正弦定理和余弦定理(一輪復(fù)習(xí))

1、備考方向要明了備考方向要明了1.以選擇題或填空題的形式考查正弦定理、以選擇題或填空題的形式考查正弦定理、 余弦定理在求三角形邊或角中的應(yīng)用，如余弦定理在求三角形邊或角中的應(yīng)用，如 2012年天津年天津T6，北京，北京T11等等2.與平面向量、三角恒等變換等相結(jié)合出現(xiàn)與平面向量、三角恒等變換等相結(jié)合出現(xiàn) 在解答題中，如在解答題中，如2012年江蘇年江蘇T15等等.掌握正掌握正弦定理、余弦定理、余弦定理，并弦定理，并能解決一些能解決一些簡(jiǎn)單的三角簡(jiǎn)單的三角形度量問題形度量問題.怎怎 么么 考考考考 什什 么么歸納歸納知識(shí)整合知識(shí)整合1正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理a2c22accos Ba2

2、b22abcos C2Rsin B2Rsin Csin A sin B sin C定理定理正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理解決解決三角三角形的形的問題問題已知兩角和任一邊，求另已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊一角和其他兩條邊已知兩邊和其中一邊的對(duì)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其他兩角角，求另一邊和其他兩角.已知三邊，求各已知三邊，求各角；角；已知兩邊和它們已知兩邊和它們的夾角，求第三邊的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角和其他兩個(gè)角 探究探究1.在三角形在三角形ABC中，中，“AB”是是“sin Asin B”的什么條件？的什么條件？“AB”是是“cos Acos B”的什么的什么條件？條

3、件？ 提示：提示：“AB”是是“sin Asin B”的充要條件，的充要條件，“AB”是是“cos Acos B”的充要條件的充要條件 2在在ABC中，已知中，已知a、b和和A時(shí)，解的情況時(shí)，解的情況A為銳角為銳角A為鈍角或?yàn)殁g角或直角直角圖形圖形關(guān)系式關(guān)系式absin Absin Aabababab解的解的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)一解一解兩解兩解一解一解一解一解無解無解 探究探究 2.如何利用余弦定理判定三角形的形狀？如何利用余弦定理判定三角形的形狀？(以角以角A為例為例) 提示：提示：cos A與與b2c2a2同號(hào)，同號(hào)， 當(dāng)當(dāng)b2c2a20時(shí)，角時(shí)，角A為銳角，若可判定其他為銳角，若可判定其他兩角也為銳

4、角，則三角形為銳角三角形；兩角也為銳角，則三角形為銳角三角形； 當(dāng)當(dāng)b2c2a20時(shí)，角時(shí)，角A為直角，三角形為直角三角為直角，三角形為直角三角形；形； 當(dāng)當(dāng)b2c2a20時(shí)，角時(shí)，角A為鈍角，三角形為鈍角三角為鈍角，三角形為鈍角三角形形自測(cè)自測(cè)牛刀小試牛刀小試答案：答案：A答案：答案：D答案：答案：B5在在ABC中，角中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是所對(duì)的邊分別是a、b、c.若若b2asin B，則角，則角A的大小為的大小為_答案：答案：30或或150利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理解三角形 例例1(2012浙江高考浙江高考)在在ABC中，內(nèi)角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為的對(duì)邊分別為

5、a，b，c，且，且bsin A acos B. (1)求角求角B的大?。坏拇笮?； (2)若若b3，sin C2sin A，求，求a，c的值的值3正、余弦定理的選用原則正、余弦定理的選用原則 解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，也可用余弦定解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷在解題時(shí)，理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷在解題時(shí)，還要根據(jù)所給的條件，利用正弦定理或余弦定理合理還要根據(jù)所給的條件，利用正弦定理或余弦定理合理地實(shí)施邊和角的相互轉(zhuǎn)化地實(shí)施邊和角的相互轉(zhuǎn)化利用正、余弦定理判斷三角形的形狀利用正、余弦定理判斷三角形的形狀例例2在在ABC中，若中，若(a2b2

6、)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，試判斷，試判斷ABC的形狀的形狀自主解答自主解答(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，b2sin(AB)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)，2sin Acos Bb22cos Asin Ba2，即即a2cos Asin Bb2sin Acos B.法一：由正弦定理知法一：由正弦定理知a2Rsin A，b2Rsin B，sin2Acos Asin Bsin2Bsin Acos B，又又sin Asin B0，sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B. 1.三角形形狀的判斷思路三角形形狀的判斷思路判斷

7、三角形的形狀，就是利用正、余弦定理等進(jìn)行代換、轉(zhuǎn)判斷三角形的形狀，就是利用正、余弦定理等進(jìn)行代換、轉(zhuǎn)化，尋求邊與邊或角與角之間的數(shù)量關(guān)系，從而作出正確判斷化，尋求邊與邊或角與角之間的數(shù)量關(guān)系，從而作出正確判斷.(1)邊與邊的關(guān)系主要看是否有等邊，是否符合勾股定理等；邊與邊的關(guān)系主要看是否有等邊，是否符合勾股定理等；(2)角與角的關(guān)系主要是看是否有等角，有無直角或鈍角等角與角的關(guān)系主要是看是否有等角，有無直角或鈍角等.2.判定三角形形狀的兩種常用途徑判定三角形形狀的兩種常用途徑通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系

8、進(jìn)行判斷；三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷；利用正弦定理、余弦定理，化角為邊，通過代數(shù)恒等變換，利用正弦定理、余弦定理，化角為邊，通過代數(shù)恒等變換，求出三條邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷求出三條邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.與三角形面積有關(guān)的問題與三角形面積有關(guān)的問題例例3(2012山東高考山東高考)在在ABC中，內(nèi)角中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，已知sin B(tan Atan C)tan Atan C.(1)求證：求證：a，b，c成等比數(shù)列；成等比數(shù)列；(2)若若a1，c2，求，求ABC的面積的面積S.答題模板答題模板利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理解三角形快速規(guī)范審題快速規(guī)范審題 準(zhǔn)確規(guī)范答題準(zhǔn)確規(guī)范答題 易忽視角易忽視角BC的的范圍，直接由范圍，直接由sin(BC)1，求得結(jié)論求得結(jié)論答題模板速成答題模板速成解決解三角形問題一般可用以下幾步解答：解決解三角形問題一般可用以下幾步解答：第一步邊角互化第一步邊角互化利用正弦定理或余利用正弦定理或余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化化(本題為邊化角本題為邊化角)第二步三角變換第二步三角變換三角變換、化簡(jiǎn)、三角變換、化簡(jiǎn)、消元，從而向已知消元，從而向已知角角(或邊或邊)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化第三