物理平面問(wèn)題的基本理論P(yáng)PT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1物理平面問(wèn)題的基本理論物理平面問(wèn)題的基本理論第七節(jié)第七節(jié) 圣維南原理及其應(yīng)圣維南原理及其應(yīng)用用第八節(jié)第八節(jié) 按位移求解平面問(wèn)題按位移求解平面問(wèn)題第九節(jié)第九節(jié) 按應(yīng)力求解平面問(wèn)題按應(yīng)力求解平面問(wèn)題 相容方程相容方程例例 題題教學(xué)參考資料教學(xué)參考資料習(xí)題的提示和答案習(xí)題的提示和答案第十節(jié)第十節(jié) 常應(yīng)力情況下的簡(jiǎn)化常應(yīng)力情況下的簡(jiǎn)化 應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)第1頁(yè)/共205頁(yè) 彈力平面問(wèn)題共有應(yīng)力、應(yīng)變、位 移8個(gè)未知函數(shù) ，且均為 。zyxf,yxf,平面應(yīng)力第2頁(yè)/共205頁(yè) 條件是： 等厚度的薄板；體力 、 作用于體內(nèi)， 面，沿板厚不變；面力 、 作用于板邊， 面，沿板厚不變；約束 、 作用于

2、板邊， 面，沿板厚不變。xfyfuv 有兩類問(wèn)題可以簡(jiǎn)化為平面問(wèn)題。第一種：平面應(yīng)力問(wèn)題第一種：平面應(yīng)力問(wèn)題 平面應(yīng)力yfxfxyxyxy第3頁(yè)/共205頁(yè) 坐標(biāo)系如圖選擇。平面應(yīng)力第4頁(yè)/共205頁(yè) 簡(jiǎn)化為平面應(yīng)力問(wèn)題：簡(jiǎn)化為平面應(yīng)力問(wèn)題： 故只有平面應(yīng)力 存在。. 0,2zzyzxz).( , 0,中在Vzyzxz 由于薄板很薄，應(yīng)力是連續(xù)變化的，又無(wú)z向外力，可認(rèn)為：平面應(yīng)力兩板面上無(wú)面力和約束作用，故xyyx, ,第5頁(yè)/共205頁(yè) 歸納為平面應(yīng)力問(wèn)題：歸納為平面應(yīng)力問(wèn)題：a.應(yīng)力中只有平面應(yīng)力 存在；b.且僅為 。yxf,平面應(yīng)力xyyx, ,由于板為等厚度，外力、約束沿z 向不變，

3、故應(yīng)力 僅為 。yxf,xyyx, ,第6頁(yè)/共205頁(yè)如：弧形閘門閘墩計(jì)算簡(jiǎn)圖：平面應(yīng)力深梁計(jì)算簡(jiǎn)圖：Fyfyf第7頁(yè)/共205頁(yè)例題1（習(xí)題2-3） 選擇坐標(biāo)系如圖。因表面無(wú)任何面力，、 、 = 0,故表面上在近表面很薄一層 接近平面應(yīng)力問(wèn)題。xfyfzf. 0,zyzxz平面應(yīng)力. 0,zyzxz第8頁(yè)/共205頁(yè)第二種：平面應(yīng)變問(wèn)題第二種：平面應(yīng)變問(wèn)題 條件是： 很長(zhǎng)的常截面柱體 ；體力 、 作用于體內(nèi)， 面， 沿長(zhǎng)度方向不變；面力 、 作用于柱面， 面， 沿長(zhǎng)度方向不變；約束 、 作用于柱面， 面， 沿長(zhǎng)度方向不變。平面應(yīng)變xfyfxfyfuvxyxyxy第9頁(yè)/共205頁(yè)yxozy

4、zox坐標(biāo)系選擇如圖：平面應(yīng)變對(duì)稱面zy第10頁(yè)/共205頁(yè)故任何 z 面（截面）均為對(duì)稱面。（平面位移問(wèn)題）只有 ; , 0u,vw（平面應(yīng)變問(wèn)題）只有 ., , 0,0, 00 xyyxzyzxzyzxzw平面應(yīng)變 截面、外力、約束沿z向不變，外力、約束xy面，柱體非常長(zhǎng)，簡(jiǎn)化為平面應(yīng)變問(wèn)題：簡(jiǎn)化為平面應(yīng)變問(wèn)題：第11頁(yè)/共205頁(yè) 由于截面形狀、體力、面力及約束 沿 向均不變，故應(yīng)力、應(yīng)變、位移 均為 。yxf,z平面應(yīng)變第12頁(yè)/共205頁(yè)平面應(yīng)變yxf,xyyx,第13頁(yè)/共205頁(yè)平面應(yīng)變隧道擋土墻oyxyox第14頁(yè)/共205頁(yè)例2（習(xí)題（習(xí)題2-42-4）按平面應(yīng)變問(wèn)題特征來(lái)分

5、析，本題中只有 ，且為. 0,0, 0zyzxzyzxz平面應(yīng)變yxf,xyyx,oxyz第15頁(yè)/共205頁(yè)定義平衡微分方程表示物體內(nèi)任 一點(diǎn)的微分體 的平衡條件。第16頁(yè)/共205頁(yè) 在任一點(diǎn)（x，y）取出一微小的平行六面體 ,作用于微分體上的力：體力： 。應(yīng)力：作用于各邊 上，并表示 出正面上由 坐標(biāo)增量引 起的應(yīng)力增 量。1dd yxyxff ,定義第17頁(yè)/共205頁(yè)應(yīng)用的基本假定應(yīng)用的基本假定：連續(xù)性假定應(yīng)力用連續(xù)函數(shù)來(lái)表示。小變形假定用變形前的尺寸代替變 形后的尺寸。 第18頁(yè)/共205頁(yè)列出平衡條件列出平衡條件 ：合力 = 應(yīng)力面積，體力體積； 以正向物理量來(lái)表示。平面問(wèn)題中可

6、列出三個(gè)平衡條件:平衡條件平衡條件第19頁(yè)/共205頁(yè)其中一階微量抵消，并除以 得： . 01dd1d1d)d(1d1d)d(, 0yxfxxyyyyxxFxyxyxyxxxxxyxdd)(. 0afyxxyxx0yF)(. 0bfxyyxyy，同理可得：平衡條件平衡條件合力 = 應(yīng)力面積，體力體積； 以正向物理量來(lái)表示第20頁(yè)/共205頁(yè) , 0cM 當(dāng) 時(shí)，得切應(yīng)力互等定理,得,d21d21yyxxyxyxxyxy0d,dyx)(.cyxxy平衡條件平衡條件第21頁(yè)/共205頁(yè) 對(duì)平衡微分方程的說(shuō)明：對(duì)平衡微分方程的說(shuō)明： 代表A中所有點(diǎn)的平衡條件， （ ，）A； 適用的條件連續(xù)性、小變形

7、； 應(yīng)力不能直接求出； 對(duì)兩類平面問(wèn)題的方程相同。x y說(shuō)明說(shuō)明第22頁(yè)/共205頁(yè)比較: 理力考慮整體 的平衡（只決定整體的 運(yùn)動(dòng)狀態(tài)）。 材力考慮有限體 的平衡（近似）。 彈力考慮微分體 的平衡（精確）。VVVd說(shuō)明說(shuō)明第23頁(yè)/共205頁(yè) 當(dāng) 均平衡時(shí)，保證 、 平衡；反之則不然。 所以彈力的平衡條件是嚴(yán)格的、精確的。 VV說(shuō)明說(shuō)明Vd第24頁(yè)/共205頁(yè)理力（ V ）材力（ ）彈力（ ）bxhVd1dddyxVhV dxdy dx第25頁(yè)/共205頁(yè)思考題1.試檢查，同一方程中的各項(xiàng)，其量綱 必然相同（可用來(lái)檢驗(yàn)方程的正確性）。2.將條件 ,改為對(duì)某一角點(diǎn)的 ，將得出什么結(jié)果？3.微分

8、體邊上的應(yīng)力若考慮為不均勻分布， 將得出什么結(jié)果？0cM0M第26頁(yè)/共205頁(yè) 已知坐標(biāo)面上應(yīng)力 ， 求斜面上的應(yīng)力。問(wèn)題的提出：2 23 3平面問(wèn)題中一點(diǎn)的平面問(wèn)題中一點(diǎn)的 應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)問(wèn)題問(wèn)題xyyx, ,第27頁(yè)/共205頁(yè)斜面應(yīng)力表示：求解：取出一個(gè)三角形微分體（包含 面、 面， 面） 邊長(zhǎng)).,(),(nnyxppppn.,mdsPAldsPBdsAB問(wèn)題問(wèn)題xy第28頁(yè)/共205頁(yè)由平衡條件，并略去高階分量體力項(xiàng)，得(1)求（ , ）（a）xpyp,xyyyyxxxlmpmlp斜面應(yīng)力斜面應(yīng)力其中其中l(wèi)=cos(n,x),m=sin(n,y).第29頁(yè)/共205頁(yè)(2)求（

9、）將 向法向、切向投影，得nn ,),(yxppp )( .)()(,22222bmllmmplplmmlmplpxyxyxynxyyxyxn斜面應(yīng)力斜面應(yīng)力第30頁(yè)/共205頁(yè) 設(shè)某一斜面為主面，則只有由此建立方程，求出:, 0,nn(3)求主應(yīng)力斜面應(yīng)力斜面應(yīng)力)(.tan,22112211cxyxxyyxyx不會(huì)，沒(méi)理解不會(huì)，沒(méi)理解第31頁(yè)/共205頁(yè)將x，y放在 方向，列出任一斜面上應(yīng)力公式，可以得出（設(shè) ）21, 21 . 45 ,2,2121的斜面上應(yīng)力成發(fā)生在與主nmaxminnmaxmin(4)求最大、最小應(yīng)力最大、最小應(yīng)力最大、最小應(yīng)力說(shuō)明：以上均應(yīng)用彈力符號(hào)規(guī)定導(dǎo)出。(d)

10、第32頁(yè)/共205頁(yè)幾何方程幾何方程表示任一點(diǎn)的微分線段 上形變與位移之間的關(guān)系。2 24 4幾何方程剛體位幾何方程剛體位移移定義定義第33頁(yè)/共205頁(yè)變形前位置： 變形后位置： 各點(diǎn)的位置如圖。 通過(guò)點(diǎn)P(x,y)作兩正坐標(biāo)向的微分線段, ,dyPBdxPABAPBAP,定義定義第34頁(yè)/共205頁(yè).1tan, 1!21cos,! 3sin23 應(yīng)用基本假定：連續(xù)性；小變形。當(dāng)很小時(shí)，假定假定第35頁(yè)/共205頁(yè).tan.)(xvdxdxxvxudxudxxuux.xuyvy假定假定由位移求形變：PA 線應(yīng)變PA 轉(zhuǎn)角PB 線應(yīng)變PB 轉(zhuǎn)角同理，第36頁(yè)/共205頁(yè) 適用于區(qū)域內(nèi)任何點(diǎn)，因

11、為（x,y） A；對(duì)幾何方程的說(shuō)明：. , ,yuxvyvxuxyyx平面問(wèn)題的幾何方程為說(shuō)明說(shuō)明 適用條件：a.連續(xù)性；b.小變形。 應(yīng)用小變形假定，略去了高階小量 線性的幾何方程；第37頁(yè)/共205頁(yè) 幾何方程是變形后物體連續(xù)性條件 的反映和必然結(jié)果。 形變和位移之間的關(guān)系： 位移確定位移確定 形變完全確定：形變完全確定： 從物理概念看，各點(diǎn)的位置確定，則微分線段上的形變確定 。 說(shuō)明說(shuō)明 從數(shù)學(xué)推導(dǎo)看，位移函數(shù)確定，則其導(dǎo)數(shù)（形變）確定 。第38頁(yè)/共205頁(yè) 從物理概念看， 、 確定，物體還可作剛體位移。 從數(shù)學(xué)推導(dǎo)看， 、 確定，求位移是積分運(yùn)算，出現(xiàn)待定函數(shù)。形變確定，位移不完全確

12、定形變確定，位移不完全確定 ： 形變與位移的關(guān)系形變與位移的關(guān)系第39頁(yè)/共205頁(yè)由 兩邊對(duì)y積分，代入第三式由 兩邊對(duì)x積分，例：若 ,求位移：0 xyyx)( , 0 ayuxvxy形變與位移的關(guān)系形變與位移的關(guān)系0 xxu0yyv).(0),(1yfyxu).(0),(2xfyxv第40頁(yè)/共205頁(yè)分開(kāi)變量， )(. ) ()()( 21bdxxdfdyydf 因?yàn)閹缀畏匠痰谌綄?duì)任意的（x，y）均應(yīng)滿足。當(dāng)x（y）變化時(shí)，式(b)的左、右均應(yīng)=常數(shù) ，由此解出 。得形變與位移的關(guān)系形變與位移的關(guān)系21, ff)( . , cx vvyuuoo第41頁(yè)/共205頁(yè)物理意義：00,vu

13、形變與位移的關(guān)系形變與位移的關(guān)系 表示物體繞原點(diǎn)的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。 表示x，y向的剛體平移，第42頁(yè)/共205頁(yè) 結(jié)論：結(jié)論： 形變確定，則與形變有關(guān)的位移可以確定，而與形變無(wú)關(guān)的剛體位移 則未定。須通過(guò)邊界上的約束條件來(lái)確定 。,oovu,oovu第43頁(yè)/共205頁(yè)思考題 1.試證明微分體繞z軸的平均轉(zhuǎn)動(dòng)分量是 2.當(dāng)應(yīng)變?yōu)槌Ａ繒r(shí)， 試求出對(duì)應(yīng)的位移分量。).(21yuxv,cbaxyyx第44頁(yè)/共205頁(yè)物理方程表示（微分體上）應(yīng)力和形變 之間的物理關(guān)系。,1 ),(1,1 ),(1,1 ),(1xyxyyxzzzxzxxzyyyzyzzyxxGEGEGE定義利用廣義胡克定律：第45頁(yè)/共2

14、05頁(yè) 物理方程的說(shuō)明物理方程的說(shuō)明：說(shuō)明說(shuō)明 正應(yīng)力只與線應(yīng)變有關(guān)；切應(yīng)力只與切 應(yīng)變有關(guān)。 是線性的代數(shù)方程； 是總結(jié)實(shí)驗(yàn)規(guī)律得出的； 適用條件理想彈性體；第46頁(yè)/共205頁(yè) 物理方程的兩種形式： 應(yīng)變用應(yīng)力表示，用于 按應(yīng)力求解； 應(yīng)力用應(yīng)變（再用位移表示） 表示，用于按位移求解。)(f )(f說(shuō)明說(shuō)明第47頁(yè)/共205頁(yè) 平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程：平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程： 代入 ，得在z方向0zyzxz)(.)1 ( 2),(1 ),(1aEEExyxyxyyyxx).( , 0yxzzE平面應(yīng)力第48頁(yè)/共205頁(yè) 代入 得, 0zyzxz)(.)1 (2),1(1),1(122bE

15、EExyxyxyyyxx 平面應(yīng)變問(wèn)題的物理方程平面應(yīng)變問(wèn)題的物理方程平面應(yīng)變?cè)趜方向，).(,0yxzz第49頁(yè)/共205頁(yè).1 ,12EE變換關(guān)系變換關(guān)系：.1 ,)1 ()21 (2EE平面應(yīng)變物理方程平面應(yīng)力物理方程：第50頁(yè)/共205頁(yè)第51頁(yè)/共205頁(yè)位移邊界條件位移邊界條件 設(shè)在 部分邊界上給定 位移分量 和 ,則有),()( ),()(svvsuuss（在 上)。（a）usus定義)(su)( sv邊界條件邊界條件 表示在邊界上位移與約束、 或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系。位移邊界條件第52頁(yè)/共205頁(yè) 若為簡(jiǎn)單的固定邊， 則有位移邊界條件的說(shuō)明：sus, 0vu, 0)( , 0

16、)(ssvuus（在 上）。（b） 它是在邊界上物體保持連續(xù)性的條 件，或位移保持連續(xù)性的條件。 它是函數(shù)方程，要求在 上每一點(diǎn) ， 位移與對(duì)應(yīng)的約束位移相等。第53頁(yè)/共205頁(yè)在23 中，通過(guò)三角形微分體的平衡條件，導(dǎo)出坐標(biāo)面應(yīng)力與斜面應(yīng)力的關(guān)系式，應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件設(shè)在 上給定了面力分 量 , ,xyyyyxxxlmpmlp).( ),(sfsfyxs（在A中）。（c）應(yīng)力邊界條件第54頁(yè)/共205頁(yè)將此三角形移到邊界上，并使斜面與邊界面重合，則得應(yīng)力邊界條件)( . ),()(),()(dssflmsfmlysxyyxsyxx上）（在l=cos(n,x),m=sin(n,y第55

17、頁(yè)/共205頁(yè) 它是邊界上微分體的靜力平衡條件；說(shuō)明應(yīng)力邊界條件的說(shuō)明： 式（c）在A中每一點(diǎn)均成立，而 式（d）只能在邊界 s上成立； 它是函數(shù)方程，要求在邊界上每一點(diǎn)s 上均滿足，這是精確的條件；第56頁(yè)/共205頁(yè) 式（d）中， 按應(yīng)力符號(hào)規(guī)定， 、 按面力符號(hào)規(guī)定；yfxf 位移、應(yīng)力邊界條件均為每個(gè)邊界兩 個(gè)，分別表示 、 向的條件；, 0yxffxy說(shuō)明xyyx, , 所有邊界均應(yīng)滿足，無(wú)面力的邊界 （自由邊） 也必須滿足。第57頁(yè)/共205頁(yè)若x=a為正x 面，l = 1, m = 0, 則式(d)成為)( .)( ,)(effyxyxaxxax 當(dāng)邊界面為坐標(biāo)面時(shí)當(dāng)邊界面為坐標(biāo)

18、面時(shí)，坐標(biāo)面yxbaxfyfxxfyfxyxxy第58頁(yè)/共205頁(yè)若x=-b為負(fù)x 面，l = -1, m = 0 , 則式(d)成為)( )( ,)(fffyxyxbxxbx。yxbaxfyfxxfyfxyxxy第59頁(yè)/共205頁(yè) 應(yīng)力邊界條件的兩種表達(dá)式：應(yīng)力邊界條件的兩種表達(dá)式：兩種表達(dá)式 在同一邊界面上，應(yīng)力分量應(yīng)等于對(duì) 應(yīng)的面力分量（數(shù)值相等，方向一 致）。即在同一邊界面上,應(yīng)力數(shù)值應(yīng) 等于面力數(shù)值(給定),應(yīng)力方向應(yīng)同面 力方向(給定)。 在邊界點(diǎn)取出微分體，考慮其平衡條 件，得式（d）或（e）、（f ）；第60頁(yè)/共205頁(yè)例如：在斜面上， 在坐標(biāo)面上，由于應(yīng)力與面力的符號(hào)規(guī)

19、定不同，故式（e）、（f ）有區(qū)別。.)( ,)(yyxsxfpfps兩種表達(dá)式第61頁(yè)/共205頁(yè)lh/2h/2qyxoyyxxyyyxx例1列出邊界條件：1q第62頁(yè)/共205頁(yè).)( 0,)(0.)( )(0.)( 0,)(0.)( 0)(01q,2hy,lxq,2hy,lxv,u,x2hyyx2hyy2hyyx2hyylxxylxx0 x0 x邊界邊界邊界邊界第63頁(yè)/共205頁(yè)yxoqqqqbbaa例2列出邊界條件：xyyyxx第64頁(yè)/共205頁(yè)顯然，邊界條件要求在 上， 也成拋物線分布。0.)( ,)()(0.)( 0,)(2baxxyaxxbyyxyybyqaxby邊界：邊界：

20、a,x x第65頁(yè)/共205頁(yè) 混合邊界條件：混合邊界條件： 部分邊界上為位移邊界條件，另一部分邊界上為應(yīng)力邊界條件； 同一邊界上，一個(gè)為位移邊界條件，另一個(gè)為應(yīng)力邊界條件?；旌线吔鐥l件第66頁(yè)/共205頁(yè)ax . 0)(, 0)(,axxyaxuaxyxoa第67頁(yè)/共205頁(yè)思考題 oxy(c)(a)(d)(b)qxnyABAxyoAMyg第68頁(yè)/共205頁(yè)1、若在斜邊界面上，受有常量的法向分布 壓力 作用，試列出應(yīng)力邊界條件， (思考題圖中（a）)。2、證明在無(wú)面力作用的0A邊上， 不等 于零（思考題圖中(b)）。3、證明在凸角A點(diǎn)附近，當(dāng)無(wú)面力作用 時(shí)，其應(yīng)力為零（思考題圖中 (c)

21、）。qy第69頁(yè)/共205頁(yè)4、試導(dǎo)出在無(wú)面力作用時(shí)，AB邊界上的 之間的關(guān)系。 （思考題圖中（d）。5、試比較平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題的 基本方程和邊界條件的異同，并進(jìn)一步 說(shuō)明它們的解答的異同。xyyx, ,第70頁(yè)/共205頁(yè) 彈力問(wèn)題是微分方程的邊值問(wèn)題。應(yīng)力、位移等未知函數(shù)必須滿足A內(nèi)的方程和S上的邊界條件。主要的困難在于難以滿足邊界條件。 圣維南原理可用于簡(jiǎn)化小邊界上的應(yīng)力邊界條件。第71頁(yè)/共205頁(yè) 圣維南原理：圣維南原理： 如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對(duì)同一點(diǎn)的主矩也相同），那么，近處的應(yīng)力分量將有顯著的改變，但遠(yuǎn)處所受的影

22、響可以不計(jì)。圣維南原理第72頁(yè)/共205頁(yè)圣維南原理1、圣維南原理只能應(yīng)用于一小部分邊界 （小邊界，次要邊界或局部邊界）； 圣維南原理的說(shuō)明：4、遠(yuǎn)處 指“近處”之外。3、近處 指面力變換范圍的一、二倍 的局部區(qū)域；2、靜力等效 指兩者主矢量相同，對(duì) 同一點(diǎn)主矩也相同；第73頁(yè)/共205頁(yè)圣維南原理 圣維南原理表明，在小邊界上進(jìn)行面力的靜力等效變換后，只影響近處（局部區(qū)域）的應(yīng)力，對(duì)絕大部分彈性體區(qū)域的應(yīng)力沒(méi)有明顯影響。 圣維南原理推廣：如果物體一小部分邊界上的面力是一個(gè)平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，這個(gè)面力就只會(huì)使近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力，而遠(yuǎn)處的應(yīng)力可以不計(jì)。第74頁(yè)/共205頁(yè)hFF

23、/2 F/2F/2F/2FF/b3465421321 )(bh 6543214321 b第75頁(yè)/共205頁(yè)推廣0 0 0 034112 0 02 01第76頁(yè)/共205頁(yè)應(yīng)用第77頁(yè)/共205頁(yè)lx 圣維南原理在小邊界上的應(yīng)用：圣維南原理在小邊界上的應(yīng)用： 如圖，考慮 小邊界， 精確的應(yīng)力邊界條件第78頁(yè)/共205頁(yè)。)(),(),(),(yfyxyfyxylxxyxlxx(a)在同一邊界 上，lx 第79頁(yè)/共205頁(yè)圣維南原理的應(yīng)用積分的應(yīng)力邊界條件在小邊界x=l上，用下列條件代替式(a)的條件： 在同一邊界 x=l 上， 應(yīng)力的主矢量 = = 面力的主矢量（給定) 應(yīng)力的主矩(M)=

24、= 面力的主矩（給定）),(yxFF數(shù)值相等方向一致(b)第80頁(yè)/共205頁(yè) 右端面力的主矢量、主矩的數(shù)值及方向，均已給定； 左端應(yīng)力的主矢量、主矩的數(shù)值及方向，應(yīng)與面力相同，并按應(yīng)力的方向規(guī)定確定正負(fù)號(hào)。第81頁(yè)/共205頁(yè))( ).( 1)d(1d)(),(1)d(1d)(),( 1)d(1d)(2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/cFyyfyMyyyfyyFyyfyShhylxhhxhhxlxhhxNhhxlxhhx 具體列出三個(gè)積分的條件：第82頁(yè)/共205頁(yè)即： 應(yīng)力的主矢量、主矩的數(shù)值=面力的主矢量、主矩的數(shù)值； 應(yīng)力的主矢量、主矩的方向=面力的主矢量、主矩的方向。

25、式中應(yīng)力主矢量、主矩的正方向應(yīng)力主矢量、主矩的正方向的正負(fù)號(hào)的確定： 應(yīng)力的主矢量的正方向，即應(yīng)力的正方向， 應(yīng)力的主矩的正方向，即（正應(yīng)力） （正的矩臂）的方向。第83頁(yè)/共205頁(yè) 討論：討論： 1.如果只給出面力的主矢量、主矩如圖，則式(c)右邊直接代入面力的主矢量、主矩； 2.在負(fù) x 面， ，由于應(yīng)力、面力的符號(hào)規(guī)定不同，應(yīng)在式(c)中右端取負(fù)號(hào)； 3.積分的應(yīng)力邊界條件(b)或(c)雖是近似的，但只用于小邊界，不影響整體解答的精度。lx第84頁(yè)/共205頁(yè)比較：比較：第85頁(yè)/共205頁(yè)矢量和主矩作用。x第86頁(yè)/共205頁(yè) 平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題，除物理方程的彈性系數(shù)須變換外

26、，其余完全相同。因此，兩者的解答相似,只須將 進(jìn)行變換。以下討論平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題。 1.平面問(wèn)題的基本方程及邊界條件,E平面問(wèn)題第87頁(yè)/共205頁(yè))(. 0, 0Afxyfyxyxyyxyxx 平面域平面域A內(nèi)的基本方程內(nèi)的基本方程: :平衡微分方程第88頁(yè)/共205頁(yè))(. , ,Ayuxvyvxuxyyx)( .)1 (2),(1),(1AEEExyxyxyyyxx幾何方程物理方程第89頁(yè)/共205頁(yè) S S上邊界條件上邊界條件:應(yīng)力邊界條件 位移邊界條件 8個(gè)未知函數(shù) 必須滿足上述方程和邊界條件。（在 上）（在 上）.)(,)(.)(,)(vvuuflmfmlssysxyyxs

27、yxxs),(vuxyyxxyyxus第90頁(yè)/共205頁(yè) 按位移求解（位移法）取 ， 為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去形變和應(yīng)力，導(dǎo)出只含 ， 的方程和邊界條件，從而求出 ， ；再求形變和應(yīng)力。 2.解法消元法 uvuvuv解法第91頁(yè)/共205頁(yè) 按應(yīng)力求解（應(yīng)力法）取 為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去位移和形變，導(dǎo)出只含應(yīng)力的方程和邊界條件，從而求出應(yīng)力；再求形變和位移。xyyx, 這是彈力問(wèn)題的兩種基本解法。第92頁(yè)/共205頁(yè) 3. 按位移求解按位移求解u vu vu vu v 將其他未知函數(shù)用 ，表示： 形變用 ，表示幾何方程; 應(yīng)力先用形變來(lái)表示（物理方程）， 再代入

28、幾何方程，用 ，表示。 取 ，為基本未知函數(shù)；按位移求解第93頁(yè)/共205頁(yè))().()1 (2)1 (2),(1)(1),(1)(12222ayuxvEExuyvEEyvxuEExyxyxyyyxx第94頁(yè)/共205頁(yè) 在A中導(dǎo)出求 ，的基本方程將式(a) 代入平衡微分方程， 上式是用 ，表示的平衡微分方程。)( )(. 0)2121(1, 0)2121(1222222222222bAfyxuxvyvEfyxvyuxuEyxu vu v第95頁(yè)/共205頁(yè) 在S上的邊界條件位移邊界條件 （在 上）(d)（在 上）(c).)(,)(vvuussus.)(21)(1,)(21)(122ysxsf

29、yuxvlxuyvmEfxvyumyvxulEs應(yīng)力邊界條件將式(a)代入應(yīng)力邊界條件，第96頁(yè)/共205頁(yè)nu vuvu v第97頁(yè)/共205頁(yè)法）中有著廣泛的應(yīng)用。第98頁(yè)/共205頁(yè)gffyx , 0 xoyloyxgg(a) (b)第99頁(yè)/共205頁(yè)解：為了簡(jiǎn)化，設(shè)位移 按位移求解，位移應(yīng)滿足式(b),(c),(d)。代入式(b),第一式自然滿足，第二式成為, 0).(, 0yvvu.22Egyvxoyloyxgg第100頁(yè)/共205頁(yè)解出 均屬于位移邊界條件，代入 ， .22BAyyEgvly, 0, 0)(, 0)(0lyyvv.2;0lEgABv第101頁(yè)/共205頁(yè)).2(2

30、),2(2),(22ylgylEgylyEgvyy在 處，2ly. 0y代入 ，并求出形變和應(yīng)力，v第102頁(yè)/共205頁(yè)思考題試用位移法求解圖(b)的位移和應(yīng)力。第103頁(yè)/共205頁(yè) 1.按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問(wèn)題（1）取 為基本未知函數(shù)；（2）其他未知函數(shù)用應(yīng)力來(lái)表示: 相容方程相容方程基本方程xyyx,第104頁(yè)/共205頁(yè) 形變用應(yīng)力表示（物理方程）。)0,(usss按應(yīng)力求解 位移用形變應(yīng)力表示，須通過(guò)積分，不僅表達(dá)式較復(fù)雜，而且包含積分帶來(lái)的未知項(xiàng)，因此位移邊界條件用應(yīng)力分量來(lái)表示時(shí)既復(fù)雜又難以求解。故在按應(yīng)力求解時(shí)，只考慮全部為應(yīng)力邊界條件的問(wèn)題,即 。 第105頁(yè)/共205頁(yè) 在

31、A內(nèi)求解應(yīng)力的方程 平衡微分方程 （2個(gè)）。 (a).22222yxxyxyyxvu(b) 從幾何方程中消去位移 、 ，得相容方相容方程（形變協(xié)調(diào)條件）程（形變協(xié)調(diào)條件）： 補(bǔ)充方程從幾何方程，物理方程中消去位移和形變得出 :第106頁(yè)/共205頁(yè) 代入物理方程，消去形變，并應(yīng)用平衡微分方程進(jìn)行簡(jiǎn)化，便得用應(yīng)力表示的相容方程 ： )(),)(1 ()(2cyfxfyxyx.22222yx其中 (4) 應(yīng)力邊界條件假定全部邊界上均為 應(yīng)力邊界條件 。)0,(usss第107頁(yè)/共205頁(yè)（1）A內(nèi)的平衡微分方程；（2）A內(nèi)的相容方程；（3）邊界 上的應(yīng)力邊界條件；（4）對(duì)于多連體，還須滿足位移的

32、單值條 件（見(jiàn)第四章）。 歸納歸納：xyyx,ss （1）-（4）也是校核應(yīng)力分量是否正確的全部條件。 按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問(wèn)題 ，應(yīng)力 必須滿足下列條件：第108頁(yè)/共205頁(yè) 2.形變協(xié)調(diào)條件（相容方程）的物理意義形變協(xié)調(diào)對(duì)應(yīng)的位移存在位移必然連續(xù)；形變不協(xié)調(diào)對(duì)應(yīng)的位移不存在不是物體實(shí)際存在的形變微分體變形后不保持連續(xù)。 形變協(xié)調(diào)條件是與形變對(duì)應(yīng)的位移存在且連續(xù)的必要條件。 形變協(xié)調(diào)條件是位移連續(xù)性的必然結(jié)果。連續(xù)體位移連續(xù)幾何方程形變協(xié)調(diào)條件。第109頁(yè)/共205頁(yè)點(diǎn)共點(diǎn)（連續(xù)），變形后三連桿在 點(diǎn)共點(diǎn)，則三連桿的應(yīng)變必須滿足一定的協(xié)調(diào)條件。例1三連桿系統(tǒng)，由于物體是連續(xù)的，變形前三連桿在

33、 DD FDD第110頁(yè)/共205頁(yè)思考題1.試比較按位移求解的方法和按應(yīng)力求解的 方法，并與結(jié)構(gòu)力學(xué)中的位移法和力法作 比較。2.若 是否可能 成為彈性體中的形變？3.若 是否 可能為彈 性體中的應(yīng)力？,)(,22xybabxayxyyx, 0, 022xyyxyxbyaxff第111頁(yè)/共205頁(yè) 1.常體力情況下按應(yīng)力求解的條件0)(2yx0, 0yxyyxyxxfxyfyx應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)(A) (b) 平衡微分方程 相容方程 (A) (a)按應(yīng)力函數(shù)求解第112頁(yè)/共205頁(yè) 應(yīng)力邊界條件 多連體中的位移單值條件。 (d)ss .)( ,)(ysxyyxsyxxflmfml(S) (

34、c)0,(usss第113頁(yè)/共205頁(yè) 在 - - 條件下求解 的全部條件(a)、(b)、(c)中均不包含彈性常數(shù)，故 與彈性常數(shù)無(wú)關(guān)。 2.在常體力,單連體,全部為應(yīng)力邊界條件（ ）下的應(yīng)力 特征：ss xyyx,xyyx,xyyx,第114頁(yè)/共205頁(yè)不同材料的應(yīng)力( )的理論解相 同，用試驗(yàn)方法求應(yīng)力時(shí)，也可以用不 同的材料來(lái)代替。xyyx, 結(jié)論結(jié)論：兩類平面問(wèn)題的應(yīng)力解 相同，試 驗(yàn)時(shí)可用平面應(yīng)力的模型代替平面應(yīng)變的 模型。 xyyx,第115頁(yè)/共205頁(yè) 3.常體力下按應(yīng)力求解的簡(jiǎn)化)( .0 , ,eyfxfxyyyxx)( . , ,22222fyxxyxyyx 對(duì)應(yīng)的齊

35、次微分方程的通解，艾里已求出為 非齊次微分方程(b)的任一特解，如?。?）常體力下平衡微分方程的全解是： 特解+ +通解。第116頁(yè)/共205頁(yè). yxy,fxx,fy2xyy22yx22x滿足平衡微分方程的全解為:(g)第117頁(yè)/共205頁(yè)如果，則A、B均可用一個(gè)函數(shù)表示，即說(shuō)明：說(shuō)明：).()(xfyyfx),()(ByAx. ,xfByfAa.導(dǎo)出艾里（Airy）應(yīng)力函數(shù)，是應(yīng)用偏導(dǎo)數(shù)的相容性，即第118頁(yè)/共205頁(yè)b.導(dǎo)出應(yīng)力函數(shù) 的過(guò)程，也就證明了 的存在性，故可以用各種方法去求解 。),(yx),(xyyxd. 由 再去求應(yīng)力（式（g）,必然滿足平衡微分方程，故不必再進(jìn)行校核。

36、c. 仍然是未知的。但已將按應(yīng)力 求解轉(zhuǎn)變?yōu)榘磻?yīng)力函數(shù) 求解，從三個(gè)未知函數(shù)減少至一個(gè)未知函數(shù) 。第119頁(yè)/共205頁(yè)（2）應(yīng)力應(yīng)滿足相容方程（a），將式 （g）代入（a），得 （3）若全部為應(yīng)力邊界條 （ ）， 則應(yīng)力邊界條件也可用 表示。)( .0422hss 第120頁(yè)/共205頁(yè)歸納：歸納：（1）A內(nèi)相容方程（h）；（2） 上的應(yīng)力邊界條件；（3）多連體中的位移單值條件連體。ss 求出 后，可由式（g）求得應(yīng)力。 在常體力下求解平面問(wèn)題 ，可轉(zhuǎn)變?yōu)榘磻?yīng)力函數(shù)按應(yīng)力函數(shù) 求解求解， 應(yīng)滿足:第121頁(yè)/共205頁(yè)1、在常體力、單連體和全部為應(yīng)力邊界條件條件下，對(duì)于不同材料和兩類平面問(wèn)題

37、的、 和均相同。試問(wèn)其余的應(yīng)力分量、應(yīng)變和位移是否相同？xyxy思考題第122頁(yè)/共205頁(yè)2、對(duì)于按位移求解、按應(yīng)力（ 、 、 ）求解和按應(yīng)力函數(shù) 求解的方法，試比較其未知函數(shù)，應(yīng)滿足的方程和條件，求解的難易程度及局限性。xyxy第123頁(yè)/共205頁(yè) 1例題2例題3例題4例題7例題5例題6第124頁(yè)/共205頁(yè)例1 試列出圖中的邊界條件。SFMFyxl h/2 h/2q2)(lxq1q) 1,(hl(a)第125頁(yè)/共205頁(yè)解: (a)在主要邊界 應(yīng)精確滿足下列邊界條件：. , 0 , 2/; 0 ,)( , 2/12qhylxqhyxyyxyy2/hy第126頁(yè)/共205頁(yè)在小邊界x

38、= 0應(yīng)用圣維南原理，列出三個(gè)積分的近似邊界條件，當(dāng)板厚 時(shí)，1。sxhhxyxhhxxhhxFyMyyFyd)(,d)(,d)(02/2/02/2/02/2/第127頁(yè)/共205頁(yè)在小邊界x = l，當(dāng)平衡微分方程和其它各邊界條件都已滿足的條件下，三個(gè)積分的邊界條件必然滿足，可以不必校核。第128頁(yè)/共205頁(yè)(b) 在主要邊界x= 0, b，應(yīng)精確滿足下列邊界條件：。qlxgyxxyxxyx , 0 ; 0 , 0030FOxyqh(b)gy b/2 b/2) 1,(bh第129頁(yè)/共205頁(yè) 在小邊界y = 0，列出三個(gè)積分的邊界條件，當(dāng)板厚 時(shí)，1。2d)(,43d)(,23d)(00

39、0000FxbFxxFxybyxybyyby第130頁(yè)/共205頁(yè) 注意在列力矩的條件時(shí)兩邊均是對(duì)原點(diǎn)o 的力矩來(lái)計(jì)算的。 對(duì)于y = h的小邊界可以不必校核。第131頁(yè)/共205頁(yè)n試檢查此組位移是否是圖示問(wèn)題的解答。1。EIFlEIFxlEIFxEIFxyvyIGFhEIFlIGFyEIFyEIyFxu3262,)82(662323222332第132頁(yè)/共205頁(yè) h/2 h/2AxylFO) 1,(hl第133頁(yè)/共205頁(yè)解： 此組位移解答若為圖示問(wèn)題的解答，則應(yīng)滿足下列條件:(1) 區(qū)域內(nèi)用位移表示的平衡微分方程 (書(shū)中式218）;第134頁(yè)/共205頁(yè)（2）應(yīng)力邊界條件（書(shū)中式2

40、19），在 所有受面力的邊界 上。其中在小邊 界上可以應(yīng)用圣維南原理，用三個(gè)積 分的邊界條件來(lái)代替。（3）位移邊界條件（書(shū)中式214）。本 題在x = l的小邊界上，已考慮利用圣 維南原理，使三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條 件已經(jīng)滿足。S第135頁(yè)/共205頁(yè) 因此，只需校核下列三個(gè)剛體的約束條件： A點(diǎn)（ x = l及y = 0），.0),(xuvu 讀者可校核這組位移是否滿足上述條件，如滿足，則是該問(wèn)題之解。第136頁(yè)/共205頁(yè)。CxycCxyyBxAybDyCByAxyaxyyxxyyxxyyx , 0 )(; , , )(; , , )(2223第137頁(yè)/共205頁(yè)解：應(yīng)變分量存在的必要條件

41、是滿足形變 相容條件，即 （a）相容； （b）須滿足B = 0, 2A=C ； （c）不相容。只有C = 0，則.22222yxxyxyyx第138頁(yè)/共205頁(yè); ),( ),( )(; , , )(2222CxyyxByxAbFyExDyCxByAxaxyyxxyyx第139頁(yè)/共205頁(yè)解：彈性體中的應(yīng)力，在單連體中必須 滿足： （1）平衡微分方程； （2）相容方程； （3）應(yīng)力邊界條件（當(dāng) ）。SS 第140頁(yè)/共205頁(yè)n第141頁(yè)/共205頁(yè)),(yxf. 02 ffyxyfxff) ( , , ,22),(yxf04 第142頁(yè)/共205頁(yè)解： 上述函數(shù)作為應(yīng)力函數(shù)，均能滿足相

42、容方程（重調(diào)和方程），. 04 第143頁(yè)/共205頁(yè)。xChqxyCyCyhqyyxhqxyy2),46(a)第144頁(yè)/共205頁(yè)202qh)202(22qhqlxy) 1,(hlloqql h/2 h/2第145頁(yè)/共205頁(yè)微分方程和相容方程，兩者都能滿足。0)(2yxSS 第146頁(yè)/共205頁(yè)再校核邊界條件，在主要邊界上，足。將得即代入后滿C，C , 0 ,2.2 得,2)8(2即 , ,2 ; 23 , 0)46( , 0 ,221221331123yyxyhyqCqChChhqqhyhqCChhqxhy第147頁(yè)/共205頁(yè)得到應(yīng)力公式，代入，將 ),

43、( 21aCC)() 14(23),22321(),23(22233223bhyhqxhyhyqyxhqyxyyx。第148頁(yè)/共205頁(yè)再將式（b）表達(dá)式代入次要邊界條件， . 20d , 0d ,4 , 0 , 0202 /2 /-02 /2 /-33qhyyyhyqxxxhhxxhhxxy）（而主矩為）（其主矢量為第149頁(yè)/共205頁(yè)).202(d , 0 ),46 ( .d ),14 (23 , 222 /2 /-32302 /2 /-22qhqlyyyylhqqlyhyhqllxlxxhhxxxyhhxy）（而主矩為其主矢量為）（其主矢量為第150頁(yè)/共205頁(yè) 由此可見(jiàn)，在次要邊

44、界上的積分邊界條件均能滿足。因此，式（b）是圖示問(wèn)題之解。第151頁(yè)/共205頁(yè) q(x)xy) 1,(hllo h/2 h/2例7 在材料力學(xué)中，當(dāng)矩形截面梁（度 ）受任意的橫向荷載q(x)作用而彎曲時(shí)，彎曲應(yīng)力公式為1.)(yIxMx第152頁(yè)/共205頁(yè)（a）試由平衡微分方程（不計(jì)體力）導(dǎo)出切應(yīng)力 和擠壓應(yīng)力 的公式。yxy （提示：注意關(guān)系式積分后得出的任意函數(shù)，可由梁的上下邊界條件來(lái)確定。）qxFFxMssdd dd第153頁(yè)/共205頁(yè)（b）當(dāng)q為常數(shù)時(shí)，試檢驗(yàn)應(yīng)力分量是否 滿足相容方程，試在 中加上一項(xiàng)對(duì)平衡沒(méi)有影響的函數(shù)f (y)，再由相容方程確定f (y),并校核梁的左右邊界

45、條件。x第154頁(yè)/共205頁(yè)xSS 第155頁(yè)/共205頁(yè)（a）不計(jì)體力，將 代入平衡微 分方程第一式， 得:yIxMx)(, 0yxyxx.ddIyFIyxMysyx兩邊對(duì)y積分，得),(212xfIyFsyx第156頁(yè)/共205頁(yè)再由上下的邊界條件 , 0)(2/ hyyx得代入得 , ,8 )( 21yxsIhFxf)( ).28 , 22cyhSISFsyx（其中將 代入平衡微分方程的第二式,yx, 0 xyxyy第157頁(yè)/共205頁(yè)對(duì)y積分，得 ).28()28(12222yhIqyhIdxdFysy得).()618(232xfyyhIqy由上下的邊界條件，。同樣得得2)( ,)

46、(;224)( , 0)(22/322/qxfqqhIqxf hyyhyy第158頁(yè)/共205頁(yè))().22321()61824(33323dhyhyqyyhhIqy 上述解答 及式(c),(d)已經(jīng)滿足平衡微分方程及 的邊界條件；但一般不滿足相容方程，且尚未校核左右端的小邊界條件。x2hy第159頁(yè)/共205頁(yè)（b）若q為常數(shù)，則 ，得 代入相容方程，為了滿足相容方程，)(2222lxlxqlM).22321( ,)(6332232hyhyqylxlxhqlyx. 024 )(32yhqyx ),()(62232yfylxlxhqlx令第160頁(yè)/共205頁(yè)x, 0d)(d24)(2232y

47、yfyhqyx.4)(33BAyyhqyf第161頁(yè)/共205頁(yè)由次要邊界條件。得滿足。得，hqAyyyyBylxxhhxhhxlxhhx53 , 0d)( , 0d)(; 0 , 0d)(02/2/02/2/2/2/由此得)( ,534)(6332232eyhqyhqylxlxhqlx第162頁(yè)/共205頁(yè) 讀者可檢測(cè)，式（c）、（d）、（e）的一組應(yīng)力已滿足無(wú)體力，且q為常數(shù)情況下的平衡微分方程，相容方程，和應(yīng)力邊界條件（在x =0, l小邊界上的剪力即為 的主矢量），因而是該問(wèn)題之解。lxxy, 0)(第163頁(yè)/共205頁(yè)0M第164頁(yè)/共205頁(yè)n理方程理想彈性體。第165頁(yè)/共20

48、5頁(yè)28 在大邊界上，應(yīng)分別列出兩個(gè)精確 的邊界條件；在小邊界（即次要邊 界）上，按照圣維南原理可列出三 個(gè)積分的近似邊界條件來(lái)代替。第166頁(yè)/共205頁(yè)第167頁(yè)/共205頁(yè)213 注意按應(yīng)力求解時(shí)，在單連體中應(yīng)力分量 必須滿足 （1）平衡微分方程， （2）相容方程， （3）應(yīng)力邊界條件（假設(shè) )。 xyyx , ,SS 所以（a）和（b）問(wèn)題中的應(yīng)力雖然滿足了平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件，但都不滿足相容方程，因而不是該兩個(gè)問(wèn)題之解。第168頁(yè)/共205頁(yè)217 取 它們均滿足平衡微分方程，相容方程及x=0 和 的應(yīng)力邊界條件，因此，它們是該問(wèn)題的正確解答。).4(6 ,12 , 0 223

49、3yhhFbIQSxyhFyIMxyxy2hy第169頁(yè)/共205頁(yè)第170頁(yè)/共205頁(yè) （一）本章學(xué)習(xí)要求及重點(diǎn) 本章系統(tǒng)地介紹了平面問(wèn)題的基本理論：基本方程和邊界條件，及兩種基本解法。這些內(nèi)容在彈性力學(xué)中具有典型性和代表性。因此，學(xué)好平面問(wèn)題的基本理論，就可以方便地學(xué)習(xí)其他各章。為此，我們要求學(xué)生深入地理解本章的內(nèi)容，掌握好以下幾點(diǎn)：第171頁(yè)/共205頁(yè)n5、關(guān)于一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的分析。第172頁(yè)/共205頁(yè) 為了牢固地理解和掌握平面問(wèn)題的基本理論，要求學(xué)生做到:（1）清楚地了解上述有關(guān)問(wèn)題的提出和分 析的方法；（2）自己動(dòng)手推導(dǎo)公式，以加深理解；（3）對(duì)上述內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，掌握其要點(diǎn)。第1

50、73頁(yè)/共205頁(yè) （二）本章內(nèi)容提要1、平面問(wèn)題包括平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題。它們的特征是： 平面應(yīng)力問(wèn)題，（1） 只有平面應(yīng)力 存在；（2）應(yīng)力和應(yīng)變均只是x,y的函數(shù)。, 0zyzxzxyyx , ,第174頁(yè)/共205頁(yè) 平面應(yīng)變問(wèn)題，（1） 只有平面應(yīng)變 存在；（2） 應(yīng)力、應(yīng)變和位移只是x,y的函數(shù)。, 0zyzxzxyyx , ,第175頁(yè)/共205頁(yè) 平面應(yīng)力問(wèn)題對(duì)應(yīng)的彈性體通常為等厚度薄板，而平面應(yīng)變問(wèn)題對(duì)應(yīng)的彈性體通常為常截面長(zhǎng)柱體。這兩類平面問(wèn)題的平衡微分方程、幾何方程、應(yīng)力和位移邊界條件都完全相同，只有物理方程的系數(shù)不同。第176頁(yè)/共205頁(yè) 如果將平面應(yīng)力問(wèn)題的物

51、理方程作 的變換，便可得到平面應(yīng)變問(wèn)題的物理方程。1 ,12EE第177頁(yè)/共205頁(yè)vuxyyx , ; , ,; , ,xyyx.0,0yxyyxyxxfxyfyx第178頁(yè)/共205頁(yè). , ,xvyuyvxuxyyx.)1 (2),(1),(1xyxyxyyyxxEEE第179頁(yè)/共205頁(yè)（在 上）ss .)(,)(ysxyyxsyxxflmfml)( .)( ,)(上在usssvvuu第180頁(yè)/共205頁(yè)3、按位移求解平面問(wèn)題（平面應(yīng)力問(wèn)題） 位移分量u和v必須滿足下列全部條件：（1）用位移表示的平衡微分方程.0)2121(1,0)2121(1222222222222yxfyxuxvyvEfyxvyuxuE第181頁(yè)/共205頁(yè)（2）用位移表示的應(yīng)力邊界條件.)(21)(1,)(21)(122ysxsfxvyulxuyvmEfxvyumyvxulE（在 上）ss 第182頁(yè)/共205頁(yè)（3）位移邊界條件)( .)( ,)(上在ussSvvuu第183頁(yè)/共205頁(yè)4、按應(yīng)力求解平面問(wèn)題（平面應(yīng)力問(wèn)題）， 應(yīng)力分量必須滿足下列全部條件： （1）平衡微分方程xyyx , ,.0,0yxyyxyxxfxyfyx第184頁(yè)