多元函數(shù)常微分PPT學習教案

1、會計學1多元函數(shù)常微分多元函數(shù)常微分考察割線趨近于極限位置考察割線趨近于極限位置切線的過程切線的過程zzzyyyxxx 000t t t 上式分母同除以上式分母同除以, t ozyxMM 割線割線 的方程的方程為為MM ,000zzzyyyxxx 第1頁/共21頁,0,時時即即當當 tMM曲線在曲線在M處的切線方程處的切線方程.)()()(000000tzztyytxx 切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量. )(),(),(000tttT 法平面：過法平面：過M點且與切線垂直的平面點且與切線垂直的平面.0)()()(000000 zztyytxxt )

2、1()()()( tztytx 第2頁/共21頁例例1 1 求曲線求曲線: tuuduex0cos，tysin2 tcos ,tez31 在在0 t處的切線和法平面方程處的切線和法平面方程.解解當當0 t時，時，, 2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3)0( z切線方程,322110 zyx法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即第3頁/共21頁1.空間曲線方程為空間曲線方程為,)()( xzxy ,),(000處處在在zyxM,)()(100000 xzzxyyxx . 0)()()(00

3、000 zzxyyxxx 法平面方程為切線方程為切線方程為特殊地：特殊地：第4頁/共21頁2.空間曲線方程為空間曲線方程為,0),(0),( zyxGzyxF切線方程為切線方程為,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 法平面方程法平面方程為為. 0)()()(000000 zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy第5頁/共21頁例例 2 2 求曲線求曲線6222 zyx，0 zyx在在點點)1, 2, 1( 處的切線及法平面方程處的切線及法平面方程.解解 zFyFxFzyx222 yxxzzyT22 ,22 ,22 , 111 zyxGG

4、G yxxzzyT ,可取可取 3 , 0 , 3 T,1, 0, 1 T所求切線方程為所求切線方程為,110211 zyx法平面方程為法平面方程為, 0)1()2(0)1( zyx0 zx第6頁/共21頁設曲面方程為設曲面方程為0),( zyxF),(),(),(000tttT 曲線在M處的切向量在曲面上任取一條通過點M的曲線,)()()(: tztytx nTM第7頁/共21頁0)(),(),( tttF 則則有有數(shù)數(shù)鄰鄰域域內內有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導在在假假設設 M ),(zyxF0)()()(000 tFtFtFzyx 第8頁/共21頁),(),(),(000000000zyxF

5、zyxFzyxFnzyx 令令則則,Tn 由由 于于 曲曲 線線 是是 曲曲面面上上 通通 過過M的的 任任 意意 一一條條曲曲線線，它它們們在在M的的切切線線都都與與同同一一向向量量n垂垂直直，故故 曲曲 面面 上上 通通 過過M的的 一一 切切 曲曲 線線 在在 點點M的的 切切 線線 都都 在在同同一一平平面面上上，這這個個平平面面稱稱為為曲曲面面在在點點M的的切切平平面面. 切平面方程為切平面方程為0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx第9頁/共21頁 通通過過點點),(000zyxM而而垂垂直直于于切切平平面面的的直直線線稱稱為

6、為曲曲面面在在該該點點的的法法線線.法線方程為法線方程為),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx ),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 曲面在曲面在M處的法向量即處的法向量即垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量.第10頁/共21頁特殊地：空間曲面方程形為特殊地：空間曲面方程形為),(yxfz 曲面在曲面在M處的法向量為處的法向量為曲面在曲面在M處的法線方程為處的法線方程為.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxF 令1),(),

7、(0000 yxfyxfnyx第11頁/共21頁)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 的全微分的全微分在點在點函數(shù)函數(shù)),(),(00yxyxfz 曲面在曲面在M處的切平面方程為處的切平面方程為這說明函數(shù)這說明函數(shù) 在點在點 的全微分，在幾的全微分，在幾( , )zf x y00(,)xy何上表示曲面何上表示曲面 在點在點 處的切平面處的切平面( , )zf x y000(,)xyz上點的豎坐標的改變量。上點的豎坐標的改變量。第12頁/共21頁 若若 、 、 表表示示曲曲面面的的法法向向量量的的方方向向角角，并并假假定定法法向向量量的的方方向向是是向向上上的的，即即使使得

8、得它它與與z軸軸的的正正向向所所成成的的角角 是是銳銳角角，則則法法向向量量的的方方向向余余弦弦為為,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff ),(00yxffxx ),(00yxffyy 其中其中),(yxfz 1),(),(0000 yxfyxfnyx第13頁/共21頁例例 3 3 求旋轉拋物面求旋轉拋物面122 yxz在點在點)4 , 1 , 2(處的切平面及法線方程處的切平面及法線方程.解解, 1),(22 yxyxf)4, 1 ,2()4, 1 ,2(1,2,2 yxn,1, 2, 4 切平面方程為, 0)4()1(2)2(4 zyx, 062

9、4 zyx法線方程為.142142 zyx第14頁/共21頁例例 4 4 求曲面求曲面32 xyezz在點在點)0 , 2 , 1(處的處的切平面及法線方程切平面及法線方程.解解, 32),( xyezzyxFz, 42)0,2, 1()0,2, 1( yFx, 22)0,2, 1()0,2, 1( xFy, 01)0,2, 1()0,2, 1( zzeF令令切平面方程法線方程, 0)0(0)2(2)1(4 zyx, 042 yx.001221 zyx第15頁/共21頁例例 5 5 求曲面求曲面2132222 zyx平行于平面平行于平面064 zyx的各切平面方程的各切平面方程.解解設設 為曲

10、面上的切點為曲面上的切點,),(000zyx切平面方程為0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依題意，切平面方程平行于已知平面，得依題意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx 第16頁/共21頁因為因為 是曲面上的切點，是曲面上的切點，),(000zyx, 10 x所求切點為所求切點為滿足方程),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程(1)切平面方程(2)第17頁/共21頁證證設設 為曲面上的任一點為曲面上的任一點,),(000zyx切平面方程為0)()()()()(020022001002001 zzczbyFczaxFczyyFczxxF將定點代入平面方程即得。將