含參方程有關問題

1、含參方程有關問題數(shù)學是“教會年輕人思考”的科學, 針對代數(shù)推理型問題, 我們不但要尋求它的解法是什么, 還要思考有沒有其它的解法, 更要反思為什么要這樣解, 不這樣解行嗎?我們通過典型的問題, 解析代數(shù)推理題的解題思路, 方法和技巧. 在解題思維的過程中, 既重視通性通法的演練, 又注意特殊技巧的作用, 同時將函數(shù)與方程, 數(shù)形結合, 分類與討論, 等價與化歸等數(shù)學思想方法貫穿于整個的解題訓練過程當中.分類討論是一種數(shù)學思維方法, 也是一種重要的解題策略. 但在重視分類討論思想應用的同時,應防止見參數(shù)就討論. 對于某些含參代數(shù)問題,若對問題作深入的研究,充分挖掘題目的已知量與未知量之間的關系,

2、尋求正確的解題策略,則可以避免不必要的分類討論,使解題更簡單. 下面談談避免分類討論巧解含參代數(shù)問題的七種思維策略. 1 抓住主元,化歸為一次或二次函數(shù)法例1：若不等式x2-2mx+2m+1>0對滿足0x1的所有實數(shù)x都成立，求m的取值范圍。解：設f(x)=x2-2mx+2m+1本題等價于函數(shù)f(x)在0x1上的最小值大于0，求m的取值范圍。(1)當m<0時，f(x)在0,1上是增函數(shù)，因此f(0)是最小值，解 得 <m<0(2)當0m1時，f(x)在x=m時取得最小值解 得 0m1(3)當m>1時，f(x)在0,1 上是減函數(shù)，因此f(1)是最小值解 得 m&g

3、t;1綜合(1)(2)(3) 得 注：當化歸為二次函數(shù)后，自變量是實數(shù)集的子集時，應用二次函數(shù)知識解決有時較繁瑣。此型題目有時也可轉化為后面的法3求解。變式: 例2：若不等式x2-2mx+2m+1>0對滿足1m的所有實數(shù)m都成立，求x的取值范圍。解:令,則有得:,則所以.小結:在一次二次函數(shù)中,參數(shù)有時候具有一定的幾何意義,結合圖像,抓住參數(shù)的幾何意義對解題能起事半功倍之效.例如:若函數(shù)在0,1上至少有50個最大值,求正數(shù)的取值范圍.分析:最大值的個數(shù)跟周期有關,所以這里我們要抓住參數(shù)對周期的影響,結合函數(shù)圖像,我們不難得到:2. 分離參數(shù)與變量,避免分類討論在含參數(shù)的方程或不等式中,

4、若能通過適當變形,使方程或不等式一端只含參數(shù)的解析式,而另一端為與參數(shù)無關的主變元函數(shù), 則在求該函數(shù)最值時就不需要分類討論. 例1：若不等式x2-2mx+2m+1>0對滿足0x1的所有實數(shù)x都成立，求m的取值范圍。解:原不等式化為當時,即而,故當1-x=0時,右邊取得最大值.此時.當x=1時,綜上,.(練習)例3對R,不等式cos2- 3 > 2mcos- 4m 恒成立,求實數(shù)m 的取值范圍.解析原不等式可化為: ,若進一步化為,則需要以是否在 - 1 ,1 內為標準分三種情況討論,比較復雜,如果換一個角度看問題, 顯然可以由條件等價轉化為不等式=.3. 數(shù)形結合求解,避免分類討

5、論例5:解關于x的不等式分析:若直接求解需要分類討論, 較為繁瑣, 由于不等式兩邊函數(shù)式的幾何意義十分清楚,故可利用數(shù)形結合求解,設,作出兩函數(shù)的圖像,由圖像可得不等式的解為.例6設函數(shù)，已知，時恒有，求a的取值范圍. 講解: 由 ,從而只要求直線L不在半圓C下方時, 直線L 的y截距的最小值.當直線與半圓相切時，易求得舍去）.故.本例的求解在于 關鍵在于構造新的函數(shù), 進而通過解幾模型進行推理解題, 當中, 滲透著數(shù)形結合的數(shù)學思想方法, 顯示了解題思維轉換的靈活性和流暢性.還須指出的是: 數(shù)形結合未必一定要畫出圖形, 但圖形早已在你的心中了, 這也許是解題能力的提升, 還請三思而后行.5.

6、 挖掘隱含條件,避免分類討論例7 已知函數(shù),是否有實數(shù)m , n( m < n) 使得函數(shù)f ( x) 的定義域、值域分別是 m , n 和2m ,2 n ?若存在, 求出m 的值; 若不存在,說明理由.分析: 定義域、值域都是兩個動態(tài)的區(qū)間, 按常規(guī)做法需討論對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關系,得出函數(shù)f ( x) 在所給區(qū)間的單調性, 從而求出函數(shù)f ( x) 在區(qū)間 m , n 上的值域,再與所給值域比較即可,這一過程需分三種情況討論,無法回避一個復雜的程序化的運算過程, 但若能從題意中挖掘出“n 1”(即對稱軸在所給區(qū)間右側) 這一隱含條件, 則可得出函數(shù)f ( x) 在所給區(qū)間內單

7、調遞增,從而避免繁瑣的分類討論.解:一方面,上最大值為1. 另一方面, 若存在滿足條件的m , n ,則f ( x) 在 m, n 上的最大值是2 n. 從而函數(shù)f ( x) 在區(qū)間 m , n 上是增函數(shù),即從而函數(shù)在區(qū)間m,n上是增函數(shù),6.運用運動的觀點,把握動中不動的因素.例9：已知，有一個負根，而且無正根，那么a的取值范圍是（ ）A. B.a=1 C. D.非上述答案分別作出函數(shù)y=|x|和直線L:y=ax+1的圖像,當a=1時,得L與y=x平行且與y=|x|交于一點在第二象限,如圖,直線繞定點（，）轉動且夾在L與y軸之間時,滿足題意,此時,選C.例10: 7.運用整體的思想,把握問

8、題實質例11:（08浙江卷15）已知t為常數(shù)，函數(shù)在區(qū)間0，3上的最大值為2，則t=_。1分析:函數(shù)在最大值只能在x=0,x=3或在對稱軸x=1處取得.當在x=0處取得最大值時有t=2 或t=-2. 當t=2時,不合. 當t=-2時,不合當在x=1處取最大值時,有|t+1|=2,得t=1或t=-3 當t=-3時,不合題意. 當t=1時,滿足要求當在x=3處取得最大值時,|3-t|=2,t=5或t=1 當t=5時,不合題意綜上,t=1例12:已知函數(shù)有最大值2,求實數(shù)a的值.分析運用整體思想可知,一元二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值只能在區(qū)間端點處或二次函數(shù)的頂點處取得,若分別令端點值或頂點值等于2 ,

9、即可優(yōu)先求出字母參數(shù)a ,再檢驗求出的a值是否與前提矛盾就不難了, 這樣就避免了對字母參數(shù)a 的分類討論.解:.令.則.(1)令則.當時,關于t的一元二次函數(shù)的對稱軸,此時,矛盾,舍去;當時,函數(shù)的對稱軸此時,滿足題意.(2)令即,則.當時,關于t的一元二次函數(shù)的對稱軸,此時,矛盾,舍去;當時,函數(shù)的對稱軸此時,矛盾,舍去.(3)令,即,則或,當a=時,對稱軸,滿足要求;當a=4時,對稱軸,此時,矛盾.綜上,當或時,能使函數(shù)的最大值為2.8.探求函數(shù)的單調性,轉化為最值問題例8 已知不等式對于大于1的正整數(shù)n恒成立，試確定a的取值范圍.講解: 構造函數(shù)，易證(請思考:用什么方法證明呢?)為增函

10、數(shù). n是大于1的 正整數(shù)，對一切大于1的正整數(shù)恒成立，必須,即這里的構造函數(shù)和例1屬于同類型, 學習解題就應當在解題活動的過程中不斷的逐類旁通, 舉一反三, 總結一些解題的小結論. 針對恒成立的問題, 函數(shù)最值解法似乎是一種非常有效的同法, 請?zhí)釤捘愕男〗Y論.（07 浙江理22）設，對任意實數(shù)，記（）求的單調區(qū)間；（）求證：（）當時，對任意實數(shù)成立； （）有且僅有一個正實數(shù)，使得對于任意正實數(shù)成立。（I）解：由，得因為當時，當時，當時，故所求函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是（II）證明：（i）方法一：令，則，當時，由，得當時，當時，所以在內的最小值是故當時，對任意正實數(shù)成立方法二：對任意固定的，令，則，由，得當時，當時，所以當時，取得最大值因此當時，對任意正實數(shù)成立（ii）方法一：由（i）得，對任意正實數(shù)成立即存在正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)成立下面證明的唯一性：當，時，由（i）得，再取，得，所以，即時，不