2010高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題10：線面位置關(guān)系的判定和性質(zhì)及(精)

1、 專(zhuān)題十:線面位置關(guān)系的判定和性質(zhì) 【走進(jìn)高考】 1.(09 福建設(shè) m , n 是平面a內(nèi)的兩條不同直線，11,21 是平面 直線，則 a /的 3個(gè)充分而不必要條件是(B A.m / 且 I / a B. m / 且 n /I 2 C. m /且3n / 3 D. m 且 n /巾 2 2.(09 全國(guó)已知二面角 I o ，動(dòng)點(diǎn) P、Q 分別在面a 3內(nèi)，P 至 u 3 Q 到 筋 a 的距離為 P、Q 兩點(diǎn)之間距離的最小值為(C A. B.23內(nèi)的兩條相交 a-為 C. D.4 3.(09 浙江 如圖,平面 PAC 丄平面 ABC , ABC ?是以 AC 為斜邊的等腰 直角三角形,E

2、F O分別為 PA , PB , AC 的中點(diǎn),16AC =, 10PA PC =. (I 設(shè) G 是 OC 的中點(diǎn)，證明:/FG 平面 BOE ; (II 證明:在 ABO ?內(nèi)存在一點(diǎn) M ,使 FM 丄平面 BOE ,并求點(diǎn)M到 OA , OB 的 距離. 【解析】(I 證明:如圖，連結(jié) OP，以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 OB、OC、OP 所在 直線為 x 軸,y 軸, z 軸,建立空間直角坐標(biāo)系 O xyz -. J 則(0,0,0, (0,8,0, (8,0,0,(0,8,0,O A B C -(0,0,6,(0,4,3, P E -(4,0,3F , (0,4,0, G 所以(8,

3、0,0,(0,4,3 OB OE =- 因此平面 BOE 的法向量為(0,3,4n = 又因?yàn)椋?,4, 3FG =- ,，所以 0n FG ?=. 直線 FG 不在平面 BOE 內(nèi),因此有FG 平面 BOE . (II 證明:設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(00, ,0 x y，則 00(4, , 3 FM x y =- 因?yàn)?FM 丄平面 BOE ,所以有FM n 因此有 0094, 4x y =- ，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為 94, ,04? ? - ? x y z 在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中,AOB ?的內(nèi)部區(qū)域滿(mǎn)足不等式組 ? _? 的坐標(biāo)得點(diǎn) M 到 判定：$agga?=? ,b P , b ,a ,

4、b a 性質(zhì):b a b a /? =? =? YBY aa 二、垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化 面面垂直 1.線面垂直 判定：aaJO?丄丄=? l n I m I A n m n m ,. 性質(zhì):b a b a /?丄 丄aa ,. 三線定理:OP a OA ,A, a PA a 丄？丄丄?, , a三線定理的逆定理:OA a ,0P OP ,P a A PA a 丄？丄丄?,于, aaaa面面垂直 判定：Ba丘？丄,a a . 性質(zhì)：BaB止？也？=丄 m I , ,m m I , 三、平行與垂直的相互轉(zhuǎn)化 垂直于同一平面的兩條直線平行；垂直于同一直線的兩平面平行； 兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，

5、則另一個(gè)也垂直于這個(gè)平面. 【經(jīng)典例解】 題型一:空間中的平行關(guān)系 【例 1】如圖,在直四棱柱 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中, 底面ABCD 為等腰梯形，AB/CD, AB=4, BC=CD=2, AA 仁 2, E、E 1、F 分別是棱 AD、AA 1、AB 的中點(diǎn). (1 證明:直線 EE 1平面 FCC 1; (2 求二面角 B-FC 1-C 的余弦值. 【解析】 解法一 :(1 在直四棱柱 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，取 A 1B 1 的中點(diǎn) F 1, 連接 A 1D , C 1F 1, CF 1. 因?yàn)?AB=4, CD=2,且 AB/CD,所以 CD 二 A

6、1F 1, 所以 A 仆 1CD 為平行四邊形，從而 CF 1/A1D. 又因?yàn)?E、E 1 分別是棱 AD、AA 1 的中點(diǎn)所以 EE 1/A1D，所以 CF 1/EE1. 又因?yàn)?1EE ?平面 FCC 1, 1CF ?平面 FCC 1,所以直線 EE 1平面 FCC 1. (2 因?yàn)?AB=4, BC=CD=2, F 是棱 AB 的中點(diǎn)，所以 BF=BC=CF, BCF 為正三角形.取 CF 的中點(diǎn) O，則 OB 丄 CF. 在直四棱柱 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，CC 1 丄平面 ABCD ,所以 CC 1 丄 BO，所以 OB 丄平面 CC 1F.過(guò) O 在平面 CC 1

7、F 內(nèi)作 0P 丄 C 1F，垂足為 P 連接 BP，則/ OPB為二面角 B-FC 1-C 的一個(gè)平面角.在正三角形 BCF 中 ,0B =在 Rt CC 1F 中, OPF CC 1F ,v 110P OF CC C F = ，二 22OP = .在 Rt OPF 中，2 BP =3 cos OP OPB BP/ =B-FC 1-C l2 + 2 JoF+曲 解法二:(1 因?yàn)?AB=4, BC=CD=2, F 是棱 AB 的中點(diǎn),所以 BF=BC=CF, BCF 為正三角形因?yàn)?ABCD 為等腰梯形,所以/ BAC= / ABC=60 .取 AF 的中點(diǎn) M , 連接 DM ,則 DM

8、丄 AB ,所以 DM 丄 CD.以 DM 為 x 軸，DC 為 y 軸，DD 1 為 z 軸建 立空間直角坐標(biāo)系則 D (0,0,0 , A ,C (0,2,0 , C 1(0,2,2 ,E 1 2-,0 ,E 1 所以 11 ,1 2 EE =- ,1,0 CF =- , 1(0,0,2CC = ,1(,2 FC = .E A B E A B E A 設(shè)平面 CC 仆的法向量為(,n x y z =，則 10 n CF n CC ? =? =? 所以 00y z -=?. 取(1n = ，則 11 110022 n EE ? =-? =,7 所以 1n EE 丄 所以直線 EE 1平面 F

9、CC 1. (2 因?yàn)?0,2,0FB = ，設(shè)平面 BFC 1 的法向量為 1111(, , n x y z =, 則 11100n FB n FC ? =? =? ，所以 1111020y y z =? +=? 取 1n = ，則 121002n n ? =? += 而 |2n = ,1|n = ，所以 111cos , |n n n n n r? ? ?= .由圖可知二面角 B-FC 1-C 為銳角，所以二面角 B-FC 1-C 的余弦值為 .【點(diǎn)撥】本題以直棱柱為載體考查線面的位置關(guān)系的判定和二面角的計(jì)算 ， 同時(shí)考查考生的空間想象能力、推理運(yùn)算能力和應(yīng)用向量知識(shí)解答問(wèn)題的能力 . 解

10、法一用幾何法處理,要證直線 EE 1/平面 FCC 1,只需證明直線平 EE 1 平行平 面FCC 1 內(nèi)的一條直線即 可，利用棱柱中的平行關(guān)系構(gòu)造平行四邊形即可輕松得證 計(jì)算二面角的大小的關(guān)鍵是找到二面角的平面 角，其突破口是利用直棱柱中的升垂 直關(guān)系和三垂線定理或其逆定理構(gòu)造直角三角形 解法二是用向量法處理，要證線面平行，只需證直線的方向向量與平面的法向量 的數(shù)量積為零即可；求二面角的大小轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)平面的法向量的夾角 . 【變式】如圖，在直三棱柱 111ABC A BC - 中,E,F 分別是 11A B,AC 的中點(diǎn)，點(diǎn) D 在 11B C 上,11A D B C 丄.求證： (1 E

11、F / ABC 平面； (2 111A FD BBC C 丄平面平面. 【解析】證明：(1 因?yàn)?E,F 分別是 11A B,AC 的中點(diǎn), 所以 EF /BC . 又 EF ?面 ABC , BC ?面 ABC ,所以 EF / ABC 平面. (2 因?yàn)橹比庵?111ABC A BC -1 2 B C A B 1 C 1 E F 所以 1111BB ABC 丄面，11BB A D 丄.又 11A D B C 丄，所以 111AD BC C 丄面 B , 又 11AD AFD ?面，所以 111A FD BBC C 丄平面 平面. 題型二:空間中的垂直關(guān)系 【例 2】如圖,在五面體 ABC

12、DEF 中，F(xiàn)A 丄平面 ABCD , AD/BC/FE, AB 丄 AD , M 為 EC 的中點(diǎn),AF=AB=BC=FE= AD. ( I求異面直線 BF 與 DE 所成的角的大?。?U證明平面 AMD 丄平面 CDE ;(川求二面角 A-CD-E 的余弦值.【解析】 解法一 :(I由題設(shè)知 BF/CE,所以 / CED (或其補(bǔ)角為異面直線 BF 與 DE 所成的角 設(shè) P 為 AD 的中點(diǎn)，連結(jié) EP , PC. 因?yàn)?FE /=AP，所以 FA /= EP.同理 AB /=PC.又 FA 丄平面 ABCD ,所以 EP 丄平面 ABCD.而 PC , AD 都 在平面 ABCD 內(nèi)，

13、故 EP 丄 PC , EP 丄 AD.由 AB 丄 AD ,可得 PC 丄 AD 設(shè) FA=a, 貝 U EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=a 故/ CED=60 .所以異面直線 BF 與 DE 所成 的角的大小為 60. (U證明：因?yàn)?DC DE =,且 M 為 CE 的中點(diǎn)所以 DM CE 丄.連接 MP ,則 MP CE 丄. 又 MP DM M =,故 CE 丄平面 AMD . 而 CE ?平面 CDE ,所以平面 AMD 丄平面 CDE . .CD EQ DE CE . EQ PQ CD Q 丄=，所以 因?yàn)?，的中點(diǎn)，連結(jié) 為設(shè) 因?yàn)?E CD A EQP CD PQ PD

14、 PC 的平面角 為二面角，故 所以-/丄= 由（I得 2 2 26EQ a PQ a PQ EP = 丄,于是在 Rt EPQ ? 中，cos PQ EQP EQZ = 二所以二面角 A CD E - 方法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，仁 AB 則(,001B (, , , 011C (, , , 020D (, , , 110E (, , , 100F . 21121 M ? ? (I因?yàn)?101BF 二，,(011DE =- 所以？ 1 cos . 2BF DE BF DE BF DE ,所以異面直線 BF 與 DE 所成的角的大小為 0 60. (H 證明：由 11122AM

15、? = ? ,(101CE =- (020AD = 得? 0CE AM = , ? 0CE AD =,因止匕 CE AM CE AD 丄丄,. 又 CE AMD AM AD A ?=丄，故平面. .CDE AMD CDE CE 平面，所以平面 平面 而丄 (川設(shè)平面 CDE 的法向量為 0( D 0. u CE u x y z u E ?=?=? ?=? ,，則.于是 01(111.0. x z x u y z -+=? =? -+=? J 令，可得, 又平面 ACD 的一個(gè)法向量為.100(, =v . 33 1 100=?+=?= v u v u v u ,所以,因?yàn)槎娼?A CD E

16、- 也 【點(diǎn)撥】本小題要考查異面直線所成的角、面面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí) ，以 及用空間向量解決立體 幾何問(wèn)題的方法，同時(shí)考查考生的空間想像能力、運(yùn)算能力 和推理論證能力. 求異面直線所成的角，可用平移法轉(zhuǎn)化為解三角形求之，也可轉(zhuǎn)化為其方向向量 的夾角求之；證面面垂直只需在其中一個(gè)面內(nèi)找到一條直線垂直另一個(gè)平面即可 ，也 可證明直線的方向向量與平面內(nèi)兩個(gè)不共 線向量的數(shù)量積為零. 1 2 如圖，在三棱錐 P ABC -中，PA 丄底面,60, 90ABC PA AB ABC BCA ? =/ =/ =，點(diǎn) D , E 分別在棱，PB PC 上,且 /DE BC (I求證:BC 丄平面 PAC

17、; (U當(dāng) D 為 PB 的中點(diǎn)時(shí)，求 AD 與平面 PAC 所成的角的大小； (川是否存在點(diǎn) E 使得二面角 A DE P -為直二面角？并說(shuō)明理由. 【解法 1】本題主要考查直線和平面垂直、直線與平面所成的角、二面角等基 礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力. (IV PA 丄底面 ABC , PA 丄 BC . 又 90BCA ? / =, AC 丄 BC . (HV D 為 PB 的中點(diǎn)，DE/BC, DE BC = ,又由（I知,BC丄平面 PAC ,二 DE 丄平面 PAC ,垂足為點(diǎn) E . / DAE 是 AD 與平面 PAC 所成的角,T PA 丄底面 ABC ,

18、 A PA 丄 AB ,又 PA=AB，二 ABP 為等腰直角三角形，二 AD AB = ，二在 Rt ABC 中,60ABC ? / =, 1 2 BC AB = .A在 Rt ADE 中,sin 2DE BC DAE AD AD / = ,A AD 與平面 PAC 所成的角的大小為（川：DE/BC,又由（I知，BC 丄平面 PAC ,A DE 丄平面 PAC , 又 AE ?平面 PAC , PE ?平面 PAC ,A DE 丄 AE , DE 丄 PE , A / AEP 為二 面角 A DE P -的平面角, / PA 丄底面 ABC , A PA 丄 AC , A 90PAC ? 在

19、棱 PC 上存在一點(diǎn) E 使得 AE 丄 PC ,這時(shí) 90AEP ? 故存在點(diǎn) E 使得二面角 A DE P -是直二面角.【解法 2】如圖,以 A 為原點(diǎn)建 立空間直角坐標(biāo)系 A xyz -,設(shè) PA a =，由已知可得 (10,0,0, ,0, ,0, 0,0, 2A B a C P a? - ? ? ? ? .(iv (10,0, , ,0,02AP a BC a? =? 0BC AP ?= ，二 BC 丄 AP . 又 v 90BCA ? / =, BC 丄 AC，二 BC 丄平面 PAC . (Hv D 為 PB 的中點(diǎn)，DE/BC, / E 為 PC 的中點(diǎn)， 111, , ,

20、422D a a E a? ?，二又由(I 知,BC丄平面 PAC ,二 DE 丄平面 PAC ,垂足為點(diǎn) E . / DAE 是 AD 與平面 PAC 所成的角, v 111, , , 422AD a a AE a ? =-=? ? ? ? , cos 4AD AE DAE AD AE ? / = ?.二 AD 與平面 PAC 所成的角的大小為 arccos 4 .同解法 1. 題型三:翻折與展開(kāi)問(wèn)題 【例 3】如圖所示,在矩形 ABCD 中,AB=4, BC=3,沿對(duì)角線 AC 把矩形折成二 面角D -AC -B ,并且 D 在平面 ABC 內(nèi)的射影落在 AB 上. (1 求證:AD 丄平

21、面 DBC ; (2 求二面角 D -AC -B 的大小. 【解析】(1 設(shè) D 在 AB 上的射影為 H，則 DH 丄平面 ABC. v DH 丄 BC , BC 丄 AB ,二 BC 丄平面 ADB ,于是 AD 丄 BC .又 AD 丄 DC，二 AD 丄平面 DBC. (2 在平面 ABC 內(nèi)作 HE 丄 AC ,垂足為 E 連結(jié) DE. A 則 DE 丄 AC ,故/ DEF 為二面角 D -AC -B 的平面角.在 Rt ADC 中,DE= 512;在 Rt ADB 中,DH=4 3. 在 Rt DEH 中,1675sin = / DE DH DEH ,所以 16 7 5arcsi

22、n =Z DEH .即二面角 D -AC -B 的平面角為 16 5arcs in 【點(diǎn)撥】本題通過(guò)平面圖形翻折成空間幾何體來(lái)考查線面線面的關(guān)系、空間 角等基本知識(shí)，同時(shí)考查 考生的空間想象能力和計(jì)算能力.解答翻折問(wèn)題的關(guān)鍵是 把握?qǐng)D形中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系哪些在翻折前 后不變，哪些發(fā)生改變，然后通過(guò)不 變的關(guān)系來(lái)處理已改變的關(guān)系. 【變式拓展】三個(gè) 1212?的正方形都被連接兩條鄰邊的中點(diǎn)的直線分成 A、 B 兩片，如圖，把這六片 粘在一個(gè)正六邊形的外面，然后折成多面體，則這個(gè)多面體的 體積為.【解析】1864 【規(guī)律總結(jié)】 1作幾何體的截面時(shí)，要先找到截面與各表面的兩個(gè)公共點(diǎn)，再作出這個(gè)截

23、面與 幾何體各表面的交線，或者先找到一個(gè)公共點(diǎn)，再根據(jù)條件過(guò)此點(diǎn)作某線的平行線 2. 解答空間中的位置關(guān)系問(wèn)題時(shí)，要注意幾何法與向量法結(jié)合起來(lái)使用 (1 若 圖形中容易找平行線或垂線等關(guān)鍵線，則選擇幾何法較簡(jiǎn)便； (2若圖形中很難找到關(guān)鍵直線，如平平行線、垂線等，則選擇向量法而用向量 法，一般要求先求出 直線的方向向量，以及平面的法向量，然后考慮兩個(gè)相關(guān)的向量是 否平行或垂直 3. 解答翻折問(wèn)題的關(guān)鍵是把握?qǐng)D形中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系哪些在翻折前后不 變,哪些發(fā)生改變，然后通過(guò)不變的關(guān)系來(lái)處理已改變的關(guān)系 4. 對(duì)于空間中線面位置關(guān)系的探索性問(wèn)題，有時(shí)運(yùn)用幾何直觀性大膽猜測(cè)后推 理驗(yàn)證；有時(shí)直接

24、建系后進(jìn)行計(jì)算；有時(shí)兩種辦法相結(jié)合因結(jié)果的不確定性，增強(qiáng)了 對(duì)考生能力的考查而成為新高考的熱點(diǎn) 【45限時(shí)訓(xùn)練】一、選擇題 1.設(shè) b a ,是兩條不同直線, 是兩個(gè)不同平面，給出下列四個(gè)命題：若,a b a 止丄 b ?,則b 若/, a 第 4 題圖 若,a LL,則/a 或 a 命題是( ?;若,a b a b 丄LL則a L.其中正確的 A.B.C.D. 2. 已知平面 丄a平面B ,丨= 點(diǎn)a A A ? J 直線 AB/I ,直線 AC 丄 l ,直線 m a m/則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立的是（ A . AB/m B . AC 丄 m C . AB/ B D . AC 3.

25、 一直線與一平面所成的角等于 3 n另一直線與這個(gè)平面所成的角是 6 n .則這兩條直線（A .必定相交 B .平行 C .必定異面 D .不可能平行 4. 如圖，在長(zhǎng)方體 1111D C B A ABCD -中，AB =10, AD =5, 1AA =4.分別過(guò) BC、11D A 的兩個(gè)平行 截面將長(zhǎng)方體分成三部分，其體積分別記為 111AEA DFD V V -=, 11112D FCF A EBE V V -=, C F C B E B V V 11113-=.若 123:1:3:1V V V =,則截面 11EFD A 的面積為（ A. 4 B.38 16 二、填空題 5. 正方體 A

26、BCD -A 1B 1C 1D 1 中，點(diǎn) P 在側(cè)面 BCC 1B 1 及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并 且總保持 AP 丄 BD 1,則動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡是 _ . 6. 在四棱錐 P-ABCD 中,P A 丄底面 ABCD ,底面各邊都相等，M是 PC 上的一 動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M滿(mǎn)足 時(shí),平面 MBD 丄平面 PCD . 7. 等邊三角形 ABC 與正方形 ABDE 有一公共邊 AB ,二面角 C AB D - vK M N ,分別是 AC BC ,的中點(diǎn),則 EM AN ,所成角的余弦值等于 _ . 三、解答題 8. 如圖在五面體 ABCDEF 中，點(diǎn) O 是矩形 ABCD 的對(duì)角線的交點(diǎn)，面 CDE 是

27、等邊三角形，棱 / 1 2 EF BC =. (1 證明 F0 平面 CDE ; (2 設(shè) BC =，證明 E0 丄平面 CDF . 9. 在斜三棱柱 A1B1C1-ABC 中，底面是等腰三角形，AB=AC，側(cè)面 BB1C1C 丄底面 ABC. ( I若 D 是 BC 的中點(diǎn)， 求證：AD 丄 CC1; (U過(guò)側(cè)面 BB1C1C的對(duì)角線 BC1 的平面交側(cè)棱于 M，若 AM=MA1，求證： 截面 MBC1 丄 側(cè)面 BB1C1C; AM=MA1 是截面 MBC1 丄平面 BB1C1C 的充要條件嗎？請(qǐng)你 敘述判斷理由. D A C B M C1 A1 B1 10.在直角梯形 ABCD 中，/

28、A= / D=90， AB v CD，SD 丄平面 ABCD，AB=AD=a，S D= 2a，在線段 SA 上取一點(diǎn) E (不含 端點(diǎn))使 EC=AC，截面 CDE 與 SB交于點(diǎn) F. (1)求證：四邊形 EFCD 為直角梯 形；(2)求二面角 B-EF-C 的平面角的正切值； (3)設(shè) SB 的中點(diǎn)為 M，當(dāng) CD 的值是多少時(shí)，能使 DMC 為直角三角形？請(qǐng)給出證明 AB S F M D A B C E 11 限時(shí)訓(xùn)練參考答案一、選擇題 1.C 2.D 二、填空題 5.線段 B1C . 3.D 4.C 6. BM PC 7. 1 6 三、解答題 8【解析】（1）證明：取 CD 中點(diǎn)M，連結(jié) 0M. 1 1 在矩形 ABCD 中，0M / BC， 又 EF / BC， 貝 U EF /OM . 2 2連結(jié) EM， 于是四邊 形EFOM為平行四邊形,FO/EYL又 F0 平面CDE，EM 平面CDE， F0/平面 CDE. （2）證明：連結(jié) FM.在等邊 CDE 中 DM , EM CD，且 EM 3CD IRC EF J2 因此平行四邊形EFOM為菱形，從而 E0 丄 FM 而 FMn CD=M，二 CD 丄平面 EOM，從而 CD 丄 EO.而 FM CD M，所以 EO 丄平面CDF. 9.【解析】（IT AB=AC, D 是 BC