線性代數(shù)習(xí)題答案學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1第一頁(yè)，共50頁(yè)。解:211233可得2. 已知1223,滿足123 5 7 9 ,1 5 2 0 , , , , , ,. 求求1223由，1215 2 035 7 933， ， ， ， ，1 5 210 140263 3 333 ， ， ，754633 ， ，第1頁(yè)/共50頁(yè)第二頁(yè)，共50頁(yè)。解:312511632可得7 417 16 363,=3. 設(shè)1232()3()5(),122 1 3 0 ,1 0 2 1 , , , , , ,其中求 . 30 21 1 , , 1232()3()5()由第2頁(yè)/共50頁(yè)第三頁(yè)，共50頁(yè)。解:11223344kkkk315 12 2,.=

2、4. 寫出向量(xingling)11 1 0 4 , , , , 23 22 1 , , 42 0 4 3 , , , 30,-4,5,1 , 12341,0,4,2;kkkk 的線性組合,其中(qzhng):(1)12341,3,0,2kkkk .(2)(1)11223344kkkk14 5147, ,.=(2)第3頁(yè)/共50頁(yè)第四頁(yè)，共50頁(yè)。5. 設(shè)向量(xingling)組8 31,T, , =11 2 3,T, , =2331 0,111TT,=問(wèn):向量(xingling) 可以由向量(xingling)123, 寫出其表達(dá)式.線性表示(biosh)?若可以，第4頁(yè)/共50頁(yè)第五頁(yè)

3、，共50頁(yè)。1238 311 2 331 0111, ,k, ,k,k, 解： 設(shè) 即112233,kkk12338kkk12323kkk1331kk 所以向量(xingling) 可以由向量(xingling)119,k 2315,56kk. 123191556. 則有D解方程組得：123, 線性表示(biosh)第5頁(yè)/共50頁(yè)第六頁(yè)，共50頁(yè)。3.2線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)(wgun)一.判斷(pndun)下列向量組的線性相關(guān)性(1)解:由于與對(duì)應(yīng)(duyng)分量不成比例,所以與線性無(wú)關(guān).(2)103010 ,.2= 40解:由于向量組中含有零向量,所以向量組線性相

4、關(guān)1012= -43,.第6頁(yè)/共50頁(yè)第七頁(yè)，共50頁(yè)。(3)111112 2=1-1,.解:向量(xingling)組線性無(wú)關(guān).(4)134012 2= 43,.解:123kkk設(shè)21121111130090112112D 第7頁(yè)/共50頁(yè)第八頁(yè)，共50頁(yè)。123213044003120kk, k即有也即有12312123230440320kkkkkkkk由于(yuy)齊次線性方程組的系數(shù)行列式2134400,312D 123,k k k即不全為零, 所所以以向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān). .齊次線性方程組有非零解,第8頁(yè)/共50頁(yè)第九頁(yè)，共50頁(yè)。由于(yuy)方法(fngf)2:111

5、1300,112D 所以(suy)10221 ,1 ,110133 ,., 線性相關(guān).(5)因?yàn)橄蛄總€(gè)數(shù)大于向量維數(shù)，所以向量組線性解:相關(guān)。第9頁(yè)/共50頁(yè)第十頁(yè)，共50頁(yè)。二. 填空題(1) 已知向量(xingling)組線性相關(guān),則k = _.11 2 1,T, , 解:112233,kkk令 1230kkk1340kk21 0 2,T, , 318T ,k 則有:123(1,1,2)(1,0,2)( 1, 8, )(0,0,0,0)TTkkkk 即有:12320kkkk21111042012Dkk即k =2時(shí),123,k ,k ,k 可取不全為零的數(shù)123向量組線性相關(guān)., 第10頁(yè)/

6、共50頁(yè)第十一頁(yè)，共50頁(yè)。(2) 設(shè)向量(xingling)組123( ,0, ) ,( , ,0) ,= (0, , )TTTacb ca b線性無(wú)關(guān)(wgun),則a,b,c 必滿足(mnz)關(guān)系式_.abc 0解:要使線性無(wú)關(guān),123, 則有所以 a , b , c 需滿足abc0.0020,0acbcabcab12,n n維單位向量組(3)都可由向量組12,r 線性表示,則r_ n .解:因?yàn)閚維單位向量組12,n 線性無(wú)關(guān),且每個(gè)向量都能由向量組12,r 線性表示,由課本72頁(yè)推論1知:rn.第11頁(yè)/共50頁(yè)第十二頁(yè)，共50頁(yè)。三. 選擇題線性無(wú)關(guān)(wgun)的充分必要條件是(

7、).中必有兩個(gè)(lin )向量的分量對(duì)應(yīng)12,n (1)向量(xingling)組(A) 向量組12,n 不成比例;(B) 向量組12,n 中不含零向量;(C) 向量組12,n 中任意一個(gè)向量都不能由其余n-1個(gè)向量線性表示;(D) 存在全為零的數(shù)12,nk kk使1122nnkkk.成立.C第12頁(yè)/共50頁(yè)第十三頁(yè)，共50頁(yè)。(2) 設(shè)112233= (1,0,0,),= (1,2,0,),( 1 2 3), , , ,1234, 其中(qzhng)則有( ).(A) 向量(xingling)組是任意(rny)實(shí)數(shù),44( 2 1 5), , , ,總線性相關(guān);123, (B) 向量組12

8、34, 總線性相關(guān);(C) 向量組123, 總線性無(wú)關(guān);(D) 向量組1234, 總線性無(wú)關(guān).C第13頁(yè)/共50頁(yè)第十四頁(yè)，共50頁(yè)。四.若已知向量(xingling)組證明(zhngmng)112123, 線性無(wú)關(guān)(wgun),123, 線性相關(guān).由于向量組證:123123233()()kkkkkk1、123, 線性無(wú)關(guān),則112123123+)+()kkk(線性無(wú)關(guān).2、122331, 線性無(wú)關(guān).(1)123233000kkkkkk1230kkk112123, 112123, 第14頁(yè)/共50頁(yè)第十五頁(yè)，共50頁(yè)。四.若已知向量(xingling)組證明(zhngmng)112123, 線

9、性無(wú)關(guān)(wgun),123, 線性無(wú)關(guān).由于向量組證:131232313()()kkkkkk1、123, 線性無(wú)關(guān),112223331+)+()kkk(線性相關(guān).2、122331, 線性相關(guān).(2)132331000kkkkkk123kkk令12310 kkk122331, 第15頁(yè)/共50頁(yè)第十六頁(yè)，共50頁(yè)。3、已知向量(xingling)組問(wèn)1223m-11,mm, 線性無(wú)關(guān)(wgun),12m,， 是否(sh fu)線性無(wú)關(guān)？解:111221()()mmmmkkkkkk向量組考察向量方程112223m-11m1+)+ +()+ ()mmmkkkk (由于向量組123, 線性無(wú)關(guān).112

10、1000mmmkkkkkk10001110000110000011 D第16頁(yè)/共50頁(yè)第十七頁(yè)，共50頁(yè)。3、已知向量(xingling)組問(wèn)1223m-11,mm, 線性無(wú)關(guān)(wgun),12m,， 是否(sh fu)線性無(wú)關(guān)？當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，方程組有非零解，則向量組線性相關(guān)解:向量組10001110000110000011 D111 m020m為偶數(shù)m為奇數(shù)當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，方程組有零解，則向量組線性無(wú)關(guān)。第17頁(yè)/共50頁(yè)第十八頁(yè)，共50頁(yè)。五. 設(shè)有向量(xingling)組123(1 2 3)( 1 1 4)(3 32) TTT, , , ,(4 5 5) ,T, , 問(wèn)：向量(xing

11、ling) 能否由向量(xingling)組123, 唯一(wi y)線性表示?解:由于向量組123, 線性相關(guān),則向量 只要向量組123, 線性無(wú)關(guān),123, 唯一線性表示.必可由向量組線性無(wú)關(guān).123, 唯一線性表示.12, 123, 1230370311由于123114332 D123037004所以向量組因此向量 能由向量組第18頁(yè)/共50頁(yè)第十九頁(yè)，共50頁(yè)。六.設(shè)已知向量(xingling)組向量(xingling)組1 線性相關(guān),123, 線性表示(biosh)？證明你的結(jié)論。解:（1）,且表達(dá)式唯一。（2）4 (1)根據(jù)向量組線性相關(guān)性的性質(zhì)可得：234, 線性無(wú)關(guān)，問(wèn)能否由2

12、3, 能否由123, 線性表示？證明你的結(jié)論。1 線性表示能由23, 234, 因?yàn)榫€性無(wú)關(guān)，則23, 線性無(wú)關(guān)，123, 線性相關(guān),又因?yàn)? 線性表示能由23, 第19頁(yè)/共50頁(yè)第二十頁(yè)，共50頁(yè)。六.設(shè)已知向量(xingling)組向量(xingling)組1 線性相關(guān),123, 線性表示(biosh)？證明你的結(jié)論。用反證法證明：解:（1）4112233 即：（2）4 (2)12233ll代入上式得：234, 線性無(wú)關(guān)，問(wèn)能否由23, 能否由123, 線性表示？證明你的結(jié)論。4 不能由123, 線性表示4 能由123, 線性表示設(shè)由（1），可設(shè)421 2231 33ll即4 能由23,

13、 線性表示線性相關(guān).234, 與已知條件矛盾，假設(shè)不成立，故命題成立.第20頁(yè)/共50頁(yè)第二十一頁(yè)，共50頁(yè)。一.填空題1 、若解:1234, 則向量(xingling)組1234(,)4,R 由于(yuy)所以(suy)向量組123, 是線性_.線性無(wú)關(guān).3.3 向量組的秩1234(,)4,R 123, 此向量組的部分組仍線性無(wú)關(guān).應(yīng)填:無(wú)關(guān).無(wú)關(guān)2、 設(shè)向量組()的秩為向量組()的秩為1,r2,r12則 與 的關(guān)系為rr_.相等解:因?yàn)槎蛄拷M等價(jià),則它們的秩相等.應(yīng)填:相等或且() ()，12rr第21頁(yè)/共50頁(yè)第二十二頁(yè)，共50頁(yè)。二.選擇題12r, 1、若向量(xingling)組

14、12( )nrA, 可可由由線線性性表表示示; ;是向量(xingling)組12,n 的極大(j d)線性無(wú)關(guān)組,則下列論斷不正確的是 ( ).112( )rrnB,可可由由線線性性表表示示; ;112( )rC, 可可由由線線性性表表示示; ;12()nrrnD,可可由由線線性性表表示示. .解:由于向量組12r, 是向量組12,n 的極大線性無(wú)關(guān)組,顯然向量組12r, 線性無(wú)關(guān).而向量組12,rn, 線性相關(guān),故12n, 可可由由B第22頁(yè)/共50頁(yè)第二十三頁(yè)，共50頁(yè)。此外(cwi),由排除法知選項(xiàng)(B)錯(cuò)誤(cuw).r, 線線性性表表示示. .112,r 可可由由線線性性表表示示1

15、2nrrn,可可由由線線性性表表示示. .故應(yīng)選(yn xun)(B).選項(xiàng)(A)正確.選項(xiàng)(C)正確.選項(xiàng)(D)也正確.顯然2、 若向量組12,s 的秩r ，則 （ ） AB s B CD向量組向量組12,s 12,s 線性無(wú)關(guān)；線性相關(guān)；存在一個(gè)向量1 iir 可以由其余向量線性表示；任一向量都不能由其余向量線性表示；第23頁(yè)/共50頁(yè)第二十四頁(yè)，共50頁(yè)。當(dāng)向量組的秩等于(dngy)向量個(gè)數(shù)時(shí)，向量組線性無(wú)關(guān)；3 、若向量(xingling)組1212,與rtiiijjj都是向量組則有( ) .( )Arn( )Btn ( )Crt()Drt解:同一向量組的極大(j d)線性無(wú)關(guān)組所含向

16、量的個(gè)數(shù)是相同的.故選項(xiàng)(C)正確.C12,n 的極大無(wú)關(guān)組,解:根據(jù)向量組的秩與向量個(gè)數(shù)的關(guān)系：當(dāng)向量組的秩小于向量個(gè)數(shù)時(shí)，向量組線性相關(guān)；選項(xiàng)(B)正確.第24頁(yè)/共50頁(yè)第二十五頁(yè)，共50頁(yè)。1231(1,1,0),(0,2 0),(0,0,3)、,三. 求下列向量(xingling)組的秩(必須有解題過(guò)程):123110= 020003 123(,) = 3.R 解:TT2T1232(1 1 1) ,(a,1,1) ,(1,) ,、, ,a,a1232111111aaa解:211011011aaaaa第25頁(yè)/共50頁(yè)第二十六頁(yè)，共50頁(yè)。123(,) = 2.R 21101100aa

17、aaa211011011aaaaa當(dāng)1a時(shí)，當(dāng)01且aa時(shí)，123(,) =1.R 123(,) = 3.R 當(dāng)0a時(shí)，第26頁(yè)/共50頁(yè)第二十七頁(yè)，共50頁(yè)。四. 求下列向量(xingling)組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組,121(1,2,1,3),(4, 1, 5, 6) 、并將其余(qy)向量用此極大線性無(wú)關(guān)(wgun)組線性表示.3(1, 34, 7)., 解:123121341561347 12131121309918405510 第27頁(yè)/共50頁(yè)第二十八頁(yè)，共50頁(yè)。12131121309918405510 1213112131401129905510 1211231213140112

18、99115000099 12與.31211599 .無(wú)關(guān)(wgun)組為向量(xingling)組的極大線性且有:123(,)2R. 第28頁(yè)/共50頁(yè)第二十九頁(yè)，共50頁(yè)。2、1211 5 211 3 0 , , ,34522 10 412 7 102 8 2 , , ,.解:112101122253107820412112101122253107820412112100203208012802032112100203200000000001 2 3 4 5 第29頁(yè)/共50頁(yè)第三十頁(yè)，共50頁(yè)。112103010120000000000110212301012000000000012345

19、(,)2R 向量(xingling)組的極大線性無(wú)關(guān)組為：1 2 31220 4121322且有:512第30頁(yè)/共50頁(yè)第三十一頁(yè)，共50頁(yè)。12(1,2, 1,3) ,(2,3,0,1) ,TT 五. 已知向量(xingling)組(1) 求34(3 5 11) ,(2 44)TT, , , ,k k(2) 求向量(xingling)組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將其余解:12131411213012520148300262k 的秩為3的向量用極大線性無(wú)關(guān)(wgun)組線性表示。1234121323013511244k 第31頁(yè)/共50頁(yè)第三十二頁(yè)，共50頁(yè)。且 312412 12131411

20、213012520148300262k 12131241312121301252002300092k 1234(,) = 3R 90k9k當(dāng)9k時(shí)，將矩陣的第3行加到第四行可將第四行化為零行，則向量組的極大(j d)線性無(wú)關(guān)組為123, 41233 第32頁(yè)/共50頁(yè)第三十三頁(yè)，共50頁(yè)。六.設(shè)n維基本(jbn)單位向量組12,n 12,n 可由n維向量(xingling)組線性表示(biosh),證明向量組12,n 線性無(wú)關(guān).證:因n維基本單位向量組12,n 線性表示,而n維向量組等價(jià).可由n維向量組由于等價(jià)的向量組有相同12,n 12,n 可由n維基本單位向量組線性表示,因此向量組12,n

21、 與向量組12,n 的秩,而12( ,),nRn 所以12(,)nRn. 因此向量組12,n 線性無(wú)關(guān).證畢.第33頁(yè)/共50頁(yè)第三十四頁(yè)，共50頁(yè)。1231122233234R, 七. 設(shè)3135123, 證明(zhngmng):，證明(zhngmng)：線性無(wú)關(guān)(wgun)考慮向量方程：112233kkk 即：1122233132345kkk1311222332345kkkkkk1233R, 123, 線性無(wú)關(guān)1312232030450kkkkkk1230kkk201310220045123, 線性無(wú)關(guān)第34頁(yè)/共50頁(yè)第三十五頁(yè)，共50頁(yè)。123,; *八.設(shè)()12354,4 的秩為

22、., 若各向量(xingling)組的秩分別為:123, ()()1234,; 1235, R()= R()=3,R()=4,證明(zhngmng)向量組證:因?yàn)?yn wi)向量組的秩為3,而向量組中含3個(gè)向量,所以向量組線性無(wú)關(guān).同理,因?yàn)橄蛄拷M的秩為4,而向量組中含4個(gè)向量,所以向量組1235, 線性無(wú)關(guān).又因?yàn)橄蛄拷M的秩為3,但向量組中含4個(gè)向量,故向量組線性相關(guān).因此向量4 可由向量組線性表示.即有4112233lll第35頁(yè)/共50頁(yè)第三十六頁(yè)，共50頁(yè)。向量方程112233454kkkk 由于向量組1235, 線性無(wú)關(guān).顯然向量組12354, 仍線性無(wú)關(guān).因此向量組12354,

23、的秩為4.11223345112233kkkklll 14 124 234 340000kk lkk lkk lk14 1124 2234 3345kk lkk lkk lk 12340kkkk第36頁(yè)/共50頁(yè)第三十七頁(yè)，共50頁(yè)。1111()0且TnnnVx ,x| x ,xRxx一. 設(shè)為什么?12?問(wèn)與是否為向量空間VV解:3.4 向量(xingling)空間2111()1且TnnnVx ,x| x ,xRxx1V是向量空間,2V不是向量空間.這是因?yàn)?121(,),nyy yyV則有1212(,)0,且nnx xxRxxx1212(,)0且nny yyRyyy.而12(,),nkxk

24、x kxkx12,nkx kxkxR121(,),nxx xxV若第37頁(yè)/共50頁(yè)第三十八頁(yè)，共50頁(yè)。1kxV .1122,nnxy xyxyR.對(duì)數(shù)乘運(yùn)算封閉.1V這表明而1122(,)nnxyxy xyxy又1122(+)+(+)+(+)nnxyxyxy0001x+ yV .是向量空間.所以1V1212() =0 = 0nnkxkxkxk xxxk又1212= ()()+nnxxxyyy若122( ,),nzz zzV則有1212( ,)1且nnz zzRzzz.1V對(duì)加法運(yùn)算封閉.這表明第38頁(yè)/共50頁(yè)第三十九頁(yè)，共50頁(yè)。2kzV .所以(suy)但2V12,k ,nkzzkzR

25、.顯然(xinrn)1212() =1=1.nnkzkzkzk zzzkk不是(b shi)向量空間.因此12(),nkzkz ,kz ,kz而這表明2V對(duì)數(shù)乘運(yùn)算不封閉.二、1. 向量(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),下的坐標(biāo)是（ )2 1 0 , ,解:在基123(1,1,0)+(1,0,1)+(0,1,1) = -2,1,0 xxx121323210 xxxxxx123123232 xxx13 322 2,第39頁(yè)/共50頁(yè)第四十頁(yè)，共50頁(yè)。2. 已知 的兩個(gè)(lin )基為：求由基 到基 的過(guò)渡(gud)矩陣。解:3RTTT123(1,1,1) ,(1,0,-1) ,(

26、1,0,1) TTT123(1,2,1) ,(2,3,4) ,(3,4,3) 123, 123, 設(shè)由基 到基 的過(guò)渡矩陣為C123, 123, 則 123123,C 1123123,C, 0101231102342214311122234010101第40頁(yè)/共50頁(yè)第四十一頁(yè)，共50頁(yè)。三. 設(shè)四維向量(xingling)空間V的兩個(gè)基12323422 滿足(mnz)：（1）求由基()到基()的過(guò)渡(gud)矩陣C;1234234 ()1234,; ()1234,; 12323422 （2）求向量在基()下的坐標(biāo)。解：1323124222412424 2434122221234482123

27、23422 31242322 第41頁(yè)/共50頁(yè)第四十二頁(yè)，共50頁(yè)。1123421243124234822422 4210842110022100C42101000842101001002001021000001CI100200100421501800218104001040021第42頁(yè)/共50頁(yè)第四十三頁(yè)，共50頁(yè)。1002001004215018002181040010400211002001001040021001010020021010414210842110022100C10004210010084210010100200012100第43頁(yè)/共50頁(yè)第四十四頁(yè)，共50頁(yè)。四. 1.試證123(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0) 是3R的一組基,并求3R一組標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)正交基.1.證:先證123