnmIdttnIT0)sin(21010TnnmdttnIITnpdttptnIITTpnpmnm 0)sin()sin(21011 因此，的有效值為：。其中，為各個 n 次)(ti2322212012202IIIIIIInnm2nmnII 諧波分量的有效值。同理，任意電壓的有效值為：)(tu，其中，為各 n 次諧波分量的有效值。2322212012202UUUUUUUnnm2nmnUU 二、平均功率平均功率的定義為：TdttituTP0)()(1如果電壓與電流均可展開為傅立葉

22、級數(shù)：110)sin()(nnnmtnUUtu110)sin()(nnnmtnIIti代入平均功率的定義式：1100110)sin()sin(1nnnmTnnnmdttnIItnUUTP積分號內(nèi)的乘積式展開有以下幾種情況：000001IUdtIUTT0)sin(1010TnnmdttnIUT0)sin(1010TnnmdttnUITnpdttptnIUTTnnpmnm 0)sin()sin(1011nnnnnnmnmTnnnmnmIUIUdttptnIUTcos)cos(21)sin()sin(1011 因此，二端網(wǎng)絡(luò)吸收的平均功率為：。其中，為10100cosnnnnnnPPIUIUP000

23、IUP 電壓電流的直流分量構(gòu)成的功率，為各電壓電流 n 次諧波構(gòu)成的平均功率。nnnnIUPcos另外，我們可以發(fā)現(xiàn)，只有同頻率的電壓電流才構(gòu)成平均功率，不同頻率的電壓電流所構(gòu)成的平均功率總為零。12.3.4 頻譜頻譜一、非正弦周期函數(shù)的頻譜對某函數(shù)以頻率為橫軸，各個頻率對應(yīng)的正弦函數(shù)的幅值為縱軸所繪出的線段系稱為該函數(shù)的頻譜。對于周期函數(shù)而言，其頻譜為一系列譜線。如方波 f(t) A t 0.5T -A TAkm 4A/ 4A/3 4A/5 4A/7 3 5 7 圖圖 12-22 矩形波的傅立葉頻譜矩形波的傅立葉頻譜三角波 f(t) A t T -A Akm 8A/2 8A/252 3 5

24、7 8A/92圖圖 12-23 三角波的傅立葉頻譜三角波的傅立葉頻譜鋸齒波 f(t) A t T 2T 3TAkm A/2 A/ A/2 A/3 A/4 O 2 3 4 圖圖 12-24 鋸齒波的傅立葉頻譜鋸齒波的傅立葉頻譜正弦整流全波 f(t) A t O 0.5T TAkm 4A/2 4A/3 4A/35 4 8 2 6 4A/63 4A/15圖圖 12-25 正弦全波整流形波的傅立葉頻譜正弦全波整流形波的傅立葉頻譜二、傅立葉變換與頻譜函數(shù)1周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)的指數(shù)形式11010102)(2)()2()2()sincos()(ktjkkkktjkkkktjktjkktjktjkkkkke

25、jbaejbaajeebeeaatkbtkaatf令，且對所有，均有，則，其中，2kkkjbac0k00ac ktjkkectf)(dtetfTctjkTk0)(100ac 2幅度頻譜與相位頻譜體現(xiàn)|與頻率之間的關(guān)系的譜線，稱為幅度頻譜。kc由于指數(shù)級數(shù)中的 k 可以分別取相應(yīng)的正負值，因此幅度頻譜關(guān)于 Y 軸對稱；而其譜線的高度僅為付氏頻譜譜線高度的一半。例如方波 f(t) A t O f(t) A t 0.5T -A TAkm 4A/ 4A/3 4A/5 4A/7 3 5 7 圖圖 12-26(a) 方方波波的的傅傅立立葉葉頻頻譜譜|ck| 2A/ 2A/3 2A/5 2A/7 3 5 7

26、 圖圖 12-26(b) 方方波波的的幅幅度度頻頻譜譜體現(xiàn)|與頻率之間的關(guān)系的譜線，稱為幅度頻譜。kc仍以方波為例 k /2 3 5 7 9 -9 -7 -5 -3 - -/2圖圖 12-26(c) 方方波波的的相相位位頻頻譜譜三、非周期函數(shù)的傅立葉變換對于非周期函數(shù)而言，我們同樣可以從頻譜的角度來研究。其中傅立葉變換就是其數(shù)學基礎(chǔ)，定義傅立葉變換：F，該函數(shù)稱非周期函數(shù)的頻譜函數(shù)。而也稱為dtetfjtj)()(F)(tf)( jF函數(shù)的傅立葉象函數(shù)，稱的傅立葉原函數(shù)。對于非周期函數(shù)而言，其頻譜為連續(xù)函數(shù)。)(tf)(tf)( jF例如單脈沖函數(shù)：，經(jīng)過傅立葉變換后得到的傅立葉象函數(shù)為：2|22 0)(ttAtf22sin2sin2)()(AAdtetfjtjF|F(j)| A 2/ 4/ 6/ () 2/ 4/ 6/F(j) A 2/ 4/ 6/ 載波載波頻率為0的包絡(luò)線為矩形波的頻譜特性： f(t) A t O F(j) A/2 f(t) A 0 t O F(j) A/2 -0 0 圖圖 12-28 載波信號的頻譜載波信號的頻譜抽樣 125 幾點說明1我們在前面列舉過的周期性信號波