不等式恒成立、能成立、恰成立問題經(jīng)典教程

1、不等式恒成立、能成立、恰成立問題一、不等式恒成立問題的處理方法1、轉(zhuǎn)換求函數(shù)的最值：（ 1）若不等式fxA在區(qū)間 D 上恒成立 , 則等價于在區(qū)間D 上 fx minA ，f (x) 的下界大于 A（ 2）若不等式fxB 在區(qū)間 D 上恒成立 , 則等價于在區(qū)間D 上 fx maxB ,f ( x) 的上界小于 A例 1、設(shè) f(x)=x2-2ax+2, 當(dāng) x -1,+ 時，都有 f(x)a 恒成立，求a 的取值范圍。例 2、已知 f xx 22x a , 對任意 x 1, f x 0 恒成立 , 試求實數(shù) a 的取值范圍 ;x例 3、R上的函數(shù)f x既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，且當(dāng)0,時，有2

2、f c o2 s 2ms i n f2m 20 恒成立，求實數(shù) m的取值范圍 .例 4、已知函數(shù)f (x) ax4 ln xbx4c(x 0) 在 x1處取得極值3 c ，其中 a 、 b 為常數(shù) . （ 1）試確定 a 、 b 的值；（ 2）討論函數(shù)f ( x) 的單調(diào)區(qū)間；（ 3）若對任意 x0 ，不等式 f( x)2c 2 恒成立，求 c 的取值范圍。2、主參換位法例 5、若不等式 ax10對 x1,2 恒成立，求實數(shù)a 的取值范圍例 6、若對于任意a1 ，不等式 x2(a4) x42a0 恒成立，求實數(shù)x 的取值范圍例7、已知函數(shù) f (x)a x33 x2(a 1)x 1 ，其中 a

3、 為實數(shù)若不等式f ( x) x2x a 1 對任意32a (0， ) 都成立，求實數(shù) x 的取值范圍3、分離參數(shù)法（ 1） 將參數(shù)與變量分離，即化為gf x （或 gf x ）恒成立的形式；（ 2） 求 f x 在 xD 上的最大（或最?。┲担唬?3） 解不等式 gf ( x) max ( 或 gf x min ) ，得的取值范圍。適用題型：（ 1） 參數(shù)與變量能分離； （2）函數(shù)的最值易求出。例 8、當(dāng) x (1,2) 時，不等式 x2mx 40 恒成立，則 m 的取值范圍是 .例 9、已知函數(shù)f (x)1 ax3 bx 2 x 3 , 其中 a 0 （ 1）當(dāng) a, b 滿足什么條件時

4、, f (x) 取得極值 ?（2）已3知 a0 , 且 f (x) 在區(qū)間 (0,1 上單調(diào)遞增 , 試用 a 表示出 b 的取值范圍 .4、數(shù)形結(jié)合a 的取值范圍是 _例 10 、若對任意 xR , 不等式 | x |ax 恒成立，則實數(shù)例 11、當(dāng) x(1,2)時，不等式( x1)2 < loga x 恒成立，求a 的取值范圍。二、不等式能成立問題的處理方法若在區(qū)間 D 上存在實數(shù) x使不等式f xA成立 , 則等價于在區(qū)間D 上 f xmaxA ；若在區(qū)間 D 上存在實數(shù) x使不等式f xB 成立 , 則等價于在區(qū)間D 上的 fxminB .例 12、已知不等式 x 4 x 3a

5、在實數(shù)集 R 上的解集不是空集，求實數(shù)a 的取值范圍 _例 13、若關(guān)于 x 的不等式x2axa3 的解集不是空集，則實數(shù)a 的取值范圍是例 14、已知函數(shù)fxln x1 ax 2 2x （ a 0 ）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求 a 的取值范圍2三、不等式恰好成立問題的處理方法例 15、不等式 ax2bx10 的解集為x |1x1 則 a b_3例 16、已知 f xx 22xa , 當(dāng) x1, fx 的值域是 0, 試求實數(shù) a 的值 .x例 17、已知兩函數(shù) f(x)=8x 2+16x-k ， g(x)=2x 3+5x2+4x，其中 k 為實數(shù)。（ 1）對任意x-3 ，3 ，都有 f （x) g

6、(x) 成立，求k 的取值范圍；（ 2）存在 x-3 ， 3 ，使 f （x) g(x) 成立，求k 的取值范圍；（ 3）對任意x1、 x2-3 ， 3 ，都有 f （x1) g(x 2) ，求 k 的取值范圍。不等式恒成立、能成立、恰成立問題專項練習(xí)（請做在另外作業(yè)紙上）1、若不等式 (m 1)x2(m1)x3(m1)0 對任意實數(shù) x 恒成立，求實數(shù)m取值范圍2、已知不等式 kx 2kx62對任意的 xR 恒成立，求實數(shù)k 的取值范圍x2x23、設(shè)函數(shù) f (x)x39 x26xa 對于任意實數(shù)x ， f(x)m 恒成立，求 m 的最大值。24、對于滿足 |p|2 的所有實數(shù) p, 求使不

7、等式 x2px1p2x 恒成立的 x 的取值范圍。5、已知不等式 x22xa0對任意實數(shù) x2，3恒成立。求實數(shù) a 的取值范圍。6、對任意的 a2,2，函數(shù) f ( x)x2(a 4) x 42a 的值總是正數(shù)，求x 的取值范圍7、 若不等式 x2log m x0 在0,1內(nèi)恒成立，則實數(shù)m的取值范圍。28、不等式 axx( 4x) 在 x 0,3 內(nèi)恒成立，求實數(shù)a 的取值范圍。9、不等式 kx2k20 有解，求 k 的取值范圍。10、對于不等式x2x1a ，存在實數(shù) x ，使此不等式成立的實數(shù)a 的集合是M；對于任意 x0，5 ，使此不等式恒成立的實數(shù)a 的集合為 N，求集合 M ， N

8、 11、對一切實數(shù)x, 不等式 x3x2a 恒成立，求實數(shù)a 的范圍。若不等式x3x2a 有解，求實數(shù)a 的范圍。若方程x3x2a 有解，求實數(shù)a 的范圍。12、 若 x,y滿足方程x2( y1)21 ，不等式 xyc0 恒成立，求實數(shù)c 的范圍。若 x,y滿足方程x2( y1)21 ， xyc0 ，求實數(shù) c 的范圍。13、設(shè)函數(shù) f ( x)x4ax32x2b( xR) ，其中 a,bR 若對于任意的 a2，2，不等式 f ( x) 1在11， 上恒成立，求 b 的取值范圍14、設(shè)函數(shù) f (x)1 x3(1 a) x24ax24a ，其中常數(shù) a1 ，若當(dāng) x 0時， f ( x)0 恒

9、成立，求 a 的3取值范圍。15、已知向量 a =( x 2 ，x+1)， b = (1-x， t) 。若函數(shù) f ( x)ab 在區(qū)間（ -1 ， 1）上是增函數(shù)，求t 的取值范圍。不等式恒成立、能成立、恰成立問題參考答案例 1、解： a 的取值范圍為 -3，1例 2、解：等價于x x22x a0 對任意 x 1,恒成立 , 又等價于 x1時 ,x 的最小值0 成立 .由于xx1 2a1在 1,上為增函數(shù) ,t=mg(t)則minx1a3,所以 a3 0,a322sin220得到：例 3、解：由cosfmfmf cos22msinf2m2 因為 fx 為奇函數(shù)，22sin22 恒成立，故有f

10、cosmfmt又因為 fx為 R減函數(shù)，從而有 cos22m sin2m2·對0,恒成立o g(t)1圖 12t=m設(shè) sint ，則 t22mt2m10 對于 t0,1恒成立，在設(shè)函數(shù)g tt22mtm1 ,對稱軸為tm.t2當(dāng) t m 0 時， g 02m 1 0 ，o·即 m11m 0 ( 如圖 1)g(t)t=m1圖 2，又 m 0 22當(dāng) tm0,1 ，即 0m1 時 ,4m24m 2m 1 0 , 即 m 22m 1 0 ,12m12 , 又 m0,1 , 0 m1(如圖 2)當(dāng) tm1 時， g 112m2m120恒成立 .·tm1( 如圖 3)o1

11、m1圖 3故由可知：.2例4 、解：（ 1）（ 2）略（ 3）由（ 2）知， f ( x) 在 x1處取得極小值f (1)3c ，此極小值也是最小值 .要使()22(0)恒成立，只需2即2，.f xc x3 c2c2cc 3 0從而 (2c3)(c1)0.解得 c3或 c1.c 的取值范圍為 (, 13,) .122例 5、解： a例 6、解： x(,1)(3,)2例 7、解析：由題設(shè)知 “ ax23x(a 1)x2xa1對a(0，) 都成立，即 a( x22)x22x 0對a(0，) 都成立。設(shè) g(a)( x22)ax22x （ aR ），則 g(a) 是一個以 a 為自變量的一次函數(shù)。x220 恒成立，則對xR ，g(a) 為 R 上的單調(diào)遞增函數(shù)。所以對a(0，) ， g(a)0 恒成立的充分必要條件是 g (0)0 ， x22x0 ，2x0，于是 x的取值范圍是 x |2x0 。例 8、解析 :當(dāng) x(1,2) 時，由 x2mx40 得 mx24. 令 f (x)x2x4x4，則易知 f ( x) 在xx(1,2) 上是減函數(shù)，所以x1,2時 f (x)max