大學物理力學--運動的質(zhì)量

1、大學物理 力學第四篇：運動的質(zhì)量清華大學電子工程系 無13班 蔡楊導論：做功和能量是力學研究中的一個永恒的主題。從功能原理，到動能定理，到機械能守恒，到能量守恒，似乎已經(jīng)成為了我們我學習力學的一貫路徑。但是本文畢竟不是正版教材，因此不會按常規(guī)套路出牌。我們將從不同于上述套路的幾個方面來討論功和能量。由于我們以前主要是以地作為參考系，而且只研究單個質(zhì)點，對于非慣性系和質(zhì)點系統(tǒng)的認識還不夠。本文將主要從這幾個方面展開。首先介紹幾個定義：（1） 保守力和耗散力（或稱非保守力）：保守力：做功和路徑無關(guān)，只與始末位置有關(guān)的力叫做保守力。保守力都有其對應(yīng)的勢能。如：重力，靜電場力等。耗散力：做功和路徑有關(guān)

2、，而且通常伴隨的是系統(tǒng)能量的減少（耗散）的力稱為耗散力。耗散力無所謂勢能。如：摩擦力。（2） 質(zhì)心系：與一個質(zhì)點系統(tǒng)的質(zhì)心固連的參考系叫做質(zhì)心系。質(zhì)心系威力之巨大，令人發(fā)指。許多力學問題在地面系中無從下手，但在質(zhì)心系中，只在彈指一笑之間。（它是個零動量參考系，即在此參考系中觀測到的系統(tǒng)的總動量為）（3） 內(nèi)力和外力：內(nèi)力：系統(tǒng)內(nèi)部的成員之間的相互作用稱為內(nèi)力。外力：系統(tǒng)內(nèi)部成員以外的質(zhì)元對系統(tǒng)內(nèi)部成員的作用力稱為外力。（4）恢復系數(shù)：實際物體都不是完美的剛體。兩物體碰撞后的相對速度一般都比碰前要小。碰后速度同碰前速度的比值稱為恢復系數(shù)。其次給出幾個基本定理：（1） 非慣性系的功能原理：地參考系

3、中的功能原理：一個質(zhì)點系，以地為參考系：外界對系統(tǒng)所做的功=系統(tǒng)能量的變化。非慣性系中的功能原理：由于我們研究范圍暫不涉及其他能量，因此右側(cè)的特指機械能。（2） *質(zhì)點系的動能定理（和教程不一樣）：假設(shè)一個質(zhì)點系有個質(zhì)點，對其中的第個質(zhì)點用動能定理：將系統(tǒng)內(nèi)的所有質(zhì)點的方程加起來，得到：即：在某個過程中，外力對系統(tǒng)所做的功和內(nèi)力所做的功的和=質(zhì)點系統(tǒng)總的動能的變化。（這個討論和教程不一樣，僅作參考，如有謬誤，請付之一笑）（3） 非慣性系中的動能定理：加個慣性力以后就和我們經(jīng)常說的動能定理一樣了。（真實力+慣性力）對質(zhì)點所做的功=質(zhì)點動能的變化（4） 質(zhì)點系的柯尼希定理（描述質(zhì)點系在地參考系中的

4、動能和在質(zhì)心系中的動能的關(guān)系）：注：下式中表示對地動能，表示對質(zhì)心系動能。表示對地速度，表示對質(zhì)心系速度，表示質(zhì)心的速度。為第個質(zhì)點的質(zhì)量，為整個系統(tǒng)的總質(zhì)量。表示質(zhì)心系的質(zhì)元個數(shù)。上式利用了一個結(jié)論 ： 質(zhì)心系是零動量參考系，即得到：（5） 瞬時的巨大作用（碰撞和爆炸）：通常認為此過程動量守恒，能量不守恒（但是有個恢復系數(shù)）。大家通常習慣于列兩個方程：動量守恒+能量關(guān)系。實際上這里面蘊含了一個重大的秘密：上面那個二次方程組，不好解，我們可以寫作一個格式，但不用去解它。上面的方程組在物理意義上等價于： 動量守恒 遠離速度=接近速度很多人不禁會問，二次方程組應(yīng)該有兩組解，怎么會等價于兩個線性方程

5、呢。我想反問一句，每次做這種題解出來倆解，你的答案一般是一個呢？還是兩個呢？那就讓我們進入魔幻的能量題海吧：(每次都能看到這一題)兩個等高的小定滑輪相距為m，物塊A和B的質(zhì)量都是1kg，物塊C的質(zhì)量為1.9kg。初始時兩滑輪間的細繩水平，系統(tǒng)靜止。假設(shè)繩和滑輪的質(zhì)量均不計，且不計滑輪軸上的摩擦。當C下降0.75m時，試問：（1）A、B、C的速度分別是多少。（2）A、B、C的加速度分別是多少。解答：本題很多輔導材料上都有，但有很多都是解錯的。錯誤的原因一般都在于：他們認為第二小問答案是0。下面將證明這是不對的。在題文中研究的時刻，易得以下幾何關(guān)系：(1) 思路：一個機械能守恒就解決問題了。注意二

6、者的速度關(guān)系即可。中間物塊沿繩方向的分速度等于旁邊物塊的速度。然后就是勢能減少量 = 動能增加量所求A、B、C的速度分別記作，有機械能守恒：還有個速度牽連：代入有關(guān)數(shù)據(jù)，解得：(2) 設(shè)繩中張力為T，左右的小物塊的加速度為，中間的小物塊的速度為。則有動力學方程：下面便是比較容易錯的一步：有平面極坐標方程下的加速度表達式：徑向加速度：整理后得到：從這個結(jié)果我們驚奇地發(fā)現(xiàn)：速度最大的點還不在這里，那個位置應(yīng)該在更下方的位置。至于具體位置，還有待筆者的進一步計算。如下圖所示，假設(shè)地面光滑。三個半徑均為r，質(zhì)量分別為m、的球疊放在一起，他們之間的摩擦力忽略不計。試求解當小球A落地時它的速度為多少？解答

7、：如下圖所示為角位置為時的情況，假設(shè)此時A、B兩球即將分離，則根據(jù)機械能守恒定律得到：沿直線方向速度相等：由于即將分離，二者之間沒有相互作用力：取B做參考系，則此系為一慣性系。A相對于它作圓周運動，相對速度：列出A的動力學方程：解得：此后A與另外兩個球分道揚鑣，不再接觸。對系統(tǒng)從靜止到A落地使用機械能守恒：A落地時：輕松加愉快地解得：做完這一題的感覺：分析清楚了受力和運動，這個題看起來爆2B。不過計算真的很煩人。而且多了一項、少了一項都會是致命的錯誤。所以，如果做錯了，借用司馬懿那句話安慰你下："下次注意點兒！"如圖，質(zhì)量為的小環(huán)套在水平光滑的固定細桿上，并用長為地輕線與質(zhì)

8、量為的小球連接。初始時輕線位于水平位置且處于拉直狀態(tài)，問輕線與桿夾角為時線中的張力。解答：角方位為時運動狀態(tài)已經(jīng)在圖中給出（畫了好久哦親）。有由此可以解出：因此小球相對于環(huán)的速度下面進行動力學分析：以小環(huán)作為參考系，此系為一非慣性系，其加速度：小球在此系中的動力學方程（沿法向）：聯(lián)立上述兩式，可以解得：小球從水平地面上以初速度斜拋出去，小球落地時在豎直方向上發(fā)生的非彈性碰撞恢復系數(shù)為，小球與地面間的摩擦因數(shù)為。若要求小球第一次與地面碰撞后豎直彈起，試求小球可能達到的最大水平射程。解答：小球的水平、豎直初速度分別為：水平射程為：豎直方向上用動量：合理近似得到：水平方向上用動量：上式中：整理得到：

9、代入的數(shù)值后得到：討論：（1）若，則可以取，則有：=（2） 若，則拋射角的取值范圍：此時當取最小時，拋射距離最大：本題精華在于摩擦力沖量和支持力沖量的關(guān)系！在水平桌面上，質(zhì)量分別為和（）的兩個物體A、B，由一個倔強系數(shù)為的輕彈簧連接，兩物體與桌面的摩擦系數(shù)都是。開始時，A靜止而B以初速度的初速度拉伸彈簧，求彈簧的最大伸長量的值。解答：這道題從慣性系來解，生還的可能性非常之小。但是從質(zhì)心系中來看這個問題，卻顯得十分的簡單。我們將問題分作兩部分來研究：（1） A尚未運動前：A運動的條件：而此過程中：代入，得到：（2） A運動起來后，在質(zhì)心系里面看：功能原理告之：由于在質(zhì)心系中，慣性力對系統(tǒng)不做功，即（慣性力對系統(tǒng)的作用等效作用于質(zhì)心，而在質(zhì)心系中質(zhì)心的位置不變）而摩擦力做功：式中，故得到：解之：注：折合質(zhì)量，上式中我們十分輕松的寫出了質(zhì)心系中二質(zhì)點系統(tǒng)的動能，這是因為我們有利器在手。質(zhì)心系中二質(zhì)點系統(tǒng)的動能：上式中，為二質(zhì)點系統(tǒng)的折合質(zhì)量。是兩質(zhì)點的相對速度，在牛頓的世界觀里，這個速度和參考系的選取無關(guān)。解題中之所以不寫出，是怕和摩擦系數(shù)弄混。特此聲明。（折合質(zhì)量各類教材中都會給出十分詳細討論。這兒就打打醬油，從略了。個人觀點：科大的力學