概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)試題及答案

1、考試科目:概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 考試時(shí)間:120分鐘 試卷總分100分題號(hào)一一三四總分得分123456一、選擇題(在每個(gè)小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，填在題末的括號(hào)中，本大題共5小題，每小題3分，總計(jì)15分)1 .擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，則在出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)的條件下出現(xiàn)1點(diǎn)的概率為(A )。(A)1/3(B)2/3(C)1/6(D)3/6r_22. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度f(x)=： X；，則K= ( B )。(A)1/2(B)1(C)-1(D)3/23. 對(duì)丁任意隨機(jī)變量，若E(頡)= E(E)E(U) , U ( B )。(A) D(E)=D(E)D(聽)(B) D(EH) = d(勺十 D(。)

2、(C) 按一定獨(dú)立(D) &,n不獨(dú)立5.設(shè) £N(1.5,4),且(1.25) =0.8944 , 0(1.75)=0.9599，貝U P-2< £ <4= ( A )。(A)0.8543(B)0.1457(C)0.3541(D)0.2543二、填空題(在每個(gè)小題填入一個(gè)正確答案，填在題末的括號(hào)中，本大題共5小題，每小題3分,總計(jì)15分)1. 設(shè)A、B為互不相容的隨機(jī)事件 P(A)=0.3, P(B)=0.6，則P(AuB)= ( 0.9 )。2. 設(shè)有10件產(chǎn)品，其中有1件次品，今從中任取出1件為次品的概率為(1/10 )”1.0 X 13. 設(shè)隨機(jī)

3、變重X的概率形'度f(x) = % 其它 則PX a0.2= ( 8/10 )。4. 設(shè) D(E)=9, D(町)=16, P墮=0.5，則 D(5)= ( 13 )。*5.設(shè) yN(P,。2)，貝U /=( N(0,1)。三、計(jì)算題(本大題共 6小題，每小題10分，總計(jì)60分)1 .某廠有三條流水線生產(chǎn)同一產(chǎn)品，每條流水線的產(chǎn)品分別占總量的25%, 35%,40%, 乂這三條流水線的次品率分別為0.05 , 0.04 , 0.02?，F(xiàn)從出廠的產(chǎn)品中任取一件，問恰好取到次品的概率是多少?（1）全概率公式3255354402P(A) =£ P(Bi)P(ABi) =X+X+（6

4、分）i =1100100100100 100100= 0.0345(4分)2.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度為f（x）wx0,x 0x _0.（1）確定常數(shù)A （2）求 P(X 0.2求分布函數(shù)F（x）.(2) (x)dx = 0dx，I Ae 'xdx =1 A = 1-_:- _: 05故 A=5 。 P( 0.2) = rAdx =e0.3679. 當(dāng) x<0 時(shí),F(x)=0;故F(x)=0F(x) = (x)dx = _:dx 0x5e-5xdx=1-5x -e-e'x,x 00, x ： 0（3分）（3分）（1分）（2分）（1分）2 " , 0：<1

5、其它,、63.設(shè)二維隨機(jī)變量的分布密度f（，,"）=6,0,求關(guān)丁 E和關(guān)丁 n的邊緣密度函數(shù)(3)fx(x) = LJ (x,y)dy(2分)f xc= %6dy=6(x-x2),081(3 分)0其它（2分）（3分）fy(y)=：白(x, y)dxf ,y'=<6dx=6(qy_y),0<y<10其它X, 0 £ X £ 14.設(shè)連續(xù)型隨即變量厭的概率密度f(x)=<2-x, 1：x<2,求 E(x),D(x)_1 2211，、(4) EX = (x dx+j x(2 x)dx= +(4-1)一(8-1)=1(4分)013

6、3EX2 = jx3dx+ 2 x2(2x)dx=】 +2(81)1(161) =了(3 分)014 346DX =EX 2 -(EX)2 = 7 -1 =1(3 分)66四. 證明題(本大題共 2小題，總計(jì)10分)'-2k02k '2.設(shè)XJ(k=1,")是獨(dú)立隨機(jī)變量序列，且 X,1 11或* 1.k+ j試證Xk服從大數(shù)定理。k 11 k 1 E(Xk)=(-2 尸方+0X(1-尹)+2 戶=0,(2分)2k 21k 21八D ( X ) = E (X 2) = (-2k )2 K + (2k )2 =1 (k=12 )(2 分)D(Xk) E(Xk) ( 2

7、) 2k 1(2 ) _2k 11, (k1,2, ). (2 )2 2由切比雪夫大數(shù)定理可知 Xk服從大數(shù)定理(1分)考試科目:概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 考試時(shí)間:120分鐘 試卷總分100分5個(gè)小、選擇題(在各小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，填在題末的括號(hào)中，本大題共 題，每小題3分，總計(jì)15分)1 .設(shè)A,B為兩隨機(jī)事件，且 B u A ,則下列式子正確的是.P(A B) =P(A)B.P AB =P A2.設(shè) XP B | A =P B。增大時(shí),A.增大B.減少PB-A=PB-PAp1x-j n - cC.不變D.增減不定3.設(shè) X P(舄 X poission分布),且E (X-1 /X

8、 2 ) = 1，則舄=_A A. 1B. 2C. 3D . 0二、填空題(本大題共 5小題，每小題3分，總計(jì)15分1 .設(shè)A、B、C、是三個(gè)隨機(jī)事件。用 A、B、C表示事件" A、B、C至少有一個(gè)發(fā)生”A B C ;2.設(shè)有10件產(chǎn)品，其中有1件次品，今從中任取出1件為次品的概率是0.13 .設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，X N(1,2)Y N(0,1),則隨機(jī)變量Z=2XY+3的概率1 z-5 2密度函數(shù)224.已知 X N (2,0.4 )，則 E(X +3)=三、計(jì)算題(本大題共 6小題，每小題10分，共計(jì)60分)1. 設(shè)考生的報(bào)名表來自三個(gè)地區(qū)，各有 10份，15份，25份，其

9、中女生的分別為 3份，7份，5 份。隨機(jī)的從一地區(qū)先后任取兩份報(bào)名表。求先取到一份報(bào)名表是女生的概率。解.設(shè)B為“取得的報(bào)名表為女生的”，A為“考生的報(bào)名表是第i個(gè)地區(qū)的” ，i=1,2,3由全概率公式2分3P(B) P(A)P(B| A)3 分i ：!=1 2 1 Z+1 13 10 3 15 3 52990即先取到一份報(bào)名表為女生的概率為2990 Ax+1、0 4x c22 .設(shè)隨機(jī)變重X的概率笞度為f (x )=0,其他，求A值;X的分布函數(shù)F(x); P 1.5 ： X ：2.5；(1)二T f (x)dx =J (Ax+1 )dx= 2A+2 =1 ,0 F x = .f t dtx

10、 : 01,x 1-1t 1x _20,=x2 x,41，x ：0x _2 P<1.5 ：X ：2.5i=F 2.5 -F 1.5)=0.06253 .設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)有密度函數(shù)：f(x,y)=!ke*),XA0,y0;0,其它求：(1)常數(shù)A ；(2) (x,y )落在區(qū)域D的概率，其中D =(x, y );0 <x §,0<y壬2、-be -be3.00 ke<3x，4y)3x4y ,dxdy =k 0 e dx 0 e dy =k=1,二 k =12P x, y D= P0 ：X <1,0 / 1 o 2=12 o e 'xdx o

11、 edy = j：1 - e ' 1 -e : 0.95024 .設(shè)足球隊(duì)A與B比賽，若有一隊(duì)勝 4場(chǎng)，則比賽結(jié)束，假設(shè) A , B在每場(chǎng)比賽中獲勝的概率 .1均為1 ,試求平均需比賽幾場(chǎng)才能分出勝負(fù)？2分4分分分4. 設(shè)X為需要比賽的場(chǎng)數(shù)，1則 px=4=1 , PX=5=1 , PX=6 = § , PX=7 = 2, 8416161155所以 E X =4 5 6 7 5.84841616答：平均需比賽6場(chǎng)才能分出勝負(fù)12 .設(shè)XJ為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，PIX n - . n =二 P '.X n = 0 J = 1 - 2, n = 2,3, nn證明Xn

12、服從大數(shù)定律。2. E(Xn )=A/nl+(-Vn)+012；=01分D(Xn )=E(X； )+E(Xn)T-2 1 一 2 1 c 2.,=、nn 0，I1 -一 i =2,3,1 刀nnn=2令Yn=1W Xi,n=2,3，貝作(匕)=0,D(Yn )=馬2分n i主nV&>0,由切比雪夫不等式知P& - E(* *心"1-令1分故有 llm P Yn - E Yn- 1,即Xn服從大數(shù)定律。1 .對(duì)于事件 A, B,下列命題正確的是 DA. 若A, B互不相容，貝U A與B也互不相容.B. 若A, B相容，則A與B也相容.C. 若A, B互不相容，則

13、A與B也相互獨(dú)立.D. 若 疆淅目互獨(dú)立,那么A與B相互獨(dú)立.2. 假設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，密度函數(shù)為f(x) .若X與一X有相同的分布函數(shù)，貝U下列各式中正確的是 CA.F(x) = F(x)；B.F(x) = -F(-x)；C.f (x) = f(-x)；D.f (x) = - f (-x)；3 .若X2.2 N (%。1 ), Y N(%,Q2),那么(X,Y)的聯(lián)合分布為_ CA .二維正態(tài)，且 P = 0 ;B .二維正態(tài)，且 P不定；C .未必是二維正態(tài)；D.以上都不對(duì) .4 .設(shè)隨機(jī)變量X和Y的方差存在且不等于0,貝UD(X+Y) = D(X)+ D(Y)是乂和丫的

14、CA .不相關(guān)的充分條件，但不是必要條件；B .獨(dú)立的必要條件，但不是充分條件；C .不相關(guān)的充分必要條件；D .獨(dú)立充分必要條件.二、填空題(本大題共5小題，每小題3分，總計(jì)15分1. 設(shè)A、B、C、是三個(gè)隨機(jī)事件。用 A、B、C表示事件" A、B、C恰有一個(gè)發(fā)生”ABC ABC ABC;2. 設(shè)離散型隨機(jī)變量 X分布律為pX =k =5A(1/2)k (k=1,2，)則A=1/53. 用(X,Y )的聯(lián)合分布函數(shù) F(x, y)表示 pa<X <b,Y 苴 c =F(b,c) F (a,c);4. 已知 X N (10,0.6 ), Y N (1,2 ),且 戲Yff

15、i互獨(dú)立，則 D(3X Y )= 三、計(jì)算題(本大題共 6小題，每小題10分，共計(jì)60分)1 .轟炸機(jī)轟炸目標(biāo)，它能飛到距離目標(biāo)400, 200, 100 (米)的概率分別為 0.5, 0.3, 0.2,又設(shè)他在距離目標(biāo) 400, 200, 100 (米)的命中率分別為0.01 , 0.02, 0.1 o求目標(biāo)被命中的概率。1.由全概率公式0.5*0.01 0.3*0.02 0.2*0.1 =0.031目標(biāo)被命中的概率為 0.031.2 .設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f (x )=j點(diǎn)'x<10,其他,求C值;X的分布函數(shù)F(x)；1 1 求X洛在區(qū)間(，一)內(nèi)的概率。2 22.(1

16、). ：f.-11.,-1(x )dx C,dx =1 , C = 一-J2，1 _ xx.f t dt0,x 1 1 - x2-j .11,/dt = arcsinx, -1 ： x : 1 :21,x -1 P-0.5 ：X ：0.5；=F 0.5 -F -0.5 =1/3 7. x3 .設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)：f(x,y)=兀R"0，-R2其它求：求關(guān)于X與關(guān)于Y的邊緣分布密度;3.當(dāng)RxR 時(shí) fx(x) = j皿 f (x, y)dyE 1! ,_2 22 dy, r2 i2 二 R2)xi, 3 分: R2、R2 - x2 R 、x m R 是 fX(x)=二

17、 R2, R x RI 0, 其他2 一 R2 - y2.同理 fY(y)=7：R2'5分0 _x _14 .設(shè)隨機(jī)變量 X具有密度函數(shù)f(x) = <2-x01 <x。求 E(X)及 D(X)。其他1224. E(X) = x dx + x(2-x)dx=15分12D(X) =EX2 (EX)2 = j°x3dx+ x2(2x)dx 1=1/65 分四、證明題(本大題共 2小題，每小題5分，共10分)02kI1O2k-H22 J'_2k2 設(shè) Xk , (k =1,2)是獨(dú)立隨機(jī)變量序列，Xk=1證明XJ服從大數(shù)定律。-k 11 k 12- E(Xk)=

18、(-2 尸戶+0X(1-夢(mèng))+2 產(chǎn)=0,(2分)1 1D(Xk) =E(X)=(2k)2 - 72k"T (2 )奶 1 = 1, (k=1,2,). (2 分)2 2由切比雪夫大數(shù)定理可知XJ服從大數(shù)定理。(1分)一、填空題(本大題共 5小題，每小題4分，總計(jì)20分)1. 設(shè) A B 為隨機(jī)事件，P( A ) = 0.5, P (B )=0.6 , P (A J B ) = 0.7，則 P ( A | B ) = 2/32. 設(shè)10把鑰匙中有2把能打開I'T ,現(xiàn)任意取兩把，能打開門的概率是17/453. 設(shè) X N(10,3), YN(1,2),且 X 與 Y相互獨(dú)立，

19、則 D(3X 2Y) = 4. 設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間0,6上服從均勻分布，則關(guān)于未知量x的方程x2+2Xx+1 =0有實(shí)根的概率為 5/65. 設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=7,方差D(X)=5,用切比雪夫不等式估計(jì)得P2 X ：12：' 4/5二、選擇題(在各小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，填在題末的括號(hào)中，本大題共5個(gè)小題，每小題4分，總計(jì)20分)1 .設(shè)事件 A,B相互獨(dú)立，且P(A)0,P(B) >0,貝U有B(A) P B| A =0;(B) P A|B = P A ;(C) P A|B =0;(D) P AB =P A2. 設(shè) XN(H,。2),那么概率 PX U

20、 +2D(A)隨M增加而變大；(B)隨卜增加而減??；(C)隨a增加而不變；(D)隨。增加而減小123. 設(shè) PX 芝0,Y " =,PX 芝0 = PY 芝0=，則 Pmax X,Y占0= C55(A) 1;(B)2;(C) 3;(D)45555e", y _04. 設(shè)X,Y相互獨(dú)立，X服從0,2上的均勻分布，Y的概率密度函數(shù)為 fY(y) = <,0, y - 0則 px +Y x = D.1_ ._2_2口(A) 1 -e ;(B) 1 -e ;(C) 12e ;(D) 1 -0.5e三、計(jì)算題(本大題共 5小題，每小題10分，共計(jì)50分)1. 某產(chǎn)品整箱出售，每

21、一箱中20件產(chǎn)品，若各箱中次品數(shù)為 0件，1件，2件的概率分別為80%, 10%, 10%，現(xiàn)在從中任取一箱，顧客隨意抽查4件，如果無次品，則買下該箱產(chǎn)品，如果有次品，則退貨，求：(1)顧客買下該箱產(chǎn)品的概率；(2)在顧客買下的一箱產(chǎn)品中，確實(shí)無 次品的概率.解:設(shè)A表示“顧客買下該箱產(chǎn)品”，Bi分別表示“箱中次品數(shù)為 0件，1件，2件” i =0,1,2則 P(B°)=80 %, P(Bi)=10 % P(B2)=10 %, P(A|B°)=1, p(a|Bi)=§， C20P(A|B2 )=旦8，(3 分) C202由全概率公式得：P(A) = £

22、P(A| Bi P( Bi ) = 448/475 , (7 分) i =e由貝葉斯公式得：P B0|A = P震B(yǎng) = 95/112 (10 分)ax b, 0 ： x : 12.已知隨機(jī)變量 X的密度為f(x) = f，且Px A1/2 =5/8 ,0,具匕求：(1)常數(shù)a,b的值；(2)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)"bo解：(1) 由 1 = ff(x)dx=a/2+b, 5/8 = px1/2=f(x)dx = 3a/8 + b/2 解得 a=1,b = 1/ 2 (4分)x 0.5, 0 ： x <1(2) f(x)=廿 ,當(dāng) x<0 時(shí)，F(xiàn)(x)=px 壬 x

23、 = 0 ,當(dāng) 0x< 1 時(shí)，0, 其它F (x )=PX 4x= j(x+0.5dx =(x2 + x)/2,當(dāng) x 芝1 時(shí)， F(x)=1, 所以0,x ： 02F(x) =(x +x)/2, 0 壬 x<1 (10 分)1,xE3. 設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)有密度函數(shù)：f(x, y) = F *3xy, 0 *x'1,0 ' y'2,、0,其他(1)求邊緣概率密度 fx(x), fY(y )；(2)求條件密度 fxY(x | y), fY|x (y |x)；(3)求概率plx y?.0 三x W1其他(4分)斯 ,、二2x2 2x/3,解：(1)

24、fX(x)=J f (x, y)dy = -二0,1/3 y/6, 0 _ y _2任）=山*火=腥，其他(2)當(dāng)0 y苴2時(shí),fxY x|y =f(x, y)_6x2 2xyk 02 y0壬x壬1其他當(dāng) 0 <x 壬 1 時(shí)，fY|X (y | x )= "x, y)fx(x)3x2 xy =6x2 2x 0,0三y三2其他(8分) P <X Y ； = J f(x, y)dy0-021& xy dy = 7 / 24(10 分)4 .設(shè)隨機(jī)變量X ,Y獨(dú)立同分布, 隨機(jī)變量U與V的相關(guān)系數(shù)都服從參數(shù)為九的泊松分布,"v設(shè) U =2X +Y,V =2X

25、 Y ,求4 .解:E(X )=E(Y )=?，D(X ) = D(Y )=舄，E(U ) = 3舄，E(V ) = 3兀D(U )=D (V ) = 5&,Cov(U,V ) = 4D (X )D(Y ) = 3赤，(8 分)Cov U ,VFUv = =3/5(10 分)D U D V四、證明題(本大題共 2小題，每小題5分，共10分)1. 設(shè)事件A,B,C相互獨(dú)立,證明事件A-B與事件C也相互獨(dú)立1.證明：由 于事件 A,B,C相互 獨(dú)立，所以P(ABC )= P(A)P(B )P(C ), P(AB ) = P(A)P(B ), P(AC )=P(A)P(C ), P( BC

26、)= P( B )P (C ),(2 分)所以P A - B C = P AC - BC )：-P AC -P ABC=P A P C -P A P B PC； = P A-B P C即P(A B )C ) = P(A B )P(C ),所以事件AB與C也相互獨(dú)立(5分)一、填空題(本大題共 5小題，每小題4分，總計(jì)20分)1 .設(shè)A,B是兩個(gè)隨機(jī)事件，P (A)=0.7 ,P (A B)=0.3，則事件“ A, B同時(shí)發(fā)生” 的 對(duì)立事件的概率為 062. 設(shè)有40件產(chǎn)品，其中有 4件次品，從中不放回的任取 10次，每次取一件，則最后一件取的 為次品的概率是 0.13 .設(shè)隨機(jī)變量 X與Y相

27、互獨(dú)立，X N (1,2 ) YN (0,1 ),則隨機(jī)變量Z=2X4Y + 3的方差為244 .設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X) =75,方差D(X )= 5,用切比雪夫不等式估計(jì)得px -75 瀉<0.05，則& =10二、選擇題(在各小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，填在題末的括號(hào)中，本大題共5個(gè)小題，每小題4分，總計(jì)20分)1 .設(shè)總體X N(1,。2) ,X1,X2，一,Xn是取自總體 X的一個(gè)樣本，則為參數(shù)。2的無偏估計(jì)量的 是(A )1 J 一21一212一2(A) 、(Xi -X) ; (B) 、(Xi -X) ; (C) 、Xi ; (D) Xn -1 in i

28、 =1n i2. 設(shè)XN(P,1),則滿足PX >2=px玄2的參數(shù)卜=(C )(A)0；(B) 1；(C) 2;(D) 33 43. 設(shè) PX N0,Y 芝 0=;, PX 芝 0 = PY N0 = ;，則 Pmax X,Y芝 0=( C )(A)(B)4-；7(C)5-；7(D)三、計(jì)算題（本大題共 5小題，每小題10分，共計(jì)50分）1.兩個(gè)箱子中都有 10個(gè)球，其中第一箱中 4個(gè)白球，6個(gè)紅球，第二箱中 6個(gè)白球，4個(gè)紅球, 現(xiàn)從第一箱中任取 2個(gè)球放入第二箱中，再?gòu)牡诙渲腥稳?個(gè)球，（1）求從第二箱中取的 球?yàn)榘浊虻母怕剩唬?）若從第二箱中取的球?yàn)榘浊?，求從第一箱中取?個(gè)球

29、都為白球的概率1.解：設(shè)A表示“從第二箱中取的球?yàn)榘浊颉?，Bj分別表示“從第一箱中取的 2個(gè)球都為C：C1C1白球,1白1 紅，2 個(gè)球都為紅球” i =1,2,3 ,則 P(BJ=W=2/15 , P(B2 )=CC6=8/15,C10C10C2P(B3)=#=1/3 , P(A|B)= 2/3, P(A|B2)= 7/12, P(A|B3)=1/2 ,(4 分) 由全3概率公式得：P(A) = £ P(A| Bi P(Bj )= 17/30 , 由貝葉斯公式得： i=1P A|B1 P B1P(B1 | A)=P =8/51(10 分),事件A=xa其它3 2 x ,2.設(shè)隨機(jī)變

30、量X與Y同分布，X的概率密度為f（x）=<80,3與事件B=Y»a相互獨(dú)立，且P aUb =，求常數(shù)a的值。42.解：由于事件A,B相互獨(dú)立，所以P(AB )=P(A)P(B )= P(A)f，所以 P(aUb )=P(A )+P(B )P(AB )=2P(A) ：P(A)2 =3/4，解得P(A )=1/2或 P(A) = 3/2 (舍去)，(5 分)"bo所以 1/2 =P(A)=PXa=f(x)dx = 1 a3/8，得 a = (10分) ax 0, y 0;0,其他Ae4x 3y3 .設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）有密度函數(shù)：f（x,y） =(1) 求常數(shù)A ;(

31、2) 求邊緣概率密度 fX x , fY y ；(3) X,Y是否相互獨(dú)立。3解：(1)1 = £ > -f(x,y)dxdy =£ &e4x3y)dxdAy = ?12A=12 (4 分)J_4ex, x 0(2) fx x "：f(X,y)dy = 0,其他-f 3ef(x,y)dx= O,J3x, y0其他(8分)(3) f (x, y) = fx(x 片(y ),所以X,Y相互獨(dú)立。(10 分)1 X Y4 .設(shè)隨機(jī)變量X N 1,9 , YN 0,16 ,相關(guān)系數(shù)Pxy= ，設(shè)Z=+ 一2 3 2求：(1)隨機(jī)變量Z的期望E(Z)與方差D(

32、Z )；(2)隨機(jī)變量X與Z的相關(guān)系數(shù)Pxz4 .解：(1) X N (1,9 ), Y N (0,16 )，所以 E(X )=1 , E(Y )=0 , D(X )=9 ,D(Y) = 16, Cov(X,Y) =PxyJd(X )JD(Y ) = -6，所以E(Z ) = 1E (X ) + 】E(Y ) = 3 , D(Z )=】D(X )+1d(Y )+2Cov(X,Y) = 3(5 分) 32946 由于 Cov(X,Z) =1D(X )+cov(X,Y) =0 , 所以 Pxz= Cov(X,Z) =0(10 分)3 2D X、D Z四、證明題(本大題共 2小題，每小題5分，共10

33、分)1. 設(shè)事件A,B, C相互獨(dú)立，證明事件AUB與事件C也相互獨(dú)立.1.證明：由 于事件 A,B,C相互 獨(dú)立，所以P(ABC )= P(A)P(B )P(C ), P(AB ) = P(A)P(B ), P(AC )=P(A)P(C ), P( BC )= P(B)P(C ),所以P A B C )： = P AC BC )：=P AC P BC - P ABC= PAPC P B P C -P A P B P C= PAPB P A P C -P A P B P C=P A B P C即P(aUb )C ) = P(aUb )P(C ),所以事件AUb與C也相互獨(dú)立。(5分)一、填空題

34、(本大題共6小題，每小題3分，總計(jì)18分)1. 設(shè) A, B為隨機(jī)事件，P(AUB)=0.8,P(B )=0.4，則 P(A| B )=2/32. 10個(gè)球隊(duì)平均分成兩組進(jìn)行比賽，則最強(qiáng)的兩個(gè)隊(duì)分到同一組的概率為2/93. 設(shè)隨機(jī)變量 X在區(qū)間0,1上服從均勻分布，則Y=eX的數(shù)學(xué)期望為 e-14. 設(shè) Xb(n,p)為二項(xiàng)分布，且 E(X )=1.6,D(X )=1.28，則 n=8 D= 0.25. 設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間0, 2上服從均勻分布，用切比雪夫不等式估計(jì)得PX_1芝2壬1/12.二、選擇題(在各小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，填在題末的括號(hào)中，本大題共6個(gè)小題，每小題3分，總計(jì)

35、18分)1 .設(shè)A,B為事件，且A二B，則下列式子一定正確的是(B )(A)P A B )= PA；(B)P BA = P A ;(C)P AB)=P B;(D)P A-B)=P A-P B1 k2. 設(shè)隨機(jī)變量 X的分布率為PX =k = ，子，(k =1,2,),則a= ( D )(A) e'；(B) e ' ；(C) e= -1 ；(D) e -13. 設(shè)X : N(1,1)，概率密度為f(x),分布函數(shù)為F(x),則有(A )(A)PX £1 = PX 1 ;(B) PX 三 0 = PX 0;(C)f x = f -x , x R;(D) F x = 1 -

36、 F x , x R4.5.設(shè) PX 三 1,Y £1 =2,PX £1 =PY 三 15(A) 4;(B)：525設(shè)隨機(jī)變量(X ,Y )滿足方差(A) X與Y獨(dú)立；(B)(C) X與Y不獨(dú)立；(C) 3;53=，則 Pmin X,Y 土1 =( A ) 52(D)-5D X Y =D X -Y，則必有(B )X與Y不相關(guān)；(D) D(X ) = 0 或 D(Y )=0三、計(jì)算題(本大題共 6小題，每小題10分，共計(jì)60分)1.有三個(gè)盒子，第一個(gè)盒子中有2個(gè)黑球,4個(gè)白球，第二個(gè)盒子中有 4個(gè)黑球,2個(gè)白球，第三個(gè)盒子 中有3個(gè)黑球,3個(gè)白球，今從3個(gè)盒子中任取一個(gè)盒子，

37、再?gòu)闹腥稳?球.(1)求此球是白球的概率;(2)若已知取得的為白球，求此球是從第一個(gè)盒子中取出的概率解:設(shè)A表示“取得的為白球”，Bi分別表示“取得的為第一,二，三盒的球”i=1,2,3則P(B1 )= P(B2 )=P(B3 )=1/3 , P(A|Bi )=2/3 , P(A|B2)= 1/3 , P(A|B3 )=1/2 ,(2 分)3由全概率公式得：P(A) = £ P(A|Bi P(Bi )=1/2, (6 分)i A由貝葉斯公式得：P(B1 | A)= P(A|B1)P(B1 ) = 4/9 (10 分)P(A)2.已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為-. 一 .一 .xF

38、(x) = A Barcsin , a a < x £ a，其中a0為常求：(1)常數(shù)A, B的值；(2)隨機(jī)變量1,X的密度函數(shù)f(x);(3)解：(1)由 F (x )右連續(xù)性，F(xiàn)(a + )=F(a ), F(a + )=F(a)得 A；B=0 ,1,解得 A=1/2,B =1/n (6 分)1, 一 a ： x ： a(8分)(10 分) f(x) =F x )=w：?a2 x210,其它a P - X : a = F a -F a/2 =1/322X3. 設(shè)隨機(jī)變量 X在區(qū)間1,2上服從均勻分布，求Y=e 概率密度。1, 1 三 x 三 22x2X3.解：X的概率密度

39、為fX (x ) = f 廿小，y = e , y=2e >0，反函數(shù)導(dǎo)數(shù)0,具他h妁1 , a =min e2,e4=e2，日=maxe2,e4 = e4，所以 Y =e2X 的概率密度為 -2yfY，= fXhy h y ,0,:三 y 主！ _ 1/ 2y ,其他 一 0,2 .4e生y生e其他(10分)4.設(shè)二維隨機(jī)變量Ay,(X,Y)的密度函數(shù)：f (x, y)=普.0,20 ： x ： y ,0 ： y : 1其他(1)求常數(shù)A的值；(2)求邊緣概率密度fX (x ), fY ( y )；(3) X和Y是否獨(dú)立？304.解：(1)由 J f (x, y)dy =1,得 A =

40、 4 (3 分) fX (x)=偵f(x, y)dy = S x), 0 Zj1(6 分)-QO3_，fY y ="f (x,y)dx = y , 0 y %引'I 0,其他(9分)(3) fx (x )fY (y 片 f (x,y)，不獨(dú)立(10 分)5 .設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度函數(shù):求(1)數(shù)學(xué)期望E(X )與E(Y ); (2)工 6x,0 x ： y ： 1f (x, y)=(,y)0, 其他X與Y的協(xié)方差Cov(X,Y)5 .解:E(X )=1/2,(2 分)E(Y ) = 3/4,(4 分)E(XY )=3/5 (6 分),所以Cov(X,Y )=E(

41、XY )-E(X )E(X )=9/40 (10 分) 四、證明題(本大題共 1小題，每小題4分，共4分) 1.設(shè)三個(gè)事件 A,B, C滿足ABUC,試證明：P(A)+P(B )<1 + P(C )1.證明：由于 ABU C，所以P(AB )<P(C ),所以P(A )+P(B ) = P(aUb ) + P(AB )P(aUb )+P(C )壬1 +P(C ) (4 分)、填空題(本大題共 6小題，每小題3分，總計(jì)18分)1.設(shè) A, B為隨機(jī)事件，P(A)+P(B)=0.7,P(AB )=0.3，則 P(AB)十 P(AB)=0.12. 10件產(chǎn)品中有4件次品，從中任意取2件，

42、則第2件為次品的概率為0.43 .設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間0,2上服從均勻分布，則Y = X2的概率密度函數(shù)為fY y = 1 4 y，Q：n 4一J 0,其他4. 設(shè)隨機(jī)變量 X的期望E(X )=3,方差D(X ) = 5，則期望Ej(X+4f=545. 設(shè)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 2的泊松分布，則應(yīng)用切比雪夫不等式估計(jì)得pX_2221/2.二、選擇題(在各小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，填在題末的括號(hào)中，本大題共 題，每小題3分，總計(jì)18分)設(shè)A,B為對(duì)立事件，0<P(B)<1,則下列概率值為1的是( C )(A) P A| B ; (B) P B|A ; (C) P A|B ;設(shè)

43、隨機(jī)變量XN(1,1),概率密度為(A) P X 三 0 = P X -0);(C) f x )= f -x , x R;設(shè)f (x涅隨機(jī)變量X的概率密度(A) f (x)定義域?yàn)?,1;(C) f (x)的值域?yàn)?,1;、4 、設(shè) PX -1,Y 1 = , PX -1)9(B)|° ;816個(gè)小1.2.3.4.5.2(A)-3設(shè)隨機(jī)變量(D )(A) 40;(D) P ABf x，分布函數(shù)F x，則下列正確的是(B) P(X < 1 = P X -1);(D) F x =1-F -x，x R，則一定成立的是(B )(B) f (x )非負(fù)；(D) f (x )連續(xù)_、5 ，、= PY 1=，則 Pmin X，Y) 1)=(9(C) ：;(D)193(X，Y)的方差D(X )=4，D(Y)=1,相關(guān)系數(shù)Pxy=0.6,則方差(B) 34;(C) 17.6;(D) 25.6D 3X -2Y =三、計(jì)算題(本大題共 6小題，每小題10分，共計(jì)60分)1.甲乙丙三個(gè)同學(xué)同時(shí)獨(dú)立參加考試，不及格的概率分別為：0.2 ,0.3,0.4,(1) 求恰有2位同學(xué)不及格的概率；(2) 若已知3位同學(xué)中有2位不及格，求其中1位是同學(xué)乙的概率.1.解:設(shè)A,B, C分別表示“甲，乙，丙同學(xué)不及格”，則P(A)=0.2 , P(