專題3平面向量與三角(衛(wèi)賽民).

1、專題三 三角函數(shù)與平面向量【考情報(bào)告】題型2010年2011年2012年小題第3題:主要考查三角形中的正弦定理.第5題:主要考查三角形重心的性質(zhì)及向量運(yùn)算的幾何意義.第3題:主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),兩角和(差)公式的運(yùn)用.第8題:主要考查向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算,線性規(guī)劃問題及轉(zhuǎn)化思想.第9題:主要考查函數(shù)零點(diǎn)的求解及余弦函數(shù)的求解.第11題:主要考查利用余弦定理解三角形等.大題第16題:主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、兩角和(差)公式、倍角公式等.第16題:主要考查三角函數(shù)的基本公式,利用正弦定理、余弦定理解三角形.第17題:主要考查三角函數(shù)的最小正周期、值域、二倍角公式、三角恒等變形以及向量

2、的運(yùn)算等.【考向預(yù)測】縱觀近幾年高考關(guān)于三角函數(shù)與平面向量部分的命題可以看出:三角函數(shù)的試題一般是一小題一大題;平面向量的試題一般是一小題,多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).在解答題中對平面向量的考查,都不是以獨(dú)立的試題形式出現(xiàn),而是把平面向量作為解題的工具,滲透于解答題,如三角函數(shù)、圓錐曲線、數(shù)列等問題中.三角函數(shù)的解答題一般都為基礎(chǔ)題,而三角函數(shù)與平面向量的小題一般都屬于中低檔題,不會太難.三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),如周期、最值、單調(diào)性、圖象變換、特征分析(對稱軸、對稱中心);三角函數(shù)式的恒等變形,如利用有關(guān)公式求值和簡單的綜合問題等都是考查的熱點(diǎn);平面向量主要考查共線(垂直)向量的充要條件、向量

3、的數(shù)量積與夾角.預(yù)測在2013年的高考試卷中,考查三角函數(shù)與平面向量部分的題為兩小題一大題,三角解答題一般有兩種題型:一、解三角形,主要是運(yùn)用正余弦定理來求解邊長、角度、周長、面積等;二、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),主要是運(yùn)用和角公式,倍角公式,輔助角公式進(jìn)行三角恒等變換,求解三角函數(shù)的最小正周期,單調(diào)區(qū)間,最值(值域)等.13年需要注意第二種題型的考查.難度為中低檔題.【知能診斷】1.(2012年·江西)若tan+=4,則sin 2=(    )(A).    (B) .   &

4、#160;(C) .    (D) .【答案】D2.若,(0,),cos =,tan =,則+2=    .3.在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若a2-b2=bc,sin C=2sin B,則A等于(    ) 【答案】A（A)30°.    (B)60°.    (C)120°.    (D)150°

5、;.4.已知關(guān)于x的方程:·x2+·2x+=0(xR),其中點(diǎn)C為直線AB上一點(diǎn),O是直線AB外一點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是(    ) 【答案】B(A)點(diǎn)C在線段AB上.(B)點(diǎn)C在線段AB的延長線上且點(diǎn)B為線段AC的中點(diǎn).(C)點(diǎn)C在線段AB的反向延長線上且點(diǎn)A為線段BC的中點(diǎn).(D)以上情況均有可能.5.(2012年·江西)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知A=,bsin(+C)-csin(+B)=a.(1) 求證:B-C=; (2)若a=,求ABC的面積.【診斷參考】1.第1題容易想到是先通過條件tan

6、 +=4求出正切值,此時一方面解方程繁瑣,另一方面又要討論函數(shù)值的符號,此法不可取,顯然必須切化弦,因此需利用公式tan =轉(zhuǎn)化;sin2+cos2在轉(zhuǎn)化過程中常與“1”互相代換,從而達(dá)到化簡的目的.2.第2題最困難的地方在于確定+2的范圍,一般地,根據(jù)已知條件,把角的范圍限制得越精確,結(jié)果也越準(zhǔn)確.否則角的范圍容易被放大,導(dǎo)致錯誤.3.第3題中,記錯公式、忘記討論角的范圍或者代數(shù)運(yùn)算不熟練是造成這類解三角形問題的出錯的主要原因.這里選用余弦定理求角是正確的,如果選用正弦定理求角就不合理,一是出現(xiàn)兩個角,二是要討論舍棄一個角,更容易出錯.4.第4題考查向量的線性運(yùn)算及三點(diǎn)共線的充要條件及探究能

7、力,此題學(xué)生最大的思維障礙是向量的三點(diǎn)共線的條件的轉(zhuǎn)化,即由A,B,C三點(diǎn)共線,O為直線AB外一點(diǎn),若+,則 +=1,從而可解決本題.5.第5題是考試說明中“考查考生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解”的典范,很多考生拿到三角題的定勢思維就是看能不能利用條件整體化去湊角,這樣一來出現(xiàn)一些平時成績好的學(xué)生走入死“胡同”,真是“弄巧成拙”.其實(shí)本題的解法就是最簡單地把角拆開,整理就可以了.專案突破核心知識：一、三角函數(shù)及解三角形1.y=Asin(x+)(A>0)的圖象特點(diǎn):(1)在對稱軸處取得最大值或最小值;(2)對稱中心就是函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn);(3)兩相鄰的對稱中心(或?qū)ΨQ軸)之間相差半個周期,相鄰的一個

8、對稱中心和對稱軸之間相差四分之一個周期.由y=Asin(x+)的圖象求其函數(shù)式:在給出圖象要確定解析式y(tǒng)=Asin(x+)的題型中,有時從尋找“五點(diǎn)”中的第一零點(diǎn)(- ,0)作為突破口,要從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一個零點(diǎn)的位置.2.三角函數(shù)的恒等變換:從函數(shù)名、角、運(yùn)算三方面進(jìn)行差異分析,常用的技巧有:切割化弦,降冪,用三角公式轉(zhuǎn)化出現(xiàn)特殊角,異角化同角,異名化同名,高次化低次等.二倍角公式是實(shí)現(xiàn)降冪或升冪的主要依據(jù),注意其變形:1+cos 2=2cos2,1-cos 2=2sin2,cos2=,sin2=.3、正弦定理已知在ABC中,a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對邊,則=2R(R為三角形外

9、接圓的半徑).4.余弦定理已知在ABC中,a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對邊,則a2=b2+c2-2bccos A,cos A=,另外兩個同樣.5、面積公式已知在ABC中,a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對邊,則(1)三角形的面積等于底乘以高的;(2)S=absin C=bcsin A=acsin B=(其中R為該三角形外接圓的半徑);(3)若三角形內(nèi)切圓的半徑是r,則三角形的面積S=(a+b+c)r;(4)若p=,則三角形的面積S=.6.航海和測量中常涉及仰角、俯角、方位角等術(shù)語.二、平面向量1.平面向量的基本概念2.共線向量定理向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個實(shí)數(shù),使b=&

10、#183;a.如果向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab 的充要條件是x1y2=x2y1或者x1y2-x2y1=0,即用坐標(biāo)表示的兩個向量平行的充要條件是它們坐標(biāo)的交叉之積相等.當(dāng)其中一個向量的坐標(biāo)都不是零時,這個充要條件也可以寫為,即對應(yīng)坐標(biāo)的比值相等.3.平面向量基本定理對于任意向量a,若以不共線的向量e1,e2作為基底,則存在唯一的一組實(shí)數(shù)對,使a=e1+e2.4.向量的坐標(biāo)運(yùn)算a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),a=(x1,y1).5.數(shù)量積(1)已知a,b的夾角為<a,b>=(0,)

11、,則它們的數(shù)量積為a·b=|a|·|b|cos ,其中|b|cos叫做向量b在a方向上的投影,向量的數(shù)量積滿足交換律、數(shù)乘結(jié)合律和分配律,但不滿足結(jié)合律,即a·(b·c)(a·b)·c;(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2;(3)兩非零向量a,b的夾角公式為cos=(4)|a|2=a·a. (5)兩個向量垂直的充要條件就是它們的數(shù)量積等于零.【考點(diǎn)突破】熱點(diǎn)一:三角函數(shù)定義及簡單的三角恒等變換 (1) 若0<<,-<<0,cos(+)= ,c

12、os(-)=,則cos(+)等于(    )(A) .    (B)- .    (C) .    (D)- .(2)(2011年·重慶) 已知sin=+cos,且(0, ),則的值為        .【答案】(1)C    (2)- 【歸納拓展】在進(jìn)行三角恒等變換時,一個重要的技巧是進(jìn)行角的變換,把求解的角

13、用已知角表示出來,把求解的角的三角函數(shù)使用已知的三角函數(shù)表示出來,常見的角的變換有: +2=2(+),=(+)-=(-)+,2=(+)+(-),2=(+)-(-),+=2 =(-)-(-)等.在進(jìn)行三角函數(shù)化簡或者求值時,如果求解目標(biāo)較為復(fù)雜,則首先要變換這個求解目標(biāo),使之簡化,以便看出如何使用已知條件.變式訓(xùn)練1    (1)已知=,則tan+的值為(    )(A)-8.    (B)8.    (C)- .  

14、  (D) .(2)若sin+2cos=0,則的值為(    )(A)- .    (B) . (C) .    (D)- .【答案】(1)A    (2)A 例2 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,銳角、的終邊分別與單位圓交于A、B兩點(diǎn). (1)如果tan=,B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,求cos(+)的值; (2)若角+的終邊與單位圓交于C點(diǎn),設(shè)角、+的正弦線分別為MA、NB、PC,求證:線段MA、NB、PC能構(gòu)成一個三角形.【歸納拓

15、展】三角函數(shù)的定義以及三角函數(shù)線的定義的使用是解決例2的關(guān)鍵.近幾年的高考試題對三角函數(shù)基本關(guān)系考查常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),分值在5分左右.其考查重點(diǎn)是基礎(chǔ)知識,考查要點(diǎn)是三角函數(shù)值的計(jì)算、三角函數(shù)符號的判斷、角的象限的判斷等.變式訓(xùn)練2已知向量a=(sin,-2)與b=(1,cos)互相垂直,其中(0, ).(1)求sin和cos的值;(2)若sin(-)= ,0<<,求cos的值.熱點(diǎn)二:三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)此類題型在高考中主要以小題形式出現(xiàn),考查三角公式中的和(差)角公式、倍角公式的應(yīng)用,三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性、對稱軸、對稱中心、最值、圖象的變換也是?？嫉膬?nèi)容.考題一

16、般屬中低檔題,熟記并靈活運(yùn)用相關(guān)公式和性質(zhì)是解決此題型的關(guān)鍵.  例3 (1)函數(shù)f(x)=2sin(x+)(其中>0,- <<)的圖象如圖所示,若點(diǎn)A是函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn),點(diǎn)B、D分別是函數(shù)f(x)的圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn),點(diǎn)C(,0)是點(diǎn)B在x軸上的射影,則=        .(2)函數(shù)f(x)=xcos x2在區(qū)間0,4上的零點(diǎn)個數(shù)為(    )(A)4.    (B)5.

17、    (C)6.    (D)7.3)若函數(shù)f(x)=sinx(>0)在區(qū)間0, 上單調(diào)遞增,在區(qū)間,上單調(diào)遞減,則等于(    )(A)3.    (B) 2.    (C) .    (D) 【分析】(1)f(x)=2sin(x+)中的各個參數(shù)中,與T有關(guān),與平移或?qū)ΨQ軸等有關(guān).能夠由圖得出與,然后利用數(shù)量積公式.(2)利用零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為解方程即可.

18、(3)能夠從已經(jīng)給出的單調(diào)區(qū)間結(jié)合圖象得出.【答案】(1) -8    (2)C    (3)C【歸納拓展】三角函數(shù)圖象的形狀和位置特征,要準(zhǔn)確掌握,如對稱中心是圖象與x軸的交點(diǎn),對稱軸經(jīng)過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn),圖象平移應(yīng)注意整體代換.能夠熟練畫出簡圖,然后能夠借助正弦函數(shù)的圖象結(jié)合三角函數(shù)的基本性質(zhì),充分利用數(shù)形結(jié)合去解決問題.變式訓(xùn)練3   (1)設(shè)R,則“=0”是“f(x)=cos(x+)(xR)為偶函數(shù)”的(    )(A)充分而不必要條

19、件. (B)必要而不充分條件.(C)充分必要條件. (D)既不充分也不必要條件.(2)已知函數(shù)f(x)=Asin(x+)(A>0,>0,|<)的部分圖象如圖所示,則f()=    .【答案】(1)A    (2)-2例4已知函數(shù)f(x)=2sin(x+)(>0,<<)的部分圖象如圖所示. (1)求f(x)的表達(dá)式;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間,2上的最大值和最小值.【分析】先結(jié)合圖象確定和,再求最值.【歸納拓展】(1)解決三角函數(shù)圖象題要能夠熟練畫出簡圖,然后能夠借助三角函數(shù)的圖象

20、結(jié)合三角函數(shù)的基本性質(zhì),充分利用數(shù)形結(jié)合去解決問題.(2)要求正弦型函數(shù)f(x)=Asin(x+)的解析式,一般通過以下幾個步驟實(shí)現(xiàn):根據(jù)振幅求出A;根據(jù)圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或與x軸的交點(diǎn)求周期,再求出;根據(jù)特殊值求出初相,或者利用正弦函數(shù)對稱軸與對稱中心之間的關(guān)系直接求解.變式訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x)=cos2x+2sinxcosx-sin2x.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;(2)需要把函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過怎樣的變換才能得到函數(shù)g(x)=cos x的圖象?(3)在ABC中,A、B、C分別為三邊a、b、c所對的角,若a=,f(A)=1,求b+c的最大值.熱點(diǎn)三:向量的基本

21、運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)用坐標(biāo)對向量的加、減、數(shù)乘、數(shù)量積進(jìn)行運(yùn)算是基本考查內(nèi)容.向量的共線問題及垂直問題,求模長及夾角問題是考查重點(diǎn).解三角形問題也是考查的重點(diǎn)之一,此題型難度中等,一般是小題.綜合解三角形問題常為解答題.  例5  (1)設(shè)x,yR,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且ac,bc,則|a+b|等于(    )(A) .    (B) .    (C)2.    (D)

22、10. (2)(2011年·湖南)在邊長為1的正三角形ABC中,設(shè)=2, =3,則=    .(3)給出下列命題:已知向量a,b,c均為單位向量,若a+b+c=0,則a·b=ABC中,必有=0;四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件是;已知P為ABC的外心,若,則ABC為正三角形.其中正確的命題為    .【分析】(1)能夠利用向量平行與垂直進(jìn)行轉(zhuǎn)化,從而計(jì)算出模的大小.(2)把向量用正三角形ABC的三條邊所在的向量表示,再對數(shù)量積進(jìn)行運(yùn)算.(3)應(yīng)該掌握向量的基本知識、基本概念.【答案】(1)B

23、    (2)-     (3)【歸納拓展】(1)能夠掌握向量的基本概念、平面向量線性運(yùn)算,即加法、減法運(yùn)算以及數(shù)量積的運(yùn)算.(2)能夠利用向量垂直條件得到相應(yīng)的三角函數(shù)間關(guān)系,借助正余弦定理進(jìn)行解題.變式訓(xùn)練5    (1)已知ABC的角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,設(shè)向量m=(a,b),n=(b-2,a-2),且mn,c=2,C=,則ABC的周長的最小值是        .(2)在ABC

24、中,AB=2,AC=3, =1,則BC等于(    )(A). (B) .    (C)2.   (D) .(3)(2012年·廣東)對任意兩個非零的平面向量和,定義=.若平面向量a,b滿足|a|b|>0,a與b的夾角(0, ),且ab和ba都在集合|nZ中,則ab等于(    ) (A) .    (B)1.    (C) .  

25、  (D) .【答案】(1)6    (2)A    (3)C熱點(diǎn)四:三角函數(shù)圖象的應(yīng)用考查y=Asin(x+)的圖象和性質(zhì)(值域、單調(diào)性、周期性),輔助角公式asin+bcos=sin(+)及三角函數(shù)的恒等變形,難度中等.已知向量a=(cosx-sinx,sinx),b=(-cosx-sinx,2cosx),設(shè)函數(shù)f(x)=a·b+(xR)的圖象關(guān)于直線x=對稱,其中,為常數(shù),且(,1).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期; (2)若y=f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(,0),求函數(shù)f(x)在區(qū)

26、間0, 上的取值范圍.【分析】求周期問題同樣應(yīng)該把f(x)化為Asin(x+)的形式,然后再進(jìn)行解題.【歸納拓展】解答三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)類的試題,變換是其中的核心,把三角函數(shù)的解析式通過變換,化為正弦型、余弦型、正切型函數(shù),然后再根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究.變式訓(xùn)練6 如圖是函數(shù)f(x)=Asin(x+)(A>0,>0,0<<)的部分圖象,M,N是它與x軸的兩個交點(diǎn),D,C分別為它的最高點(diǎn)和最低點(diǎn),點(diǎn)F(0,1)是線段MD的中點(diǎn),SCDM=.(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)在CDM中,記DMN=,CMN=,證明:sin C=2coss

27、in.熱點(diǎn)五:三角變換與解三角形三角變換與解三角形這兩個知識塊往往是結(jié)合在一起出現(xiàn)在高考試題中的,一般是先進(jìn)行三角變換,后解三角形,題型往往是解答題,難度中等.當(dāng)然,也經(jīng)常出現(xiàn)獨(dú)立的考查三角變換和解三角形的試題. 例7 (1)在ABC中,B=60°,AC=,則AB+2BC的最大值為    (2)(2012年·四川)如圖,正方形ABCD的邊長為1,延長BA至E,使AE=1,連結(jié)EC、ED,則sin CED=(    )(A) .    (B) .(

28、C) .    (D) .【分析】(1)先通過解三角形把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系,再求其最值. (2)充分利用圖形以及正、余弦定理進(jìn)行解題.【答案】(1)2    (2)B【歸納拓展】(1)求n條邊的和的最值問題,一般是要用正弦定理,把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的和,再用輔助角公式求出最值;(2)在一個三角形中,已知三條邊可求任意角的正弦、余弦、正切值.變式訓(xùn)練7    (1)已知等腰三角形的頂角的余弦值為,則一個底角的余弦值為    .

29、(2)已知ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且a=2,A=,c=,則ABC的面積為(    )(A) .    (B) .(C) .    (D) .【答案】(1)     (2)A 例8 (1)在ABC中,角A、B、C的對邊分別是a、b、c,已知sinC+cosC=1-sin求sin C的值;若a2+b2=2(a+b)=8,求邊c的值. (2)(2012年·大綱全國)ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a

30、、b、c,已知cos(A-C)+cos B=1,a=2c,求C.【歸納拓展】(1)已知a,b邊的關(guān)系結(jié)合第問的結(jié)論很容易想到用余弦定理求c邊.(2)本試題主要考查了解三角形的運(yùn)用,通過邊角的轉(zhuǎn)換,結(jié)合了三角形的內(nèi)角和定理的知識,以及正弦定理和余弦定理,求解三角形中的角的問題.試題整體上比較穩(wěn)定,思路也比較容易想,先將三角函數(shù)關(guān)系式化簡后,得到A,C角關(guān)系,然后結(jié)合a=2c,得到兩角正弦值的二元一次方程組,自然很容易得到C角的值.變式訓(xùn)練8在ABC中,角A、B、C所對應(yīng)的邊為a、b、c.(1)若sin(A+)=2cos A, 求A的值;(2)若cos A=,b=3c,求sin C的值.熱點(diǎn)六:向

31、量的應(yīng)用向量的應(yīng)用問題主要集中在論證幾何命題(如平行與垂直)、求最值、求值等問題上.常用的解題知識有:向量共線的充要條件、向量垂直的充要條件、平面向量的基本定理以及向量數(shù)量積的運(yùn)算公式等.例9   (1)已知ABC為等邊三角形,AB=2,設(shè)點(diǎn)P,Q滿足=, =（1-) ,R,若·=-,則等于(    )(A) .     (B) .(C) .    (D) .(2)若|a|=,|b|=1,且(a-2b)(2a+b),則a與b的夾角余弦是

32、(    )(A) .    (B) .    (C)- .    (D)- .【答案】(1)A    (2)B【歸納拓展】(1)本試題以等邊三角形為載體,主要考查了向量加減法的幾何意義,平面向量基本定理,共線向量定理及其數(shù)量積的綜合運(yùn)用.(2)考查向量垂直的充要條件與向量的夾角公式的應(yīng)用.首先利用向量垂直的充要條件,求出a·b,再利用向量的夾角公式計(jì)算夾角的余弦值.變式訓(xùn)練9 

33、;   (1)在平行四邊形ABCD中,A=,邊AB、AD的長分別為2、1,若M、N分別是邊BC、CD上的點(diǎn),且滿足=,則·的取值范圍是    .(2)已知向量a,b,c滿足|a|=1,|a-b|=|b|,(a-c)·(b-c)=0.若對每一個確定的b,|c|的最大值和最小值分別為m,n,則對任意b,m-n的最小值是 (        )(A)   (B) .    (

34、C) .    (D)1.【答案】(1)2,5    (2)B 例10ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,且有sin 2C+cos(A+B)=0(1)a=4,c=,求ABC的面積;(2)若A=,cosB>cos C,求·-2·-3·的值.【分析】因?yàn)閏os(A+B)=-cos C,所以先統(tǒng)一角度,再求解.【歸納拓展】對于向量數(shù)量積的運(yùn)算,本題只要掌握基本概念就可以迎刃而解,做題時,要切實(shí)注意條件的運(yùn)用.變式訓(xùn)練10已知向量a=(cos,sin), b=(cos,sin)

35、,|a-b|=.(1)求cos(-)的值;(2)若0<<,-<<0,且sin=-,求sin.熱點(diǎn)七:應(yīng)用題三角知識的應(yīng)用,常在測量方面命題.題目難度有時還較大,多以大題出現(xiàn),解決此類問題應(yīng)該先認(rèn)真審題,將實(shí)際中的問題轉(zhuǎn)化成為數(shù)學(xué)模型而后解之.例11 2012年5月中下旬,強(qiáng)颶風(fēng)襲擊某地,給南部與中西部造成了巨大的損失.為了減少強(qiáng)颶風(fēng)帶來的災(zāi)難,救援隊(duì)隨時待命進(jìn)行救援.某天,信息中心在A處獲悉:在其正東方向相距80海里的B處有一艘客輪遇險(xiǎn),在原地等待救援.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距40海里的C處的救援船,救援船立即朝北偏東角的方向沿直線CB前往

36、B處救援.(1)若救援船的航行速度為60海里/小時,求救援船到達(dá)客輪遇險(xiǎn)位置的時間(2.646,結(jié)果保留兩位小數(shù));(2)求tan的值.【分析】把問題轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系,因此本題的關(guān)鍵是找出圖中的角和邊,利用余弦定理求出BC即可解決第(1)題;對于(2),利用正弦定理求出sinACB,再利用同角基本關(guān)系求出tanACB,再利用兩角和的正切公式即可得出結(jié)果.【歸納拓展】本題以全新的背景引入,以實(shí)際應(yīng)用問題考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用、三角公式的應(yīng)用及分析問題、解決問題的能力.把問題轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系,因此本題的關(guān)鍵是找出圖中的角和邊,利用余弦定理求出BC即可解決第(1)題;對于(2)

37、,利用正弦定理求出sinACB,再利用同角基本關(guān)系求出tanACB,再利用兩角和的正切公式即可得出結(jié)果.變式訓(xùn)練11如圖,實(shí)線部分的月牙形公園是由圓P上的一段優(yōu)弧和圓Q上的一段劣弧圍成,圓P和圓Q的半徑都是2,點(diǎn)P在圓Q上,現(xiàn)要在公園內(nèi)建一塊頂點(diǎn)都在圓P上的多邊形活動場地.(1)如圖甲,要建的活動場地為RST,求場地的最大面積;(2)如圖乙,要建的活動場地為等腰梯形ABCD,求場地的最大面積.限時訓(xùn)練卷(一)一、選擇題1.在ABC中,BD為ABC的平分線,AB=3,BC=2,AC=,則sinABD等于(    ) 【答案】A(A) . 

38、0;  (B) .    (C) .    (D) .2.f(x)=cos(x+)(>0)的圖象與y=1的圖象的兩相鄰交點(diǎn)間的距離為,要得到y(tǒng)=f(x) 的圖象,只須把y=sinx的圖象(    ) 【答案】A(A)向左平移個單位. (B) 向右平移個單位.(C) 向左平移個單位. (D) 向右平移個單位.3. 等于(    ) 【答案】D(A)±.    (B

39、) .    (C)- .    (D) .4.設(shè)函數(shù)f(x)=cos(2x-),xR,則f(x)是(    )B(A)最小正周期為的奇函數(shù).(B)最小正周期為的偶函數(shù).(C)最小正周期為的奇函數(shù).(D)最小正周期為的偶函數(shù).5.已知sin(+)= ,則cos(+2)的值為(    ) B(A)- .    (B) .    (C) .  

40、;  (D)- .6.設(shè)a,b是兩個非零向量.則(    ) 【答案】C (A)若|a+b|=|a|-|b|,則ab. (B)若ab,則|a+b|=|a|-|b|.(C)若|a+b|=|a|-|b|,則存在實(shí)數(shù),使得b=a.(D)若存在實(shí)數(shù),使得b=a,則|a+b|=|a|-|b|.7.如圖,設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸,一測量者在A的同側(cè),在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C,測出AC的距離為50 m, ACB=45°,CAB=105°后,就可以計(jì)算出A、B兩點(diǎn)的距離為( A  )A)50 m.

41、60;   (B)50 m.(C)25 m.    (D) m.8.設(shè)>0,函數(shù)y=sin(x+)(-<<)的圖象向左平移個單位后,得到右邊的圖象,則,的值為(B    )(A)=1,=.    (B)=2,=.C)=1,=-.    (D)=2,=-.9.已知平面內(nèi)的向量，,滿足:| |=2,P(x,y),且=1+2,(+)·(-)=0,011,122,則滿足條件的點(diǎn)P所表示的

42、圖形面積是( B   )(A)8.    (B)4.    (C)2.    (D)1.二、填空題10.函數(shù)f(x)=Asin(x+)+k(A>0,>0,|<)的圖象如圖所示,則f(x)的表達(dá)式是f(x)=    .11.設(shè)為銳角,若cos(+)=,則sin(2+)的值為    .12.若平面向量a,b滿足:|2a-b|3,則a·

43、b的最小值是    .三、解答題13.已知a=(sin x,1),b=(1,cos x),且函數(shù)f(x)=a·b,f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).(1)求函數(shù)F(x)=f(x) f'(x)+f(x)2的最大值和最小正周期;(2)若f(x)=2f'(x),求的值.限時訓(xùn)練卷(二)一、選擇題1.(2012·福建六校聯(lián)考)已知-<<,且sin+cos =a,其中a(0,1),則關(guān)于tan的值,在以下四個答案中,可能正確的是(C    )(A)-3. 

44、0;   (B)3 或.(C)- .    (D)-3或-.2.(2012·泰安期末)已知tan=2,則等于(D    )(A) .    (B)- .    (C) .    (D) .3.把函數(shù)y=sin x(xR)的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個單位長度,再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),得到的圖象所表示的函數(shù)為(B  &

45、#160; )(A)y=sin(2x-),xR.(B)y=sin(x+),xR.C)y=sin(2x+),xR.(D)y=sin(x-),xR.4.函數(shù)f(x)=2cos2x-sin 2x(xR)的最小正周期和最大值分別為 (C    )(A)2,3.    (B)2,1. (C),3.    (D),1.5.函數(shù)y=cos(x+)(>0,0<<)為奇函數(shù),該函數(shù)的部分圖象如圖所示,A、B分別為最高點(diǎn)與最低點(diǎn),并且兩點(diǎn)間的距離為2,則該函數(shù)的一條對

46、稱軸方程為( C   )(A)x=. (B)x=. (C)x=1. (D)x=2.6. 在ABC中,A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若AB=12,且ab=1,則cos 2B的值是(A    )(A)- .    (B) .    (C)- .    (D) .7.在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,S表示ABC的面積,若acos B+bcos A=csin C,S=(b2+c2-

47、a2),則B等于(C    )(A)90°.    (B)60°.    (C)45°.    (D)30°.8.在ABC中角A、B、C所對邊長分別為a、b、c,若a2+b2=2c2,則cos C的最小值為( C    )A) .    (B) .    (C) . &

48、#160;  (D)- .9.已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若=a1+a2013,且滿足條件=2,則an中前2013項(xiàng)的中間項(xiàng)是(A    )(A) .    (B)1.    (C)2012.    (D)2013. 二、填空題10.已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊為x軸的正半軸,若P(4,y)是角終邊上一點(diǎn),且sin=-,則y=    . 11.已知(, ),tan=2,則

49、cos=    12.已知cos=,coscos=,coscoscos=,.根據(jù)以上等式,可猜想出的一般結(jié)論是       .三、解答題13.已知向量a=(1+cosx,1),b=(1,a+sinx)(為常數(shù)且>0),函數(shù)f(x)=a·b在R上的最大值為2.(1)求實(shí)數(shù)a的值;(2)把函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移個單位,可得函數(shù)y=g(x)的圖象,若y=g(x)在0, 上為增函數(shù),求的最大值.限時訓(xùn)練卷(三)一、選擇題1.已知sin(+)cos-cos(+)sin=,

50、且在第二象限,則tan等于( B   )(A) 或-3.    (B)3.(C) .    (D)3或-.2. 在ABC中,若a cos A=b cos B,則這個三角形的形狀是( D   )(A)銳角三角形.(B)直角三角形.(C)等腰三角形.(D)等腰三角形或直角三角形.3.函數(shù)f(x)=sin(x-)(>0)的最小正周期為,則y=f(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為(C    )(A)-,.&

51、#160;   (B), .(C)-,.    (D)-,.4.函數(shù)y=(0<x<,x)的圖象的大致形狀是(B    )5.在邊長為1的等邊ABC中,若=a, =b, =c,則a·b+b·c+c·a等于(B    )(A) .    (B)- .    (C)3.    (D)0.6.使

52、y=sin x(>0)在區(qū)間0,1至少出現(xiàn)2次最大值,則的最小值為(A    )(A)     (B) .(C).    (D) .7.在平面直角坐標(biāo)系中,菱形OABC的兩個頂點(diǎn)為O(0,0),A(1,1),且·=1,則·等于(B    )(A)-1.    (B)1.    (C) .    

53、;(D) .8.已知直線x=是函數(shù)f(x)=asinx-bcosx圖象的一條對稱軸,則函數(shù)g(x)=bsinx-acosx圖象的一條對稱軸方程是(B    )(A) x=.    (B) x=. (C) x=.    (D) x=.9.設(shè)M-N=x|xM,且xN,若M=x|x=(sin+cos),N=x|x=sin-sin|,則M-N等于(B    )(A)x|0x2.    (B)x|0<

54、x2.(C)x|-2x<0.    (D)2.二、填空題10.已知ABC三個內(nèi)角A、B、C所對的邊a、b、c成等比數(shù)列,且a、2、c成等差數(shù)列, =2,則B=    .11.函數(shù)f(x)=sin x+2|sin x|, x0,2 的圖象與直線y=k有且僅有兩個不同的交點(diǎn),則k的取值范圍是    .12.有下列命題:存在(0, )使sin+cos=;存在區(qū)間(a,b)使y=cosx為減函數(shù)而sin x<0;y=tanx在其定義域內(nèi)為增函數(shù);y=cos 2x+sin(

55、-x)既有最大、最小值,又是偶函數(shù);y=|sin(2x+)|的最小正周期為.以上命題錯誤的為    .三、解答題13.已知函數(shù)f(x)=sin(x+)+sin(x-)+acos x+b(a,bR,且均為常數(shù)).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;(2)若f(x)在區(qū)間-,0上單調(diào)遞增,且恰好能夠取到f(x)的最小值2,試求a,b的值.決勝高考一、選擇題1.要得到函數(shù)y=cos x的圖象,只需把函數(shù)y=sin 2x的圖象(    )(A)沿x軸向左平移個單位,再把橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)不變.(B)沿x軸向右平移

56、個單位,再把橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)不變.(C)橫坐標(biāo)縮短為原來的,縱坐標(biāo)不變,再沿x軸向右平移個單位.(D)橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再沿x軸向左平移個單位.2.已知數(shù)列an成等差數(shù)列,且a1+a7+a13=4,則tan(a2+a12)等于 (        )(A).    (B).(C)- .    (D)-.3.(2011·河南省重點(diǎn)中學(xué)第二次聯(lián)考)在ABC中,sin2A+cos2B=1,則cos A+

57、cos B+cos C的最大值為(    )(A) .    (B) .(C)1.    (D) .4.ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若=,(b+c+a)(b+c-a)=3bc,則ABC的形狀為( )(A)直角三角形.    (B)等腰非等邊三角形.(C)等邊三角形.    (D)鈍角三角形.5.如果函數(shù)y=3cos(2x+)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)中心對稱,那么|的最小值為(    )(A) . (B) . (C) . (D) .6.已知函數(shù)f(x)=Asin(x+)(A<0,|<)的圖象關(guān)于直線x=對稱,則y=f(-x)是(    )(A)偶函數(shù)且在x=0時取得最大值.(B)偶函數(shù)且在x=0時取得最小值.(C)奇函數(shù)且在x=0時取得最大值.(D)奇函數(shù)且在x=0時取得最小值.7.我們把正切函數(shù)在整個定義域內(nèi)的圖象看作一組“平行曲線”,而“平行曲線”具有性質(zhì):任意兩條平行直線與兩條相鄰的