初三數(shù)學(xué)圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與典型習(xí)題精練

1、.圓一）【圓的定義及與圓相關(guān)的定義】在一個(gè)平面內(nèi)， 一條線(xiàn)段OA 繞著它固定的一個(gè)端點(diǎn)O 旋轉(zhuǎn)一周， 另一個(gè)端點(diǎn)A 所形成的圖形叫做圓。固定的端點(diǎn)O 叫做圓心，這個(gè)線(xiàn)段OA 叫做半徑，以點(diǎn)O 為圓心的圓，記作，讀作“圓O ”。圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，任何一條過(guò)圓心的直線(xiàn)都是它的對(duì)稱(chēng)軸。例1. 如圖，將半徑為 1 的圓的邊上的 A 點(diǎn)與數(shù)軸的原點(diǎn)重合，然后沿著數(shù)軸向右滾動(dòng)，滾動(dòng)一周得到點(diǎn) A，則點(diǎn) A表示的數(shù)為 _弦：連接圓上任意兩點(diǎn)間的線(xiàn)段叫做弦，經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑?；。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧?；∮梅?hào)“”表示。二）【圓的確定】;.三）【垂徑定理及其應(yīng)用】1.垂徑定理：垂直于弦的直徑平

2、分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。推論 1：（ 1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。（ 2 ）弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。（ 3 ）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。推論 2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等2.對(duì)于一個(gè)圓和一條直線(xiàn)，如果具備下列五個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么一定具備其他三個(gè)：（ 1）過(guò)圓心；（ 2）垂直于弦；（ 3）平分弦（直徑） ；（ 4）平分弦所對(duì)的劣弧；（ 5）平分弦所對(duì)的優(yōu)弧，簡(jiǎn)記為“知二推三”。3.在垂徑定理的運(yùn)用中，常涉及弦長(zhǎng)a、弦心距 d（圓心到弦的距離） 、半徑 r 及弓形高h(yuǎn)（弦所對(duì)的弧的中點(diǎn)到弦中

3、點(diǎn)的距離）這四者的關(guān)系，它們的關(guān)系為r2 =d2+(a/2)2， r=d+h 。例 2：如圖， O 的直徑 AB 垂直于弦 CD，垂足為 E，若 COD=120°，OE=3 厘米，則 OD=_:例 3：如圖，圓弧形橋拱的跨度AB=12 米，拱高CD=4米，則拱橋的半徑為()米B.9米C.13米D.15米例 4： 等腰 ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在O 上，底邊 BC=8cm， O 半徑為 5cm ，求 S ABC分為兩種情況：如圖1 ，當(dāng)O 在 ABC 外部時(shí)，連接AO，交BC 于D，連接OB， O 是 ABC的外接圓， AB=AC，AOBC， BD=CD=1 × 8cm=4cm，2

4、在 Rt OBD中，由勾股定理得：OD=52423 （ cm），AD=AO-OD=5cm-3cm=2cm，SABC=1 × BC× AD= 1 × 8cm× 2cm=8cm 2；22;.如圖 2，當(dāng) O 在 ABC 內(nèi)部時(shí)，連接AO，交 BC于 D，連接 OB， AD=AO+OD=5cm+3cm=8cm，SABC=1 × BC× AD= 1 × 8cm× 8cm=32cm 222四）【弧、弦、圓心角之間的關(guān)系】1、圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。2、弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距。例 5：如圖， OABC，

5、AOB=70°，則 AOC 的度數(shù)為 _， ADC 的度數(shù)為 _例 6： 如圖， AB 是 O 的直徑， C、 D 是弧 BE 的兩個(gè)等分點(diǎn)， COD=35°，則 AOE的度數(shù)為 _度五）【圓周角定理及推論】1、圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。2、圓周角定理 : 一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。推論 1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。;.推論 2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角； 90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。推論 3：如果三角形一邊上的中線(xiàn)等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。例

6、7：如圖，點(diǎn) A、 B、 C、D 在 O 上，若 BDC=30°，則 BAC=()度例 8：如圖， ABC內(nèi)接于 O， C=40°，則 ABO=_度例 9：如圖，已知ABC 內(nèi)接于 O， C=45°， AB=4，則 O 的半徑為 ()六）【點(diǎn)和圓的位置關(guān)系】設(shè) O 的半徑是 r ，點(diǎn) P 到圓心 O 的距離為d，則有：d<r，點(diǎn) P 在 O 內(nèi)；d=r，點(diǎn) P 在 O 上；d>r，點(diǎn) P 在 O 外。例 10：在直角三角形ABC中， C=90°， AC=3， AB=5若以點(diǎn)C 為圓心，畫(huà)一個(gè)半徑為3的圓，則點(diǎn)A，點(diǎn) B和 C 的相互位置關(guān)系為

7、()A.點(diǎn) A，點(diǎn) B均在 C內(nèi)B.點(diǎn) A，點(diǎn) B均在 C外C.點(diǎn) A，點(diǎn) B均在 C上D.點(diǎn) A在C上，點(diǎn) B在C外例 11：如圖，在 Rt ABC中 ACB=90°， AC=6， CB=8， CD是斜邊 AB 上的中線(xiàn)，以 AC為直徑作 O，設(shè)線(xiàn)段 CD的中點(diǎn)為 P，則點(diǎn) P 與 O的位置關(guān)系是 _七）【直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系】直線(xiàn)和圓有三種位置關(guān)系，具體如下：（1）相交：直線(xiàn)和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線(xiàn)和圓相交，這時(shí)直線(xiàn)叫做圓的割線(xiàn)，公共點(diǎn)叫做交點(diǎn)；（ 2）相切：直線(xiàn)和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線(xiàn)和圓相切，這時(shí)直線(xiàn)叫做圓的切線(xiàn)，（ 3）相離：直線(xiàn)和圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線(xiàn)和圓相離。如

8、果 O 的半徑為r，圓心 O 到直線(xiàn) l 的距離為d,那么：;.直線(xiàn) l 與 O 相交；直線(xiàn) l 與 O 相切；直線(xiàn) l 與 O 相離如何判斷直線(xiàn)與圓的關(guān)系：方法方程的觀(guān)點(diǎn)，即把圓的方程和直線(xiàn)的方程聯(lián)立成方程組，利用判別式來(lái)討論位置關(guān)系 . 0，直線(xiàn)和圓相交.=0，直線(xiàn)和圓相切. 0，直線(xiàn)和圓相離.方法是幾何的觀(guān)點(diǎn)，即把圓心到直線(xiàn)的距離d 和半徑 R 的大小加以比較.d R，直線(xiàn)和圓相交.d=R，直線(xiàn)和圓相切.d R，直線(xiàn)和圓相離.八）【圓和圓的位置關(guān)系】1、圓和圓的位置關(guān)系如果兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，那么就說(shuō)這兩個(gè)圓相離，相離分為外離和內(nèi)含兩種。如果兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么就說(shuō)這兩個(gè)圓相切，相切

9、分為外切和內(nèi)切兩種。如果兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么就說(shuō)這兩個(gè)圓相交。2、圓心距兩圓圓心的距離叫做兩圓的圓心距。3、圓和圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定設(shè)兩圓的半徑分別為R 和 r ，圓心距為d，那么兩圓外離d>R+r兩圓外切d=R+r兩圓相交R-r<d<R+r （ R r ）兩圓內(nèi)切d=R-r （R>r）兩圓內(nèi)含d<R-r （R>r)4、兩圓相切、相交的重要性質(zhì)如果兩圓相切， 那么切點(diǎn)一定在連心線(xiàn)上，它們是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是兩圓的連心線(xiàn)；相交的兩個(gè)圓的連心線(xiàn)垂直平分兩圓的公共弦。九）【相交弦定理】1.相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等。（經(jīng)過(guò)

10、圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條弦，各弦被這點(diǎn)所分成的兩段的積相等）。2.相交弦定理說(shuō)明：若弦AB、 CD 交于點(diǎn) P，則 PA· PB=PC· PD。例 12：如圖， O 中弦 AB，CD相交于點(diǎn) P，已知 AP=3， BP=2， CP=1，則 DP=()例 13： 如圖點(diǎn) P 為弦 AB 上一點(diǎn)，連接 OP，過(guò) P 作 PC PO，PC 交 O 于點(diǎn) C，若 AP=4，PB=2，則 PC的長(zhǎng)為 _;.十）【切線(xiàn)及切線(xiàn)長(zhǎng)】切線(xiàn)的判定和性質(zhì)1、切線(xiàn)的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)。2、切線(xiàn)的性質(zhì)定理：圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。在應(yīng)用判定定理時(shí)注意： 線(xiàn)必須滿(mǎn)足

11、兩個(gè)條件： a、經(jīng)過(guò)半徑的外端； b、垂直于這條半徑， 否則就不是圓的切線(xiàn)切線(xiàn)的判定定理實(shí)際上是從 “圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑時(shí)， 直線(xiàn)和圓相切” 這個(gè)結(jié)論直接得出來(lái)的在判定一條直線(xiàn)為圓的切線(xiàn)時(shí)， 當(dāng)已知條件中未明確指出直線(xiàn)和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)， 常過(guò)圓心作該直線(xiàn)的垂線(xiàn)段，證明該線(xiàn)段的長(zhǎng)等于半徑，可簡(jiǎn)單的說(shuō)成“無(wú)交點(diǎn)，作垂線(xiàn)段，證半徑”；當(dāng)已知條件中明確指出直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過(guò)該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線(xiàn)，可簡(jiǎn)單地說(shuō)成“有交點(diǎn)，作半徑，證垂直”。切線(xiàn)長(zhǎng)定理1、切線(xiàn)長(zhǎng)：在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線(xiàn)上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線(xiàn)段的長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到圓的切線(xiàn)長(zhǎng)。2、切線(xiàn)長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條

12、切線(xiàn)，它們的切線(xiàn)長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線(xiàn)平分兩條切線(xiàn)的夾角。十一）【三角形的外接圓與外心】1. 三角形的外接圓：經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓。2. 三角形的外心是什么：三角形外接圓的圓心是三角形三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，叫做這個(gè)三角形的外心。3. 三角形的外接圓與外心的性質(zhì)：（ 1）三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，等于外接圓的半徑；（ 2）一個(gè)三角形有且只有一個(gè)外接圓；（ 3 ）三角形外心的位置：銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心是斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形的外心在三角形外部。例 14：如圖， O 是 ABC的外接圓，已知B=60°，則 CAO的度

13、數(shù)是 =_ 度例 15：如圖， O 是 ABC的外接圓，C=30°， AB=2cm，則 O 的半徑為 _cm;.作直徑 AD，連接 BD，得： ABD=90°， D= C=30°， AD=4，即圓的半徑是 2十二）【圓內(nèi)接四邊形】1. 圓內(nèi)接四邊形的定義：如果一個(gè)多邊形的所有定點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓。2. 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。例 16：已知如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中， B=30°，則 D=_例 17： 如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于 O，如果它的一個(gè)外角DCE=64°，那么 BOD=()例 18：如圖，已知O 中， AOB 的度數(shù)為80°， C 是圓周上一點(diǎn)，則ACB的度數(shù)為 ()十三 ) 【正多邊形和圓的相關(guān)概念】一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角， 中