二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)專題練習(xí)

1、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)一、二次函數(shù)概念：1二次函數(shù)的概念：一般地，形如yax2bxc（ a ，b ，c是常數(shù)， a0 ）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)?！菊f明】這里需要強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù) a 0 ，而 b，c 可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù)2. 二次函數(shù) y ax2 bx c 的結(jié)構(gòu)特征： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x 的二次式，x 的最高次數(shù)是2 a ，b ，c是常數(shù)， a 是二次項系數(shù)， b 是一次項系數(shù)， c 是常數(shù)項二、二次函數(shù)的基本形式1. 二次函數(shù)基本形式：yax2 的性質(zhì)：a 的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a00 ，0x0 時， y 隨 x 的增大而增大； x0

2、時， y 隨向上y 軸x 0 時， y 有最小值 0 x 的增大而減小；a00 ，0x0 時， y 隨 x 的增大而減??； x0時， y 隨向下y 軸x 0 時， y 有最大值 0 x 的增大而增大；a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。2. y ax2 c 的性質(zhì)：上加下減。a 的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a00 ，cx0 時， y 隨 x 的增大而增大； x0時， y 隨向上y 軸x 0 時， y 有最小值 c x 的增大而減??；a00 ，cx0 時， y 隨 x 的增大而減小； x0時， y 隨向下y 軸x 0 時， y 有最大值 c x 的增大而增大；3. ya x2h 的性質(zhì)：左加

3、右減。a 的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a0向上h ，0xh 時， y 隨 x 的增大而增大；x h 時， yX=hx h 時， y 有最小值 0 隨 x 的增大而減?。籥0h ，0xh 時， y 隨 x 的增大而減??；x h 時， y向下X=hx h 時， y 有最大值 0 隨 x 的增大而增大；24.ya xhk 的性質(zhì)：精品文庫a 的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a0h ，kxh 時， y 隨 x 的增大而增大；向上X=hx h 時，隨 x 的增大而減??；a0h ，kxh 時， y 隨 x 的增大而減?。幌蛳耎=hx h 時，隨 x 的增大而增大；5. 二次函數(shù) yax2bxc 的性質(zhì)

4、x h 時， yy 有最小值 k x h 時， yy 有最大值 k 1.當(dāng) a0 時，拋物線開口向上，對稱軸為xb，頂點坐標為b ，4acb22a2a4a當(dāng) xb 時， y 隨 x 的增大而減??； 當(dāng) xb時， y 隨 x 的增大而增大； 當(dāng) xb2a2a2a2時， y 有最小值 4ac b 4a2.當(dāng) a0 時，拋物線開口向下，對稱軸為xb，頂點坐標為b ，4acb 2當(dāng)2a2a4axb 時， y 隨 x 的增大而增大；當(dāng) xb 時， y 隨 x 的增大而減??；當(dāng)xb時， y2a2a2a2有最大值4acb4a三、二次函數(shù)圖象的平移1. 平移步驟：方法一： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式y(tǒng) a x

5、 h2h ，k ；k ，確定其頂點坐標 保持拋物線 yax2 的形狀不變，將其頂點平移到h ，k 處，具體平移方法如下：向上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k|個單位y=ax2y=ax 2+k向右 (h>0) 【或左 (h<0)】向右 (h>0) 【或左 (h<0) 】向右 (h>0)【或左 (h<0)】平移 |k|個單位平移 |k| 個單位平移 |k|個單位向上 (k>0) 【或下 (k<0) 】平移 |k|個單位y=a (x-h)2向上 (k>0) 【或下 (k<0)】平移 |k|個單位y=a(x-h)2+k

6、2. 平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“h 值正右移，負左移；k 值正上移，負下移”概括成八個字“左加右減，上加下減”方法二： yax 2bxc 沿 y 軸平移 :向上（下）平移m 個單位，yax2bxc 變成歡迎下載2精品文庫yax2bx cm （或 yax2bxcm ） yax 2bxc 沿軸平移：向左（右）平移m 個單位， yax 2bxc 變成ya( xm) 2b( xm)c （或 y a(xm) 2b( xm)c ）四、二次函數(shù) ya x2k 與 yax2bxc 的比較h從解析式上看，yax2k 與 yax2bxc是兩種不同的表達形式，后者通過配h2b2b ，k2方可以得到前者，即yaxb

7、4 ac，其中 h4acb2a4a2a4a五、二次函數(shù)解析式的表示方法1.一般式： yax 2bxc （ a ， b ， c 為常數(shù)， a 0 ）；2.頂點式： ya( xh)2k （ a ， h ， k 為常數(shù)， a0 ）；3.兩根式： ya( xx1 )( xx2 ) （ a 0 ， x1 ， x2 是拋物線與 x 軸兩交點的橫坐標） .注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與x 軸有交點，即b 24 ac0 時，拋物線的解析式才可以用交點式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.六、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關(guān)系1. 二次

8、項系數(shù)a二次函數(shù)yax2bxc 中， a 作為二次項系數(shù)，顯然a0 當(dāng) a0 時，拋物線開口向上，a 的值越大，開口越小，反之a(chǎn) 的值越小，開口越大； 當(dāng) a0 時，拋物線開口向下，a 的值越小，開口越小，反之a(chǎn) 的值越大，開口越大總結(jié)起來，a 決定了拋物線開口的大小和方向，a 的正負決定開口方向，a 的大小決定開口的大小2. 一次項系數(shù) b在二次項系數(shù)a 確定的前提下，b 決定了拋物線的對稱軸 在 a0 的前提下，當(dāng) b0 時，b0，即拋物線的對稱軸在y 軸左側(cè)；2a當(dāng) b0時，b0，即拋物線的對稱軸就是y 軸；2a當(dāng) b0時，b0 ，即拋物線對稱軸在y 軸的右側(cè)2a 在 a0的前提下，結(jié)論

9、剛好與上述相反，即當(dāng) b0時，b0，即拋物線的對稱軸在y 軸右側(cè)；2a當(dāng) b0時，b0 ，即拋物線的對稱軸就是y 軸；2a歡迎下載3精品文庫當(dāng) b 0 時，b0 ，即拋物線對稱軸在 y 軸的左側(cè)2a總結(jié)起來，在 a 確定的前提下，b 決定了拋物線對稱軸的位置ab 的符號的判定：對稱軸 xb0 ，在 y 軸的右側(cè)則 ab0 ，在 y 軸左邊則 ab2a概括的說就是“左同右異”總結(jié)：3. 常數(shù)項 c 當(dāng) c0 時，拋物線與y 軸的交點在 x 軸上方，即拋物線與y 軸交點的縱坐標為正； 當(dāng) c0 時，拋物線與y 軸的交點為坐標原點，即拋物線與y 軸交點的縱坐標為 0 ； 當(dāng) c0 時，拋物線與y 軸

10、的交點在 x 軸下方，即拋物線與y 軸交點的縱坐標為負/ 總結(jié)起來， c 決定了拋物線與 y 軸交點的位置總之，只要 a，b ，c 都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的4.利用二次函數(shù)與 x 軸的交點的個數(shù)來確定判別式 的符號， 利用特殊點的坐標確定特殊代數(shù)式的值的范圍。有時還要利用等量代換來判斷特殊代數(shù)式的值的范圍。二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式， 通常利用待定系數(shù)法 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡便一般來說，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?，一般選用

11、頂點式；3. 已知拋物線與 x 軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)應(yīng)用舉例：例 1：小強從如圖所示的二次函數(shù)yax2bxc 的圖象中， 觀察得出了下面五條信息： （ 1）a0 ；（ 2） c1；（ 3） b0 ；（ 4） abc0 ； （5） abc0 . 你認為其中正確信息的個數(shù)有（C）A2個B3 個C4 個D5 個y1yx3y1121012x11 O12 x1 Ox1例2 ：已知二次函數(shù)yax2bxc 的圖象如圖所示，有以下結(jié)論：abc 0 ；/ a b c 1； abc0 ； 4a2bc0； c a 1 其中所有正確

12、結(jié)論的序號是（ C ）AB CD 歡迎下載4精品文庫例3：小明從圖所示的二次函數(shù)yax 2bxc的圖象中，觀察得出了下面五條信息： c 0 ； abc0 ； ab c0 ； 2a 3b 0 ； c4b0，你認為其中正確信息的個數(shù)有（C）A2個B3 個C4 個D5 個分析：錯誤.由b13b 0 ；由前面的分析知a32a得 2ab ，又由題圖知當(dāng)32x 2時， y4a2bc 0 ，將 x2代入4a2bc0 中得 c4b 0.【練】已知二次函數(shù)yax 2bxc( a0) 的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論： abc0 ； bac ；4a2bc0；2c 3b ； a b m( amb) ，（ m1的實數(shù)）

13、其中正確的結(jié)論有（C ）A.2 個B.3 個C.4個D.5 個分析： 由圖可知，abcb2a0, abc0，錯誤；又當(dāng)x 1時0,2a1,0，從而y a b c0 ，錯誤；由拋物線的對稱軸為直線x1 知，當(dāng) x0 與 x2時函數(shù)值相等，所以正確；因為2c3b 2c 2b b 2c 2b 2a 2( ab c)0，所以正確；因為二次函數(shù)的對稱軸為直線x1 ，所以當(dāng)x1 時，函數(shù)取得最大值，即當(dāng)m 1, x m 時 的 函數(shù) 值 小于 當(dāng) x 1 時 的函 數(shù)值， 所 以 a b2bm ，c 得c ama b m(am b) ，所以正確 .例 4：如圖，是二次函數(shù)yax2 bx c（ a0）的圖象

14、的一部分，給出下列命題2： a+b+c= 0； b2a； ax +bx+c=0 的兩根分別為 -3和 1； a-2b+c 0其中正確的命題是（只要求填寫正確命題的序號）分析：由圖知正確且b1，所以 b0 ，所以2a2aca b錯誤；由正確得， 所 以a 2 bc2 ab a3，所以b錯誤 . b【練】 1. 已知二次函數(shù)yax2bxc a0 的部分圖象如圖所示，它的頂點的橫坐標為1，由圖象可知關(guān)于 x 的方程 ax2bx c=0的兩根為 x1 1, x2 32.二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x1，其圖象的一部分如圖所示 對于下列說法： abc 0； a bc 0；3ac 0； 當(dāng) 1 x 3 時，

15、 y歡迎下載5精品文庫 0其中正確的是（把正確的序號都填上）分析：由圖可知，拋物線的對稱軸為直線x 1 ，與 x 軸的一個交點為3,0，得b1，2ab 2a ，與 x 軸的另一個交點為1,0，所以 ab c0 ， 3ac ab c 0 .例 5：在同一直角坐標系中，函數(shù) ymxm 和 ymx22x 2（ m 是常數(shù)， 且 m0）的圖象可能 是（ C ）yyyyOxOxO xOx例 6：（ 1）已知二次函數(shù)的圖象 以 A（ 1， 4）為頂點，且過點 B （ 2， 5）求該函數(shù)的關(guān)系式；求該函數(shù)圖象與坐標軸的交點坐標；答： yx22x3 ，交點坐標1,0 , 3,0（ 2）拋物線過（1， 0），（

16、 3， 0），（ 1， 4）三點，求二次函數(shù)的解析式；答： yx22x3例 7：已知函數(shù) ym2 xm2m 48x1 是關(guān)于 x 的二次函數(shù)，求：（ 1）求滿足條件的m 的值；（ 2） m 為何值時，拋物線有最低點？最低點坐標是多少？當(dāng)x 為何值時， y 隨 x 的增大而增大？（ 3）m 為何值時， 拋物線有最大值？最大值是多少？當(dāng)x 為何值時， y 隨 x 的增大而減小？答：（ 1） m3 或 m2 ；例 8：（ 1）利用配方求函數(shù)y1x2x4的對稱軸、頂點坐標。1 x 24y2541 x2（ 2）利用公式求函數(shù)y6x17 的對稱軸、頂點坐標。2b64acb2411762366 ，2342a

17、14a1142222歡迎下載6精品文庫例 9：已知二次函數(shù)ym22 x24mxn 的圖象的對稱軸是x2 ，且最高點在直線1y x 1 上，求這個二次函數(shù)的解析式。2答： yx24x2例 10.如圖，二次函數(shù)yax 24xc 的圖象經(jīng)過坐標原點，與x 軸交于點 A（ 4， 0）（ 1）求二次函數(shù)的解析式；（ 2）在拋物線上存在點P，滿足 S AOP8 ，請直接寫出點P 的坐標答： yx24x ， P 的坐標為222,2或222,2例 11.如圖， 拋物線 yx2bxc 經(jīng)過直線yx3 與坐標軸的兩個交點 A 、 B，此拋物線與 x 軸的另一個交點為 C，拋物線頂點為 D.（ 1）求此拋物線的解析

18、式；（ 2）點 P 為拋物線上的一個動點，求使S APC：S ACD5 ：4的點 P 的坐標。答： yx22x 3 ， C1,0，D 1,4 ，SACD 8，所以S APC10， P 的坐標為4,5 或2,5 .二次函數(shù)練習(xí)試題一、選擇題1. 二次函數(shù) y x2 4x 7 的頂點坐標是 ( )A.(2, 11)B.（ 2， 7）C.（ 2， 11）D. （ 2， 3）2.函數(shù) ykx 2k 和 yk (k 0) 在同一直角坐標系中圖象可能是圖中的()x3.已知二次函數(shù)yax2bxc(a0) 的圖象如圖所示,則下列結(jié)論 : a,b 同號 ;當(dāng)x 1和x 3,;4a b 0當(dāng)y2時,x 的值只時 函數(shù)值相等能取 0.其中正確的個數(shù)是 ()A.1 個B.2 個C.3個D.4個歡迎下載7精品文庫4.已知二次函數(shù) y ax2bx c(a0) 的頂點坐標（ -1， -3.2）及部分圖象 (如圖 ), 由圖象可知關(guān)于x 的一元二次方程ax2bx c0 的兩個根分別是x1 1.3和 x2 （） .B.-2.3C.-0.3D.-3.35