2022年人教版《正方形的判定》公開(kāi)課教案

1、第第 2 課時(shí)課時(shí) 正方形的判定正方形的判定 1掌握正方形的判定條件；(重點(diǎn)) 2能熟練運(yùn)用正方形的性質(zhì)和判定進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算(難點(diǎn)) 一、情境導(dǎo)入 老師給學(xué)生一個(gè)任務(wù)： 從一張彩色紙中剪出一個(gè)正方形 小明剪完后，這樣檢驗(yàn)它：比擬了邊的長(zhǎng)度，發(fā)現(xiàn) 4 條邊是相等的，小明就判定他完成了這個(gè)任務(wù)這種檢驗(yàn)可信嗎？ 小兵用另一種方法檢驗(yàn)：量對(duì)角線，發(fā)現(xiàn)對(duì)角線是相等的， 小兵就認(rèn)為他正確地剪出了正方形這種檢驗(yàn)對(duì)嗎？ 小英剪完后， 比擬了由對(duì)角線相互分成的 4 條線段，發(fā)現(xiàn)它們是相等的按照小英的意見(jiàn)，這說(shuō)明剪出的四邊形是正方形你的意見(jiàn)怎樣？ 你認(rèn)為應(yīng)該如何檢驗(yàn)， 才能又快又準(zhǔn)確呢？ 二、合作探究 探究

2、點(diǎn)一：正方形的判定 【類(lèi)型一】 利用“一組鄰邊相等的矩形是正方形證明四邊形是正方形 如圖，在 RtABC 中，ACB90 ，CD 為ACB 的平分線，DEBC 于點(diǎn)E，DFAC 于點(diǎn) F.求證：四邊形 CEDF 是正方形 解析：要證四邊形 CEDF 是正方形，那么要先證明四邊形 CEDF 是矩形， 再證明一組鄰邊相等即可 證明：CD 平分ACB，DEBC，DFAC， DEDF， DFC90 ， DEC90 .又ACB90 ， 四邊形 CEDF 是矩形 DEDF， 矩形 CEDF 是正方形 方法總結(jié)： 要注意判定一個(gè)四邊形是正方形，必須先證明這個(gè)四邊形為矩形或菱形 【類(lèi)型二】 利用“有一個(gè)角是直

3、角的菱形是正方形證明四邊形是正方形 如圖， 在四邊形 ABFC 中， ACB90 ，BC 的垂直平分線 EF 交 BC 于點(diǎn) D，交 AB 于點(diǎn) E，且 CFAE. (1)試判斷四邊形 BECF 是什么四邊形？并說(shuō)明理由； (2)當(dāng)A 的大小滿(mǎn)足什么條件時(shí)， 四邊形 BECF 是正方形？請(qǐng)答復(fù)并證明你的結(jié)論 解析：(1)根據(jù)中垂線的性質(zhì)：中垂線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，有 BEEC， BFFC.又CFAE， 可證 BEECBFFC.根據(jù)“四邊相等的四邊形是菱形，四邊形 BECF 是菱形； (2)菱形對(duì)角線平分一組對(duì)角，即當(dāng)ABC45時(shí)，EBF90 ，有菱形為正方形根據(jù)“直角三角形中兩個(gè)角

4、銳角互余得A45 . 解： (1)四邊形 BECF 是菱形 理由如下：EF 垂直平分 BC，BFFC，BEEC，31.ACB90 ，3490 ，1290 ，24，ECAE， BEAE.CFAE， BEECCFBF，四邊形 BECF 是菱形； (2)當(dāng)A45 時(shí)，菱形 BECF 是正方形證明如下：A45 ，ACB90 ，345 ，EBF2390 ，菱形BECF 是正方形 方法總結(jié)：正方形的判定方法：先判定四邊形是矩形， 再判定這個(gè)矩形有一組鄰邊相等；先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)菱形有一個(gè)角為直角； 還可以先判定四邊形是平行四邊形， 再用判定定理 1 或判定定理 2 進(jìn)行判定 探究點(diǎn)二：正方形的

5、判定的應(yīng)用 【類(lèi)型一】 正方形的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用 如圖，點(diǎn) E，F(xiàn)，P，Q 分別是正方形 ABCD 的四條邊上的點(diǎn)，并且 AFBPCQDE.求證： (1)EFFPPQQE； (2)四邊形 EFPQ 是正方形 解析：(1)證明APFDFECEQBQP，即可證得 EFFPPQQE；(2)由 EFFPPQQE，可判定四邊形 EFPQ 是菱形，又由APFBQP，易得FPQ90 ，即可證得四邊形 EFPQ 是正方形 證明：(1)四邊形 ABCD 是正方形，ABCD90 ，ABBCCDAD.AFBPCQDE，DFCEBQAP.在APF 和DFE 和CEQ 和BQP 中，AFDECQBP，ADCB，AP

6、DFCEBQ， APFDFECEQBQP(SAS)，EFFPPQQE； (2)EFFPPQQE，四邊形EFPQ 是菱形 APFBQP， AFPBPQ.AFPAPF90 ， APFBPQ90 ，F(xiàn)PQ90 ，四邊形EFPQ 是正方形 方法總結(jié)： 此題考查了正方形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì) 注意解題的關(guān)鍵是證得APFDFECEQBQP. 【類(lèi)型二】 與正方形的判定有關(guān)的綜合應(yīng)用題 如圖，ABC 中，點(diǎn) O 是 AC 上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) O 作直線 MNBC，設(shè) MN交BCA 的平 分線于點(diǎn) E， 交BCA 的外角ACG 的平分線于點(diǎn) F，連接 AE、AF. (1)求證：ECF90 ； (

7、2)當(dāng)點(diǎn) O 運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)， 四邊形 AECF是矩形？請(qǐng)說(shuō)明理由； (3)在(2)的條件下，要使四邊形 AECF為 正 方 形 ， ABC 應(yīng) 該 滿(mǎn) 足 條 件 ：_(直接添加條件，無(wú)需證明) 解析：(1)由 CE、CF 分別平分BCO和GCO，可推出BCEOCE，GCFOCF，那么ECF12180 90 ；(2)由 MNBC，可得BCEOEC，GCFOFC，可推出OECOCE，OFCOCF，得出 EOCOFO，點(diǎn) O 運(yùn)動(dòng)到 AC 的中點(diǎn)時(shí)，那么 EOCOFOAO，這時(shí)四邊形 AECF 是矩形；(3)由和(2)得到的結(jié)論， 點(diǎn) O 運(yùn)動(dòng)到 AC 的中點(diǎn)時(shí)， 且ABC滿(mǎn)足ACB 為直角時(shí)，那

8、么推出四邊形AECF 是矩形且對(duì)角線垂直，因而四邊形AECF 是正方形 (1)證明：CE 平分BCO，CF 平分GCO ， OCE BCE ， OCF GCF，ECF12180 90 ； (2)解：當(dāng)點(diǎn) O 運(yùn)動(dòng)到 AC 的中點(diǎn)時(shí)，四邊形 AECF 是矩形 理由如下： MNBC，OEC BCE ， OFC GCF. 又OCE BCE ， OCF GCF ，OCEOEC， OCFOFC， EOCO， FOCO， OEOF.又當(dāng)點(diǎn) O 運(yùn)動(dòng)到 AC 的中點(diǎn)時(shí)，AOCO，四邊形AECF 是平行四邊形ECF90 ，四邊形 AECF 是矩形 (3)ACB90 . 方法總結(jié)：在解決正方形的判定問(wèn)題時(shí)，可從

9、與其判定有關(guān)的其他知識(shí)點(diǎn)入手，例如等腰三角形，平行線和角平分線從中發(fā)現(xiàn)與正方形有關(guān)聯(lián)的條件求解 三、板書(shū)設(shè)計(jì) 1正方形的判定方法 一組鄰邊相等的矩形是正方形； 有一個(gè)角是直角的菱形是正方形 2正方形性質(zhì)和判定的應(yīng)用 本節(jié)課采用探究式教學(xué)， 讓學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣，通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，給學(xué)生動(dòng)手操作的時(shí)機(jī)，變被動(dòng)為主動(dòng)學(xué)習(xí)，引導(dǎo)通過(guò)感官的思維去觀察、探究、分析知識(shí)形成的過(guò)程，以此深化知識(shí)、更深刻理解知識(shí)、主動(dòng)獲取知識(shí)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣 第 1 課時(shí) 比賽積分和行程問(wèn)題 【知識(shí)與技能】 1.了解列二元一次方程組與列一元一次方程組的異同. 2.經(jīng)歷和體驗(yàn)方程組解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程， 了解應(yīng)用二

10、元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟. 【過(guò)程與方法】 經(jīng)歷二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程， 體會(huì)列二元一次方程組與列一元一次方程組的異同， 知道列二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟. 【情感態(tài)度】 針對(duì)問(wèn)題的探究，鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試，通過(guò)交流、合作、討論，享受學(xué)習(xí)的樂(lè)趣和成功感，培養(yǎng)學(xué)生大膽發(fā)言的習(xí)慣，敢于面對(duì)挑戰(zhàn). 【教學(xué)重點(diǎn)】 重點(diǎn)是會(huì)用列方程組解決比賽積分和行程問(wèn)題. 【教學(xué)難點(diǎn)】 難點(diǎn)是在實(shí)際問(wèn)題中找等量關(guān)系、 列方程組. 一、情境導(dǎo)入,初步認(rèn)識(shí) 【情境】實(shí)物投影，并呈現(xiàn)問(wèn)題：甲、乙兩人在一條長(zhǎng) 400 米的環(huán)形跑道上跑步，假設(shè)同向跑，那么每隔103分鐘相遇一次；假設(shè)反向跑，那么每隔

11、 40 秒相遇一次.又知甲比乙跑得快， 求甲、 乙兩人的速度.你能找出問(wèn)題中所含的等量關(guān)系嗎？你能列方程組解決問(wèn)題嗎？總結(jié)列方程組解應(yīng)用題的一般步驟. 【教學(xué)說(shuō)明】情境中同向跑是追及問(wèn)題，追及時(shí)甲比乙多跑一周；反向跑是相遇問(wèn)題， 相遇時(shí)兩人所跑路程之和是環(huán)形跑道的長(zhǎng).解：設(shè)甲的速度為 x 米/秒，乙的速度為 y米/秒.依題意， 得4040400200200400 xyxy，.解得64.xy，甲的速度 6 米/秒，乙的速度 4米/秒. 【教學(xué)說(shuō)明】通過(guò)現(xiàn)實(shí)情景再現(xiàn)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活的聯(lián)系.學(xué)生通過(guò)前面的情景引入，在老師的引導(dǎo)下，通過(guò)自己的觀察，歸納出結(jié)論，進(jìn)而體驗(yàn)到成功的喜悅，同時(shí)，

12、也激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣. 二、思考探究，獲取新知 列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟 問(wèn)題列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟是什么？ 【教學(xué)說(shuō)明】 學(xué)生通過(guò)類(lèi)比一元一次方程應(yīng)用的步驟，在經(jīng)過(guò)觀察、分析、類(lèi)比后能得出結(jié)論. 【歸納結(jié)論】 列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)出題中的兩個(gè)未知數(shù)；找出題中的兩個(gè)等量關(guān)系； 根據(jù)等量關(guān)系列出需要的代數(shù)式，進(jìn)而列出兩個(gè)方程，并組成方程組；解這個(gè)方程組，求出未知數(shù)的值； 檢驗(yàn)所得結(jié)果的正確性及合理性并寫(xiě)出答案. 三、運(yùn)用新知，深化理解 1.小明去郊游,早上 9 時(shí)下車(chē),先走平路,然后登山,到山頂后又沿原路返回到下車(chē)處,正好是下午 2 時(shí),假設(shè)他走平路每小

13、時(shí)走 4 km,爬山時(shí)每小時(shí)走 3 km,下山時(shí)每小時(shí)走 6 km,那么小明從上午到下午一共走的路程是 2.某校學(xué)生進(jìn)行軍訓(xùn)， 以每小時(shí) 5km的速度去執(zhí)行任務(wù)，出發(fā) 4 小時(shí) 12 分鐘后，學(xué)校軍訓(xùn)指揮部派通訊員騎摩托車(chē)追趕學(xué)生隊(duì)伍傳達(dá)新任務(wù)，用了 36 分鐘趕上了隊(duì)伍，求摩托車(chē)的速度. 【教學(xué)說(shuō)明】 通過(guò)新課的講解以及學(xué)生的練習(xí)，充分做到講練結(jié)合，讓學(xué)生更好地穩(wěn)固新知識(shí).通過(guò)本環(huán)節(jié)的講解與訓(xùn)練， 讓學(xué)生對(duì)列二元一次方程組解應(yīng)用題有了更加明確的認(rèn)識(shí)， 同時(shí)也盡量讓學(xué)生明白知識(shí)點(diǎn)不是孤立的，需要前后聯(lián)系，才能更好地處理問(wèn)題. x 千米. 根據(jù)題意，列方程得3660 x=5(41260+3660) 解這個(gè)方程得 x40 答：摩托車(chē)的速度為每小時(shí) 40 千米. 四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié) 1.列方程組解比賽積分和行程問(wèn)題需要注意哪些問(wèn)題？ 2.通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí),你還有哪些疑惑，大家交流. 【教學(xué)說(shuō)明】 引導(dǎo)學(xué)生自己小結(jié)本節(jié)課的知識(shí)要點(diǎn)及數(shù)學(xué)方法， 從而將本節(jié)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行很好的回憶以加深學(xué)生的印象， 同時(shí)使知識(shí)系統(tǒng)化. 1.布置作業(yè)：從教材第 109 頁(yè)“練習(xí)和教材第 1