離散時間信號、系統(tǒng)和Z變換

1、本章主要學(xué)習(xí)： 時域離散信號的表示方法和典型信號; 線性時不變系統(tǒng)的性質(zhì)及其因果性和穩(wěn)定性; 信號的頻域表示; 信號的抽樣和恢復(fù)； Z變換第一章第一章 離散時間信號、系統(tǒng)和離散時間信號、系統(tǒng)和Z Z變換變換信號分類連續(xù)時間信號時域離散信號數(shù)字信號在連續(xù)時間范圍內(nèi)定義的信號，幅值可為連續(xù)數(shù)值，也可為離散數(shù)值；時間為離散變量的信號，幅值仍然是連續(xù)變化的；時間離散而幅值量化的信號；1.2 時域離散信號序列對連續(xù)時間信號xa(t)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到說明： xa(nT)是一個有序的數(shù)字序列： xa(-T)、 xa(0)、 xa(T)，該數(shù)字序列就是時域離散信號。 實(shí)際信號處理中，這些數(shù)字

2、序列值按順序放在存貯器中，此時nT代表的是前后順序。為簡化，采樣間隔T可以不寫，形成x(n)信號，x(n)可以稱為序列。 對于具體信號，x(n)也代表第n個序列值。n),nT(x| )t (xanTtan取整數(shù)1.2 時域離散信號強(qiáng)調(diào)：序列x(n)中n取整數(shù)，非整數(shù)時無定義，在數(shù)值上(序列值)等于信號的采樣值，即： 序列的表示：用公式表示、用圖形表示、用集合符號表示。例如：公式法： 集合法： x(n)=xa(nT)， -nx(n)=1.3, 2.5, 3.3, 1.9, 0,4. 1 例：x(n)= 0.5 n=0和負(fù)整數(shù)。 y(n)= 0 n= (，0) 1 n取正整數(shù)。 2 n= 1, 1

3、.5, 2, , 判斷兩函數(shù)是否為序列？序列不是序列x(n) = cos(0.5n)1.2 時域離散信號1.2.1 常用的典型序列1、正弦序列如果正弦序列是由模擬信號xa(t)采樣得到，那么： 因為在數(shù)值上，序列值與信號采樣值相等，因此得到數(shù)字頻率與模擬角頻率之間的關(guān)系為x(n) = sin(n)稱為正弦序列的數(shù)字域頻率，單位是弧度，表示序列變化的速率，或表示相鄰兩個序列值之間變化的弧度數(shù)。 xa(t)=sin(t) xa(t)|t=nT = sin(nT)x(n) = sin(n)表示凡是由模擬信號采樣得到的序列，模擬角頻率與序列的數(shù)字域頻率成線性關(guān)系 T /fs為角頻率，單位是弧度/秒。1

4、.2 時域離散信號2、實(shí)指數(shù)序列 如果|a| 1，則稱為發(fā)散序列。其波形如圖所示。 x(n)=anu(n)， a為實(shí)數(shù)1.2 時域離散信號復(fù)指數(shù)序列 式中：1)若A=1，=0，用極坐標(biāo)和實(shí)部虛部表示如下式： 2）若A=1， 0，x(n)為幅值遞增的正弦信號； 若A=1， 0，x(n)為幅值遞減的正弦信號；由于n取整數(shù)，下面等式成立：復(fù)指數(shù)序列具有以2為周期的周期性。 x(n) = Aesn=Ae(+j0)n0為數(shù)字域頻率e j(0+2M)n= e j0n, M=0,1,2x(n)=e j0nx(n)=cos(0n)+jsin(0n) 指數(shù)信號0a 0a 重要特性：其對時間的微分和積分仍然是指數(shù)

5、形式。重要特性：其對時間的微分和積分仍然是指數(shù)形式。0 0 K K0 OO( )etf tK表達(dá)式：直流(常數(shù))0a 指數(shù)衰減指數(shù)增長( )f tt實(shí)際應(yīng)用較多的是衰減指數(shù)信號：實(shí)際應(yīng)用較多的是衰減指數(shù)信號：1通常把通常把 稱為指數(shù)信號的時間常數(shù)，記作稱為指數(shù)信號的時間常數(shù)，記作 ，代表代表信號衰減速度，具有時間的量綱。信號衰減速度，具有時間的量綱。 0 0e0ttf tt1( )0.368fe1.2 時域離散信號3、單位抽樣序列d(n)：也稱為單位脈沖序列公式表示：0n00n1)n(d101231n(n)( a )(t)t0( b )單位抽樣序列單位沖激信號1.2 時域離散信號4、單位階躍序

6、列u(n) (n)與u(n)之間的關(guān)系： u(n)01231n0n00n1)n(u公式表示：圖形表示：類似于模擬信號中的單位階躍函數(shù)u(t)(n)= u(n) - u(n-1).)2() 1()()()(0nnnknnukdddd1.2 時域離散信號5、矩形序列RN(n)當(dāng)N=4時，R4(n)的波形如圖所示矩形序列可用單位階躍序列表示： R4(n)01231nn01Nn01)n(RN其它N稱為矩形序列的長度RN(n)=u(n)-u(n-N)1.2 時域離散信號6、周期序列如果對所有n存在一個最小的正整數(shù)N，使下面等式成立： 則稱序列x(n)為周期性序列。例：x(n)是周期為8的周期序列。 (

7、)sin()4x nn x(n)=x(n+N), -n1原信號被壓縮0-12121原信號被擴(kuò)展0|a|1，壓縮，壓縮a倍；倍； a0n0時向右平移時向右平移n0n0時向左平移時向左平移c c-1 -1mmf f2 2(n-m)(n-m)0 0n nn-1n-1)()(22nmfmnf隨n取值不同，f2(n-m)出現(xiàn)在不同位置4) 相乘：將f1(m)和 f2(n-m)相乘1 12 2mmf f1 1(m)(m)c cmmf f1 1(m)f(m)f2 2(n-m)(n-m)0 0n nn-1n-15) 相加c c f f2 2(t-(t- ) )0 0t tt-1t-1c cmmf f1 1(

8、(mm)f )f2 2(n-(n-mm) )0 0n nn-1n-1陰影的面積，即陰影的面積，即g(n)g(n)的值，的值，是是n n時刻的卷積結(jié)果。時刻的卷積結(jié)果。12mf1(m)f1(m) f2(-m)m0c-1mf2(-m)0c1mf2(1-m)0f1(m) f2(1-m)m01c1mf2(2-m)0f1(m) f2(2-m)m02c3mf2(3-m)0f1(m) f2(3-m)m0g(n)n21c12mf1(m)12mf1(m)12mf1(m)cc作業(yè)線性卷積服從交換律、結(jié)合律和分配律。它們分別用公式表示如下： x(n)*h(n) = h(n)*x(n) x(n)*h1(n)*h2(n

9、) = (x(n)*h1(n)*h2(n) x(n)*h1(n)+h2(n) = x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)h1(n)h2(n)h1(n) h2(n)y(n)x(n)y(n)x(n)h1(n) h2(n)y(n)x(n)h1(n)h2(n)y(n)x(n)（ a ）（ b ）（ c ）（ d ）*兩系統(tǒng)級聯(lián)兩系統(tǒng)并聯(lián)3、線性卷積的性質(zhì)( )( ) ()( )( )mx nx mnmx nndd兩個有用的公式：序列本身與單位取樣序列的線性卷積等于序列本身00( )( )()( ) ()my nx nnnx mnnmdd00( )( )()( ) ()my nx nnnx mnnm

10、ddx(n- n0)序列與一個移位的單位取樣序列(nn0)的線性卷積等于序列本身移位n01.3.4 系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性1、因果性定義1 ：當(dāng)n0時,序列值恒等于零的序列稱之為因果序列。定義2：系統(tǒng)的輸出，只取決于n時刻以及n時刻以前的輸入序列，與n時刻以后的輸入序列無關(guān)的系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng)。因此系統(tǒng)的因果性是指系統(tǒng)在物理上的可實(shí)現(xiàn)性。定理：線性時不變系統(tǒng)具有因果性的充分必要條件是系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)滿足： h(n)=0，n 0結(jié)論：因此，因果系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)必然是因果序列模擬非因果系統(tǒng)是不能實(shí)現(xiàn)的，對于有些數(shù)字非因果系統(tǒng)，利用系統(tǒng)中的存儲性能，可以近似實(shí)現(xiàn)，只是系統(tǒng)的輸出有延時。0121nx(

11、n)01 11nh(n)0121nh (n)（ a ）（ b ）（ c ）0121ny(n)3 1230121ny (n)323（ d ）（ e ）進(jìn)行卷積計算先存儲(延時一個單位)延時一個單位2、穩(wěn)定系統(tǒng) 系統(tǒng)穩(wěn)定的意義：關(guān)系到系統(tǒng)能否正常工作。定義1 ：若存在一個數(shù)M，對于任意n都滿足|x(n)|M，稱該序列有界。定義2：輸入序列有界，能保證輸出信號序列也有界的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。定理：LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)絕對可和，用公式表示為： ( )nh n 【例】設(shè)線性時不變系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)h(n) = anu(n)，式中a是實(shí)常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。 解：1、因果性： 由于n 0時，h(n)=0，所以系統(tǒng)是因