導數(shù)的應(yīng)用習題課

1、導數(shù)的應(yīng)用習題課導數(shù)的應(yīng)用習題課一、知識點一、知識點1導數(shù)應(yīng)用的知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖：導數(shù)應(yīng)用的知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖：2基本思想與基本方法：基本思想與基本方法：數(shù)形轉(zhuǎn)化思想：從幾何直觀入手，理解函數(shù)單調(diào)數(shù)形轉(zhuǎn)化思想：從幾何直觀入手，理解函數(shù)單調(diào) 性與其導數(shù)的關(guān)系，由導數(shù)的幾何意義直觀地探性與其導數(shù)的關(guān)系，由導數(shù)的幾何意義直觀地探 討出用求導的方法去研究，解決有導數(shù)函數(shù)的極討出用求導的方法去研究，解決有導數(shù)函數(shù)的極 值與最值問題。這體現(xiàn)了數(shù)學研究中理論與實踐值與最值問題。這體現(xiàn)了數(shù)學研究中理論與實踐 的辯證關(guān)系，具有較大的實踐意義。的辯證關(guān)系，具有較大的實踐意義。求有導數(shù)函數(shù)求有導數(shù)函數(shù)y=f(x)單調(diào)區(qū)間

2、的步驟：單調(diào)區(qū)間的步驟： i）求）求f(x)； ii）解不等式）解不等式f(x)0（或（或f(x)0）；）； iii）確認并指出遞增區(qū)間（或遞減區(qū)間）。）確認并指出遞增區(qū)間（或遞減區(qū)間）。 證明有導數(shù)函數(shù)證明有導數(shù)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a，b)內(nèi)的單調(diào)性：內(nèi)的單調(diào)性： i）求）求f(x)； ii）解不等式）解不等式f(x)0（或（或f(x)0）；）； iii）確認）確認f(x)在在(a，b)內(nèi)的符號；內(nèi)的符號； iv）作出判斷。）作出判斷。 求有導數(shù)的函數(shù)求有導數(shù)的函數(shù)y=f（x）的極值的步驟：）的極值的步驟： i）求導數(shù)）求導數(shù)f(x)； ii）求方程）求方程f(x)=0的全部實根；

3、的全部實根； iii）檢查）檢查f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右兩側(cè)的值的根左右兩側(cè)的值 的符號，如果左正右負，那么的符號，如果左正右負，那么f（x）在這個）在這個 根處取得極大值；如果左負右正，那么根處取得極大值；如果左負右正，那么f（x） 在這個根處取得極小值。在這個根處取得極小值。設(shè)設(shè)y=f（x）在）在a，b上有定義，在上有定義，在(a，b)內(nèi)有導數(shù)，內(nèi)有導數(shù)，求求f（x）在）在a，b上的最大值和最小值的步驟：上的最大值和最小值的步驟： i）求）求f（x）在（）在（a，b）內(nèi)的極值；）內(nèi)的極值； ii）將）將f（x）的各極值與）的各極值與f（a）、）、f（b）比較，確）比較，確

4、定定f（x）的最大值與最小值。）的最大值與最小值。在實際問題中，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值在實際問題中，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值 點（單峰函數(shù)），那么，只要根據(jù)實際意義判定點（單峰函數(shù)），那么，只要根據(jù)實際意義判定 最值，不必再與端點的函數(shù)值作比較。最值，不必再與端點的函數(shù)值作比較。二、例題選講二、例題選講例例1:討論函數(shù)討論函數(shù) 的單調(diào)性的單調(diào)性.|1|1|)(xxxxxf 解解:函數(shù)的定義域為函數(shù)的定義域為)., 1 () 1 , 0()0 ,( 當當x1時時,.) 1(12211)(2 xxxxxxxxxf.) 1(12)(22 xxxxf故當故當x1時時,0)( xf. 0)(

5、xf當當0 x1時時,) 1(12)(,) 1(122)(222 xxxxfxxxxxf故當故當0 x1/2時時, ;當當1/2x0或或x0)的極大值為的極大值為6,極小極小 值為值為2. (1)試確定常數(shù)試確定常數(shù)a、b的值的值; (2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.答案答案:(1)a=1,b=4. (2)單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為(-,-1)和和(1,+).例例3:試問試問:曲線曲線y=x6/3上哪一點的法線在上哪一點的法線在y軸上截距最小軸上截距最小 ?(所謂法線是指所謂法線是指:過曲線上一點與以此點為切點的過曲線上一點與以此點為切點的 切線垂直的直線切線垂直的直線).解解

6、:在已知曲線上任取一點在已知曲線上任取一點(x, x6/3),則過該點的切線的則過該點的切線的 斜率為斜率為 ,從而法線的斜率為從而法線的斜率為52xyk .215x 故法線方程為故法線方程為).(213156xXxxY 令令X=0,得法線在得法線在y軸上的截距軸上的截距:.21346xxY 則則.)1(22251055xxxxY 令令 ,得得. 10 xY當當x-1時時, ,則則Y單調(diào)減小單調(diào)減小;當當-1x0時時, ,則則Y單調(diào)增加單調(diào)增加;當當0 x1時時, ,則則Y單調(diào)增加單調(diào)增加.0 Y0 Y0 Y0 Y故當故當 時時,Y有最小值有最小值5/6,此時點此時點 為所求為所求.1 x)3

7、1, 1( 練習練習2:已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在在x=-2/3與與x=1處都處都 取得極值取得極值. (1)求求a、b的值的值; (2)若若x-1,2時時,不等式不等式f(x)c2恒成立恒成立,求求c的取的取 值范圍值范圍.答案答案:(1)a=-1/2,b=-2. (2)利用利用f(x)maxc2,解得解得c2.練習練習3:若函數(shù)若函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx在在(-,0及及2,+)上都是上都是 增函數(shù)增函數(shù),而在而在(0,2)上是減函數(shù)上是減函數(shù),求此函數(shù)在求此函數(shù)在-1,4上上 的值域的值域.答答:由已知得由已知得 可求得可求得c=0,b=-3,從而從而f(x

8、)= x3-3x2.又又f(-1)=f(2)=-4,f(0)=0,f(4)=16,所以函數(shù)所以函數(shù)f(x) 在在-1,4上的上的值域是值域是-4,16., 0) 2() 0( ffxy例例4: 如圖如圖,在二次函數(shù)在二次函數(shù)f(x)= 4x-x2的圖象與的圖象與x軸所軸所 圍成的圖形中有一個圍成的圖形中有一個 內(nèi)接矩形內(nèi)接矩形ABCD,求這求這 個矩形的最大面積個矩形的最大面積.解解:設(shè)設(shè)B(x,0)(0 x2), 則則 A(x, 4x-x2).從而從而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形故矩形ABCD的面積的面積為為:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0

9、x0得得x=1.0)( xf而而0 x1時時, ,所以所以x=1是是f(x)的的極小值點極小值點.0)( xf0)( xf所以當所以當x=1時時,f(x)取最小值取最小值f(1)=1.從而當從而當x0時時,f(x)1恒成立恒成立,即即: 成立成立.2)1(211ln xxx3)1(321x 三、小結(jié)三、小結(jié)四、作業(yè)四、作業(yè)1.要充分掌握導數(shù)應(yīng)用的基本思想與基本方法要充分掌握導數(shù)應(yīng)用的基本思想與基本方法.2.要認識導數(shù)應(yīng)用的本質(zhì)要認識導數(shù)應(yīng)用的本質(zhì),強化應(yīng)用意識強化應(yīng)用意識.3.認真梳理知識認真梳理知識,夯實基礎(chǔ)夯實基礎(chǔ),善于利用等價轉(zhuǎn)化善于利用等價轉(zhuǎn)化,數(shù)形結(jié)數(shù)形結(jié) 合等數(shù)學思想方法合等數(shù)學思

10、想方法,發(fā)展延拓發(fā)展延拓,定能不斷提高解題的定能不斷提高解題的 靈活性和變通性靈活性和變通性.p.257258課后強化訓練課后強化訓練.例例2:已知已知f(x)=x2+c,且且ff(x)=f(x2+1) (1)設(shè)設(shè)g(x)=ff(x),求求g(x)的解析式的解析式. (2)設(shè)設(shè) ,試問試問:是否存在實數(shù)是否存在實數(shù) ,使使 在在(-,-1)內(nèi)為減函數(shù)內(nèi)為減函數(shù),且在且在(-1,0)內(nèi)是增函數(shù)內(nèi)是增函數(shù).)()()(xfxgx )(x 說明說明:此題為此題為p.248第第15題題.解解:(1)由由已知已知得得ff(x)=f(x2+c)=(x2+c)2+c,f(x2+1)= (x2+1)2+c;由

11、由ff(x)=f(x2+1)得得:(x2+c)2+c=(x2+1)2+c,即即(x2+c)2=(x2+1)2,故故c=1.所以所以f(x)=x2+1.從而從而g(x)=ff(x)=f(x2+1)=(x2+1)2+1=x4+2x2+2.(2).2()2()()()(24 xxxfxgx若滿足條件的若滿足條件的 存在存在,則則.)2( 24)(3xxx 由函數(shù)由函數(shù) 在在(-,-1)內(nèi)為減函數(shù)知內(nèi)為減函數(shù)知,當當x-1時時, 即即 對于對于 恒成立恒成立.)(x , 0)( x ) 1 ,(0)2( 243 xxx . 44)2(2, 44;4)2(2, 122 xxxxx而而又函數(shù)又函數(shù) 在在(

12、-1,0)內(nèi)為增函數(shù)知內(nèi)為增函數(shù)知,當當-1x0時時, 即即 對于對于 恒成立恒成立.)(x , 0)( x )0 , 1(0)2( 243 xxx . 44)2( 2, 044, 01,4)2( 222 xxx 故當故當 時時, 在在(-,-1)內(nèi)為減函數(shù)內(nèi)為減函數(shù),且在且在(-1,0)內(nèi)是內(nèi)是增函數(shù)增函數(shù),即滿足條件的即滿足條件的 存在存在.4 )(x 另解另解:由已知的單調(diào)性知由已知的單調(diào)性知:(-,-1)內(nèi)內(nèi) ,(-1,0)內(nèi)內(nèi) 又又 在點在點x=-1處連續(xù)處連續(xù),故點故點x=-1是極小值點是極小值點.0)( xf0)( xf)( x . 40) 1( 例例5:如圖寬為如圖寬為a的走廊與另一走廊的走廊與另一走廊 垂直相連垂直相連,如果長為如果長為8a的細桿的細桿 能水平地通過拐角能水平地通過拐角,問另一走問另一走 廊的寬度至少是多少廊的寬度至少是多少?aAB C8a解解:設(shè)細桿與另一走廊一邊夾角為設(shè)細桿與另一走廊一邊夾角為 又