2022年初中數(shù)學(xué)《二次函數(shù)在面積最值問題中的應(yīng)用2》精品教案

1、214二次函數(shù)的應(yīng)用第1課時二次函數(shù)在面積最值問題中的應(yīng)用1經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的根本過程，能分析實際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系；(重點)2會運用二次函數(shù)的性質(zhì)，建立二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型求實際問題中的最大值或最小值(難點)一、情境導(dǎo)入孫大爺要圍成一個矩形花圃花圃的一邊利用足夠長的墻，另三邊用總長為32米的籬笆恰好圍成圍成的花圃是如以下圖的矩形ABCD.設(shè)AB邊的長為x米矩形ABCD的面積為S平方米當(dāng)x為何值時，S有最大值？并求出最大值二、合作探究探究點：利用二次函數(shù)求最大面積【類型一】利用二次函數(shù)求最大面積小李想用籬笆圍成一個周長為60米的矩形場地，矩形面積S(單位：平方米)隨矩形一邊長x(單位：米)

2、的變化而變化(1)求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)當(dāng)x是多少時，矩形場地面積S最大？最大面積是多少？解析：利用矩形面積公式就可確定二次函數(shù)(1)矩形一邊長為x，那么另一邊長為，從而表示出面積；(2)利用配方法求出頂點坐標解：(1)根據(jù)題意，得S·xx230x.自變量x的取值范圍是0x30；(2)Sx230x(x15)2225，因為a10，所以S有最大值，即當(dāng)x15(米)時，S最大值是225(平方米)方法總結(jié)：二次函數(shù)與日常生活中的例子還有很多，表達了二次函數(shù)這一數(shù)學(xué)模型應(yīng)用的廣泛性解決這類問題關(guān)鍵是在不同背景下學(xué)會從所給信息中提取有效信息，建立實際問題中變量

3、間的二次函數(shù)關(guān)系【類型二】利用二次函數(shù)判斷面積取值成立的條件用長為32米的籬笆圍一個矩形養(yǎng)雞場，設(shè)圍成的矩形一邊長為x米，面積為y平方米(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)x為何值時，圍成的養(yǎng)雞場面積為60平方米？(3)能否圍成面積為70平方米的養(yǎng)雞場？如果能，請求出其邊長；如果不能，請說明理由解析：(1)先表示出矩形的另一邊長，再利用矩形的面積公式表示出函數(shù)關(guān)系式；(2)矩形的面積，可以轉(zhuǎn)化為解一元二次方程；(3)判斷能否圍成，其實就是利用根的判別式判斷一元二次方程是否有實數(shù)根，也可用配方法判斷解：(1)yx(16x)x216x(0x16)；(2)當(dāng)y60時，x216x60，解得x110，

4、x26.所以當(dāng)x10或6時，圍成的養(yǎng)雞場的面積為60平方米；(3)方法一：當(dāng)y70時，x216x70，整理，得x216x700，由于256280240，因此此方程無實數(shù)根，所以不能圍成面積為70平方米的養(yǎng)雞場方法二：當(dāng)y70時，x216x70，整理，得x216x700，配方，得(x8)26，因此此方程無實數(shù)根，所以不能圍成面積為70平方米的養(yǎng)雞場方法總結(jié)：與面積有關(guān)的函數(shù)與方程問題，可通過面積公式列出函數(shù)關(guān)系式或方程【類型三】利用二次函數(shù)確定最大面積的條件現(xiàn)有一塊矩形場地，如以下圖，長為40m，寬為30m，要將這塊地劃分為四塊分別種植：A.蘭花；B.菊花；C.月季；D.牽?；?1)求出這塊場地

5、中種植B菊花的面積y與B場地的長x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；(2)當(dāng)x是多少時，種植菊花的面積最大？最大面積是多少？解析：這是花草種植面積的最優(yōu)化問題，先根據(jù)矩形的面積公式列出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，再利用配方法或公式法求得最大值解：(1)由題意知，B場地寬為(30x)m，yx(30x)x230x，自變量x的取值范圍為0x30；(2)yx230x(x15)2225，當(dāng)x15m時，種植菊花的面積最大，最大面積為225m2.【類型四】最大面積方案設(shè)計施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道，其高度為6米，寬度OM為12米現(xiàn)以O(shè)點為原點，OM所在直線為x軸建立直角坐標系(如以下圖)(

6、1)直接寫出點M及拋物線頂點P的坐標；(2)求出這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(3)施工隊方案在隧道門口搭建一個矩形“腳手架ABCD，使A、D點在拋物線上，B、C點在地面OM上為了籌備材料，需求出“腳手架三根木桿AB、AD、DC的長度之和的最大值是多少？請你幫施工隊計算一下解：(1)M(12，0)，P(6，6)；(2)設(shè)這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式為ya(x6)26，因為拋物線過O(0，0)，所以a(06)260，解得a，所以這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y(x6)26，即yx22x；(3)設(shè)OBm，那么點A的坐標為(m，m22m)，所以ABDCm22m.根據(jù)拋物線的軸對稱，可得OBCMm，所以BC122m，即

7、AD122m，所以lABADDCm22m122mm22mm22m12(m3)215.所以當(dāng)m3，即OB3米時，三根木桿長度之和l的最大值為15米三、板書設(shè)計教學(xué)過程中，強調(diào)學(xué)生自主探索和合作交流，經(jīng)歷將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，建立二次函數(shù)模型，解決實際問題本章復(fù)習(xí)【知識與技能】對本章的內(nèi)容進行回憶和總結(jié)，熟練掌握數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值、有理數(shù)等有關(guān)概念.掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運算.【過程與方法】釆用討論法、練習(xí)法、嘗試指導(dǎo)法，反思有理數(shù)的概念和有理數(shù)的運算，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的意識，訓(xùn)練和增強學(xué)生運用新知識解決實際問題的能力.【情感態(tài)度】通過本章知識的學(xué)習(xí)，滲透數(shù)形結(jié)合的

8、思想、辯證唯物主義思想，使學(xué)生學(xué)會如何歸納知識，反思自己的學(xué)習(xí)過程.【教學(xué)重點】回憶本章知識，構(gòu)建知識體系.【教學(xué)難點】有理數(shù)的運算.一、知識框圖，整體把握【教學(xué)說明】引導(dǎo)學(xué)生回憶本章知識點，展示本章知識框圖，使學(xué)生系統(tǒng)了解本章知識及它們之間的關(guān)系.教學(xué)時，邊回憶邊建立知識框圖.二、釋疑解惑，加深理解1.理解根本概念要注意的一些問題：1對于正數(shù)與負數(shù)，不能簡單地理解為：帶“+號的數(shù)是正數(shù)，帶“-號的數(shù)是負數(shù).例如-a不一定是負數(shù)，因為字母a代表任何一個有理數(shù)，當(dāng)a是0時，-a是0，當(dāng)a是負數(shù)時，-a是正數(shù)；引入負數(shù)后，數(shù)的范圍擴大為有理數(shù)，除和與有關(guān)的數(shù)外，其他的數(shù)都是有理數(shù).2數(shù)軸能形象地表

9、示數(shù)，所有的有理數(shù)都可用數(shù)軸上的點表示，但數(shù)軸上的點所表示的數(shù)并不都是有理數(shù).右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，所以正數(shù)都大于0，負數(shù)都小于0，正數(shù)大于負數(shù).故而可以用數(shù)軸來比擬數(shù)的大小.3求相反數(shù)的方法：直接在數(shù)字前加負號；如果是式子，先把整個式子括起來，再在括號前加負號；在數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的兩個數(shù)的點分別位于原點的兩旁，且與原點的距離相等.0的相反數(shù)是0.4正數(shù)的絕對值是它本身；如果a0，那么a=a；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；如果a0，那么a=-a；0的絕對值是0，如果a=0，那么a=0.2.有理數(shù)的運算的說明：1進行有理數(shù)混合運算的關(guān)建是熟練掌握加、減、乘、除、乘方的運算法那么、運算律及運

10、算順序.比擬復(fù)雜的混合運算，一般可先根據(jù)題中的加減運算，把算式分成幾段，計算時，先從每段的乘方開始，按順序運算，有括號先算括號里的，同時要注意靈活運用運算律簡化運算.2進行有理數(shù)的混合運算時，應(yīng)注意：一是要注意運算順序，先算高一級的運算，再算低一級的運算；二是要注意觀察，靈活運用運算律進行簡便運算，以提高運算速度及運算能力.3.關(guān)于本章的數(shù)學(xué)方法：數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)中一種常用思想方法，在有理數(shù)的混合運算中常常與數(shù)軸、絕對值的知識融合于一體，畫出數(shù)軸、觀察數(shù)軸，從中進行體驗，有助于解決問題.三、典例精析，復(fù)習(xí)新知例1一只蝸牛從數(shù)軸上的原點出發(fā)，先向右移動2個單位，再向左移動5個單位，這時蝸牛與

11、數(shù)軸上的田螺相距1.5個單位，求田螺表示的數(shù).【分析】先畫出數(shù)軸，如以下圖：蝸牛從原點O出發(fā)第一次向右移動2個單位，此時蝸牛表示的數(shù)為2，第二次向左移動5個單位，這時蝸牛表示的數(shù)為-3，又由于田螺與蝸牛相距1.5個單位，根據(jù)距離的概念和絕對值的知識，田螺在數(shù)軸上位置在點P或P1，即表示的數(shù)是-4.5或-1.5.例2假設(shè)數(shù)a在數(shù)軸上的對應(yīng)點如以下圖，請化簡a+1和a-1.【分析】對于絕對值的化簡，分析出a+1，a-1的正負是解題的關(guān)鍵.結(jié)合數(shù)軸很容易得出結(jié)論.觀察數(shù)軸可知a的對應(yīng)點在原點右側(cè)，所以a為正數(shù).所以a+1為正數(shù)，即a+1=a+1.因為a的對應(yīng)點在0和1之間，所以a為小于1的正數(shù).所以

12、a-10.解：因為a0，所以a+10.所以a+1=a+1.因為0a1，所以a-10.所以a-1=-a-1=1-a.例3計算：【分析】進行有理數(shù)的混合運算時，一定要準確地把握有理數(shù)的運算順序和運算中的符號問題，恰當(dāng)?shù)剡\用運算律簡化計算.例4下表是七年級1班第一組學(xué)生的體重.以體重50kg為標準超出局部為正，缺乏局部為負：求：1這組同學(xué)中，哪個同學(xué)的身體最重？哪個同學(xué)的身體最輕？2這組同學(xué)的平均體重是多少？【分析】1求哪個同學(xué)的身體最重，即求哪個同學(xué)的體重超出50kg的最多；2超出50kg局部的平均值與50kg的和即為這組同學(xué)的平均體重.解：1因為-6-41357所以小天同學(xué)的身體最重，小麗同學(xué)的

13、身體最輕.2這組同學(xué)的平均體重為：50+-6+(-4)+1+3+5+7÷6=50+6÷6=51(kg) 【分析】一般情況下，分數(shù)計算是先通分.此題通分計算將很繁瑣，但我們觀察到各個分數(shù)分母的后一個因數(shù)比前一個大1，且后一個分數(shù)的分母含有前一個分數(shù)分母的因數(shù)，每一個分母中因數(shù)之差等于分子，故可利用如下一個關(guān)系式：再把每一項拆成兩項之差，然后再計算，這種方法叫做裂項法.【教學(xué)說明】這一環(huán)節(jié)是本節(jié)課重點所在，這5個例題層次遞進，對本章重要知識點進行有效復(fù)習(xí)和穩(wěn)固，強化學(xué)生對本章重點知識的理解與運用.四、復(fù)習(xí)訓(xùn)練，穩(wěn)固提高1.在數(shù)軸上的點A、B位置如以下圖，那么線段AB的長度為 3

14、.1的絕對值是_，絕對值是的是_，絕對值等于它本身的數(shù)是_.2絕對值小于3的整數(shù)有_個；絕對值不大于3的整數(shù)有_個，分別是_.4.糧庫3天內(nèi)進出庫的噸數(shù)如下:“+表示進庫,“-表示出庫+26、-32、-15、+34、-38、-20.1經(jīng)過這3天，庫里的糧食是增多還是減少了.2經(jīng)過這3天，倉庫管理員結(jié)算發(fā)現(xiàn)庫里還存480噸糧，那么3天前庫里存糧多少噸？3如果進出的裝卸費都是每噸5元，那么這3天要付多少裝卸費？5.一個正方體木塊粘合成如以下圖形式，它們的棱長分別為1cm、2cm、4cm，要在模型外表涂油漆，如果除去局部不涂外，該油漆的本錢為5元/cm2，求模型涂漆共花費多少元錢？【教學(xué)說明】師生共

15、同回憶本章主要知識點，教師適時予以評講，說明應(yīng)用各知識點要注意的問題.對于所選例題，可根據(jù)需要適當(dāng)增減.3. 257-3、-2、-1、0、1、2、34.解：(1)26+-32+-15+34+-38+-20=-45答：經(jīng)過這3天，庫里的糧食是減少了45噸.2480-45=525答：3天前庫里存糧525噸.326+32+15+34+38+20×5=825答：這3天要付裝卸費825元.5.解：大正方體的涂漆面積是:42×442-22641276cm2棱長為2cm的正方體的涂漆面積是:22×422-1216319cm2棱長為1cm的正方體涂漆面積是:12×55cm2所以，總涂漆的面積為:76195100cm2總費用為5×100500元答：模型的涂漆的總費用為500元.五、師生互動，課堂小結(jié)本堂課你能系統(tǒng)地回憶本章所學(xué)有關(guān)有理數(shù)的知識嗎？你會用數(shù)軸來比擬數(shù)的大小嗎？你能熟練地進行有理數(shù)的混合運算嗎？【教學(xué)說明】教師引導(dǎo)學(xué)生回憶本章知識，盡可能讓學(xué)生自主交流與反思