幾何證明——線段和差模型(中級).

1、幾何證明線段和差模型(中級 )【知識要點(diǎn)】在幾何證明中，我們經(jīng)常遇到要求證明兩條線段之和等于一條線段（abc ），或者兩條線段之差等于一條線段（abc）。在處理這類線段和差關(guān)系的問題時，我們常用“截長”與“補(bǔ)短”的方法。截長補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法，也是把幾何問題化難為易的一種思想。截長就是在一條線段上截取成兩段（一分為二），補(bǔ)短就是在一條邊上延長，使其等于一條所求邊（合二為一）。截長法： 如果要證明線段等式abc ，可以在長的一條線段a 上截取一條線段等于b （或者 c ），然后只需證明線段a 上去掉 b （或者 c ）之后剩下的線段等于c （或者 b ）就行了。補(bǔ)短法

2、： 如果要證明線段等式abc ，可以先將短的兩條線段b 和 c 拼接在一起形成一條長線段d ，然后只需要證明ad 就行了。截長補(bǔ)短的方法比較靈活， 要根據(jù)具體的題目條件， 作出相應(yīng)的輔助線。 對于一些經(jīng)典的截長補(bǔ)短模型，希望同學(xué)們能記住并掌握其用法，以便在遇到類似的幾何情境時能迅速作出反應(yīng)?！窘?jīng)典例題】例 1、（ 1）正方形 ABCD 中，點(diǎn) E 在 CD 上，點(diǎn) F 在 BC 上，EAF45 。求證： EFDEBF 。ABFDEC（ 2 ）正方形ABCD 中，點(diǎn) E 在 CD 延長線上，點(diǎn)F 在 BC 延長線上，EAF45 。請問現(xiàn)在EF 、 DE 、 BF 又有什么數(shù)量關(guān)系？ABEDCF（

3、 3）正方形ABCD 中，點(diǎn)E 在 DC 延長線上，點(diǎn)F 在 CB 延長線上，EAF45 。請問現(xiàn)在EF 、 DE 、 BF 又有什么數(shù)量關(guān)系？FABDCE例 2、正三角形ABC 中， E 在 AB 上， F 在 AC 上EDF60 。 DBDC，BDC120 。請問 EF 、 BE、 CF 有什么數(shù)量關(guān)系？AFEBCD例 3、已知： AC 平分BAD ， CEAB ，BD1800 ，求證：AEADBE 。CDAEB例 4、正方形 ABCD中，對角線AC與 BD交于 O，點(diǎn) E 在 BD上， AE 平分 DAC.求證：ACADEO .2ABOEDC例 5、已知，如圖，在ABC 中， ABAC

4、，BADCAD ， P 為 AD 上任一點(diǎn) .求證： ABACPBPC 。APBDC【提升訓(xùn)練】1、如圖，已知ABC 中，邊 BC 上的高為 CD ，B2C ，求證： CDABBD 。ACBD2、已知：AD 平分BAC ， ACABBD ，求證：B2C 。ABDC3、已知ABC3ACB ，BAECAE ， BEAE ，求證： ACAB2BE 。AEBC4、如圖，在ABC中，BAC60 ，AD是BAC的平分線，且ACABBD，求ABC的度數(shù)。ABDC5、如圖，四邊形ABCD 中， AB / DC ， BE 、 CE 分別平分ABC 、BCD ，且點(diǎn) E 在 AD 上。求證：BCABDC。BAEC

5、D6、如圖所示，ABC是邊長為1的正三角形，BDC是頂角為120的等腰三角形，以D 為頂點(diǎn)作一個60 的MDN，點(diǎn)M、N 分別在AB 、AC 上，求AMN的周長。ANMBCD7、如圖，在梯形ABCD 中， AD / BC， C90 ， E為CD 的中點(diǎn)， EF / AB交BC 于點(diǎn) F 。（ 1）求證： BFAD CF ；（ 2）當(dāng) AD1， BC7，且 BE平分ABC 時，求 EF 的長。ADADEEBCBCFF8、已知ABC中，A60， BD、 CE分別平分ABC和 .ACB ， BD、 CE交于點(diǎn)O ，試判斷BE 、CD、BC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明。AEDOBC9、己知， ABC 中，

6、ABAC ，CDAB ，垂足為 D ， P 是 BC 上任一點(diǎn)， PEAB，PFAC 垂足分別為 E、 F . （ 1）求證： PEPF CD ；（ 2）若 P 在 BC 延長線上，求證：PE PFCD 。AAEDDEFPBCBPCF10、（ 1）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E 是邊BC的中點(diǎn)。AEF90 ，且 EF交正方形外角DCG的平行線CF于點(diǎn)F，求證：AEEF。ADFBECG（ 2）如圖，四邊形ABCD 是正方形， 點(diǎn) E 是邊 BC 上（除 B ， C 外）的任意一點(diǎn)。AEF90 ，且 EF 交正方形外角DCG 的平行線 CF 于點(diǎn) F ，求證： AEEF 。ADFBECG（ 3

7、）如圖，四邊形 ABCD 是正方形， 點(diǎn) E 是 BC 的延長線上 （除 C 點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)。AEF90 ，且 EF交正方形外角DCG 的平行線 CF 于點(diǎn) F ，求證： AEEF 。ADFBCEG11、在等邊ABC 的兩邊AB 、 AC 所在直線上分別有兩點(diǎn) M 、N ，D 為ABC 外一點(diǎn)， 且 MDN60 ，BDC120 ， BDCD 。探究：當(dāng) M 、 N 分別在直線 AB 、 AC 上移動時， BM 、 NC 、 MN 之間的數(shù)量關(guān)系及AMN 的周長 Q 與等邊 ABC 的周長 L 的關(guān)系。NAAAMNMNCBBCBCMDDD圖1圖 2圖 3（ 1）如圖1，當(dāng)點(diǎn) M 、N邊AB、AC上，且 DMDN 時， BM 、 NC、 MN 之間的數(shù)量關(guān)系是_；此時Q；L（ 2）如圖2，點(diǎn)