淺談艾爾布朗語(yǔ)義下的真謂詞論文

1、淺談艾爾布朗語(yǔ)義下的真謂詞論文塔斯基提出了一階語(yǔ)言的一種解釋，這種解釋允許使用任何個(gè) 體對(duì)象作為變?cè)娜≈担?不同的變?cè)虺Ｔ赡芤韵嗤膶?duì)象作為它 們的解釋。 這種解釋現(xiàn)在已成為一階語(yǔ)言的標(biāo)準(zhǔn)解釋， 被稱為塔斯基 語(yǔ)義。在塔斯基提出這種語(yǔ)義之前， 法國(guó)邏輯學(xué)家艾爾布朗在對(duì)其 “基 本定理”（ 現(xiàn)稱為艾爾布朗定理 ）的證明中， 事實(shí)上也對(duì)一階語(yǔ)言提出 了一種解釋。工在這種解釋中，變?cè)娜≈抵荒苁且浑A語(yǔ)言中的項(xiàng)， 各個(gè)項(xiàng)的解釋就是項(xiàng)本身 （ 因而，不同的項(xiàng)特別地，不同的變?cè)?常元必定被解釋為不同的對(duì)象 ） 。這種解釋現(xiàn)在稱為一階語(yǔ)言的艾 爾布朗語(yǔ)義。從表面看來(lái)，艾爾布朗語(yǔ)義僅僅是塔斯基語(yǔ)義的一

2、種特殊情形。 因此，雖然艾爾布朗定理是一階邏輯中最基本的結(jié)果之一， 但是艾爾 布朗語(yǔ)義本身似乎并沒有引起邏輯學(xué)家足夠的重視。 美國(guó)斯坦福大學(xué) 的 T.Hinrichs 和 M.Genesereth 教授在文中的研究表明， 艾爾布朗語(yǔ) 義與塔斯基語(yǔ)義在可判定性、邏輯后承關(guān)系等方面是不同的。上述種種差異自然是由不同語(yǔ)義解釋造成的。一階語(yǔ)言中任何 概念只要依賴于語(yǔ)義都可能會(huì)在塔斯基語(yǔ)義和艾爾布朗語(yǔ)義下有所 不同。而真謂詞作為語(yǔ)義中最基本的概念之一自然會(huì)被納入到上述兩 種語(yǔ)義的框架之內(nèi)。 真謂詞在艾爾布朗語(yǔ)義下是否具有不同于塔斯基 語(yǔ)義中的表現(xiàn)呢 ?這個(gè)問題似乎在文獻(xiàn)中還沒有得到深入的研究，本 文就是

3、要想對(duì)這一問題進(jìn)行初步的探索， 指出艾爾布朗語(yǔ)義下的真謂 詞概念確實(shí)是值得注意的。一、艾爾布朗語(yǔ)義 一階語(yǔ)言中的初始符號(hào)、項(xiàng)、公式等句法對(duì)象一如往常規(guī)定。 需要補(bǔ)充的是， 為了使艾爾布朗語(yǔ)義不至于過于平庸， 這里約定一階 語(yǔ)言中個(gè)體常元不空。注意，一階語(yǔ)言中的語(yǔ)句指的是閉公式，即不 含自由變?cè)墓健Ｎ覀冎?，在塔斯基語(yǔ)義中，為了能對(duì)語(yǔ)句進(jìn)行賦值，必須給 出一定的模型對(duì)語(yǔ)句中的非邏輯符號(hào)做出解釋， 同時(shí)還必須通過指派 對(duì)變?cè)付▽?duì)象。這里主要的麻煩在于， 雖然語(yǔ)句的賦值獨(dú)立于指派， 但是一般情況下， 必須在模型和指派下對(duì)所有的公式進(jìn)行賦值， 然后 才能在模型下對(duì)語(yǔ)句進(jìn)行賦值。艾爾布朗語(yǔ)義就不存

4、在這樣的問題， 我們可以直接對(duì)語(yǔ)句進(jìn)行賦值。相應(yīng)于上述可滿足概念，可規(guī)定邏輯后承。如果任何滿足語(yǔ)句集叉的艾爾布朗模型也一定滿足語(yǔ)句 A,那么就稱A是叉的一個(gè)邏輯 后承，又可稱叉衍推出A。為明確起見，艾爾布朗模型下的可滿足及 邏輯后承概念加前綴， 而塔斯基語(yǔ)義下的可滿足及邏輯后承概念加前 綴。如文所指出，在塔斯基語(yǔ)義下，一階公式的可滿足性是半可判 定的，但在艾爾布朗語(yǔ)義下，一階公式的可滿足性不是半可判定的 ; 在塔斯基語(yǔ)義下，邏輯后承關(guān)系具有緊致性，但在艾爾布朗語(yǔ)義下， 邏輯后承關(guān)系不具備緊致性 ; 在塔斯基語(yǔ)義下，自然數(shù)結(jié)構(gòu)中的真語(yǔ) 句是不能有窮可公理化的， 但在艾爾布朗語(yǔ)義下， 自然數(shù)結(jié)構(gòu)中

5、的真 語(yǔ)句是有窮可公理化的。二、塔斯基 T- 模式下面轉(zhuǎn)入本文的主題 : 艾爾布朗語(yǔ)義下的真謂詞。 為此，先規(guī)定 皮亞諾算術(shù)的一個(gè)形式語(yǔ)言，其中除等詞 =外，還含有二元謂詞、三 元謂詞、一元函數(shù)符 S 以及個(gè)體常元 0。注意，在艾爾布朗語(yǔ)義下， 因?yàn)橹挥心切┩耆嗤捻?xiàng)才是相等的， 所以不能使用函數(shù)符來(lái)表示 加法和乘法運(yùn)算 （ 不然的話，甚至如 0+0=0這樣的語(yǔ)句在艾爾布朗語(yǔ) 義都是不可滿足的）。在L、中添加一兀謂詞T得到的語(yǔ)言記為L(zhǎng)。這 個(gè)語(yǔ)言就是我們考慮真謂詞的一階語(yǔ)言。 除非特別聲明，以下所說(shuō)項(xiàng)、 公式等皆指L中的項(xiàng)、公式。用記號(hào) A表示公式A的哥德爾數(shù)。為了便于比較，下面采用 L 的

6、標(biāo)準(zhǔn)的塔斯基語(yǔ)義與艾爾布朗語(yǔ) 義雙線并進(jìn)的方式逐步探討相關(guān)問題。首先，L的標(biāo)準(zhǔn)塔斯基語(yǔ)義解 釋是自然數(shù)結(jié)構(gòu)以自然數(shù)集作為論域， 以自然數(shù)集上的小于關(guān)系作為 的解釋，以滿足有序組構(gòu)成的集合作為 Add的解釋，以滿足的有序組 構(gòu)成的集合作為Molt的解釋，以后繼關(guān)系作為S的解釋，以自然數(shù) 0作為解釋。把語(yǔ)義解釋的范圍擴(kuò)大到魷中，在塔斯基語(yǔ)義中，N被認(rèn)為是L 的底模型，除此之外，還需要對(duì)一元謂詞 T做出解釋。當(dāng)然，T的解 釋必定是自然數(shù)集N的某個(gè)子集，設(shè)為X。由此，就可以對(duì)魷中所有 語(yǔ)句進(jìn)行賦值，賦值的規(guī)定如常，細(xì)節(jié)略去。下面使用 X、A表示語(yǔ) 句A在N與X構(gòu)成的解釋中為真。特別地，X當(dāng)且僅當(dāng)A屬于

7、X。這里，T不是一個(gè)普通的謂詞符，而是用來(lái)表示真謂詞的符號(hào)。那么，什么時(shí)候T才能被視作是真謂詞呢？按照塔斯基的思想，唯有下一模式對(duì)某個(gè)語(yǔ)言中的每個(gè)語(yǔ)句 A都成立，才能認(rèn)為T是該語(yǔ)言的 真謂詞:T'A當(dāng)且僅當(dāng)AC此模式就是著名的塔斯基T-模式。X作為 T的解釋，很自然應(yīng)當(dāng)包含且只包含魷中所有在N與X構(gòu)成的解釋中為真的語(yǔ)句。換句話說(shuō)，式子(C1)應(yīng)對(duì)L中每個(gè)語(yǔ)句A成立，只有這 樣，T的解釋X才被認(rèn)為是L .的真謂詞。這樣，把入代入到式子(1) 中會(huì)導(dǎo)致矛盾。這個(gè)結(jié)論常被稱為“塔斯基定理”，而證明中所用語(yǔ) 句入因它斷定它自己不真，故相當(dāng)于說(shuō)謊者語(yǔ)句。接下來(lái)轉(zhuǎn)入L的艾爾布朗語(yǔ)義。首先，M是艾爾

8、布朗語(yǔ)義中L 的底模型。然而，這個(gè)模型也可看作是 L 的真正意義上的一個(gè)模型， 其中因?yàn)椴缓魏蜹形式的語(yǔ)句，因此謂詞符T實(shí)際被解釋為某種空 謂詞。一般而言，我們會(huì)考慮這樣的模型 M它包含M同時(shí)還包含 了某些Tt形式的語(yǔ)句。在模型M下，對(duì)公式A規(guī)定相應(yīng)的賦值：當(dāng)且 僅當(dāng)項(xiàng)作為符號(hào)串完全相同；當(dāng)且僅當(dāng)T屬于當(dāng)且僅當(dāng)屬于M型 的原子公式類似規(guī)定， 當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何閉項(xiàng)其他如命題聯(lián)接詞型或存 在量詞型語(yǔ)句類似規(guī)定。這里順便指出，艾爾布朗語(yǔ)義下的塔斯基 T-模式與塔斯基語(yǔ)義 下的T-模式似乎并無(wú)太大的區(qū)別，但是對(duì)于所提出的 T-模式的一個(gè) 推廣，情況似乎并不明了，究竟如何在艾爾布朗語(yǔ)義下表達(dá) T-模式

9、的這個(gè)推廣似乎是值得深入研究的問題。三、亞布魯悖論根據(jù)前一節(jié)的比較，可以看出塔斯基 T-模式在L的艾爾布朗語(yǔ) 義下的表達(dá)類似于在 L 的標(biāo)準(zhǔn)塔斯基語(yǔ)義下的表達(dá)， 而塔斯基定理作 為一個(gè)純粹的語(yǔ)義學(xué)定理， 在艾爾布朗語(yǔ)義下同樣成立。 所有這些都 不會(huì)令人驚奇，因?yàn)長(zhǎng)的艾爾布朗語(yǔ)義與標(biāo)準(zhǔn)的塔斯基語(yǔ)義本來(lái)就是 相當(dāng)接近的。然而，它們的差異是存在的。一個(gè)最明顯的差異就反映 在L的艾爾布朗語(yǔ)義與非標(biāo)準(zhǔn)塔斯基語(yǔ)義上。美國(guó)邏輯學(xué)家亞布魯在 文中提出了以他名字命名的悖論。這個(gè)悖論含有可數(shù)無(wú)窮多個(gè)語(yǔ)句 : 每個(gè)語(yǔ)句都斷定它后面的每個(gè)語(yǔ)句都不真?，F(xiàn)在，使用哥德爾算術(shù)化的方式不難在語(yǔ)言魷中對(duì)任意自然數(shù)。 尋找到語(yǔ)句

10、Y,使得Y在PA中等價(jià)于語(yǔ)句。注意，這里表示把，對(duì) 應(yīng)的數(shù)字代入到丫中得到的公式的哥德爾數(shù)字。這實(shí)際上相當(dāng)于把亞 布魯悖論形式化到了魷中，以后就用語(yǔ)句集 Y fin) I n 是自然數(shù) 表示亞布魯悖論。 我們考慮語(yǔ)句集是自然數(shù)與是自然數(shù)的并集， 記這 個(gè)集合為 Y。在 L 的艾爾布朗語(yǔ)義下，情況就有所不同。問題出在艾爾布朗 語(yǔ)義中個(gè)體對(duì)象僅僅包含 L 中的閉項(xiàng)，而沒有哪個(gè)閉項(xiàng)能夠表達(dá)非標(biāo) 準(zhǔn)模型中的非標(biāo)準(zhǔn)元。因而，在艾爾布朗語(yǔ)義下，沒有任何模型能滿 足語(yǔ)句集Y。這一點(diǎn)與先前提到的H邏輯后承不滿足緊致性相關(guān)。事 實(shí)上，不難看出是自然數(shù)的 H 邏輯后承， 但它卻不是后者的 T 邏輯后 承。我們?cè)俅?/p>

11、看到，H邏輯后承要強(qiáng)于T邏輯后承。因而，丫可H衍 推出邏輯矛盾，而不能T衍推出矛盾，就是在意料之中的了。四、語(yǔ)言層次 眾所周知，為了突破塔斯基定理的限制，塔斯基本人采用了語(yǔ) 言分層的方式來(lái)規(guī)定真謂詞。事實(shí)上，僅需把 T解釋為L(zhǎng)中所有在N 中為真的語(yǔ)句的哥德爾數(shù)構(gòu)成的集合 X,則式子一定對(duì)中任意語(yǔ)句 A 都成立。在這個(gè)意義上，魷雖然不能含有它自身的真謂詞，但是它包 含L、的真謂詞。L因而被稱為幾的元語(yǔ)言。分層的想法同樣適用于艾爾布朗語(yǔ)義?；氐较惹疤岢龅陌瑺柌?朗語(yǔ)義中魷的底模型 M注意，M中不含任何帶真謂詞符的語(yǔ)句，因 此T在M中實(shí)際被解釋為空謂詞。但是，若規(guī)定 M,是M與所有使得 MH A成立

12、的語(yǔ)句TA的并集，則對(duì)魷的任意語(yǔ)句 A,都有：當(dāng)且僅當(dāng) MA特別地，對(duì)L的語(yǔ)句，當(dāng)且僅當(dāng)MA因此，同樣包含了這樣的T， 它被解釋為L(zhǎng)、的真謂詞。對(duì)語(yǔ)言進(jìn)行分層規(guī)定真謂詞的做法歷來(lái)為學(xué)者所垢病,其中毛 病之一如克里普克指出, 這種做法無(wú)法對(duì)超窮的層次進(jìn)行規(guī)定。 克里 普克批評(píng)的要點(diǎn)在于超窮層次要求對(duì)之前層次的真謂詞外延進(jìn)行累 積,但真謂詞的外延累積會(huì)導(dǎo)致矛盾。這一點(diǎn)是熟知的事實(shí)。此處, 我們說(shuō)明類似的累積在艾爾布朗語(yǔ)義也同樣導(dǎo)致矛盾, 甚至無(wú)需等到 超窮層次,這種矛盾在第二層次就會(huì)產(chǎn)生。能使層次一直進(jìn)行下去的辦法主要有兩種,一種是按克里普克 的歸納構(gòu)造方法, 修改模型上的賦值引入真值空缺另一種就是按古普 塔和赫茲伯格的修正理論, 在構(gòu)造模型的時(shí)候不進(jìn)行累積只進(jìn)行修正 和。本文限于經(jīng)典邏輯,所以只考慮第二種辦法。五、結(jié)論前面的分析總結(jié)起來(lái)，有以下幾點(diǎn)：塔斯基T-模式在艾爾布朗 語(yǔ)義中的表達(dá)類似于塔斯基語(yǔ)義中的表達(dá), 而且使用說(shuō)謊者悖論同樣 能夠在艾爾布朗語(yǔ)義中得到塔斯基定理 ; 亞布魯悖論在塔斯基非標(biāo)準(zhǔn) 模型中可以得到滿足，