第六章共形映射PPT課件

1、1第六章 共形映射 第六章第六章 共形映射共形映射6.2 共形映射的基本問題共形映射的基本問題6.1 共形映射的概念共形映射的概念6.3 分式線性分式線性映射映射6.4 幾個初等函數(shù)構成的幾個初等函數(shù)構成的共形映射共形映射2第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 6.1 共形映射的概念共形映射的概念 本章將從幾何的角度來研究復變函數(shù)，特別是要弄清楚本章將從幾何的角度來研究復變函數(shù)，特別是要弄清楚 解析函數(shù)的幾何映射特征。解析函數(shù)的幾何映射特征。 具體地說，具體地說， 平面上的曲線或者區(qū)域經(jīng)映射平面上的曲線或者區(qū)域經(jīng)映射 后，后， 在在 平面上的象到底發(fā)生了什么變化？平面上的象到底發(fā)生了什么變

2、化？ )(zfw wz 3第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 6.1 共形映射的概念共形映射的概念 一、伸縮率與旋轉角一、伸縮率與旋轉角 二、二、導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義 三、三、共形映射共形映射 4第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 ( (平均伸縮率平均伸縮率) ) 0limzz0C一、伸縮率與旋轉角一、伸縮率與旋轉角 1. 伸縮率伸縮率 w )(zfw 映射后，映射后， 可以看出，曲線被伸縮和旋轉?？梢钥闯?，曲線被伸縮和旋轉。 如圖，過如圖，過 點的曲線點的曲線 經(jīng)經(jīng) 0z0C)(zfw |00zzww |zw 0lim z0C定義定義 稱稱 為曲線為曲線 經(jīng)經(jīng) 映射后映射

3、后 0C)(zfw 0z在在 點的點的伸縮率伸縮率 。 0w .0變成了過變成了過 點的曲線點的曲線 z 0C)(z0z)(w00wzw5第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 0 切線切線 )(z0Cz0z )(w0w0wz w )(zfw )( 0limzz0C定義定義 稱稱 為曲線為曲線 經(jīng)經(jīng) 映射后映射后 0C)(zfw 0z在在 點的點的旋轉角旋轉角。 2. 旋轉角旋轉角 00 一、伸縮率與旋轉角一、伸縮率與旋轉角 如圖，過如圖，過 點的曲線點的曲線 經(jīng)經(jīng) 映射后，變成了過映射后，變成了過 點的曲線點的曲線 可以看出，曲線被伸縮和旋轉?？梢钥闯?，曲線被伸縮和旋轉。 0z0C)(zf

4、w 0w .00 切線切線 這兩個指標定量地刻畫了曲線經(jīng)映射后的這兩個指標定量地刻畫了曲線經(jīng)映射后的局部變化局部變化特征。特征。 6第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 二、二、導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義 設函數(shù)設函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 D 內解析，內解析， 且且 ,0Dz )(zfw .0)(0 zf分析分析 ,zw 0lim z0C由由,|,|ee iizzww 有有 ,|)(e izw0lim z0C)(0zf ,|)(00e izw0lim z0Czwz 0lim)(0zf 0 )(z0Cz0z 0 )(w0w0wz w )(zfw 切線切線 切線切線 7第六章 共形映射 6.1 共

5、形映射的概念 二、二、導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義 設函數(shù)設函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 D 內解析，內解析， 且且 ,0Dz )(zfw .0)(0 zf分析分析 ,|)(00e izw0lim z0C)(0zf .| )(|)(arg00ezfizf 1. 導數(shù)的導數(shù)的幾何意義幾何意義 | )(|0zf 為曲線為曲線 在在 點的點的伸縮率伸縮率。 0z0C)(arg0zf 為曲線為曲線 在在 點的點的旋轉角旋轉角。 0z0C 0 )(z0Cz0z 0 )(w0w0wz w )(zfw 切線切線 切線切線 8第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 1 11 1C 0 )(z0Cz0z 0 )(ww0

6、wz w )(zfw 切線切線 切線切線 0二、二、導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義 2. 伸縮率不變性伸縮率不變性 任何一條經(jīng)過任何一條經(jīng)過 點的曲線的點的曲線的 0z3. 旋轉角不變性旋轉角不變性 . | )(|0zf 伸縮率均為伸縮率均為 任何一條經(jīng)過任何一條經(jīng)過 點的曲線的點的曲線的 0z. )(arg0zf 旋轉角均為旋轉角均為 即即 000)(arg zf,11 9第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 1 11 1C二、二、導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義 0 )(z0Cz0z 0 )(ww0wz w )(zfw 切線切線 切線切線 001 01 2. 伸縮率不變性伸縮率不變性 任何一

7、條經(jīng)過任何一條經(jīng)過 點的曲線的點的曲線的 0z3. 旋轉角不變性旋轉角不變性 . | )(|0zf 伸縮率均為伸縮率均為 任何一條經(jīng)過任何一條經(jīng)過 點的曲線的點的曲線的 0z. )(arg0zf 旋轉角均為旋轉角均為 4. 保角性保角性 .0101 000)(arg zf,11 由由 即即 保持了兩條曲線的交角的保持了兩條曲線的交角的大小大小與與方向方向不變。不變。 )(zfw 即即 10第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 三、三、共形映射共形映射 1. 第一類保角映射第一類保角映射 定義定義 若函數(shù)若函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 D 內滿足：內滿足： )(zfw (2) 伸縮率不變性，伸縮率不變

8、性， (1) 保角性保角性 , ( (保保大小大小, 保保方向方向) )； 則稱函數(shù)則稱函數(shù) 為區(qū)域為區(qū)域 D 內的內的 )(zfw )(zfw 0 )(z0C0z)(w1 11 1C第一類保角映射第一類保角映射。 且且 ,0)( zf若函數(shù)若函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 D 內解析，內解析， )(zfw 結論結論 則函數(shù)則函數(shù) 為為 )(zfw 區(qū)域區(qū)域 D 內的內的第一類保角映射第一類保角映射。 01 01 0 00wP138定義定義 6.1 P138定理定理 6.1 11第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 三、三、共形映射共形映射 1. 第一類保角映射第一類保角映射 2. 第二類保角映射第二

9、類保角映射 定義定義 若函數(shù)若函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 D 內滿足：內滿足： )(zfw 則稱函數(shù)則稱函數(shù) 為區(qū)域為區(qū)域 D 內的內的 )(zfw 第二類保角映射第二類保角映射。 (2) 伸縮率不變性，伸縮率不變性， (1) 能保持兩條曲線的交角的能保持兩條曲線的交角的大小大小 )(zfw 1 10w0 01 1C01 01 不變，但不變，但方向方向相反；相反； 0 )(z0C)(w0zP138定義定義 6.1 12第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 三、三、共形映射共形映射 1. 第一類保角映射第一類保角映射 2. 第二類保角映射第二類保角映射 3. 共形映射共形映射 若函數(shù)若函數(shù) 為區(qū)域為

10、區(qū)域 D 內的第一類保角映射，內的第一類保角映射， )(zfw 定義定義 則稱則稱 為區(qū)域為區(qū)域 D 內內 )(zfw 時，時， , )()(21zfzf 21zz 的的共形映射共形映射。 關鍵關鍵 要求函數(shù)還必須是要求函數(shù)還必須是一一一映射一映射( (即即雙方單值雙方單值) )。 且當且當 P138定義定義 6.2 ( (保角映射的來歷保角映射的來歷?)?)13第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 (1) 在在 點，點， iz 1,22)(2eiiif 因此，函數(shù)因此，函數(shù) 在在 處處 )(zfw iz 1其伸縮率為其伸縮率為 2，旋轉角為，旋轉角為 .2/ (2) 在在 點，點， 02

11、 z,0)0( f因此，函數(shù)的保角性不成立。因此，函數(shù)的保角性不成立。 的伸縮率不變，且具有保角性，的伸縮率不變，且具有保角性， )(zfw )(z)(w解解 函數(shù)函數(shù) 在復平面上處處解析，且在復平面上處處解析，且 .2)(zzf )(zf0C1C 0 21P137 例例6.1 14第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 解解 (1) 由于由于 |zw 0lim z|zz 0lim z,1 因此，它具有因此，它具有伸縮率不變性伸縮率不變性； (2) 顯然，該函數(shù)能保持兩條曲線的顯然，該函數(shù)能保持兩條曲線的 的交角的的交角的大小不變大小不變 , 但但方向相反方向相反， 因此，它是第二類保角映射

12、。因此，它是第二類保角映射。 P138 例例6.2 15第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 因此，它在整個復平面上因此，它在整個復平面上是第一類共形映射是第一類共形映射。 可見，它可見，它不是雙方單值的不是雙方單值的， (2) 令令 ,111yixz 解解 (1) 由于由于 在復平面上處處解析，且在復平面上處處解析，且 zwe ,0)(ee zz1e1zw ,11eeyix 則則 則則 2e2zw )2(11ee yix11eeyix ,1w (3) 如果設區(qū)域如果設區(qū)域 , 2Im0:zzD 是雙方單值的是雙方單值的， 則它在區(qū)域則它在區(qū)域 D 內內 因此，它不是共形映射。因此，它不是

13、共形映射。 因此，它是區(qū)域因此，它是區(qū)域 D 內共形映射。內共形映射。 , )2(112yixz 令令 P139 例例6.3 16第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 休息一下17第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 附：附：保角映射的來歷保角映射的來歷 1777年年 歐拉歐拉( (Euler) )就曾遇到過所謂的保角映射，他把就曾遇到過所謂的保角映射，他把 這種映射稱為這種映射稱為“小范圍里的相似映射小范圍里的相似映射”。 保角映射這一術語最早出現(xiàn)在俄羅斯科學院院士保角映射這一術語最早出現(xiàn)在俄羅斯科學院院士 舒別爾特舒別爾特( ( ) )的制圖學著作中。的制圖學著作中。 1788年年 1779年年 拉格朗日拉格朗日( (Lagrange) )創(chuàng)建了從旋轉曲面到平面上創(chuàng)建了從旋轉曲面到平面上 的保角映射理論。的保角映射理論。 1822年年 高斯高斯( ( Gauss ) )創(chuàng)建了由復變函數(shù)出發(fā)的一般的保創(chuàng)建了由復變函數(shù)出發(fā)的一般的保 角映射理論。角映射理論。 18第六章 共形映射 6.1 共形映射的概念 附：附：保角映射的來歷保角映射的來歷 1851年年 黎曼黎曼( (Riemann) )首次首次發(fā)表了關于任意的單連域都發(fā)表了