平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

1、 河源市龍川縣田家炳中學(xué)龍川縣田家炳中學(xué) 楊兆欽楊兆欽 (一一)說(shuō)教材：說(shuō)教材：學(xué)科：學(xué)科：數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)教材版本：教材版本：北師大版北師大版必修4課程名稱：平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示教材所在頁(yè)碼：第二章第六小節(jié)（P110-112）教材的地位和作用：“向量”是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念，是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，它有豐富的實(shí)際背景，又有廣泛的實(shí)際應(yīng)用，在更新和完善中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)中起重要作用，在高中數(shù)學(xué)中占據(jù)重要地位。而“平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示”是本章的重點(diǎn)內(nèi)容之一，故本節(jié)內(nèi)容是一個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn)，要求學(xué)生務(wù)必要掌握。 (二二)說(shuō)重點(diǎn)、難點(diǎn)：說(shuō)重點(diǎn)、難點(diǎn)： 重點(diǎn)是重點(diǎn)是“平面向

2、量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示”。這是這是本節(jié)課的中心內(nèi)容，通過(guò)這個(gè)知識(shí)平臺(tái)，把數(shù)與形相本節(jié)課的中心內(nèi)容，通過(guò)這個(gè)知識(shí)平臺(tái)，把數(shù)與形相結(jié)合，從而把代數(shù)、幾何與三角函數(shù)溝通起來(lái)結(jié)合，從而把代數(shù)、幾何與三角函數(shù)溝通起來(lái); 難點(diǎn)是難點(diǎn)是“平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示的實(shí)際應(yīng)平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示的實(shí)際應(yīng)用用”。因此，在教學(xué)中要從因此，在教學(xué)中要從“求解長(zhǎng)度、角度、方程求解長(zhǎng)度、角度、方程及判斷垂直及判斷垂直”等方面讓學(xué)生認(rèn)識(shí)平面向量的數(shù)量積的等方面讓學(xué)生認(rèn)識(shí)平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示的實(shí)際應(yīng)用，從不同的角度強(qiáng)化學(xué)生對(duì)本知坐標(biāo)表示的實(shí)際應(yīng)用，從不同的角度強(qiáng)化學(xué)生對(duì)本知識(shí)點(diǎn)的理解。識(shí)點(diǎn)

3、的理解。 (三三)說(shuō)教學(xué)目標(biāo)：說(shuō)教學(xué)目標(biāo)： 1、知識(shí)與技能目標(biāo)：、知識(shí)與技能目標(biāo)： （1）掌握）掌握“平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示示”這個(gè)這個(gè) 重要的知識(shí)點(diǎn)；重要的知識(shí)點(diǎn)； （2）會(huì)用）會(huì)用“平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示示”的有關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。如判斷垂直、的有關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。如判斷垂直、求解長(zhǎng)度、角度與方程等。求解長(zhǎng)度、角度與方程等。 2、情感態(tài)度目標(biāo)：、情感態(tài)度目標(biāo)： 在師生共同的學(xué)習(xí)過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生在師生共同的學(xué)習(xí)過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生合作交流，樂(lè)于探索創(chuàng)新的科學(xué)精神。合作交流，樂(lè)于探索創(chuàng)新的科學(xué)精神。 (四四)說(shuō)教法：說(shuō)教法： 1、 本節(jié)課是

4、學(xué)生在學(xué)習(xí)了本節(jié)課是學(xué)生在學(xué)習(xí)了“平面向量平面向量基本定理基本定理”、“平面向量的坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)表示”、“向量的數(shù)量積的定義、幾何意義與性質(zhì)向量的數(shù)量積的定義、幾何意義與性質(zhì)”的基礎(chǔ)上來(lái)展開的；的基礎(chǔ)上來(lái)展開的； 2、教學(xué)中我采用、教學(xué)中我采用“復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)問(wèn)題問(wèn)題討論討論解決解決”的模式進(jìn)行教學(xué)。學(xué)生為主體，教的模式進(jìn)行教學(xué)。學(xué)生為主體，教師在教學(xué)中起到引導(dǎo)者、評(píng)價(jià)者、組織者師在教學(xué)中起到引導(dǎo)者、評(píng)價(jià)者、組織者和參與者的作用，與學(xué)生一起探導(dǎo)和參與者的作用，與學(xué)生一起探導(dǎo)“平面平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示”的推導(dǎo)及其應(yīng)的推導(dǎo)及其應(yīng)用；用； 3、本節(jié)課采用多媒體輔助教學(xué)，

5、利用信、本節(jié)課采用多媒體輔助教學(xué)，利用信息技術(shù)制作課件，它們能更直觀地幫助學(xué)息技術(shù)制作課件，它們能更直觀地幫助學(xué)生學(xué)習(xí)，使學(xué)生的學(xué)習(xí)資源更豐富。生學(xué)習(xí)，使學(xué)生的學(xué)習(xí)資源更豐富。(五五)說(shuō)學(xué)法：說(shuō)學(xué)法： 教學(xué)活動(dòng)應(yīng)以學(xué)生為主體，沒(méi)有學(xué)生的積教學(xué)活動(dòng)應(yīng)以學(xué)生為主體，沒(méi)有學(xué)生的積極參與的課堂教學(xué)是失敗的。課堂是學(xué)生的課極參與的課堂教學(xué)是失敗的。課堂是學(xué)生的課堂，學(xué)生在課堂上應(yīng)有自主學(xué)習(xí)，也有合作交堂，學(xué)生在課堂上應(yīng)有自主學(xué)習(xí)，也有合作交流，更可以談自已的看法，而不是傳統(tǒng)上的模流，更可以談自已的看法，而不是傳統(tǒng)上的模仿和機(jī)械應(yīng)用。仿和機(jī)械應(yīng)用。 教師通過(guò)運(yùn)用激發(fā)學(xué)生情趣，啟發(fā)誘導(dǎo)，教師通過(guò)運(yùn)用激發(fā)學(xué)生

6、情趣，啟發(fā)誘導(dǎo)，多媒體實(shí)施等手段，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)多媒體實(shí)施等手段，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，使學(xué)生能在良好的教學(xué)氛圍中掌握本節(jié)課性，使學(xué)生能在良好的教學(xué)氛圍中掌握本節(jié)課的知識(shí)，這正是新課改的目的所在。的知識(shí)，這正是新課改的目的所在。一一、利用多媒體進(jìn)行復(fù)習(xí)、利用多媒體進(jìn)行復(fù)習(xí) （約（約6分鐘）分鐘）OAB1.概念概念:(1)夾角夾角: (2)數(shù)量積的定義數(shù)量積的定義:注意：兩個(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量注意：兩個(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量.cos|baba其中：其中：, 0a0b（0 ）(六六)說(shuō)教學(xué)過(guò)程說(shuō)教學(xué)過(guò)程 bb2.幾何意義幾何意義:abBAOcosbabacos|b.

7、cos 的乘積的方向上的投影數(shù)量在與的長(zhǎng)度等于數(shù)量積babaabacosbOABBb3.數(shù)量積的主要性質(zhì)：數(shù)量積的主要性質(zhì)：是兩個(gè)非零向量設(shè)ba,01baba數(shù)量積為零是判定兩向量垂直的充要條件 babababababa,;,.2反向時(shí)與當(dāng)向量同向時(shí)與當(dāng)aaaaaa或特別地2,用于計(jì)算向量的模 .cos.3baba用于計(jì)算向量的夾角面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量 ，存在 一 對(duì)實(shí)數(shù) 1， 2 使a= 1 + 2 24. 平面向量基本定理：如果 , 是同一平ae12ee1e2e1ee11e22a設(shè) ，則 abaa=(x1,y1),b=(x2,y2) （1） + =（x1+x2

8、 , y1+y2)a（2） - =（x1-x2 , y1-y2)b（3） =（ x1 , y1) （4）設(shè)A（x1,y1),B(x2,y2),則 = - =（x2-x1,y2-y1) ABOBOA 5.平面向量 的坐標(biāo)表示引例： 已知：A(2，1)，B(3，2)，C(1，4)， 求證：ABC是直角三角形. 分析：先畫圖，ABCOxy 從圖中可知，A應(yīng)為90，為證明A90，只需證明 AB AC0. AB(3 2，2 1)(1，1), AC( 1 2，4 1)( 3，3),問(wèn)題：已知兩個(gè)非零向量怎樣用和的坐標(biāo)表示呢？babaa=(x1,y1),b=(x2,y2) 二、新課（充分利用多媒體課件進(jìn)行授

9、課）約11分鐘Oyx如圖，我們先看x軸上的單位向量 和y軸上的單位向量 容易知道，ijij110ii=jj=ij=ji=問(wèn)題：已知兩個(gè)非零向量怎樣用 和 的坐標(biāo)表示 呢？解：ab這就是說(shuō)，兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。即ab=X1x2 + y1y2abab=(x1 , y1 ),=(x2 , y2 ),=x1 +y1 ,ijab=x2 +y2ij1212x xy yab=（x1 +y1 ) (x2 +y2 )ijij=x1x2 + x1y2 +x2y1 +y1y2iiijjjji數(shù)量積的主要性質(zhì)的坐標(biāo)表示：數(shù)量積的主要性質(zhì)的坐標(biāo)表示：是兩個(gè)非零向量設(shè)ba,01baba數(shù)量積為零是

10、判定兩向量垂直的充要條件0,21212211yyxxbayxbyxa則設(shè)非零向量 babababababa,;,.2反向時(shí)與當(dāng)向量同向時(shí)與當(dāng)aaaaaa或特別地2,用于計(jì)算向量的模22,yxayxa則設(shè) .cos.3baba2222212121212211cos,yxyxyyxxyxbyxa則設(shè)用于計(jì)算向量的夾角三、公式應(yīng)用及鞏固練習(xí) （約27分鐘）引例解答：已知：A(2，1)，B(3，2)，C(1，4)，求證：ABC是直角三角形.證明： ABC是直角三角形. =(3-2,2-1)=(1,1) ABAC =(-1-2,4-1)=(-3,3)ABAC =1(-3)+13=0 ABAC求 向量 與

11、 的夾角的余弦值 （因本題比較簡(jiǎn)單，故要求學(xué)生自學(xué)。)例1：已知 =（3，2）， =（1，-1） a ab ba ab b即圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 解：設(shè)M（x,y)是圓C上任意一點(diǎn)，例 2：求以點(diǎn)C ( , b )為圓心，r 為半徑的圓的方程即 = r2CMCM則| | =r, CM 因?yàn)?=（x-,y-b),CM 特別地：如果圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)上，這 時(shí) =0,b=0 ，那么圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2+y2=r2。所以(x-)2+(y-b)2=r2,CMyxo. 設(shè)P（x,y)為所求直線 l上一點(diǎn) ，根據(jù)圓的線性質(zhì)，例例3 已知已知 圓圓C：（：（x-)2+(y-b)2=r2, 求與圓C相切于點(diǎn)P0（x0,

12、 y0)的 切線方程注意：若=0，b=0,容易得出此時(shí)的切線方程為 x0 x+y0y=r2解：因?yàn)?0 =(x0-,y0-b), 0 =(x-x0,y-y0),所以（x0-） （x-x0 ）+（y0-b）（y-y0）=0cpppcp0p.cp有 0 ，即 0 0 =0cplppP111答案 1、（1）=3（-6）+29=0ab4 -43因?yàn)?00 1800 3=21+2 -43 =2 -2 （2）cos = 21+(2 -4) 13ab2、故有 ab=21所以 =600 P112 A組第1題答案 ( 1 ) 垂直（2）垂直 （3）不垂直（4）垂直P112B組第4小題答案如圖：設(shè)C（x,y)為圓

13、上任意一點(diǎn)，因?yàn)锳B為圓的直徑，故ACB=900 ，從而 =0，即（x-x1,y-y1)(x-x2,y-y2)=0,(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0這即是以AB為直徑的圓方程ACBCBCACOXyACBM1、 已知 =(1,2) , = (-3,2) ,當(dāng)k為何值時(shí)，（1）k + 與 - 3 垂直?（2）k + 與 -3 平行？2、已知：A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)分別為(2，0)、 aaaaabbbbb(4，2)、(0，4)，直線 l 過(guò)A、B兩點(diǎn)，求點(diǎn)C到 l 的距離.OABCxylH四、小結(jié)： （約1分鐘）（1） 掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和；（2） 要學(xué)會(huì)運(yùn)用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示解決有關(guān)長(zhǎng)