概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題第五章 大數(shù)定律及中心極限定理習(xí)題5-1據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某種電器元件的壽命服從均值為100小時(shí)的指數(shù)分布，現(xiàn)隨機(jī)地取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的。求這 16只元件的壽命的總和大于1920小時(shí)的概率。解：設(shè)第i只壽命為X, (1勇 16,故E (Xi )=100 , D (Xi)=1002(l=1,2，,16).依本章定理r 16r 16XZ Xi -1600Z Xi 1600i=01920 1600=Pi=0<0.8J16 x100716x100400)16P(' X, _1920) =Pi 2-：，(0.8) =0.7 8 8.11616從而 P( Xi 1

2、920)=1 P( Xi 5920)=1 0.7881 =0.2119.i 1i 4習(xí)題5-2 設(shè)各零件的重量都是隨機(jī)變量，它們相互獨(dú)立且服從相同的分布，其數(shù)學(xué)期 望為0.5kg，均方差為0.1kg，問(wèn)5000只零件的總重量超過(guò) 2510kg的概率是多少？解設(shè)5000i =1,所以由獨(dú)立同分布中心極限定理知Xi表示第i只零件的重量，貝U E(Xi)=0.5, D(Xi)=0.01.于是5000只零件的總重量X -25002510 -2500-P(X 25 1 0P( ：1：，(、. 2) =1-0.921=0.079.5000 0.1、5000 0.1習(xí)題5-3 有一批建筑房屋用的木柱，其中8

3、0%的長(zhǎng)度不小于3m,現(xiàn)從這批木柱中隨機(jī)地取出100根，問(wèn)其中至少有 30根短于3m的概率是多少？解設(shè)100根中有X根短于3m,貝U XB (100, 0.2從而不| 30 100x0.2PX Z30=1 PX <305中W100K0.2K0.8 J=1 -：，(2.5) =1 -0.9938 =0.0062.習(xí)題5-4 (1) 一復(fù)雜的系統(tǒng)由100個(gè)相互獨(dú)立起作用的部件所組成.在整個(gè)運(yùn)行期間每個(gè)部件損壞的概率為 0.10，為了使整個(gè)系統(tǒng)起作用，至少必須有85個(gè)部件正常工作，求整個(gè)系統(tǒng)起作用的概率注釋：設(shè)這100個(gè)部件中沒(méi)有損壞部件數(shù)為X,則X服從二項(xiàng)分布B(100,0.9)，且有 EX

4、=np=100x0.9=90,DX=npq=90 x 0.1=9 由拉普拉斯定理，b-EXa-EXPa<X<b "()_：.：，().DX DX故至少須有85個(gè)部件工作的概率為:, 85-90PX _85) ： 1 -：只 )=1 -：，(-1.67) =3(1.67) =0.9525、.9(2) 一復(fù)雜的系統(tǒng)由n個(gè)相互獨(dú)立起作用的部件所組成.每個(gè)部件的可靠性為0.90,且必須至少有80%的部件工作才能使整個(gè)系統(tǒng)正常工作，問(wèn)n至少為多大才能使系統(tǒng)的可靠性不低于0.95?解：(2)設(shè)每個(gè)部件為 Xi (i=1,2,n)1部件工作X =' 0 部件損壞不工作P Xi=

5、1= p=0.9, P Xi=0=1 - p=0.1由問(wèn)題知E (Xi ) =p=0.9,D (Xi ) =0.9 0.1=0.09，nPE XiJ*>-80=0.95 求 n=?100pl Xi80 n 100nT X- np80土 Xi np nnpi 1100nD(Xi)IJ",nD(Xi) InZ Xi -0.9n=P<0.3、n.端ng。0.3、. n2乙 Xi -0.9nn -0.9n=1 - P旦尸一 <100一=卜由中心極限定理知0.3、n0.3 nIJ.木f0.1n 1 木f 0.1n '二昨氏=11>0.950.3yfn JQ.3j

6、n )查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得 0.1n 1.6450.3.、n解得n梁4.35取n=25，即n至少為25才能使系統(tǒng)可靠性為0.95.習(xí)題5-5 隨機(jī)地選取兩組學(xué)生，每組 80人，分別在兩個(gè)實(shí)驗(yàn)室里測(cè)量某種化合物的pH值.各人測(cè)量的結(jié)果是隨機(jī)變量，它們相互獨(dú)立，且服從同一分布，其數(shù)學(xué)期望為5,方差為0.3,以X ,Y分別表示第一組和第二組所得結(jié)果的算術(shù)平均：(1)求P4.9 < X < 5.1;(2)求 P0.1<X Y <0.1(1)求 P 4.9< X : 5.1解：由中心極限定理知80'、'Xi -80 5 i -4U =N (0,1).80 0.

7、3(2)P-0.1 ：X -Y ：0.180'、'Yj -80 5jV =,N (0,1)80 0.3480、(1)Z Xi -80X5©.ex 點(diǎn)i=p 4.9 80一80 5：/.1 80 -80 5.80 0.3一一80 0.3、80 0.380、Z X i -80X5 i =1P-1.63 <<1.63. = 2 中(1.63) -1 = 2乂 0.9 48 41 =0.89 68國(guó)(2)由Xi , Yj的相互獨(dú)立性知Z Xi與W Yj獨(dú)立。從而U , V獨(dú)立。i =1j =1于是U VN (0, 2)-V =80' Xii d80-

8、9; Yjj丑、248080£ X i -£ Yj<7 、T 70.U80iTjT0.1X80P-0.1<X Y <0.1 =P<<,< . r J80W.3 J80X0.3*800.3Lj= P1.63 Z ：1.63 - .：， 1.63 _：，- 1.63 "=29(1.15) 122=2 X0.8749 1=0.7498習(xí)題5-6某種電子器件的壽命（小時(shí)）具有數(shù)學(xué)期望k （未知），方差。2 =400.為了估計(jì)卜，隨機(jī)地取n只這種器件，在時(shí)刻t=0投入測(cè)試（設(shè)測(cè)試是相互獨(dú)立的）直到失敗，測(cè)得其壽命為X1,X2，Xn ,1 nXi作為卜的估計(jì).為了使n i日P| X 一卜|<1芝0.95，問(wèn)n至少為多少?解：由中心極限定理知，當(dāng) n很大時(shí)n&#