山東省自學考試強化復變函數(shù)與積分變換實踐習題及答案.

1、山東大學高等教育自學考試強化實踐能力培養(yǎng)考核復變函數(shù)與積分變換教學考試大綱一、課程性質及課程設置的目的和要求(一）課程的性質、地位與任務本課程是全國高等自學考試工科類各專業(yè)的一門重要的基礎理論課，它包含復變函數(shù)與積分變換兩部分內容。復變函數(shù)是研究復自變量復值函數(shù)的分析課程，在某些方面它是微積分學的推廣，獨立成為一門課程則是因為它有其自身的研究対象及獨特的處理方法。解析函數(shù)是復變函數(shù)研究的中心內容，留數(shù)的計算及其應用以及保角映射是復變函數(shù)特有的問題。積分變換有時也稱為運算微積，是通過積分運算把一個函數(shù)轉變?yōu)榱硪粋€更為簡單的且易于處理的函數(shù)。本課程介紹傅里葉變換和拉普拉斯變換，可以應用它們求解某些

2、積分方程，微分方程以及計算積分。通過本課程的學習，為以后學習工程力學、電工學、電磁學、振動力學及無線電技術等課程奠定必要的基礎。要學好本課程必須具備高等數(shù)學的基礎。(二)課程的基本要求通過對本課程的學習，要求考生系統(tǒng)地獲得復變函數(shù)和積分變換的基本知識(對積分變換未作要求的專業(yè)考生可不學積分變換部分),切實掌握有關內容的基本概念、基本理論和基本方法，并具有比較熟練的運算能力和初步解決實際問題的能力，同時注意培養(yǎng)抽象思維能力與一定的邏輯推理能力，從而為學習后繼課程奠定良好的基礎。（三）本課程與有關課程的聯(lián)系本課程與高等數(shù)學有密切的聯(lián)系，如導數(shù)、積分、級數(shù)和微分方程等,要學好本課程，必須把高等數(shù)學中

3、的有關知識掌握好，進行必要的復習。本課程是一門重要的基礎課，它與工程力學、電工技術、電子技術和自動控制等課程的聯(lián)系十分密切，因此在學習時。要切實掌握本課程的主要內容，這對以后的學習將會帶來很大的幫助。二、課程內容和考核要求第一篇復變函數(shù)第一章復數(shù)(一）學習目的與要求本章的學習目的與要求是:深刻理解復數(shù)的概念;熟悉復數(shù)的多種表示法，復數(shù)的四則運算及開方運算；理解復數(shù)運算的幾何意義；理解區(qū)域、單連域、多連域和簡單曲線等概念；掌握用復變數(shù)的方程來表示常用曲線以及用不等式表示區(qū)域。本章的知識點中，重點是:復數(shù)的運算以及用復變數(shù)方程表示曲線，用不等式表示區(qū)域。難點是：復數(shù)的運算，復數(shù)方程表示曲線，不等式

4、表示區(qū)域。(二）課程內容1.復數(shù)及其表示法1.1復數(shù)的概念1.2復數(shù)的表示法2.復數(shù)的運算及幾何意義2.1復數(shù)的加法和減法2.2復數(shù)的乘法和除法2.3復數(shù)的方根2.4共軛復數(shù)及其運算性質3.平面點集和區(qū)域3.1點集概念3.2區(qū)域3.3簡單曲線3.4單連通區(qū)域與多連通區(qū)域(三）考核知識點與考核要求1.復數(shù)的概念及其表示法，要求達到“領會”層次。(1)熟知并掌握復數(shù)的概念。(2)掌握復數(shù)的各種表示法。2.復數(shù)的運算及幾何意義，要求達到“簡單應用”層次。(1)熟悉與掌握復數(shù)的四則運算及開方運算。(2)掌握上述各種運算的幾何意義。(3)會進行一些簡單的運算。3.點集、區(qū)域和簡單曲線，要求達到“領會”層

5、次。(1)正確理解區(qū)域、簡單曲線等概念。(2)掌握用復變數(shù)的方程來表示常用曲線以及用不等式表示區(qū)域。（四）強化實踐能力培養(yǎng)考核考試大綱1熟悉復數(shù)的多種表示法，復數(shù)的四則運算及開方運算；理解復數(shù)運算的幾何意義。2理解區(qū)域、單連域、多連域和簡單曲線等概念；掌握用復變數(shù)的方程來表示常用曲線以及用不等式表示區(qū)域。（五）作業(yè)題1.已知，求，。2.已知，求及。3.設、是兩個復數(shù)。求證：。4.證明：函數(shù)在原點不連續(xù)。5.證明：z平面上的直線方程可以寫成（a是非零復常數(shù)，c是常數(shù)）第二章解析函數(shù)(一）學習目的與要求解析函數(shù)是復變函數(shù)的研究對象。本章總的要求是：深刻理解復變函數(shù)以及映射的概念，了解一個復變函數(shù)等

6、價于一對實二元函數(shù)；理解函數(shù)解析的概念與柯西-黎曼條件;掌握判別函數(shù)解析性的方法；了解解析函數(shù)與調和函數(shù)的關系，并且掌握由已知的調和函數(shù)求其共軛調和函數(shù)從而得到解析函數(shù)的方法;記住復自變量的初等函數(shù)的定義以及它們的一些重要性質。本章的知識點中，重點是：函數(shù)解析性的判別，掌握和運用柯西黎曼條件，能從已知調和函數(shù)求其共軛調和函數(shù)。難點是：函數(shù)解析性的判斷，已知調和函數(shù)求其共軛調和函數(shù)。(二）課程內容1.復變函數(shù)1.1復變函數(shù)的概念1.2復變函數(shù)的極限和連續(xù)性2.解析函數(shù)的概念2.1復變函數(shù)的導數(shù)2.2解析函數(shù)的概念3.柯西黎曼條件4.解析函數(shù)與調和函數(shù)的關系5.初等函數(shù)5.1指數(shù)函數(shù)5.2對數(shù)函數(shù)

7、5.3冪函數(shù)5.4三角函數(shù)5.5反三角函數(shù)(三）考核知識點與考核要求1.復變函數(shù)的概念，要求達到“領會”層次。(1)正確理解復變函數(shù)以及映射的概念。(2)理解一個復變函數(shù)與一對二元實函數(shù)的關系。2.復變函數(shù)的極限和連續(xù)性，要求達到“識記”層次。3.復變函數(shù)的導數(shù)，要求達到“領會”層次。(1)理解復變函數(shù)的導數(shù)的定義。(2)掌握可導與連續(xù)的關系及求導方法。4.解析函數(shù)的概念，要求達到“領會”層次。(1)正確理解解析函數(shù)的概念。(2)掌握解析函數(shù)的判別法。5.柯西黎曼條件，要求達到“簡單應用”層次。(1)正確理解和掌握柯西黎曼條件。(2)熟練運用柯西黎曼條件。6.解析函數(shù)與調和函數(shù)的關系，要求達到

8、“簡單應用”層次。(1)理解調和函數(shù)的定義。(2)了解調和函數(shù)與解析函數(shù)的關系。(3)掌握共軛調和函數(shù)的求法。7.初等函數(shù)，要求達到“識記”層次。(1)記住指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)與反三角函數(shù)的定義。(2)了解它們的主要性質。（四）強化實踐能力培養(yǎng)考核考試大綱1深刻理解復變函數(shù)以及映射的概念，了解一個復變函數(shù)等價于一對實二元函數(shù)。2. 理解函數(shù)解析的概念與柯西-黎曼條件，掌握判別函數(shù)解析性的方法。3. 掌握解析函數(shù)與調和函數(shù)的關系，并且掌握由已知的調和函數(shù)求其共軛調和函數(shù)從而得到解析函數(shù)的方法，記住復自變量的初等函數(shù)的定義以及它們的一些重要性質。（五）作業(yè)題1.試判斷函數(shù)的可微性和

9、解析性。2.解方程3.求4.設確定在從原點z=0起沿負實軸割破了的z平面上，并且（這是邊界上岸點對應的函數(shù)值），試求的值。5.設，問在何處可導？何處解析？并在可導處求出導數(shù)值。第三章復變函數(shù)的積分(一）學習目的與要求復變函數(shù)的積分在實用和理論兩個方面都是十分重要的。利用復變函數(shù)的積分可以求一些定積分的值，也可以證明解析函數(shù)的一些重要性質。本章總的要求是:正確理解復變函數(shù)積分的概念并掌握它的基本性質；掌握復變函數(shù)積分的一般計算方法；掌握柯西定理以及當函數(shù)fz在閉區(qū)域上具有連續(xù)導數(shù)時的證明，并且知道推廣到多連域的情形；熟練掌握用柯西積分公式及高階導數(shù)公式計算積分；了解莫累拉定理。本章知識點中，重點

10、是:柯西定理；柯西積分公式及高階導數(shù)公式的用法。難點是:復變函數(shù)積分的計算。(二）課程內容1.復變函數(shù)的積分1.1復變函數(shù)積分的概念1.2積分的存在性及其計算公式1.3積分的基本性質2.柯西定理2.1柯西定理2.2原函數(shù)與不定積分2.3柯西定理的推廣3.柯西積分公式4.解析函數(shù)的高階導數(shù)4.1解析函數(shù)的高階導數(shù)4.2柯西不等式4.3解析函數(shù)的等價概念(三）考核知識點與考核要求1.復變函數(shù)積分的概念，要求達到“領會”層次。(1)知道復變函數(shù)積分的定義。(2)了解復變函數(shù)積分可轉化為兩個實二元函數(shù)的線積分。2.積分的存在性及其計算公式，要求達到“領會”層次。(1)知道復積分的存在性。(2)掌握復積

11、分的計算公式。3.積分的基本性質，要求達到“領會”層次。4.柯西定理，要求達到“簡單應用”層次。5.原函數(shù)與不定積分，要求達到“領會”層次。(1)掌握用原函數(shù)求解析函數(shù)的積分值。(2)了解變上限函數(shù)的有關概念。6.柯西定理的推廣，要求達到“簡單應用”層次。(1)正確理解復合閉路定理。(2)會應用路線變形原理計算某些積分。7.柯西積分公式，要求達到“簡單應用”層次。(1)正確理解柯西積分公式。(2)熟練應用柯西積分公式計算某些積分。8.解析函數(shù)的高階導數(shù)公式，要求達到“簡單應用”層次。(1)正確理解高階導數(shù)公式。(2)應用高階導數(shù)公式計算某些積分。9.解析函數(shù)的等價概念，要求達到“識記”層次。（

12、1)知道柯西定理的逆定理莫累拉定理。（2）知道解析函數(shù)的一個等價概念（四）強化實踐能力培養(yǎng)考核考試大綱1.正確理解復變函數(shù)積分的概念并掌握它的基本性質，掌握復變函數(shù)積分的一般計算方法。2.掌握柯西定理，并且知道推廣到多連域的情形，熟練掌握用柯西積分公式及高階導數(shù)公式計算積分。（五）作業(yè)題1.計算其中C為單位圓周|z|=12.求積分3.已知：，求解析函數(shù)4.計算積分,其中積分路徑為(1)中心位于點,半徑為的正向圓周(2) 中心位于點,半徑為的正向圓周第四章級數(shù)(一）學習目的與要求本章在復數(shù)范圍內討論級數(shù)，其中羅朗級數(shù)是研究解析函數(shù)在它的孤立奇點的鄰域內的性質及計算留數(shù)的重要工具。本章總的要求是：

13、了解復數(shù)項級數(shù)的斂散性及有關概念，主要性質及重要定理；理解冪級數(shù)收斂的阿貝爾定理以及冪級數(shù)的收斂圓、收斂半徑等概念，掌握冪級數(shù)的收斂半徑的求法以及冪級數(shù)在收斂圓內的性質；知道把函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的證明；記住幾個主要的初等函數(shù)的泰勒展開式，能熟練地把一些比較簡單的初等函數(shù)展開成泰勒級數(shù)或求得展開式的起首幾項并確定其收斂半徑；理解羅朗級數(shù)的作用,并能把比較簡單的函數(shù)在不同環(huán)域內展開成羅朗級數(shù);理解孤立奇點的概念，孤立奇點的分類以及判別其類型的方法。本章知識點中，重點是：函數(shù)展開成泰勒級數(shù)；在不同環(huán)域內展開成羅朗級數(shù);孤立奇點類型的判別。難點是：函數(shù)展開成羅朗級數(shù); 孤立奇點類型的判別。(二）課程內

14、容1復數(shù)項級數(shù)與復函數(shù)項級數(shù)1.1數(shù)列的極限1.2復數(shù)項級數(shù)1.3復函數(shù)項級數(shù)2.冪級數(shù)2.1冪級數(shù)的概念2.2收斂圓與收斂半徑3.泰勒級數(shù)3.1解析函數(shù)的泰勒展開式3.2初等函數(shù)的泰勒展開式4.羅朗級數(shù)5.孤立奇點5.1可去奇點5.2極點5.3本性奇點(三）考核知識點與考核要求1.數(shù)列的極限，要求達到“識記”層次。(1)知道復數(shù)列的極限概念。(2)知道復數(shù)列收斂的充分必要條件。2.復數(shù)項級數(shù)，要求達到“識記”層次。(1)了解復數(shù)項級數(shù)的基本概念。(2)了解有關復數(shù)項級數(shù)斂散性的幾個定理。3.復函數(shù)項級數(shù)，要求達到“識記”層次。(1)了解復函數(shù)項級數(shù)的有關概念。(2)了解復函數(shù)項級數(shù)的絕對收斂

15、的概念。4.冪級數(shù)的概念，要求達到“領會”層次。(1)了解冪級數(shù)的概念。(2)深刻理解阿貝爾定理。5.收斂圓與收斂半徑，要求達到“簡單應用”層次。(1)理解收斂圓與收斂半徑的概念。(2)會用比值法和根值法求冪級數(shù)的收斂半徑。(3)了解冪級數(shù)在其收斂圓內的兩個性質。6.解析函數(shù)的泰勒展開式，要求達到“領會”層次。(1)知道解析函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的證明。(2)知道利用奇點求收斂半徑的方法。(3)理解4個等價的解析函數(shù)的定義。7.初等函數(shù)的泰勒展開式，要求達到“簡單應用”層次。(1)掌握常用初等函數(shù)的泰勒展開式。(2)會應用已知函數(shù)的泰勒展開式求另一些函數(shù)的泰勒展開式，并能確定其收斂半徑。8.羅朗級

16、數(shù)，要求達到“簡單應用”層次。(1)理解羅朗級數(shù)的作用。(2)能熟練地把比較簡單的函數(shù)在不同環(huán)域內展開成羅朗級數(shù)。9.孤立奇點，要求達到“領會”層次。(1)理解可去奇點、極點及本性奇點的概念。(2)理解孤立奇點的分類及判別其類型的方法。（四）強化實踐能力培養(yǎng)考核考試大綱1.掌握復數(shù)項級數(shù)的斂散性及有關概念，主要性質及重要定理。2.理解冪級數(shù)收斂的阿貝爾定理以及冪級數(shù)的收斂圓、收斂半徑等概念，掌握冪級數(shù)的收斂半徑的求法以及冪級數(shù)在收斂圓內的性質。3記住幾個主要的初等函數(shù)的泰勒展開式，能熟練地把一些比較簡單的初等函數(shù)展開成泰勒級數(shù)或求得展開式的起首幾項并確定其收斂半徑。4.理解羅朗級數(shù)的作用,并能

17、把比較簡單的函數(shù)在不同環(huán)域內展開成羅朗級數(shù)；理解孤立奇點的概念，孤立奇點的分類以及判別其類型的方法。（五）作業(yè)題1將函數(shù)在點展開為洛朗(Laurent)級數(shù)2討論級數(shù)的斂散性3求下列級數(shù)的和函數(shù).(1) (2)4用直接法將函數(shù)在點處展開為泰勒級數(shù),(到項),并指出其收斂半徑.第五章留數(shù)(一）學習目的與要求留數(shù)是復變函數(shù)的一個重要概念，它與解析函數(shù)在孤立奇點處的羅朗展開式有密切的關系。留數(shù)概念及留數(shù)定理在一些理論問題和實際問題中有著十分廣泛和重要的應用。本章總的要求是:深刻理解函數(shù)在孤立奇點留數(shù)的概念；掌握并能熟練應用留數(shù)定理;掌握好留數(shù)的計算，尤其要熟悉較低階極點處留數(shù)的計算；能用留數(shù)來計算3

18、種標準類型的定積分，知道一兩個典型的特殊圍通積分的計算。本章知識點中，重點是：留數(shù)的計算及應用留數(shù)計算某些定積分。難點是：留數(shù)的計算。(二）課程內容1.留數(shù)1.1留數(shù)的概念及留數(shù)定理1.2留數(shù)的計算2.留數(shù)在定積分計算上的應用2.1計算02R(cosx,sinx)dx型積分2.2計算-+P(x)Q(x)dx型積分2.3計算-+f(x)eixdx型積分(三）考核知識點與考核要求1.留數(shù)的概念及留數(shù)定理，要求達到“領會”層次。(1)深刻理解留數(shù)的概念。(2)掌握并能應用留數(shù)定理。2.留數(shù)的計算，要求達到“領會”層次。(1)熟練掌握較低階極點處的留數(shù)的計算。(2)熟練掌握本性奇點處的留數(shù)的計算。3.

19、留數(shù)在定積分計算上的應用，要求達到“簡單應用”層次。(1)熟練應用留數(shù)計算02R(cosx,sinx)dx 型積分(2)熟練應用留數(shù)計算-+P(x)Q(x)dx 型積分(3)熟練應用留數(shù)計算-+f(x)eixdx 型積分（四）強化實踐能力培養(yǎng)考核考試大綱1.深刻理解函數(shù)在孤立奇點留數(shù)的概念。2.掌握并能熟練應用留數(shù)定理;掌握好留數(shù)的計算，尤其要熟悉較低階極點處留數(shù)的計算。3.能用留數(shù)來計算3種標準類型的定積分，知道一兩個典型的特殊圍通積分的計算。（五）作業(yè)題1. 計算積分2求出在所有孤立奇點處的留數(shù)3 4 c:|z|=2取正向第六章保角映射(一）學習目的與要求解析函數(shù)所實現(xiàn)的映射能把區(qū)域映射成

20、區(qū)域，且在其導數(shù)不為零的點的鄰域上，具有伸縮率及旋轉角不變的特性，因此稱為保角映射。保角映射在數(shù)學上及物理學的各個領域里有著非常廣泛的應用。本章總的要求是：理解導數(shù)的輻角和模的幾何意義以及保角映射的概念；知道有關保角映射的幾個重要定理，如黎曼定理，邊界對應原理等;掌握分式線性映射的重要性質：保角性、保圓性、保對稱性和保交比性；掌握好確定半平面到半平面、半平面到單位圓、單位圓到單位圓的分式線性映射；對于適當?shù)膮^(qū)域能求得由分式線性函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)或其復合函數(shù)構成的映射。本章知識點中，重點是：保角映射的概念和分式線性映射。難點是：以分式線性函數(shù)為主的復合函數(shù)的映射。（二）課程內容1.

21、保角映射的概念1.1導數(shù)的幾何意義1.2保角映射的概念1.3關于保角映射的幾個一般性定理2分式線性映射2.1分式線性映射2.2分式線性映射的性質2.3三類典型的分式線性映射3幾個初等函數(shù)所構成的映射3.1冪函數(shù)與根式函數(shù)3.2指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)(三）考核知識點與考核要求1.導數(shù)的幾何意義,要求達到“領會”層次。(1)理解導數(shù)的輻角的幾何意義。(2)理解導數(shù)的模的幾何意義。2.保角映射的概念，要求達到“領會”層次。3.關于保角映射的幾個一般性定理，要求達到“識記”層次。(1)知道黎曼定理。(2)知道邊界對應原理。4.分式線性映射及其性質，要求達到“領會”層次。(1)深刻理解分式線性映射的概念。(

22、2)掌握分式線性映射的重要性質：保角性，保圓性，保對稱性和保交比性。5.三類典型的分式線性映射，要求達到“綜合應用”層次。(1)掌握半平面到半平面的分式線性映射。(2)掌握半平面到單位圓的分式線性映射。(3)掌握單位圓到單位圓的分式線性映射。6.冪函數(shù)與根式函數(shù)所構成的映射，要求達到“綜合應用”層次。(1)掌握冪函數(shù)與根式函數(shù)所構成的映射的特點。(2)會應用冪函數(shù)或根式函數(shù)確定適當?shù)膮^(qū)域間的映射。7.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)所構成的映射，要求達到“綜合應用”層次。(1)掌握指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)所構成的映射的特點。(2)會應用指數(shù)函數(shù)或對數(shù)函數(shù)確定適當?shù)膮^(qū)域間的映射。（四）強化實踐能力培養(yǎng)考核考試大綱1

23、.理解導數(shù)的輻角和模的幾何意義以及保角映射的概念。2.知道有關保角映射的幾個重要定理，如黎曼定理，邊界對應原理等。3.掌握分式線性映射的重要性質:保角性、保圓性、保對稱性和保交比性。4.掌握好確定半平面到半平面、半平面到單位圓、單位圓到單位圓的分式線性映射。（五）作業(yè)題1求一映射，將半帶形域映射為單位圓域.2求上半單位圓域在映射下的象.3求把區(qū)域映射到單位圓內部的共形映射第二篇積分變換第一章傅里葉變換(一）學習目的與要求傅里葉變換在電學、力學和控制論等工程與科學領域中有著廣泛的應用。本章總的要求是：掌握傅里葉積分公式、余弦傅里葉積分公式和正弦傅里葉積分公式以及用它們來計算某些積分；理解傅里葉變

24、換、余弦傅里葉變換、正弦傅里葉變換和它們的逆變換的概念，掌握某些函數(shù)的傅里葉變換及逆變換的求法；了解函數(shù)(單位脈沖函數(shù)）的概念和性質;記住函數(shù)、u(t)（單位階躍函數(shù)）、指數(shù)衰減函數(shù)、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的傅里葉變換；掌握傅里葉變換的下列性質：線性性、對稱性、相似性、平移性、微分性、積分性以及卷積定理；掌握用傅里葉變換解某些積分方程和計算某些積分。本章知識點中，重點是：計算函數(shù)的傅里葉變換；傅里葉變換的微分和積分性質以及用傅里葉變換解某些積分方程。難點是:用傅里葉變換的性質計算某些函數(shù)的傅里葉變換。(二）課程內容1.傅里葉積分公式1.1傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式1.2傅里葉積分公式2.傅里葉變換2.1

25、傅里葉變換的概念2.2單位脈沖函數(shù)及其傅里葉變換3.傅里葉變換的基本性質3.1線性性3.2對稱性3.3相似性3.4位移性3.5微分性3.6枳分性3.7卷積與卷積定理(三）考核知識與考核要求1.傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式，要求達到“識記”層次。(1)知道周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)。(2)知道傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式。2.傅里葉積分公式，要求達到“識記”層次。(1)了解傅里葉積分公式。(2)了解余弦傅里葉積分公式。(3)了解正弦傅里葉積分公式。3.傅里葉變換的概念及其逆變換，要求達到“領會”層次。(1)理解傅里葉變換的概念。(2)理解傅里葉逆變換的概念。(3)掌握某些函數(shù)的傅里葉變換及逆變換的求法4.余弦傅里葉變

26、換、正弦傅里葉變換及其逆變換，要求達到“領會”層次。(1)理解余弦傅里葉變換的概念。(2)理解正弦傅里葉變換的概念。(3)理解它們的逆變換的概念。5.單位脈沖函數(shù)與單位階躍函數(shù)及其傅里葉變換，要求達到“領會”層次。(1)理解單位脈沖函數(shù)的概念和性質。(2)理解單位階躍函數(shù)的概念和性質。(3)記住單位脈沖函數(shù)和單位階躍函數(shù)的傅里葉變換。6.傅里葉變換的基本性質，要求達到“簡單應用”層次。(1)掌握傅里葉變換的下列性質:線性性、對稱性、相似性、位移性、微分性、積分性以及卷積定理。(2)掌握用傅里葉變換理解某些積分方程和計算某些積分的方法。（四）強化實踐能力培養(yǎng)考核考試大綱1.掌握傅里葉積分公式、余

27、弦傅里葉積分公式和正弦傅里葉積分公式以及用它們來計算某些積分。2.理解傅里葉變換、余弦傅里葉變換、正弦傅里葉變換和它們的逆變換的概念，掌握某些函數(shù)的傅里葉變換及逆變換的求法。3.掌握傅里葉變換的下列性質：線性性、對稱性、相似性、平移性、微分性、積分性以及卷積定理；掌握用傅里葉變換解某些積分方程和計算某些積分。（五）作業(yè)題1證明：如果f(t)滿足傅里葉變換的條件，當f(t)為奇函數(shù)時，則有其中當f(t)為偶函數(shù)時，則有 其中2 求下列函數(shù)的傅里葉變換(2)3.已知函數(shù)的傅里葉變換求4.設函數(shù)f(t)的傅里葉變換，a為一常數(shù). 證明第二章拉普拉斯變換(一）學習目的與要求拉普拉斯變換在電學、力學和無

28、線電技術等很多工程與科學領域中有著廣泛的應用。由于它對像原函數(shù)要求的條件比傅里葉變換要弱，因此對某些問題，它比傅里葉變換的適用面要廣。本章總的要求是：深刻理解拉普拉斯變換和拉普拉斯逆變換的概念，知道指數(shù)級函數(shù)的概念及拉普拉斯變換的存在定理；記住單位脈沖函數(shù)、單位階躍函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和冪函數(shù)tmm>1等一些常用函數(shù)的拉普拉斯變換；掌握拉普拉斯變換的下列性質；線性性、相似性、位移性、微分性和積分性，并熟悉用這些性質求函數(shù)的拉普拉斯變換；掌握卷積的概念和卷積定理；知道復反演公式，掌握用留數(shù)求像原函數(shù)的方法；掌握當像函數(shù)為有理分式函數(shù)時求像原函數(shù)的海維賽德展開式；熟練掌握用拉普

29、拉斯變換解常系數(shù)線性微分方程和微分方程組以及某些微分積分方程。本章知識點中，重點是：拉普拉斯變換的性質；海維賽德展開式；用拉普拉斯變換解微分方程或微分方程組。難點是：用拉普拉斯變換的性質計算某些函數(shù)的拉普拉斯變換。(二）課程內容1.拉普拉斯變換的概念1.1從傅里葉變換到拉普拉斯變換1.2拉普拉斯變換的概念1.3些常用函數(shù)的拉普拉斯變換1.4拉普拉斯變換的存在定理2.拉普拉斯變換的基本性質2.1線性性2.2相似性2.3位移性2.4微分性2.5積分性2.6初值定理和終值定理3.拉普拉斯逆變換3.1復反演積分公式3.2像原函數(shù)的求法4.卷積與卷積定理4.1卷積的概念4.2卷積定理5.拉普拉斯變換的應

30、用5.1解常系數(shù)線性微分方程5.2解常系數(shù)線性微分方程組5.3解某些微分積分方程(三）考核知識點與考核要求拉普拉斯變換的概念，要求達到“領會”層次。(1)理解拉普拉斯變換的概念。(2)注意拉普拉斯變換和傅里葉變換的區(qū)別。2.一些常用函數(shù)的拉普拉斯變換，要求達到“領會”層次。(1)掌握單位脈沖函數(shù)和單位階躍函數(shù)的拉普拉斯變換。(2)掌握指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和冪函數(shù)tmm>1的拉普拉斯變換。3.拉普拉斯變換的存在定理，要求達到“識記”層次。4.拉普拉斯變換的基本性質，要求達到“簡單應用”層次。(1)掌握拉普拉斯變換的下列性質:線性性、相似性、位移性、微分性、積分性和初值定理與終值定理

31、。(2)熟悉用這些性質求函數(shù)的拉普拉斯變換。5.復反演積分公式，要求達到“識記”層次。6.像原函數(shù)的求法，要求達到“簡單應用”層次。(1)掌握利用留數(shù)求像原函數(shù)的方法。(2)理解并掌握海維賽德公式。7.卷積的概念，要求達到“領會”層次。8.卷積定理，要求達到“領會”層次9.拉普拉斯變換的應用，要求達到“綜合應用”層(1)能熟練求解常系數(shù)線性微分方程。(2)會求解常系數(shù)線性微分方程組。(3)能熟練求解某些微分積分方程。（四）強化實踐能力培養(yǎng)考核考試大綱1.深刻理解拉普拉斯變換和拉普拉斯逆變換的概念。2.記住單位脈沖函數(shù)、單位階躍函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和冪函數(shù)等一些常用函數(shù)的拉普拉斯變

32、換。3.掌握拉普拉斯變換的下列性質；線性性、相似性、位移性、微分性和積分性，并熟悉用這些性質求函數(shù)的拉普拉斯變換。4.掌握卷積的概念和卷積定理；知道復反演公式，掌握用留數(shù)求像原函數(shù)的方法。（五）作業(yè)題1用Laplace變換求解常微分方程：2.求下列函數(shù)的拉普拉斯變換 （1）(2)3. 計算下列函數(shù)的卷積 （1） （2）三、有關說明與實施要求（一）強化實踐能力培養(yǎng)考核考試大綱的目的與作用強化實踐能力培養(yǎng)考核考試大綱是在本課程自學考試大綱基礎上根據(jù)專業(yè)考試計劃的要求，并結合自學考試的特點制訂的，其目的是對個人自學、社會助學和課程考試命題進行指導和約定.實踐教學是高等教育的重要組成部分，是學生實踐能

33、力和創(chuàng)新能力培養(yǎng)的必要環(huán)節(jié)。因此我們必須高度重視實踐教學，強化考生職業(yè)素質和實踐能力培養(yǎng)，滿足社會對高素質技能型、應用型人才的需求。大綱明確了課程自學內容及其深廣度，規(guī)定了實踐能力考核和理論考試的范圍和標準，是社會助學組織進行自學輔導的依據(jù)，是自學者學習教材、掌握課程內容中知識范圍和程度的依據(jù)，也是進行自學考試命題的依據(jù).（二）強化實踐能力培養(yǎng)考核考試大綱的有關說明1.實踐教學是高等教育的重要組成部分，它具有直觀性、實踐性和探索性的特點，具有傳授知識、訓練技能、培養(yǎng)創(chuàng)造能力、科學素養(yǎng)的作用。由主考院校以“非考試”方式對學生的實踐能力進行考核評分，占課程整體分數(shù)的30%，課程的理論部分參加自學考

34、試國考，成績占70%。2.自學考試（國考）部分的試卷結構和考試說明.本大綱各章所提到的考核要求中各條知識細目都是考試的內容。試題覆蓋到章，適當突出重點章節(jié)，加大重點內容的覆蓋密度。.試卷中對不同能力層次要求的試題所占的比例大致是：“識記”為15%；“領會”為30%，“簡單應用”為35%，“綜合應用”為 20%。.試題難易程度要合理。一般可分為4檔：易、較易、較難、難：這4檔在每份試卷中所占的比例依次約為2:3:3: 2,但必須注意試題的難易程度與能力層次不是一個概念，切勿混淆。.試題主要題型有單項選擇題、填空題、計算題、證明題、應用題和簡答題等6種.考試方式為閉卷、筆試?？荚嚂r間為150分鐘。

35、試題份量應以中等水平的考生在規(guī)定時間內答完全部試題為度。評分采用百分制，60分為及格?？荚嚂r只允許帶鋼筆、鉛筆、圓規(guī)和三角板。不允許帶數(shù)學手冊、積分表和計算器等。答卷不準用鉛筆。（三）關于教材及課程學分與學時復變函數(shù)與積分變換，全國考辦組編賀才興編著，遼寧大學出版社，1998年版。本課程共3學分，建議自學時間安排如下：課程內容自學時間（小時）第一篇第一章 復數(shù)12第二章 解析函數(shù)21第三章 復變函數(shù)的積分21第四章 級數(shù)21第五章 留數(shù)16第六章 保角映射21第二篇第一章 傅里葉變換24第二章 拉普拉斯變換24（四）強化實踐能力培養(yǎng)考核考試大綱的學習要求自學要求中確定了課程的基本內容以及對基本

36、內容要求掌握的程度.屬于自學要求中的知識點構成了課程內容的主體部分.自學要求中的內容是自學考試考核的主要內容.自學要求中對內容掌握程度的要求是依照專業(yè)考試計劃和專業(yè)培養(yǎng)目標確定的.因此，在自學考試中將按自學要求中提出的掌握程度對基本內容進行考核.在自學要求中，對其各部分內容掌握程度的要求由低到高分為四個層次，其表達術語依次是：了解、知道；理解、清楚；會用、掌握；熟練掌握。為有效地指導個人自學和社會助學，在各章的自學要求中還明確指出了基本內容中的重點和難點。（五）關于考核知識點及考核要求 課程中各章的內容均由若干知識點組成。在自學考試命題中知識點就是考核點。因此， 大綱所規(guī)定的考試內容是以分解知

37、識點的形式給出的。因各知識點在課程中的地位、作用及知識自身的特點不同，自學考試中將對各知識點 分別按四個認知層次確定其考核要求.這四個認知層次是：識記、領會、簡單應用、綜合 應用.其含義分別是：“識記”要求考生能夠對大綱中的知識點，如定義、定理、公式、性質、法則等 有清晰準確的認識，并能做出正確的判斷和選擇?！邦I會”要求考生能夠對大綱中的概念、定理、公式、法則等有一定的理解，清 楚它與有關知識點的聯(lián)系和區(qū)別，并能作出正確的表述和解釋?！昂唵螒谩币罂忌軌蜻\用大綱中各部分的少數(shù)幾個知識點，解決簡單的計算、證明或應用問題?！熬C合應用”要求考生在對大綱中的概念、定理、公式、法則熟悉和理解的基礎上

38、，會運用多個知識點，分析、計算或推導解決稍復雜的一些問題。需要特別說明的是，試題的難易與認知層次的高低雖有一定的聯(lián)系，但兩者并不完全一致，在每個認知層次都可以有不同的難度。（六）對各試點院校的教學要求要熟知考試大綱對本課程總的要求和各章的知識點，準確理解對各知識點要求達到的 認知層次和考核要求，并在輔導過程中幫助考生掌握這些要求，不要隨便增刪內容和提高 或降低要求.要注重基礎，突出重點，啟發(fā)引導。試點院校要根據(jù)強化實踐能力培養(yǎng)考核方案要求，嚴格管理，認真教學，注重考生實踐能力培養(yǎng)。助學單位在安排本課程輔導時，授課時間建議不少于54學時。（七）課程實踐部分的考核要求復變函數(shù)與積分變換是自學考試工

39、科類(本科)的一門重要的基礎理論課, 適用于電子電工與信息類等專業(yè)。通過本課程的學習，進一步加深學生對復數(shù)和復變函數(shù)及有關理論的理解，能應用復變函數(shù)的積分理論、留數(shù)理論解決一些實際問題，初步建立起平面區(qū)域之間的共形映射的概念；使學生掌握工程技術中常用的數(shù)學方法，并以此為工具學會分析和處理工程實際中的一些問題，同時還可以鞏固和復習高等數(shù)學的基礎知識，提高數(shù)學素養(yǎng)，為學習有關的后續(xù)課程和進一步擴大數(shù)學知識面奠定必要的數(shù)學基礎。在培養(yǎng)學生的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力和科學計算能力等方面起著特別重要的作用。實踐能力考核以作業(yè)題為主，每章由學生自主選擇一道作業(yè)題作為考核題目。四、強化實踐能

40、力培養(yǎng)的等級評價標準總分為30分，按3個檔次給分，依據(jù)學生對作業(yè)的完成情況與讀書報告寫作情況先確定其所屬檔次，再根據(jù)題目具體完成情況給分。題目完成情況按照應用知識點是否正確，結果是否正確給分。結果不對，但依然應用了正確知識點，認為基本正確。第一檔（優(yōu)）：（20-30分）（1）每章至少完成了一道大綱作業(yè)題，題目完成基本正確，給予滿分30分。（2）如果能完成8道以上大綱作業(yè)題（允許存在部分基本準確題目）外加一篇對課程有基本準確認識的讀書報告，也給予滿分30分。（3）每章至少完成了一道大綱作業(yè)題，部分題目結果不準確，但應用了正確的課程知識點，識大綱作業(yè)完成情況給予23-28分。第二檔（良）：（10-

41、20分）（1）所完成大綱作業(yè)題涉及不超過50%章節(jié)且沒有讀書報告。（2）未完成任何大綱作業(yè)題目僅提交讀書報告最多給20分。（3）完成5道以下大綱作業(yè)題加讀書報告給15-20分。第三檔（差）（0-10分）（1）僅完成5道以下大綱作業(yè)題。（2）沒有自己的課程讀書報告。五、綜合試題復變函數(shù)與積分變換 綜合試題（一）一、單項選擇題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。1設z=cosi，則（）AImz=0 BRez= C|z|=0 Dargz=2復數(shù)的三角表示式為（）A BC D3設C為正向圓周

42、|z|=1，則積分等于（）A0B2i C2 D24設函數(shù)f(z)=，則f（z）等于（）A B C D5z=-1是函數(shù)的（）A 3階極點B4階極點C5階極點D6階極點6下列映射中，把角形域保角映射成單位圓內部|w|<1的為（）A B CD7. 線性變換= ( ）A.將上半平面>0映射為上半平面Im>0B.將上半平面>0映射為單位圓|<1C.將單位圓|z|<1映射為上半平面Im>0D.將單位圓|z|<1映射為單位圓|<18. 若f(z)=u(x，y)+iv(x，y)在Z平面上解析，則u(x，y)=（ ）A.)B.C.D.9.f(z)=在0<

43、;|z-2|<1內的羅朗展開式是（）A.B.C.D.10.=（ ）A.sin9B.cos9C.cos9D.sin9二、填空題(本大題共6小題，每小題2分，共12分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。11方程Inz=的解為_。12冪極數(shù)的收斂半徑為_。13設，則Imz_。14設C為正向圓周|z|=1，則=_。15設C為正向圓周| |=2，其中|z|<2，則=_。16函數(shù)f(z)=在點z=0處的留數(shù)為_。三、計算題(本大題共8小題，共52分)17. 計算積分的值，其中C為正向圓周|z-1|=3。18. 函數(shù) (n為正整數(shù))在何處求導？并求其導數(shù)19.求的共軛調和函數(shù)v(

44、x,y)，并使v(0,0)1.20.計算積分的值，其中C為正向圓周|z|=2.21.試求函數(shù)f(z)=在點z=0處的泰勒級數(shù)，并指出其收斂區(qū)域.22.求出在所有孤立奇點處的留數(shù).23.求級數(shù)的和函數(shù).24.用級數(shù)展開法指出函數(shù)在處零點的級.四、綜合題(下列3個小題中，第25題必做，第26、27題中只選做一題。每小題8分，共16分)25利用留數(shù)求積分的值26設Z平面上的區(qū)域為，試求下列保角映射（1）把D映射成W1平面上的角形域；(2) 把D1映射成W2平面上的第一象限;（3）w=f3(w2)把D2映射成W平面的上半平面：Imw>0;（4）w=f(z)把D映射成G。27利用拉氏變換解常微分方

45、程初值問題：復變函數(shù)與積分變換 綜合試題（二）一、單項選擇題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。1 復數(shù)的輻角為（）A B C D2設,則等于（）A BC D3 函數(shù)把Z平面上的扇形區(qū)域：映射成W平面上的區(qū)域（）ABCD4若函數(shù)f(z)在正向簡單閉曲線C所包圍的區(qū)域D內解析，在C上連續(xù)，且z=a為D內任一點，n為正整數(shù)，則積分等于（）A B C D5冪級數(shù)的收斂區(qū)域為（）ABCD6是函數(shù)f(z)=的（）A 一階極點B可去奇點C一階零點D本性奇點7，則(A)(B)(C)2(D) 以上都

46、不對8，則(A).(B).(C).(D) 以上都不對9C為的正向，(A).1 (B)2 (C)0 (D) 以上都不對10. 沿正向圓周的積分 =(A).0. (B).2 (C).2+i. (D). 以上都不對.二、填空題(本大題共6小題，每小題2分，共12分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。11.C為正向，則=12.為解析函數(shù)，則l, m, n分別為 .13.14. 設C為正向圓周| |=2，其中|z|<2，則f'(1)=_15. 級數(shù).收斂半徑為16. -函數(shù)的篩選性質是三、計算題(本大題共8小題，共52分)17. 計算復數(shù)z=的值.18，設C為正向圓周。19

47、，C為正向圓周。20. 利用牛頓-萊布尼茲公式計算積分21. 計算積分,其中為22.用直接法將函數(shù)在點處展開為泰勒級數(shù),(到項),并指出其收斂半徑.23. 設z沿通過原點的放射線趨于點，試討論f(z)=z+ez的極限24. 將函數(shù)在有限孤立奇點處展開為Laurent級數(shù).四、綜合題(下列3個小題中，第25題必做，第26、27題中只選做一題。每小題8分，共16分)25證明題：設在內解析，在上連續(xù)，試證：當時，26求一保形映射，把區(qū)域映成單位圓內部。27用Laplace變換求解常微分方程：復變函數(shù)與積分變換 綜合試題（三）一、單項選擇題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)在每小題列出的四個備

48、選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。1方程所表示的平面曲線為（）A 圓 B直線 C橢圓 D雙曲線2復數(shù)對應的點在（）A第一象限B第二象限 C第三象限 D第四象限3設C為正向圓周z+1|=2,n為正整數(shù)，則積分等于（）A 1B2iC0 D4設積分路線C是帖為z=-1到z=1的上半單位圓周，則等于（）A BCD5冪極數(shù)的收斂半徑為（）A 0B1 C2D6設Q（z）在點z=0處解析，,則Resf(z),0等于（）A Q（0）BQ（0）CQ（0）DQ（0）7下列積分中，積分值不為零的是（）ABCD8映射下列區(qū)域中每一點的伸縮率都大于1的是（）ABCD9

49、. f(z)=在0<|z-2|<1內的羅朗展開式是（ ）A.B.C.D.10函數(shù)f(t)=t的傅氏變換Jf(t)為（）A.()B.2i()C.2i() D.()二、填空題(本大題共6小題，每小題2分，共12分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。11的值為_，主值為_. 12_ 。 13在映射下，集合的像集為：_. 14為的 _ 階極點。 15在 處展開成Taylor級數(shù)的收斂半徑為_. 16已知，其中，則_。三、計算題(本大題共8小題，共52分)17.已知.求：18. 解方程 19. ，求20. 求積分I=值，其中C：|z|=2為正向.21. 22. 設a、b是實數(shù)，函數(shù)在復平面解析，則分別求a、b之值，并求23. 將在處展成Laurent級數(shù)。24. 討論級數(shù)的斂散性四、綜合題(下列3個小題中，第25題必做，第26、27題中只選做一題。每小題8分，共16分25驗證是z平面上的調和函數(shù)，并求以為實部的解析函數(shù)，使.26求一映射，將半帶形域映射為單位圓域.27利用Laplace變換求解微分方程