2022年初中數(shù)學(xué)《二次函數(shù)在面積最值問(wèn)題中的應(yīng)用2》精品教案

1、214二次函數(shù)的應(yīng)用第1課時(shí)二次函數(shù)在面積最值問(wèn)題中的應(yīng)用1經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的根本過(guò)程，能分析實(shí)際問(wèn)題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系；(重點(diǎn))2會(huì)運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)，建立二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型求實(shí)際問(wèn)題中的最大值或最小值(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入孫大爺要圍成一個(gè)矩形花圃花圃的一邊利用足夠長(zhǎng)的墻，另三邊用總長(zhǎng)為32米的籬笆恰好圍成圍成的花圃是如以下圖的矩形ABCD.設(shè)AB邊的長(zhǎng)為x米矩形ABCD的面積為S平方米當(dāng)x為何值時(shí)，S有最大值？并求出最大值二、合作探究探究點(diǎn)：利用二次函數(shù)求最大面積【類型一】利用二次函數(shù)求最大面積小李想用籬笆圍成一個(gè)周長(zhǎng)為60米的矩形場(chǎng)地，矩形面積S(單位：平方米)隨矩形一邊長(zhǎng)x(單位：米)

2、的變化而變化(1)求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)當(dāng)x是多少時(shí)，矩形場(chǎng)地面積S最大？最大面積是多少？解析：利用矩形面積公式就可確定二次函數(shù)(1)矩形一邊長(zhǎng)為x，那么另一邊長(zhǎng)為，從而表示出面積；(2)利用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)解：(1)根據(jù)題意，得S·xx230x.自變量x的取值范圍是0x30；(2)Sx230x(x15)2225，因?yàn)閍10，所以S有最大值，即當(dāng)x15(米)時(shí)，S最大值是225(平方米)方法總結(jié)：二次函數(shù)與日常生活中的例子還有很多，表達(dá)了二次函數(shù)這一數(shù)學(xué)模型應(yīng)用的廣泛性解決這類問(wèn)題關(guān)鍵是在不同背景下學(xué)會(huì)從所給信息中提取有效信息，建立實(shí)際問(wèn)題中變量

3、間的二次函數(shù)關(guān)系【類型二】利用二次函數(shù)判斷面積取值成立的條件用長(zhǎng)為32米的籬笆圍一個(gè)矩形養(yǎng)雞場(chǎng)，設(shè)圍成的矩形一邊長(zhǎng)為x米，面積為y平方米(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，圍成的養(yǎng)雞場(chǎng)面積為60平方米？(3)能否圍成面積為70平方米的養(yǎng)雞場(chǎng)？如果能，請(qǐng)求出其邊長(zhǎng)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由解析：(1)先表示出矩形的另一邊長(zhǎng)，再利用矩形的面積公式表示出函數(shù)關(guān)系式；(2)矩形的面積，可以轉(zhuǎn)化為解一元二次方程；(3)判斷能否圍成，其實(shí)就是利用根的判別式判斷一元二次方程是否有實(shí)數(shù)根，也可用配方法判斷解：(1)yx(16x)x216x(0x16)；(2)當(dāng)y60時(shí)，x216x60，解得x110，

4、x26.所以當(dāng)x10或6時(shí)，圍成的養(yǎng)雞場(chǎng)的面積為60平方米；(3)方法一：當(dāng)y70時(shí)，x216x70，整理，得x216x700，由于256280240，因此此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，所以不能圍成面積為70平方米的養(yǎng)雞場(chǎng)方法二：當(dāng)y70時(shí)，x216x70，整理，得x216x700，配方，得(x8)26，因此此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，所以不能圍成面積為70平方米的養(yǎng)雞場(chǎng)方法總結(jié)：與面積有關(guān)的函數(shù)與方程問(wèn)題，可通過(guò)面積公式列出函數(shù)關(guān)系式或方程【類型三】利用二次函數(shù)確定最大面積的條件現(xiàn)有一塊矩形場(chǎng)地，如以下圖，長(zhǎng)為40m，寬為30m，要將這塊地劃分為四塊分別種植：A.蘭花；B.菊花；C.月季；D.牽牛花(1)求出這塊場(chǎng)地

5、中種植B菊花的面積y與B場(chǎng)地的長(zhǎng)x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；(2)當(dāng)x是多少時(shí)，種植菊花的面積最大？最大面積是多少？解析：這是花草種植面積的最優(yōu)化問(wèn)題，先根據(jù)矩形的面積公式列出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，再利用配方法或公式法求得最大值解：(1)由題意知，B場(chǎng)地寬為(30x)m，yx(30x)x230x，自變量x的取值范圍為0x30；(2)yx230x(x15)2225，當(dāng)x15m時(shí)，種植菊花的面積最大，最大面積為225m2.【類型四】最大面積方案設(shè)計(jì)施工隊(duì)要修建一個(gè)橫斷面為拋物線的公路隧道，其高度為6米，寬度OM為12米現(xiàn)以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，OM所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系(如以下圖)(

6、1)直接寫出點(diǎn)M及拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)求出這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(3)施工隊(duì)方案在隧道門口搭建一個(gè)矩形“腳手架ABCD，使A、D點(diǎn)在拋物線上，B、C點(diǎn)在地面OM上為了籌備材料，需求出“腳手架三根木桿AB、AD、DC的長(zhǎng)度之和的最大值是多少？請(qǐng)你幫施工隊(duì)計(jì)算一下解：(1)M(12，0)，P(6，6)；(2)設(shè)這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式為ya(x6)26，因?yàn)閽佄锞€過(guò)O(0，0)，所以a(06)260，解得a，所以這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y(x6)26，即yx22x；(3)設(shè)OBm，那么點(diǎn)A的坐標(biāo)為(m，m22m)，所以ABDCm22m.根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱，可得OBCMm，所以BC122m，即

7、AD122m，所以lABADDCm22m122mm22mm22m12(m3)215.所以當(dāng)m3，即OB3米時(shí)，三根木桿長(zhǎng)度之和l的最大值為15米三、板書(shū)設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程中，強(qiáng)調(diào)學(xué)生自主探索和合作交流，經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，建立二次函數(shù)模型，解決實(shí)際問(wèn)題本章復(fù)習(xí)【知識(shí)與技能】對(duì)本章的內(nèi)容進(jìn)行回憶和總結(jié)，熟練掌握數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值、有理數(shù)等有關(guān)概念.掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及簡(jiǎn)單的混合運(yùn)算.【過(guò)程與方法】釆用討論法、練習(xí)法、嘗試指導(dǎo)法，反思有理數(shù)的概念和有理數(shù)的運(yùn)算，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)，訓(xùn)練和增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用新知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.【情感態(tài)度】通過(guò)本章知識(shí)的學(xué)習(xí)，滲透數(shù)形結(jié)合的

8、思想、辯證唯物主義思想，使學(xué)生學(xué)會(huì)如何歸納知識(shí)，反思自己的學(xué)習(xí)過(guò)程.【教學(xué)重點(diǎn)】回憶本章知識(shí)，構(gòu)建知識(shí)體系.【教學(xué)難點(diǎn)】有理數(shù)的運(yùn)算.一、知識(shí)框圖，整體把握【教學(xué)說(shuō)明】引導(dǎo)學(xué)生回憶本章知識(shí)點(diǎn)，展示本章知識(shí)框圖，使學(xué)生系統(tǒng)了解本章知識(shí)及它們之間的關(guān)系.教學(xué)時(shí)，邊回憶邊建立知識(shí)框圖.二、釋疑解惑，加深理解1.理解根本概念要注意的一些問(wèn)題：1對(duì)于正數(shù)與負(fù)數(shù)，不能簡(jiǎn)單地理解為：帶“+號(hào)的數(shù)是正數(shù)，帶“-號(hào)的數(shù)是負(fù)數(shù).例如-a不一定是負(fù)數(shù)，因?yàn)樽帜竌代表任何一個(gè)有理數(shù)，當(dāng)a是0時(shí)，-a是0，當(dāng)a是負(fù)數(shù)時(shí)，-a是正數(shù)；引入負(fù)數(shù)后，數(shù)的范圍擴(kuò)大為有理數(shù)，除和與有關(guān)的數(shù)外，其他的數(shù)都是有理數(shù).2數(shù)軸能形象地表

9、示數(shù)，所有的有理數(shù)都可用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù)并不都是有理數(shù).右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，所以正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù).故而可以用數(shù)軸來(lái)比擬數(shù)的大小.3求相反數(shù)的方法：直接在數(shù)字前加負(fù)號(hào)；如果是式子，先把整個(gè)式子括起來(lái)，再在括號(hào)前加負(fù)號(hào)；在數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的點(diǎn)分別位于原點(diǎn)的兩旁，且與原點(diǎn)的距離相等.0的相反數(shù)是0.4正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；如果a0，那么a=a；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；如果a0，那么a=-a；0的絕對(duì)值是0，如果a=0，那么a=0.2.有理數(shù)的運(yùn)算的說(shuō)明：1進(jìn)行有理數(shù)混合運(yùn)算的關(guān)建是熟練掌握加、減、乘、除、乘方的運(yùn)算法那么、運(yùn)算律及運(yùn)

10、算順序.比擬復(fù)雜的混合運(yùn)算，一般可先根據(jù)題中的加減運(yùn)算，把算式分成幾段，計(jì)算時(shí)，先從每段的乘方開(kāi)始，按順序運(yùn)算，有括號(hào)先算括號(hào)里的，同時(shí)要注意靈活運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算.2進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，應(yīng)注意：一是要注意運(yùn)算順序，先算高一級(jí)的運(yùn)算，再算低一級(jí)的運(yùn)算；二是要注意觀察，靈活運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算，以提高運(yùn)算速度及運(yùn)算能力.3.關(guān)于本章的數(shù)學(xué)方法：數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)中一種常用思想方法，在有理數(shù)的混合運(yùn)算中常常與數(shù)軸、絕對(duì)值的知識(shí)融合于一體，畫(huà)出數(shù)軸、觀察數(shù)軸，從中進(jìn)行體驗(yàn)，有助于解決問(wèn)題.三、典例精析，復(fù)習(xí)新知例1一只蝸牛從數(shù)軸上的原點(diǎn)出發(fā)，先向右移動(dòng)2個(gè)單位，再向左移動(dòng)5個(gè)單位，這時(shí)蝸牛與

11、數(shù)軸上的田螺相距1.5個(gè)單位，求田螺表示的數(shù).【分析】先畫(huà)出數(shù)軸，如以下圖：蝸牛從原點(diǎn)O出發(fā)第一次向右移動(dòng)2個(gè)單位，此時(shí)蝸牛表示的數(shù)為2，第二次向左移動(dòng)5個(gè)單位，這時(shí)蝸牛表示的數(shù)為-3，又由于田螺與蝸牛相距1.5個(gè)單位，根據(jù)距離的概念和絕對(duì)值的知識(shí)，田螺在數(shù)軸上位置在點(diǎn)P或P1，即表示的數(shù)是-4.5或-1.5.例2假設(shè)數(shù)a在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如以下圖，請(qǐng)化簡(jiǎn)a+1和a-1.【分析】對(duì)于絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，分析出a+1，a-1的正負(fù)是解題的關(guān)鍵.結(jié)合數(shù)軸很容易得出結(jié)論.觀察數(shù)軸可知a的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)，所以a為正數(shù).所以a+1為正數(shù)，即a+1=a+1.因?yàn)閍的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在0和1之間，所以a為小于1的正數(shù).所以

12、a-10.解：因?yàn)閍0，所以a+10.所以a+1=a+1.因?yàn)?a1，所以a-10.所以a-1=-a-1=1-a.例3計(jì)算：【分析】進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，一定要準(zhǔn)確地把握有理數(shù)的運(yùn)算順序和運(yùn)算中的符號(hào)問(wèn)題，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化計(jì)算.例4下表是七年級(jí)1班第一組學(xué)生的體重.以體重50kg為標(biāo)準(zhǔn)超出局部為正，缺乏局部為負(fù)：求：1這組同學(xué)中，哪個(gè)同學(xué)的身體最重？哪個(gè)同學(xué)的身體最輕？2這組同學(xué)的平均體重是多少？【分析】1求哪個(gè)同學(xué)的身體最重，即求哪個(gè)同學(xué)的體重超出50kg的最多；2超出50kg局部的平均值與50kg的和即為這組同學(xué)的平均體重.解：1因?yàn)?6-41357所以小天同學(xué)的身體最重，小麗同學(xué)的

13、身體最輕.2這組同學(xué)的平均體重為：50+-6+(-4)+1+3+5+7÷6=50+6÷6=51(kg) 【分析】一般情況下，分?jǐn)?shù)計(jì)算是先通分.此題通分計(jì)算將很繁瑣，但我們觀察到各個(gè)分?jǐn)?shù)分母的后一個(gè)因數(shù)比前一個(gè)大1，且后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母含有前一個(gè)分?jǐn)?shù)分母的因數(shù)，每一個(gè)分母中因數(shù)之差等于分子，故可利用如下一個(gè)關(guān)系式：再把每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，然后再計(jì)算，這種方法叫做裂項(xiàng)法.【教學(xué)說(shuō)明】這一環(huán)節(jié)是本節(jié)課重點(diǎn)所在，這5個(gè)例題層次遞進(jìn)，對(duì)本章重要知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行有效復(fù)習(xí)和穩(wěn)固，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)本章重點(diǎn)知識(shí)的理解與運(yùn)用.四、復(fù)習(xí)訓(xùn)練，穩(wěn)固提高1.在數(shù)軸上的點(diǎn)A、B位置如以下圖，那么線段AB的長(zhǎng)度為 3

14、.1的絕對(duì)值是_，絕對(duì)值是的是_，絕對(duì)值等于它本身的數(shù)是_.2絕對(duì)值小于3的整數(shù)有_個(gè)；絕對(duì)值不大于3的整數(shù)有_個(gè)，分別是_.4.糧庫(kù)3天內(nèi)進(jìn)出庫(kù)的噸數(shù)如下:“+表示進(jìn)庫(kù),“-表示出庫(kù)+26、-32、-15、+34、-38、-20.1經(jīng)過(guò)這3天，庫(kù)里的糧食是增多還是減少了.2經(jīng)過(guò)這3天，倉(cāng)庫(kù)管理員結(jié)算發(fā)現(xiàn)庫(kù)里還存480噸糧，那么3天前庫(kù)里存糧多少噸？3如果進(jìn)出的裝卸費(fèi)都是每噸5元，那么這3天要付多少裝卸費(fèi)？5.一個(gè)正方體木塊粘合成如以下圖形式，它們的棱長(zhǎng)分別為1cm、2cm、4cm，要在模型外表涂油漆，如果除去局部不涂外，該油漆的本錢為5元/cm2，求模型涂漆共花費(fèi)多少元錢？【教學(xué)說(shuō)明】師生共

15、同回憶本章主要知識(shí)點(diǎn)，教師適時(shí)予以評(píng)講，說(shuō)明應(yīng)用各知識(shí)點(diǎn)要注意的問(wèn)題.對(duì)于所選例題，可根據(jù)需要適當(dāng)增減.3. 257-3、-2、-1、0、1、2、34.解：(1)26+-32+-15+34+-38+-20=-45答：經(jīng)過(guò)這3天，庫(kù)里的糧食是減少了45噸.2480-45=525答：3天前庫(kù)里存糧525噸.326+32+15+34+38+20×5=825答：這3天要付裝卸費(fèi)825元.5.解：大正方體的涂漆面積是:42×442-22641276cm2棱長(zhǎng)為2cm的正方體的涂漆面積是:22×422-1216319cm2棱長(zhǎng)為1cm的正方體涂漆面積是:12×55cm2所以，總涂漆的面積為:76195100cm2總費(fèi)用為5×100500元答：模型的涂漆的總費(fèi)用為500元.五、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)本堂課你能系統(tǒng)地回憶本章所學(xué)有關(guān)有理數(shù)的知識(shí)嗎？你會(huì)用數(shù)軸來(lái)比擬數(shù)的大小嗎？你能熟練地進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算嗎？【教學(xué)說(shuō)明】教師引導(dǎo)學(xué)生回憶本章知識(shí)，盡可能讓學(xué)生自主交流與反思