第10課函數(shù)及其圖象

1、1常量、變量：常量、變量： 在一個過程中，固定不變的量稱為在一個過程中，固定不變的量稱為常量常量可以取不同數(shù)值的可以取不同數(shù)值的量叫做量叫做變量變量 2函數(shù)：函數(shù)： 一般地，在某個變化過程中，設有兩個變量一般地，在某個變化過程中，設有兩個變量x，y，如果對于，如果對于x 的每一個確定的值，的每一個確定的值，y 都有唯一確定的值，那么就說都有唯一確定的值，那么就說y 是是 x的的函數(shù)函數(shù)，x 叫做叫做自變量自變量 3函數(shù)自變量的取值范圍：函數(shù)自變量的取值范圍： 由表達式給出的函數(shù)，自變量的取值范圍應使表達式有意由表達式給出的函數(shù)，自變量的取值范圍應使表達式有意義對于實際意義的函數(shù)，自變量的取值范

2、圍還應使義對于實際意義的函數(shù)，自變量的取值范圍還應使實際問實際問題題有意義有意義 4函數(shù)的三種表示方法：函數(shù)的三種表示方法： (1)解析法解析法；(2)列表法列表法；(3)圖象法圖象法 (2)坐標軸上點的坐標特征：坐標軸上點的坐標特征： 點點 P(x，y) 所在的位置所在的位置 x 軸軸 y 軸軸 原點原點 點點 P 的坐標的坐標 (x，0) (0，y) (0，0) (1)各象限內(nèi)點的坐標的符號特征：各象限內(nèi)點的坐標的符號特征： 點點 P(x，y) 所在的象限所在的象限 一一 二二 三三 四四 橫、縱坐標橫、縱坐標 符符 號號 x0 y0 x0 y0 x0 y0 x0 y0 5特殊點的坐標特征

3、：特殊點的坐標特征： 平行于平行于 x 軸的直線上，所有點的軸的直線上，所有點的 縱縱 坐標相等坐標相等 (4)各象限角平分線上的點的坐標特征：各象限角平分線上的點的坐標特征： 平行于平行于 y 軸的直線上，所有點的軸的直線上，所有點的 橫橫 坐標相等坐標相等 6點點 P(x，y)坐標的幾何意義：坐標的幾何意義： (1)點點 P(x，y)到到 x 軸的距離是軸的距離是 |y| (2)點點 P(x，y)到到 y 軸的距離是軸的距離是 |x| (3)點點 P(x，y)到原點的距離是到原點的距離是 x2y2 【答案】【答案】 A 2(2014汕尾汕尾)汽車以汽車以 60 km/h 的速度在公路上勻速

4、行駛，的速度在公路上勻速行駛，1 h后進入高速公路，繼續(xù)以后進入高速公路，繼續(xù)以 100km/h 的速度勻速行駛，則汽的速度勻速行駛，則汽車行駛的路程車行駛的路程s(km)與行駛的時間與行駛的時間t(h)的函數(shù)關系的大致圖的函數(shù)關系的大致圖象是象是 ( ) 【答案】【答案】 C 3(2014德州德州)如圖如圖 101，該圖象中反映的過程是：小強從家跑，該圖象中反映的過程是：小強從家跑步去體育場，在那里鍛煉了一陣后，又去早餐店吃早餐，然步去體育場，在那里鍛煉了一陣后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家其中后散步走回家其中 x 表示時間，表示時間，y 表示小強離家的距離根表示小強離家的距離根據(jù)圖象提

5、供的信息，下列說法中錯誤的是據(jù)圖象提供的信息，下列說法中錯誤的是 ( ) 圖圖 101 A體育場離小強家體育場離小強家 2.5 km B小強在體育場鍛煉了小強在體育場鍛煉了 15 min C體育場離早餐店體育場離早餐店 4 km D小強從早餐店回家的平均速度是小強從早餐店回家的平均速度是3 km/h 【答案】【答案】 C 【答案】【答案】 C 【答案】【答案】 D 題型一確定自變量的取值范圍題型一確定自變量的取值范圍(1)若函數(shù)一邊含自變量的式子是整式， 則自變量取全體實若函數(shù)一邊含自變量的式子是整式， 則自變量取全體實數(shù)；數(shù)；(2)若函數(shù)一邊含自變量的式子是分式， 則自變量取使分母若函數(shù)一邊

6、含自變量的式子是分式， 則自變量取使分母不為不為 0 的全體實數(shù)；的全體實數(shù)；(3)若函數(shù)一邊含自變量的式子是偶次根若函數(shù)一邊含自變量的式子是偶次根式， 則自變量只取使被開方數(shù)為非負數(shù)的全體實數(shù)；式， 則自變量只取使被開方數(shù)為非負數(shù)的全體實數(shù)；(4)若函數(shù)若函數(shù)一邊含自變量的式子含有零指數(shù)或負整數(shù)指數(shù)冪， 則自變量應一邊含自變量的式子含有零指數(shù)或負整數(shù)指數(shù)冪， 則自變量應是使底數(shù)不等于是使底數(shù)不等于 0 的全體實數(shù)；的全體實數(shù)； (5)若函數(shù)一邊含自變量的式子若函數(shù)一邊含自變量的式子有多個條件限制，必須先求出式子中各部分自變量的取值范有多個條件限制，必須先求出式子中各部分自變量的取值范圍，然后

7、再取其公共部分，此類問題要特別注意，只能就已知圍，然后再取其公共部分，此類問題要特別注意，只能就已知的式子進行求解，而不能進行化簡變形，特別是不能輕易地乘的式子進行求解，而不能進行化簡變形，特別是不能輕易地乘或除以含自變量的因或除以含自變量的因式式 【典例【典例 1】 (2015梅州梅州)函數(shù)函數(shù)y x1的自變量的自變量x的取值的取值范圍是范圍是 【解析】【解析】 由被開方數(shù)是非負數(shù)，得由被開方數(shù)是非負數(shù)，得 x0 【答案】【答案】 x0 【類題演練【類題演練 1】 (2014孝感孝感)函數(shù)函數(shù) yx1x1的自變量的自變量 x 的的取值范圍為取值范圍為 題型二確定函數(shù)圖象題型二確定函數(shù)圖象分析

8、兩個變量之間的關系，學會用圖象表示函數(shù)關分析兩個變量之間的關系，學會用圖象表示函數(shù)關系，運用數(shù)形結(jié)合的思想進一步理解函數(shù)的意義系，運用數(shù)形結(jié)合的思想進一步理解函數(shù)的意義 【典例【典例 2】 某蓄水池的橫斷面示意圖如圖某蓄水池的橫斷面示意圖如圖 103 所示， 分深水區(qū)所示， 分深水區(qū)和淺水區(qū)，如果這個注滿水的蓄水池以固定的流量把水全部和淺水區(qū)，如果這個注滿水的蓄水池以固定的流量把水全部放出， 下面的圖象能大致表示蓄水池水的深度放出， 下面的圖象能大致表示蓄水池水的深度h 和放水時間和放水時間 t之間的關系的是之間的關系的是 ( ) 【解析】【解析】 蓄水池首先是注滿水的， 以固定的流量把水全部

9、放出，蓄水池首先是注滿水的， 以固定的流量把水全部放出，因為底部窄，上面寬，所以放水一開始高度下降得慢一點，后來因為底部窄，上面寬，所以放水一開始高度下降得慢一點，后來較快，到最后，水放完，水深較快，到最后，水放完，水深 h0，所以，所以 h 的變化是從大逐漸的變化是從大逐漸變小，先慢后快，直至為變小，先慢后快，直至為 0 【答案】【答案】 A 【類題演練【類題演練 2】 如圖如圖 104，一只螞蟻從點，一只螞蟻從點 O 出發(fā)，沿著扇形出發(fā)，沿著扇形OAB 的邊緣勻速爬行一周，設螞蟻的運動時間為的邊緣勻速爬行一周，設螞蟻的運動時間為 t，螞蟻，螞蟻到點到點 O 的距離為的距離為 s，則，則 s

10、 關于關于 t 的函數(shù)圖象大致為的函數(shù)圖象大致為 ( ) 【答案】【答案】 C 題型三根據(jù)圖象解決實際問題題型三根據(jù)圖象解決實際問題認真閱讀題干內(nèi)容，分析圖象提供的信息，由圖象分認真閱讀題干內(nèi)容，分析圖象提供的信息，由圖象分析變量的變化趨勢，從而確定變量之間的關系，解決實際析變量的變化趨勢，從而確定變量之間的關系，解決實際問題問題 【典例【典例 3】 (2015湖州湖州)放學后，小明騎車回家，他經(jīng)過的路放學后，小明騎車回家，他經(jīng)過的路程程 s(km)與所用時間與所用時間 t(min)的函數(shù)關系如圖的函數(shù)關系如圖 105 所示，則所示，則小明的騎車速度是小明的騎車速度是 km/min 圖圖 10

11、5 【解析】【解析】 由圖象得由圖象得 10 min 行駛了行駛了 2 km， 速度速度21015(km/min) 【答案】【答案】 15 【類題演練【類題演練 3】 (2015紹興紹興)已知甲、乙兩地相距已知甲、乙兩地相距 90km，A，B兩人沿同一公路從甲地出發(fā)到乙地，兩人沿同一公路從甲地出發(fā)到乙地，A 騎摩托車，騎摩托車，B 騎電動騎電動車 圖車 圖 106 中中 DE， OC 分別表示分別表示 A， B 離開甲地的路程離開甲地的路程 s(km)與時間與時間 t(h)的函數(shù)關系的圖象，根據(jù)圖象解答下列問題的函數(shù)關系的圖象，根據(jù)圖象解答下列問題 圖圖 106 (1)A 比比 B 后出發(fā)幾小

12、時？后出發(fā)幾小時？B 的速度是多少？的速度是多少？ (2)在在 B 出發(fā)后幾小時，兩人相遇？出發(fā)后幾小時，兩人相遇？ 【解析】【解析】 (1)由圖可知，由圖可知，A 比比 B 后出發(fā)后出發(fā) 1 h； B 的速度為的速度為 60320(km/h) (2)由圖可知：點由圖可知：點 D(1，0)，C(3，60)，E(3，90) 設直線設直線 OC 的函數(shù)表達式為的函數(shù)表達式為 ykx，則，則 3k60，解得，解得 k20 y20 x 設直線設直線 DE 的函數(shù)表達式為的函數(shù)表達式為 ymxn，則，則 mn0，3mn90， 解得解得 m45，n45.，y45x45 由題意，得由題意，得 y20 x，y

13、45x45，解得解得 x95，y36. B 出發(fā)出發(fā)95 h 后兩人相遇后兩人相遇 技技 法法 聯(lián)聯(lián) 通通1對函數(shù)概念的理解：對函數(shù)概念的理解：(1)某一變化過程中有兩個變量某一變化過程中有兩個變量 x 和和y在具體問題中，常量和變量是相對的在具體問題中，常量和變量是相對的(2)對于對于 x 的每的每一個確定的值，一個確定的值，y 都有唯一確定的值與其對應都有唯一確定的值與其對應 2對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應值分別對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應值分別作為點的橫坐標與縱坐標，那么坐標平面內(nèi)由這些點組作為點的橫坐標與縱坐標，那么坐標平面內(nèi)由這些點組成的圖形，就是這個函數(shù)

14、的圖象表示函數(shù)的方法有：成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象表示函數(shù)的方法有：(1)解析法解析法(2)列表法列表法(3)圖象法圖象法 3研究一個實際問題時，首先從問題中抽象出特定的函數(shù)研究一個實際問題時，首先從問題中抽象出特定的函數(shù)關系，轉(zhuǎn)化為關系，轉(zhuǎn)化為“函數(shù)模型函數(shù)模型”，然后利用函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)，然后利用函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論，最后把結(jié)論應用到實際問題中去，從而得到實際問論，最后把結(jié)論應用到實際問題中去，從而得到實際問題的答案題的答案 【典例【典例 1】 函數(shù)函數(shù) yx2x1中自變量中自變量 x 的取值范圍是的取值范圍是_ 【錯解】【錯解】 x2 易錯點易錯點1函數(shù)自變量的取值范圍函數(shù)自變量的取值范

15、圍【析錯】【析錯】 忽視了分式中分母不為零的條件以及被開方數(shù)忽視了分式中分母不為零的條件以及被開方數(shù)為非負數(shù)的條件為非負數(shù)的條件 【糾錯】【糾錯】 由題意，得由題意，得 x20 且且 x10， x2 且且 x1 二次根式中被開方數(shù)為非負數(shù)二次根式中被開方數(shù)為非負數(shù) 分式中分母不為零；零指數(shù)冪中底數(shù)不為零分式中分母不為零；零指數(shù)冪中底數(shù)不為零 【典例【典例 2】 如圖如圖 107 所示的球形容器上連結(jié)著兩根導管， 容器所示的球形容器上連結(jié)著兩根導管， 容器中盛滿了不溶于水且比空氣重的某種氣體，現(xiàn)在要用向容器中盛滿了不溶于水且比空氣重的某種氣體，現(xiàn)在要用向容器中注水的方法來排凈里面的氣體若水從左導

16、管勻速地注入，中注水的方法來排凈里面的氣體若水從左導管勻速地注入，氣體從右導管排出，則容器內(nèi)剩余氣體的體積與注水時間的氣體從右導管排出，則容器內(nèi)剩余氣體的體積與注水時間的函數(shù)關系的大致圖象是函數(shù)關系的大致圖象是 ( ) 【錯解】【錯解】 選選 B，理由：當水勻速地注入球形容器時，由于球形，理由：當水勻速地注入球形容器時，由于球形的體積不均勻，所以排出的體積在球體內(nèi)的高度變化是先快的體積不均勻，所以排出的體積在球體內(nèi)的高度變化是先快后慢再快，故選后慢再快，故選 B 易錯點易錯點2函數(shù)圖象與變量的變化過程的對應關系函數(shù)圖象與變量的變化過程的對應關系【析錯】【析錯】 上述錯答的原因是忽略當水勻速地注

17、入球形時，氣上述錯答的原因是忽略當水勻速地注入球形時，氣體從導管排出的體積也應是勻速變化的，而空氣在球體內(nèi)體從導管排出的體積也應是勻速變化的，而空氣在球體內(nèi)的高度變化是由于球體的體積不均勻而不勻速的，但此題的高度變化是由于球體的體積不均勻而不勻速的，但此題只求容器內(nèi)剩余氣體的體積變化，而不是高度變化只求容器內(nèi)剩余氣體的體積變化，而不是高度變化 【糾錯】【糾錯】 選選 C，理由：當水勻速注入球形容器時，球體內(nèi)剩，理由：當水勻速注入球形容器時，球體內(nèi)剩余氣體的體積也應是勻速變化的，故選余氣體的體積也應是勻速變化的，故選C 名師指津名師指津 在解決函數(shù)圖象的有關問題時， 有時易受到實體在解決函數(shù)圖象

18、的有關問題時， 有時易受到實體事物直觀形象的錯誤誘導，解此類題的關鍵是確定要研究事物直觀形象的錯誤誘導，解此類題的關鍵是確定要研究的對象以及它們之間的變化關系的對象以及它們之間的變化關系 1 函數(shù) 函數(shù) y x12x中， 自變量中， 自變量 x 的取值范圍是的取值范圍是 【解析】【解析】 由題意，得由題意，得 x10，x0，x1 且且 x0 2如圖如圖 108，在邊長為，在邊長為 1 的正方形的正方形 ABCD 中，點中，點 E 在在 CB 的延的延長線上，連結(jié)長線上，連結(jié) ED 交交 AB 于點于點 F，AFx(0.2x0.8)，ECy，則在下列函數(shù)圖象中，能大致反映，則在下列函數(shù)圖象中，能大致反映 y 與與 x 之間的函數(shù)關系之間的函數(shù)關系的是的是 ( ) 【答案】【答案】 C 【答案】【答案】 C 【解析】【解析】 由題意可知：當由題意可知：當 t 增大時，點增大時，點 P 到到 AB 的距離先變的距離先變大再變小，并且點大再變小，并且點 P 到到 AB 的距離的變化不是直線變化故的距離的變化不是直線變化故選選 C 請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題： (1)圓柱形容器的高為圓柱形