函數(shù)與方程的思想方法名師制作優(yōu)質(zhì)教學(xué)資料

1、函數(shù)與方程的思想方法函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題。方程思想，是從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手， 運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型 （方程、不等式、或方程與不等式的混合組） ，然后通過(guò)解方程（組）或不等式（組）來(lái)使問(wèn)題獲解。有時(shí)，還實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達(dá)到解決問(wèn)題的目的。笛卡爾的方程思想是：實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題代數(shù)問(wèn)題方程問(wèn)題。宇宙世界，充斥著等式和不等式。我們知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值問(wèn)題是通過(guò)解方程來(lái)實(shí)現(xiàn)的等等；不等式問(wèn)題也與方程是近親，密切相關(guān)。 而函數(shù)和多元方程沒(méi)有什么本質(zhì)的區(qū)別，如函數(shù)y f(x) ，就可以看作

2、關(guān)于x、 y 的二元方程f(x) y 0?？梢哉f(shuō)，函數(shù)的研究離不開(kāi)方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是應(yīng)用方程思想時(shí)需要重點(diǎn)考慮的。函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)思想通過(guò)提出問(wèn)題的數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型，從而進(jìn)行研究。它體現(xiàn)了“聯(lián)系和變化”的辯證唯物主義觀點(diǎn)。一般地，函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：f(x) 、f1 (x) 的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的具體特性。在解題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函

3、數(shù)思想的關(guān)鍵。對(duì)所給的問(wèn)題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時(shí)，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型。另外，方程問(wèn)題、 不等式問(wèn)題和某些代數(shù)問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問(wèn)題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問(wèn)題。函數(shù)知識(shí)涉及的知識(shí)點(diǎn)多、面廣，在概念性、應(yīng)用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重點(diǎn)。我們應(yīng)用函數(shù)思想的幾種常見(jiàn)題型是：遇到變量，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系解題；有關(guān)的不等式、 方程、最小值和最大值之類(lèi)的問(wèn)題，利用函數(shù)觀點(diǎn)加以分析；含有多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問(wèn)題中， 選定合適的主變量，從而揭示其中的函數(shù)關(guān)系；實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)或不等式等知識(shí)解答；等差、等

4、比數(shù)列中，通項(xiàng)公式、前n 項(xiàng)和的公式，都可以看成n 的函數(shù)，數(shù)列問(wèn)題也可以用函數(shù)方法解決。、再現(xiàn)性題組：1. 方程 lgx x 3 的解所在的區(qū)間為_(kāi)。A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,+ )2. 如果函數(shù)f(x) x 2 bx c 對(duì)于任意實(shí)數(shù)t ，都有 f(2 t) f(2 t) ，那么 _。A.f(2)<f(1)<f(4)B.f(1)<f(2)<f(4)C.f(2)<f(4)<f(1)D.f(4)<f(2)<f(1)3. 已知函數(shù)y f(x) 有反函數(shù)，則方程f(x) a (a是常數(shù) ) _。A. 有且僅有一個(gè)實(shí)根

5、B.至多一個(gè)實(shí)根C.至少一個(gè)實(shí)根D.不同于以上結(jié)論1， (4. 已知 sin cos ， ) ，則 tg 的值是 _。52A. 4343B.C.D.3434p5. 已知等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和為 Sn ，且 S Sq(p q，p、q N)，則 S p q _。6. 關(guān)于 x 的方程 sin 2 x cosx a0 有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是_。7. 正六棱錐的體積為 48, 側(cè)面與底面所成的角為 45°，則此棱錐的側(cè)面積為_(kāi)。8. 建造一個(gè)容積為 8m3 ，深為 2m的長(zhǎng)方體無(wú)蓋水池，如果池底和池壁的造價(jià)每平方米分別為 120 元和 80 元，則水池的最低造價(jià)為_(kāi)。【簡(jiǎn)解】 1 小題

6、：圖像法解方程，也可代入各區(qū)間的一個(gè)數(shù)（特值法或代入法），選 C；2 小題：函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為2，結(jié)合其單調(diào)性，選A；3 小題：從反面考慮，注意應(yīng)用特例，選B；4小題：設(shè) tg x (x>0 ），則2x1x 21，解出 x 2，再用萬(wàn)能公式，選A；21 x 21x 255小題：利用Sn是關(guān)于 n 的一次函數(shù)， 設(shè) S SSpqmm,q) 、p m， x，則（,p ）、(nqpqpq(x ， p+q) 在同一直線上，由兩點(diǎn)斜率相等解得x0，則答案：0；6小題：設(shè) cosx t ， t -1,1，則 a t2 t 1 5,1 ，所以答案： 5,1；447小題：設(shè)高 h，由體積解出 h 2

7、 3，答案： 246 ；8小題：設(shè)長(zhǎng) x，則寬 4 ，造價(jià) y 4× 120 4x × 80 16 × 801760 ，答案： 1760。xx、示范性題組：例 1. 設(shè) a>0， a 1，試求方程 loga(x ak) loga2 (x 2 a 2 ) 有實(shí)數(shù)解的 k 的范圍。(89 年全國(guó)高考 )【分析】由換底公式進(jìn)行換底后出現(xiàn)同底，再進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程組，分離參數(shù)后分析式子特點(diǎn)，從而選用三角換元法，用三角函數(shù)的值域求解。x 2xak0【解】 將原方程化為： log a (x ak) log aa2 ， 等價(jià)于akx2a2x（a>0,a 1） k x

8、 ( x )21 ( |x |>1 ）,aaax) ，則 k f( ) csc |ctg |設(shè) csc ， ( ,0) (0,a22當(dāng) ( ,0)時(shí)， f( ) csc ctg ctg2< 1，故 k< 1；2當(dāng) (0, ) 時(shí)， f( ) csc ctg tg (0,1) ，故 0<k<1；22綜上所述， k 的取值范圍是： k< 1 或 0<k<1。【注】 求參數(shù)的范圍，分離參數(shù)后變成函yC 1數(shù)值域的問(wèn)題， 觀察所求函數(shù)式， 引入新的變量，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問(wèn)題，在進(jìn)行三角換元C 2時(shí)，要注意新的變量的范圍。一般地， 此種思路可以解決有關(guān)

9、不等式、方程、最大值和最小值、參數(shù)范圍之類(lèi)的問(wèn)題。本題還用到了分離參數(shù)-ak法、三角換元法、 等價(jià)轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法。-aa另一種解題思路是采取“數(shù)形結(jié)合法”： 將x原方程化為： loga (x ak) log ax 2a 2 ，等價(jià)于 xakx2a2 (x ak>0) ，設(shè)曲線 C1 ：y x ak，曲線 C2 ：yx2a2(y>0) ，如圖所示。由圖可知， 當(dāng) ak>a 或 a<ak<0 時(shí)曲線 C1 與 C2 有交點(diǎn)， 即方程有實(shí)解。 所以 k 的取值范圍是： k< 1 或 0<k<1。還有一種思路是直接解出方程的根，然后對(duì)方程的根進(jìn)行

10、討論，具體過(guò)程是：原方程等x ak 0x ak( k 21)ak 212 后，解得：(k 21)a ，所以>ak，即價(jià)變形為x2a2k2kx akx2kk 21k>0，通分得<0，解得 k< 1 或 0<k<1。所以 k 的取值范圍是： k< 1 或 0<k<1。2k例 2. 設(shè)不等式 2x 1>m(x 2 1) 對(duì)滿足 |m| 2的一切實(shí)數(shù)m的取值都成立。求x 的取值范圍?！痉治觥?此問(wèn)題由于常見(jiàn)的思維定勢(shì)，易把它看成關(guān)于x的不等式討論。然而，若變換一個(gè)角度以 m為變量，即關(guān)于 m的一次不等式 (x 2 1)m (2x 1)<

11、0 在 -2,2上恒成立的問(wèn)題。對(duì)此的研究， 設(shè) f(m) (x 2 1)m (2x 1) ，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)（或常數(shù)函數(shù)）f(m) 的值在 -2,2內(nèi)恒為負(fù)值時(shí)參數(shù)f (2)0。x 應(yīng)該滿足的條件2) 0f (【解】問(wèn)題可變成關(guān)于m 的一次不等式： (x 2 1)m (2x 1)<0在 -2,2恒成立，設(shè)f(m) (x 2 1)m (2x 1),f (2) 2( x 21)( 2x 1)0則2( x21) (2x1)0f ( 2)解得x（71,31 ）22【注】本題的關(guān)鍵是變換角度，以參數(shù)m 作為自變量而構(gòu)造函數(shù)式，不等式問(wèn)題變成函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問(wèn)題。本題有別于關(guān)于x 的不等

12、式2x 1>m(x 2 1) 的解集是-2,2時(shí)求 m的值、關(guān)于x 的不等式2x 1>m(x 2 1) 在 -2,2上恒成立時(shí)求m的范圍。一般地，在一個(gè)含有多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問(wèn)題更明朗化。或者含有參數(shù)的函數(shù)中，將函數(shù)自變量作為參數(shù)，而參數(shù)作為函數(shù)，更具有靈活性，從而巧妙地解決有關(guān)問(wèn)題。例 3.設(shè)等差數(shù)列 a 的前 n 項(xiàng)的和為S ，已知 a 12， S>0， S<0 。nn31213. 求公差d 的取值范圍；.指出S1 、 S2 、S12 中哪一個(gè)值最大，并說(shuō)明理由。(92年全國(guó)高考 )【分析】問(wèn)利用公式a n 與Sn 建立

13、不等式，容易求解d 的范圍；問(wèn)利用S n 是n 的二次函數(shù)， 將 S n 中哪一個(gè)值最大，變成求二次函數(shù)中n 為何值時(shí)S n 取最大值的函數(shù)最值問(wèn)題?！窘狻坑?a 3 a 1 2d12, 得到 a 1 12 2d，所以S12 12a 1 66d 12(12 2d) 66d 144 42d>0，S13 13a 1 78d 13(12 2d) 78d 156 52d<0。24解得：<d< 3。7 S n na111n(n 1)dn(n1 1)d n(12 2d) 22 d n 1(524)2 d1(5 24)222d22d因?yàn)?d<0，故 n 1(5 24)2 最小時(shí)

14、，S n 最大。由 24<d< 3 得 6<1(5 24)<6.5 ，2d72d故正整數(shù) n 6 時(shí) n 1(5 24)2 最小，所以 S 最大。2d6【注】 數(shù)列的通項(xiàng)公式及前 n 項(xiàng)和公式實(shí)質(zhì)上是定義在自然數(shù)集上的函數(shù)，因此可利用函數(shù)思想來(lái)分析或用函數(shù)方法來(lái)解決數(shù)列問(wèn)題。也可以利用方程的思想，設(shè)出未知的量，建立等式關(guān)系即方程，將問(wèn)題進(jìn)行算式化，從而簡(jiǎn)潔明快。由次可見(jiàn)， 利用函數(shù)與方程的思想來(lái)解決問(wèn)題，要求靈活地運(yùn)用、巧妙的結(jié)合，發(fā)展了學(xué)生思維品質(zhì)的深刻性、獨(dú)創(chuàng)性。本題的另一種思路是尋求a n >0、a n 1 <0，即：由d<0 知道 a 1 &g

15、t;a 2 > >a13 ，由 S13 13a 7 <0得 a 7 <0，由S12 6(a6 a 7 )>0得 a 6 >0。所以，在S1 、 S 2 、 S12 中， S6 的值最大。例 4.如圖， AB是圓 O 的直徑， PA垂直于圓O所在平面， C 是圓周上任一點(diǎn)，設(shè)BAC ， PAAB=2r，求異面直線 PB 和 AC的距離?！痉治觥?異面直線 PB 和 AC的距離可看成求直線從而設(shè)定變量，建立目標(biāo)函數(shù)而求函數(shù)最小值。PB上任意一點(diǎn)到AC的距離的最小值，【解】在 PB上任取一點(diǎn)M，作 MD AC于 D， MH AB 于 H， P設(shè) MH x，則 MH

16、平面 ABC，AC HD 。MD2 x 2 (2r x)sin 2 (sin2 1)x 2 4rsin 2 xMAHB4r 2 sin 2 D C(sin 2 1)x2r sin2 2 4r 2 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 2r sin 2 時(shí)， MD取最小值2r sin 為兩異面直線的距離。即當(dāng) x1 sin 21sin2 【注】 本題巧在將立體幾何中“異面直線的距離”變成“求異面直線上兩點(diǎn)之間距離的最小值”，并設(shè)立合適的變量將問(wèn)題變成代數(shù)中的“函數(shù)問(wèn)題”。一般地，對(duì)于求最大值、最小值的實(shí)際問(wèn)題， 先將文字說(shuō)明轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言后，再建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式，然后利用函數(shù)性質(zhì)、重

17、要不等式和有關(guān)知識(shí)進(jìn)行解答。比如再現(xiàn)性題組第8 題就是典型的例子。例 5. 已知 ABC三內(nèi)角 A、B、 C 的大小成等差數(shù)列，且tgA ·tgC 2 3 ，又知頂點(diǎn)C的對(duì)邊 c 上的高等于43 , 求 ABC的三邊 a、b、 c 及三內(nèi)角?！痉治觥恳阎艘粋€(gè)積式，考慮能否由其它已知得到一個(gè)和式，再用方程思想求解?！窘狻?由 A、 B、 C成等差數(shù)列，可得B 60°；由 ABC中 tgA tgB tgC tgA · tgB · tgC ，得tgA tgC tgB(tgA · tgC 1) 3(13)設(shè) tgA 、 tgC 是方程 x 2 (3 3)x 23 0 的兩根，解得x 1 1， x 2 23設(shè) A<C，則 tgA 1， tg