概率與隨機(jī)過(guò)程習(xí)題答案（優(yōu)選課資）

1、例例1( ),1,( )( ),.( )0( )( )X t tTxX txY ttTY tX txX t隨機(jī)過(guò)程是任一實(shí)數(shù),定義另一隨機(jī)過(guò)程試將的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)用的一維和二維分布函數(shù)表示.解解 ( ) ( )1 ( )10 ( )0( )( , )YXtE Y tP Y tP Y tP X txFx t 121212121211221212( , ) ( ) ( )1( ) ( )10( ) ( )0( ) ( )1( ),( )( ,; , )YXR t tE Y t Y tP Y t Y tP Y t Y tP Y t Y tP X tx X txFx x t t 隨機(jī)過(guò)程補(bǔ)充例題

2、隨機(jī)過(guò)程補(bǔ)充例題1青苗C學(xué)班例例212( ),( )( , ), ( ).( )( )( )XXX t tTtCt ttY tX tt已知隨機(jī)過(guò)程的均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)是普通函數(shù)試求隨機(jī)過(guò)程的均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù).解解( )( )( )( )( )YXtE X tttt12112211112222112212( ,)( ( )( )( ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ,)YYYXXXXXCt tE Y ttY ttEX ttttX ttttEX ttX ttCt t2青苗C學(xué)班例例31212( ),.(, )( )Z tXYt tRX Y

3、Z t 2122假定若已知二維隨機(jī)變量的協(xié)方差矩陣為,試求的協(xié)方差函數(shù).解解1211221122211 22211 21121( , )()()()()()()()()()()()()()()()ZXYXYXYXYXXXYYXYYXXXYYXYYCt tE XYttXYttEXYttXYttE XXt E XYt E YXt t E YYCt Ct Ct t Ctt221 22t t3青苗C學(xué)班例例4( )( )(0,)( )( )( ).X tY ttS tX tY t設(shè)和是兩個(gè)相互獨(dú)立的、分別具有強(qiáng)度 和 的泊松過(guò)程.試證明是具有強(qiáng)度為的泊松過(guò)程解解(1)( ), ( )(0,)( )(

4、) ( ),(0,)X t Y ttX tY tS t t、是獨(dú)立增量過(guò)程,和相互獨(dú)立是獨(dú)立增量過(guò)程00000(3)0,( )( )( ()( )( )( ()ttX tX tttY tY ttt 、( ),( )X t Y t相互獨(dú)立(2)(0)(0)(0)0SXY、4青苗C學(xué)班0000000()()000()()000()()000( )( ) ( )( ) () ()!()! () ()!()()( )( )()()!kiik ikt tt tit tkiik ikikt tP X tX ti P Y tY tkitttteeikieCttttktteS tS tttk 000000 (

5、 )( )( )( )( )( )( )( ),( )( )kiP S tS tkP X tY tX tY tkP X tX ti Y tY tki ( ),0S t t是強(qiáng)度為的泊松過(guò)程5青苗C學(xué)班例例52( )0( ),();(2)( ),( )0;(3)(),W ttW tAtAW tXt XW tttaWaa2設(shè)，是以為參數(shù)的維納過(guò)程，求下列過(guò)程的協(xié)方差函數(shù)：(1)為常數(shù)為與，相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量為正常數(shù); 解解1211221112222121212(1)( )( )( )( )( ,)( ( )( )( ( )( )( )( )( )( )min , , ,0ZZZZZ tW tA

6、ttE W tAtAtCt tE Z ttZ ttE W tAtAtW tAtAtE W t W tt tt t、令6青苗C學(xué)班12121122121212122121 212(2)( )( )( )( )0( ,) ( ) ( )( )( )( )( )( )( )min , , ,0ZZZ tW tXttE W tXtCt tE Z t Z tE W tXtW tXtE W t W tE W t XtE XtW tE Xt Xtt tt t t t、令221222121222221222221212(3)( )()( )()0( ,)()()()()min,min , , ,0ttZaat

7、tZaattttaaaaZ taWtaE WCt tE aWaWa E WWat tt t、令7青苗C學(xué)班例例612cos,( )2 ,11()( ),( )(1)( ; ),221( ;1);(2)( ,;,1);2tHX tttTP HP TX tF xF xF x x 利用拋擲硬幣的試驗(yàn)定義一隨機(jī)過(guò)程:出現(xiàn)，出現(xiàn)假設(shè)試確定的一維分布函數(shù)二維分布函數(shù) 解解0,1( )( ),21,111( )0( )1222HX tXTP XP X出現(xiàn)由的定義出現(xiàn)且8青苗C學(xué)班111( )0( )12220,011( ;),01221,1P XP XxF xxx1,1(1)(1)1(1)22,20,11(

8、 ;1),1221,2HXP XP XTxF xxx 出現(xiàn)出現(xiàn)9青苗C學(xué)班1( )(1)21( )012(1)11021202XXXX與的聯(lián)合分布律為10青苗C學(xué)班1212121212120,0,0,0,111,01,1(,;,1)221,1, 1221,1,2xxxxxxF x xxxxx 11青苗C學(xué)班例例7( ),0,(0, )( )AtX tetAaX t設(shè)隨機(jī)過(guò)程其中 是在區(qū)間上服從均勻分布的隨機(jī)變量,試求的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù). 解解01( )( )1(1);(0)aAttxXattE X tE eedxaetat121212()12120()12121( ,)( )( )()11;

9、( ,0)()aAtAtx ttXa ttRt tE X t X tE eeedxaet ta tt12青苗C學(xué)班例例82( )(),(),()(0),( )X tXE XaD XX t 設(shè)隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)變量試求的均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù). 解解2(),()( )( )XE Xa D XtE X tE Xa12112222( ,)( )( )( )( )() ()XCt tEX tE X tX tE X tEXE XD X13青苗C學(xué)班例例9( ),( )( )()( ),X t tTaX tY tX taX t tT給定隨機(jī)過(guò)程和常數(shù)試以的自相關(guān)函數(shù)表示的自相關(guān)函數(shù). 解解121211221212

10、122112121212( ,) ( ) ( )()( )()( )()()( )( )( )()( )()(,)( ,)( ,)(,)YXXXXRt tE Y t Y tEX taX tX taX tE X ta X taX t X tX t X taX tX taRta taRt tRt taRta t14青苗C學(xué)班例例102( ),(0)( ),().X tAtB tRABNX t設(shè)其中 、 是相互獨(dú)立，且均服從，分布的隨機(jī)變量.試證明是一正態(tài)過(guò)程 并求出它的相關(guān)函數(shù) 協(xié)方差函數(shù) 解解121212,( ),( ),( )1,( ),( ),( )( ).nnnABt ttX tX tX

11、tnX tX tX tnX t 、 是相互獨(dú)立的正態(tài)變量時(shí)刻有均為正態(tài)變量有為 維正態(tài)隨機(jī)變量為正態(tài)過(guò)程1212112212122221 2121 2( ,)( )( )( )( )( )( )( ,)()()()()()()(1)XXRt tE X t X tEX tE X tX tE X tCt tEAtBAtBt t E At E ABt E BAE Bt t15青苗C學(xué)班例例11( )( ),( )( )( )( ) ( )( ),( ), ( ), ( ).X tY t tTZ ta t X tb t Y tc t tTa t b t c t設(shè)隨機(jī)過(guò)程與不相關(guān) 試用它們的均值函數(shù)和協(xié)

12、方差函數(shù)來(lái)表示隨機(jī)過(guò)程的均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù).其中是普通函數(shù)解解( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )ZXYtE Z tE a t X tb t Y tc ta t E X tb t E Y tc ta ttb ttc t16青苗C學(xué)班1211221111112222221211221211( ,)( )( )( )( )( ( )( )( )( )( ( )( ) ( )( )( )( )( ( )( )( ) ( ) ( )( )( )( )( ) ( ) ( ( )( )(ZZZXYXXXXYCt tEZ ttZ ttEa tX ttb tY tta tX ttb tY tta t a