微分選擇填空題題庫(kù)

1、1、方程M(x,y)dx N(x,y)dy 0有只含x的積分因子的充要條件是()。有只含y的積分因子的充要條件是 o2、稱為黎卡提方程，它有積分因子3、稱為伯努利I方程，它有積分因子-4、若X1，X2，|，Xn為n階齊線性方程的n個(gè)解，則它們線性無(wú)關(guān)的充要條件是5、形如的方程稱為歐拉方程。'6、若和都是x Ax的基解矩陣，則 和具有的關(guān)系是7、當(dāng)方程的特征根為兩個(gè)共鈍虛根是，則當(dāng)其實(shí)部為時(shí)，零解是穩(wěn)定的，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱為 MN(y)yx/ 、 (x)Ndydxp(x)y2 Q(x)y R(x)5、idxp(x)y Q(x)ynu(x,y)n (n 1)p(x)dx eWXl(t),X2

2、(t)J|,Xn(t)nn 1x柴 a9 HIandy1 dxany6、(t)Cdy1 dxf(x) (y)親 P(x)y Q(x)yn z=7) I 二、奪穩(wěn)定中心1、 形如的方程，稱為變量分離方程，這里.f(x). (y)分別為的連續(xù)函數(shù)。2、 形如的方程，稱為伯努利方程，這里p(x)Q(x)為x的連續(xù)函數(shù).n 0.1是常數(shù)。引入變量變換,可化為線性方程。3、 如果存在常數(shù) L 0,使得不等式對(duì)于所有(x,y)(x,y2) R都成立，L稱為利普希茲常數(shù)。函數(shù)f(x,y)稱為 在r上關(guān)于y滿足利普希茲條件。4、 形如-的方程，稱為歐拉方程，這里ai,a2,是常數(shù)。5、 設(shè)(t)是x Ax的基

3、解夕!陣，是x A(t)x f(t)的 某一解，則它的任一解 可表為-。2、yx53 f (x,y1) f(x, y2)L y y2dyan iXany 0dxnn 1n d y n 1 d yx . n a1x. n 14、 dxdx5、 (t)(t)稱為變量分離方程，它有積分因子2、當(dāng)()時(shí)，方程 M(x,y)dx N(x,y)dy 0稱為恰當(dāng)方程，或稱全微分方程。3、函數(shù)f(x,y)稱為在矩形域R上關(guān)于y滿足利普希茲條件，如 果()。4、對(duì)畢卡逼近序列，I k(x)ki(x)l ()o5、 解線性方程的常用方法有( )。6、若Xi。12，n)為齊線性方程的n個(gè)線性無(wú)關(guān)解，則這一 齊線性方

4、程的所有解可表為()。7、方 程 組 x A(t)x( )。8、若 和 都是x A(t)x的基解矩陣，則 和 具有關(guān) 系：()。9、當(dāng)方程組的特征根為兩個(gè)共鈍虛根時(shí)，則當(dāng)其實(shí)部()時(shí)，零解是穩(wěn)定的，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱為()。1 0、當(dāng)方程組的特征方程有兩個(gè)相異的特征根時(shí)，則當(dāng)()時(shí)，零解是漸近穩(wěn)定的，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱為()。當(dāng)()時(shí)，零解是不穩(wěn)定的，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱為()。1 1、若是x A«)x的基解矩陣，則x Ax f滿足 x(t0)的解()。dy .,1f(x)g(x)u/ 、1、形如dx的萬(wàn)程g(y)M N3、存在常數(shù)L >0,對(duì)于所有3，yi)，(x2,y2)R都有使得不等式 f(

5、xi,yjf(x2,y2)Lyi 丫2 成立k 1ML ihk!常數(shù)變異法、待定系數(shù)法、屬級(jí)數(shù)解法、拉普拉斯變換法nx(t)CiXi(t)i1 ，其中c1，c2，cn是任意常數(shù)7、n個(gè)線性無(wú)關(guān)的解xi，x2(t), xn稱之為x Ax的一個(gè)基本 解組8、(t)=c (a t b)c為非奇異常數(shù)矩陣9、等于零穩(wěn)定中心-PP(x) y Q( x)1 . dx ' "'，稱為一階線性方程，它有積分因子P(x)dx e2 .函數(shù)f(x,y)稱為在矩形域R上關(guān)于y滿足利普希茲條件， 如果 。3 . 若(x)為畢卡逼近序列 n(x)的極限，則有(x) n (x)o、 dy x2

6、y2 -公t r/4 .方程dx y定義在矩形域R: 2 x 2, 2 y 2上，則經(jīng) 過(guò)點(diǎn)(0, 0)的解的存在區(qū)間是 。t t 2t5 .函數(shù)組e,e ,e的伏朗斯基行列式為 6.若xi(t)(i12為齊線性方程的一個(gè)基本解組，x(t)為非齊線性方程的一個(gè)特解，則非齊線性方程的所有解可表為O7.若 是xA(t)x的基解矩陣，則向量函數(shù) =是xAxf的滿足初始條件(to)0的解；向量函數(shù) (t)=是x A(t)x f(t)的滿足初始條件(to)的解。8.若矢1陣A具有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量v1，v2，vn,它們對(duì) 應(yīng)的特征值分別為1，2， n,那么矩陣 = 是常系數(shù)線 性方程組x Ax的一個(gè)

7、基解矩陣。一. . 一* * . 9.滿足 的點(diǎn)(x ,y ),稱為駐定方程組。1. y eP(x) dxP (x)dx(Q(x)e dxC)2. f(x，診在上連續(xù)，存在L0, 使f(x,y1) f(x,y2)Ly1 V2 ,對(duì)于任意(x,y1),(x,y2) RMLn(n 1)!t et et et et et e2te2e2t4e2tnx(t)Ci xi(t)x(t)6.i 127tto1(t) 1(s)f(s)ds7.it i(t)(b)(J(s)f(s)dst08 . e 1tvi,e 2tv2, ,e ntvn9 . X(x,y) 0,Y(x,y) 01、 當(dāng)時(shí)，方程 M(x,y)

8、dx+N(x,y)dy=0 稱為恰當(dāng)方程，或稱全微分方程。2、 稱為齊次方程。dy dx3、求 =f(x,y)滿足(x0)y。的解等價(jià)于求積分方程 的連續(xù)解。4、若函數(shù)f(x,y)在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于y滿足利普希茲一 .、一一 dy f (x, y),條件，則方程dx ( ")的解y=(x,x°,y0)作為x,x0,y0的函數(shù)在它 的存在范圍內(nèi)是。5、若x1(t),x2(t),.x3(t)為n階齊線性方程的n個(gè)解，則它們線性 無(wú) 關(guān) 的 充 要 條 件 是6、方程組x/ 41八的稱之為x/ 81次的一個(gè)基本解組。7、若是常系數(shù)線性方程組x/ Ax的基解矩陣，則 expAt

9、*8、滿足的點(diǎn)（x ,y ）,稱為萬(wàn)程組的奇點(diǎn)。9、當(dāng)方程組的特征根為兩個(gè)共鈍虛根時(shí)，則當(dāng)其實(shí)部時(shí)，零解是穩(wěn)定的，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱為 oM (x, y) N(x, y)1、 yx曳f(y)2、dx xxf (x, y)dx3、y=y0+ x0 ' 4、連續(xù)的5、Wxi(t),x2(t,),，xn(t)06、n個(gè)線性無(wú)關(guān)解17、(t)(0)8、X(x,y)=0,Y(x,y)=09、為零穩(wěn)定中心1 . n階線性齊次微分方程基本解組中解的個(gè)數(shù)恰好是（）個(gè).（A） n（B） n-1（C） n+1（D） n+22 .李普希茲條件是保證一階微分方程初值問(wèn)題解惟一的（）條件.（A）充分（B）必要（C）充

10、分必要（D）必要非充分dy . 1 y2（. 1）3 .方程dx 、 y過(guò)點(diǎn)（2, ）共有（）個(gè)解.（A） 一（B）無(wú)數(shù)（C）兩(D)三y 4 .方程n<y x x （）奇解.（D）有無(wú)數(shù)個(gè)（D）y 0（A）有一個(gè)（B）有兩個(gè)（C）無(wú)5 .方程dx "的奇解是（）.（A） y x（B）y 1（C）y 11、 稱為一階線性方程，它有積 分因子, 其通解 為。2、函數(shù)f（x，y）稱為在矩形域R上關(guān)于y滿足利普希茲條件，如果3、若X1,x2,，Xn為n階齊線性方程的n個(gè)解，則它們線性無(wú)關(guān)的充要條件4、形如的方程稱為歐拉方程。5、若 和 都是x' Ax的基解矩陣，則 和 具有的

11、 關(guān)系：。6、若向量函數(shù)g(t；y)在域r上dy /、 /、g(t;y), (to；to, yo)yo,則方程組dt的解存在且惟7、當(dāng)方程組的特征根為兩個(gè)共鈍虛根時(shí)，則當(dāng)其實(shí) 部,零解是穩(wěn)定的，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱 為。1、dy P(x)y Q(x)如dx的萬(wàn)程，eP(x)dxP (x) dxP(x) dxy e ( Q(x)e dx c)2、 存在常數(shù) l o,使得(xi,yi),(x2,y2)R,有f(x,yi) f(x,y2)Lyi v?3、wxi(t), x2(t), xn(t)04、naxn 1i d y,n 1 dxdy八anixany 0dx5、(t)C(C為非奇異方程)6、 連續(xù)且關(guān)于

12、y滿足利普希茲條件7、 等于零，穩(wěn)定中心dy 方程dx一一 一 xysin x e的任一解的取大存在區(qū)間必7E是2 .方程y 4 y 0的基本解組是.3 .向量函數(shù)組Y1,Y2(x),Yn(X)在區(qū)間I上線性相關(guān)的條件是在區(qū)間I上它們的朗斯基行列式W(x) 0 .4 .李普希茲條件是保證一階微分方程初值問(wèn)題解惟一的 條件.5. n階線性齊次微分方程的所有解構(gòu)成一個(gè) 維線性 空間.6.向量函數(shù)組Y1(x)，Y2(x)，Yn(X)在其定義區(qū)間I上線性相關(guān)的 條件是它們的朗斯基行列式 W(x) 0 , x I .1 .(，)2 sin 2x, cos2x3 .必要4 .充分5 . n6 .必要/dy

13、gd)工治4出七工口dyP(x)y2 Q(x)yR(x).斗花上1、dx x稱為齊次方程，dx稱為黎卡提方程。2、如果f(x, y)在R卜連續(xù)且關(guān)于y滿足利普希茲條件.則方程dy f(x, y)dx i存在唯一的解y ，定義于區(qū)間x xo h上，連續(xù)且滿b .h min(a, ) M max f (x, y)足初始條件(x。)y0，其中m , J” 。3、若為。1, 2,，n)是齊線性方程的n個(gè)解，w為其伏朗斯基行列式，則w滿足一階線性方程wai(t)w04、對(duì)逼卡逼近序列,k(x)k 1 (x)MLk 1(x k!Xo)k5、若 和 都是xAx的基解矩陣，則和 具有關(guān) 系 (t)C6、方程M

14、(x,y)dx N(x,y)dy 0有只含x的積分因子的充要條件是有只含y的積分因子的充要條件是(y)o,2dy y 17、方程瓦 丁 經(jīng)過(guò)(0,0)點(diǎn)的解在存在區(qū)間是(, )1 .稱為一階線性方程，它有積分因子，其通解為。2 .稱為黎卡提方程，若它一有一二一下一正解 y(x), 則 經(jīng) 過(guò) 變換，可化為伯努利方程。3 .若(x)為畢卡逼近序列n(x)的極限，則有(x)一n (x)o4 .若xi(i=1,2, -, n)是齊線形方程的n個(gè)解，w(t)為其 伏朗斯基行列式，則 w(t) 滿足一階線性方 程。5 .若為(i=1,2, -, n)是齊線形方程的一個(gè)基本解組，x(t) 為非齊線形方程的

15、一個(gè)特解：則非齊線形方程的所有解可表6 .如果A(t)是nx n矩陣，f 是n維列向量，則它們?cè)赼 t b 上滿足時(shí)，方程組x'= A(t) x+ f(t)滿足初始條件x (t0)=的解在 a t b上存在唯一。7 .若 (t)和(t)者B是x'= A(t) x的基解矩陣，則 (t)與 (t)具有關(guān)系：p(x)dx e1. dxp(x)dxe ( Q(x)edy2. dxO連續(xù)(t)(t) (to)7(t)c,detc 080dxX(x, y) dt dy Y(x, y)9. dt中 X(x,y)=0,Y(x,y)=0 10. 為 0 穩(wěn)定中心1 .若y=yi(x), y=y2

16、(x)是一階線性非齊次方程的兩個(gè)不同解， 則用這兩個(gè)解可把其通解表示為._ dy x2 y2 .方程dx y滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是.包f(x.y)3 . fy(x，y)連續(xù)是保證方程dx ( ,y)初值唯一的條件.一條積分曲線. ，A(x)Y 一 .、一,，一, 八4 .線性齊次微分方程組dx ( )的一個(gè)基本解組的個(gè)數(shù)不能多于個(gè)，其中x R , Y Rn.5 .二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解y i(x), y 2(x)成為其基本解組的充要條件是.、力 dy sin x cosy6 .萬(wàn)程dx滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是.dy x2 tan y 7 .方程dx y的所有常數(shù)解是

17、.8 .方程xsin ydx ycosxdy 0所有常數(shù)解是.9 .線性齊次微分方程組的解組 Yi(x)，Y2(x)，Yn(x)為基本解組的 條件是它們的朗斯基行列式 W(x) 0.10 . n階線性齊次微分方程線性無(wú)關(guān)解的個(gè)數(shù)最多為 個(gè).1 . Ciyi(x) y2(x) yi(x)2, xoy 平面 3 充分 4. n5. 線性無(wú)關(guān)6. xoy平面7. y k , k 0, 1, 2,8. y k ,k 0, 1, 2,x - k , k 0, 1, 2, 或 29.充分必要 10 . n1、 方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 有只含x的積分因子的充要條件是要條件是N (x)M

18、(y)2、dy求 dx =f(x,y),有只含y的積分因子的充滿足(x0)y。的解等價(jià)于求積分方程xf (x, y)dx(y=y0 +x0)。dy 22x y3、 方程dx定義在矢!形域R：-2 x 2, 2 y 24、 若X (t)(I=1,2,n)是齊線性方程的n個(gè)解，W為伏朗斯基行列式，則 W滿足一階線性方程(W (t)+a i(t)W(t)=0 )。5、 若X(t), X2(t) ,Xn (t)為n階齊線性方程的n個(gè)解，則它們線性無(wú)關(guān)的充要條件是(WXi (t), X2 (t) ,Xn (t)0)。6、 在用皮卡逐步逼近法求方程組X'=A(t)X+f(x),X(t 0)= 的近

19、似解時(shí)， 則t k(t)(A(s)ki(s) f(s)dsto)?！耙灰彩?dy y2 x2 01微分方程(dx) dx y 的階數(shù)是2 若M(x, y)和N(x, y)在矩形區(qū)域r內(nèi)是(x, y)的連續(xù)函數(shù)，且有 連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則方程MdyRx N(x, y)dy 0有只與y有關(guān)的積分 因子的充要條件是3 稱為齊次 方程.4 如果f(x,y) ,則 或 f(x. y) dx存在唯一的解y (x),定義于區(qū)間x汽h上，連續(xù)且滿足初始條件y0(x0),其中h .5對(duì)于任意的(xyl, (x,y2)r ( r為某一矩形區(qū)域),若存在常數(shù)N（N o）使，則稱f（x,y）在r上關(guān)于y滿足利普希茲條

20、件.dy 22x y6方程dx定義在矩形區(qū)域R： 2 x 2, 2 y 2上，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,0）的解的存在區(qū)間是7若為。1，2,.n）是齊次線性方程的n個(gè)解，w為其伏朗斯基 行列式，則w滿足一階線性方程8 若xi（t）（i1，2,n）為齊次線性方程的一個(gè)基本解組，x（t）為非齊次線性方程的一個(gè)特解，則非齊次線性方程的所有 解可表為9若（x）為畢卡逼近序列n（x）的極限，則有 （x） n（x）10 稱為黎卡提方程，若它有一個(gè)特解y（x）,則經(jīng)過(guò)變換 ,可化為伯努利方程.111M(- yN 1CM)(y)dy （y）形如dx gx，的方程4 在R上連續(xù)且關(guān)于y滿足利普希茲條件bh min(a, 1

21、 ) m5 f(x,y1) f (x, y2)N y1y27 w a1(t)w 0nxGXix8 iiMLn un i h9 (n 1)!», dy p(x)y2 q(x) y r(x)工10 形如dx的萬(wàn)程1.辨別題指出下列方程的階數(shù)，是否是線性方程:(12%)d4y dx4.3d y2 3dx(4)2 .x dy2 .y dxdy 2 最yd2yU 0x xx x(2)(5)dydxxsin y(3)(6)2、填空題(8%)色xtany (1) .方程dx y的所有常數(shù)解是(2) .若y=y1(x), y=y2(x)是一階線性非齊次方程的兩個(gè)不同解, 則用這兩個(gè)解可把其通解表示為

22、.(3) .若方程Mx, y )dx + N(x, y )dy=。是全微分方程，同它 .(4) .設(shè)Mx0, y0)是可微曲線y= y(x)上的任意一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)的 切線在x軸和y軸上的截距分別是 .3、單選題(14%)(1) .方程 ylnydx (x ln y)dy 0 是(A)可分離變量方程(C)全微分方程(B)線性方程(D)貝努利方程dy(2).方程dx(A) 一個(gè)解.y(0 y)，過(guò)點(diǎn)(0, 0)有(B)兩個(gè)解(D)三個(gè)解(A) y=± i, x = ± 1,(B)y =± 1(C) x=± 1(D)(4).若函數(shù)y( x)滿足方程xy則在x =

23、 e時(shí)y=().y =1, x =12 1人y 1nx 0,且在 x=1 時(shí)，y=1,1(A) e (B)(C)2(D) e(5) . n階線性齊次方程的所有解構(gòu)成一個(gè)()線性空間.(A) n維(B) n 1 維維(C) n 1 維(D) n 2(C)無(wú)數(shù)個(gè)解(3) .方程x(y2 1)dx+y(x21)dy=0的所有常數(shù)解是(、一 ”x y 2.(6) .方程dx()奇解.(A)有三個(gè)(B)無(wú)(C)有一個(gè) (D)有兩個(gè)2、包3yM 一.萬(wàn)程dx y過(guò)點(diǎn)(°,°)().(A)有無(wú)數(shù)個(gè)解(B)只有三個(gè)解(C)只有解y 0(D)只有兩個(gè)解1 .辨別題（1） 一階，非線性（2）

24、一階，非線性（3）四階,線性（4）三階，非線性二階，非線性（6） 一階,非線性2 .填空題(1)(2) . Gyi(x) y2(x) yi(x)xy&M(x, y)dxN(x0,y)dy 0y k ,k 0, 1, 2,y。x0，y。 xoy(4). y3.單選題(1). B .C(3). A(4) . B(5) . A (6).(3) . x0y0B 7. A1 .形如稱為變量可分離方程，它有積分因子。2 .當(dāng)時(shí)，方程M x，ydx Nx,ydy 0稱為恰當(dāng)方程，或全微分方程。且它只含x的積分因子的充要條件是。有只含y的積分因子的充要條件是3.稱為伯努利方程，它有積分因子dya1x

25、b1x c1x,4.方程 dxa2x b2x c?x 當(dāng)a1b1d10時(shí)，通過(guò)0可化為奇次方程；當(dāng)G & 時(shí)，令u l化為變量 分離方程。5 .稱為黎卡提方程，若它有一個(gè)特解y x ,則經(jīng)過(guò)變換 可化為伯努利方程。6 .函數(shù)f x,y稱為在矩形域R上關(guān)于y滿足利普希茲條件，如果存在常數(shù)l>0,使 x，yi，x，y2 R,使不等式dy f7 .如果f x，y,貝U dXx,y存在唯一解y X，定義于區(qū)間x x0 h上，連續(xù)且滿足初始條件 y°xo，其中hL、_dyfx,y,一、, ,8 .設(shè)y X是方程dx的定義于區(qū)間X0 x xo h上，滿足初始條件y0 xo，的解，則y x是積分方程 的定義于x0 x xo h上的連續(xù)解9 .微分方程的某一個(gè)解稱為奇解，如果 也就是說(shuō)奇解是這樣的一個(gè)解，在 它上面的每一點(diǎn)唯一性都不成立。、一一dy 1 ln x10 .方程dx 滿足條件y1 。的解的存在區(qū)間是dy1、 dxy的方程M x, y N x, y2 、y xM x, y N