淺談艾爾布朗語義下的真謂詞論文

1、淺談艾爾布朗語義下的真謂詞論文塔斯基提出了一階語言的一種解釋，這種解釋允許使用任何個(gè) 體對象作為變元的取值， 不同的變元或常元可能以相同的對象作為它 們的解釋。 這種解釋現(xiàn)在已成為一階語言的標(biāo)準(zhǔn)解釋， 被稱為塔斯基 語義。在塔斯基提出這種語義之前， 法國邏輯學(xué)家艾爾布朗在對其 “基 本定理”（ 現(xiàn)稱為艾爾布朗定理 ）的證明中， 事實(shí)上也對一階語言提出 了一種解釋。工在這種解釋中，變元的取值只能是一階語言中的項(xiàng)， 各個(gè)項(xiàng)的解釋就是項(xiàng)本身 （ 因而，不同的項(xiàng)特別地，不同的變元或 常元必定被解釋為不同的對象 ） 。這種解釋現(xiàn)在稱為一階語言的艾 爾布朗語義。從表面看來，艾爾布朗語義僅僅是塔斯基語義的一

2、種特殊情形。 因此，雖然艾爾布朗定理是一階邏輯中最基本的結(jié)果之一， 但是艾爾 布朗語義本身似乎并沒有引起邏輯學(xué)家足夠的重視。 美國斯坦福大學(xué) 的 T.Hinrichs 和 M.Genesereth 教授在文中的研究表明， 艾爾布朗語 義與塔斯基語義在可判定性、邏輯后承關(guān)系等方面是不同的。上述種種差異自然是由不同語義解釋造成的。一階語言中任何 概念只要依賴于語義都可能會(huì)在塔斯基語義和艾爾布朗語義下有所 不同。而真謂詞作為語義中最基本的概念之一自然會(huì)被納入到上述兩 種語義的框架之內(nèi)。 真謂詞在艾爾布朗語義下是否具有不同于塔斯基 語義中的表現(xiàn)呢 ?這個(gè)問題似乎在文獻(xiàn)中還沒有得到深入的研究，本 文就是

3、要想對這一問題進(jìn)行初步的探索， 指出艾爾布朗語義下的真謂 詞概念確實(shí)是值得注意的。一、艾爾布朗語義 一階語言中的初始符號(hào)、項(xiàng)、公式等句法對象一如往常規(guī)定。 需要補(bǔ)充的是， 為了使艾爾布朗語義不至于過于平庸， 這里約定一階 語言中個(gè)體常元不空。注意，一階語言中的語句指的是閉公式，即不 含自由變元的公式。我們知道，在塔斯基語義中，為了能對語句進(jìn)行賦值，必須給 出一定的模型對語句中的非邏輯符號(hào)做出解釋， 同時(shí)還必須通過指派 對變元指定對象。這里主要的麻煩在于， 雖然語句的賦值獨(dú)立于指派， 但是一般情況下， 必須在模型和指派下對所有的公式進(jìn)行賦值， 然后 才能在模型下對語句進(jìn)行賦值。艾爾布朗語義就不存

4、在這樣的問題， 我們可以直接對語句進(jìn)行賦值。相應(yīng)于上述可滿足概念，可規(guī)定邏輯后承。如果任何滿足語句集叉的艾爾布朗模型也一定滿足語句 A,那么就稱A是叉的一個(gè)邏輯 后承，又可稱叉衍推出A。為明確起見，艾爾布朗模型下的可滿足及 邏輯后承概念加前綴， 而塔斯基語義下的可滿足及邏輯后承概念加前 綴。如文所指出，在塔斯基語義下，一階公式的可滿足性是半可判 定的，但在艾爾布朗語義下，一階公式的可滿足性不是半可判定的 ; 在塔斯基語義下，邏輯后承關(guān)系具有緊致性，但在艾爾布朗語義下， 邏輯后承關(guān)系不具備緊致性 ; 在塔斯基語義下，自然數(shù)結(jié)構(gòu)中的真語 句是不能有窮可公理化的， 但在艾爾布朗語義下， 自然數(shù)結(jié)構(gòu)中

5、的真 語句是有窮可公理化的。二、塔斯基 T- 模式下面轉(zhuǎn)入本文的主題 : 艾爾布朗語義下的真謂詞。 為此，先規(guī)定 皮亞諾算術(shù)的一個(gè)形式語言，其中除等詞 =外，還含有二元謂詞、三 元謂詞、一元函數(shù)符 S 以及個(gè)體常元 0。注意，在艾爾布朗語義下， 因?yàn)橹挥心切┩耆嗤捻?xiàng)才是相等的， 所以不能使用函數(shù)符來表示 加法和乘法運(yùn)算 （ 不然的話，甚至如 0+0=0這樣的語句在艾爾布朗語 義都是不可滿足的）。在L、中添加一兀謂詞T得到的語言記為L。這 個(gè)語言就是我們考慮真謂詞的一階語言。 除非特別聲明，以下所說項(xiàng)、 公式等皆指L中的項(xiàng)、公式。用記號(hào) A表示公式A的哥德爾數(shù)。為了便于比較，下面采用 L 的

6、標(biāo)準(zhǔn)的塔斯基語義與艾爾布朗語 義雙線并進(jìn)的方式逐步探討相關(guān)問題。首先，L的標(biāo)準(zhǔn)塔斯基語義解 釋是自然數(shù)結(jié)構(gòu)以自然數(shù)集作為論域， 以自然數(shù)集上的小于關(guān)系作為 的解釋，以滿足有序組構(gòu)成的集合作為 Add的解釋，以滿足的有序組 構(gòu)成的集合作為Molt的解釋，以后繼關(guān)系作為S的解釋，以自然數(shù) 0作為解釋。把語義解釋的范圍擴(kuò)大到魷中，在塔斯基語義中，N被認(rèn)為是L 的底模型，除此之外，還需要對一元謂詞 T做出解釋。當(dāng)然，T的解 釋必定是自然數(shù)集N的某個(gè)子集，設(shè)為X。由此，就可以對魷中所有 語句進(jìn)行賦值，賦值的規(guī)定如常，細(xì)節(jié)略去。下面使用 X、A表示語 句A在N與X構(gòu)成的解釋中為真。特別地，X當(dāng)且僅當(dāng)A屬于

7、X。這里，T不是一個(gè)普通的謂詞符，而是用來表示真謂詞的符號(hào)。那么，什么時(shí)候T才能被視作是真謂詞呢？按照塔斯基的思想，唯有下一模式對某個(gè)語言中的每個(gè)語句 A都成立，才能認(rèn)為T是該語言的 真謂詞:T'A當(dāng)且僅當(dāng)AC此模式就是著名的塔斯基T-模式。X作為 T的解釋，很自然應(yīng)當(dāng)包含且只包含魷中所有在N與X構(gòu)成的解釋中為真的語句。換句話說，式子(C1)應(yīng)對L中每個(gè)語句A成立，只有這 樣，T的解釋X才被認(rèn)為是L .的真謂詞。這樣，把入代入到式子(1) 中會(huì)導(dǎo)致矛盾。這個(gè)結(jié)論常被稱為“塔斯基定理”，而證明中所用語 句入因它斷定它自己不真，故相當(dāng)于說謊者語句。接下來轉(zhuǎn)入L的艾爾布朗語義。首先，M是艾爾

8、布朗語義中L 的底模型。然而，這個(gè)模型也可看作是 L 的真正意義上的一個(gè)模型， 其中因?yàn)椴缓魏蜹形式的語句，因此謂詞符T實(shí)際被解釋為某種空 謂詞。一般而言，我們會(huì)考慮這樣的模型 M它包含M同時(shí)還包含 了某些Tt形式的語句。在模型M下，對公式A規(guī)定相應(yīng)的賦值：當(dāng)且 僅當(dāng)項(xiàng)作為符號(hào)串完全相同；當(dāng)且僅當(dāng)T屬于當(dāng)且僅當(dāng)屬于M型 的原子公式類似規(guī)定， 當(dāng)且僅當(dāng)對任何閉項(xiàng)其他如命題聯(lián)接詞型或存 在量詞型語句類似規(guī)定。這里順便指出，艾爾布朗語義下的塔斯基 T-模式與塔斯基語義 下的T-模式似乎并無太大的區(qū)別，但是對于所提出的 T-模式的一個(gè) 推廣，情況似乎并不明了，究竟如何在艾爾布朗語義下表達(dá) T-模式

9、的這個(gè)推廣似乎是值得深入研究的問題。三、亞布魯悖論根據(jù)前一節(jié)的比較，可以看出塔斯基 T-模式在L的艾爾布朗語 義下的表達(dá)類似于在 L 的標(biāo)準(zhǔn)塔斯基語義下的表達(dá)， 而塔斯基定理作 為一個(gè)純粹的語義學(xué)定理， 在艾爾布朗語義下同樣成立。 所有這些都 不會(huì)令人驚奇，因?yàn)長的艾爾布朗語義與標(biāo)準(zhǔn)的塔斯基語義本來就是 相當(dāng)接近的。然而，它們的差異是存在的。一個(gè)最明顯的差異就反映 在L的艾爾布朗語義與非標(biāo)準(zhǔn)塔斯基語義上。美國邏輯學(xué)家亞布魯在 文中提出了以他名字命名的悖論。這個(gè)悖論含有可數(shù)無窮多個(gè)語句 : 每個(gè)語句都斷定它后面的每個(gè)語句都不真。現(xiàn)在，使用哥德爾算術(shù)化的方式不難在語言魷中對任意自然數(shù)。 尋找到語句

10、Y,使得Y在PA中等價(jià)于語句。注意，這里表示把，對 應(yīng)的數(shù)字代入到丫中得到的公式的哥德爾數(shù)字。這實(shí)際上相當(dāng)于把亞 布魯悖論形式化到了魷中，以后就用語句集 Y fin) I n 是自然數(shù) 表示亞布魯悖論。 我們考慮語句集是自然數(shù)與是自然數(shù)的并集， 記這 個(gè)集合為 Y。在 L 的艾爾布朗語義下，情況就有所不同。問題出在艾爾布朗 語義中個(gè)體對象僅僅包含 L 中的閉項(xiàng)，而沒有哪個(gè)閉項(xiàng)能夠表達(dá)非標(biāo) 準(zhǔn)模型中的非標(biāo)準(zhǔn)元。因而，在艾爾布朗語義下，沒有任何模型能滿 足語句集Y。這一點(diǎn)與先前提到的H邏輯后承不滿足緊致性相關(guān)。事 實(shí)上，不難看出是自然數(shù)的 H 邏輯后承， 但它卻不是后者的 T 邏輯后 承。我們再次

11、看到，H邏輯后承要強(qiáng)于T邏輯后承。因而，丫可H衍 推出邏輯矛盾，而不能T衍推出矛盾，就是在意料之中的了。四、語言層次 眾所周知，為了突破塔斯基定理的限制，塔斯基本人采用了語 言分層的方式來規(guī)定真謂詞。事實(shí)上，僅需把 T解釋為L中所有在N 中為真的語句的哥德爾數(shù)構(gòu)成的集合 X,則式子一定對中任意語句 A 都成立。在這個(gè)意義上，魷雖然不能含有它自身的真謂詞，但是它包 含L、的真謂詞。L因而被稱為幾的元語言。分層的想法同樣適用于艾爾布朗語義?；氐较惹疤岢龅陌瑺柌?朗語義中魷的底模型 M注意，M中不含任何帶真謂詞符的語句，因 此T在M中實(shí)際被解釋為空謂詞。但是，若規(guī)定 M,是M與所有使得 MH A成立

12、的語句TA的并集，則對魷的任意語句 A,都有：當(dāng)且僅當(dāng) MA特別地，對L的語句，當(dāng)且僅當(dāng)MA因此，同樣包含了這樣的T， 它被解釋為L、的真謂詞。對語言進(jìn)行分層規(guī)定真謂詞的做法歷來為學(xué)者所垢病,其中毛 病之一如克里普克指出, 這種做法無法對超窮的層次進(jìn)行規(guī)定。 克里 普克批評的要點(diǎn)在于超窮層次要求對之前層次的真謂詞外延進(jìn)行累 積,但真謂詞的外延累積會(huì)導(dǎo)致矛盾。這一點(diǎn)是熟知的事實(shí)。此處, 我們說明類似的累積在艾爾布朗語義也同樣導(dǎo)致矛盾, 甚至無需等到 超窮層次,這種矛盾在第二層次就會(huì)產(chǎn)生。能使層次一直進(jìn)行下去的辦法主要有兩種,一種是按克里普克 的歸納構(gòu)造方法, 修改模型上的賦值引入真值空缺另一種就是按古普 塔和赫茲伯格的修正理論, 在構(gòu)造模型的時(shí)候不進(jìn)行累積只進(jìn)行修正 和。本文限于經(jīng)典邏輯,所以只考慮第二種辦法。五、結(jié)論前面的分析總結(jié)起來，有以下幾點(diǎn)：塔斯基T-模式在艾爾布朗 語義中的表達(dá)類似于塔斯基語義中的表達(dá), 而且使用說謊者悖論同樣 能夠在艾爾布朗語義中得到塔斯基定理 ; 亞布魯悖論在塔斯基非標(biāo)準(zhǔn) 模型中可以得到滿足，