高階常系數(shù)線性微分方程、歐拉方程PPT課件

1、2021/7/231高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程2021/7/232第七章 常微分方程本章學(xué)習(xí)要求：n了解微分方程、解、通解、初始條件和特解的概念.n了解下列幾種一階微分方程：變量可分離的方程、齊次方 程、一階線性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分 方程.熟練掌握分離變量法和一階線性方程的解法.n會利用變量代換的方法求解齊次方程和伯努利方程.n知道下列高階方程的降階法： . )()(xfyn ),(yxfy ),(yyfy n了解高階線性微分方程階的結(jié)構(gòu)，并知道高階常系數(shù)齊線 性微分方程的解法.n熟練掌握二階常系數(shù)齊線性微分方程的解法.n掌握自由項（右端）為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函

2、數(shù)、余 弦函數(shù)以及它們的和或乘積的二階常系數(shù)非齊線性微分方 程的解法.2021/7/233第五節(jié)第五節(jié) 二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性微分方程0 yqypy二階常系數(shù)齊線性方程二階常系數(shù)齊線性方程)(xfyqypy 二階常系數(shù)非齊線性方程二階常系數(shù)非齊線性方程特征方程特征方程02qp特征根特征根 , 21 2211yCyCy通解通解 * y特解特解 * yyy通通解解2021/7/234一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程形如形如) 1 ( 0 yqypy )(常數(shù)。常數(shù)。實實為為的方程，稱為二階常系數(shù)齊線性微分方程，的方程，稱為二階常系數(shù)齊線性微分方程， qp、

3、其其中中 得得的解，則代入方程后，的解，則代入方程后，假設(shè)方程有形如假設(shè)方程有形如xey 02，xxxeqepe即即 02。qp2021/7/235二階常系數(shù)齊線性微分方程二階常系數(shù)齊線性微分方程) 1 ( 0 yqypy的特征方程為的特征方程為 02。qp ) 121，則則實實根根特特征征方方程程有有兩兩個個不不同同的的xxeyey2121 ，是方程是方程 (1) 的兩個線性無關(guān)的解，故方程的兩個線性無關(guān)的解，故方程 (1) 的通解為的通解為 22122111。yCeCyCyCyx2021/7/236二階常系數(shù)齊線性微分方程二階常系數(shù)齊線性微分方程) 1 ( 0 yqypy的特征方程為的特征

4、方程為 02。qp )221，則則實實重重根根特特征征方方程程有有 ) 1 ( 11的一個解。的一個解。是方程是方程此時，此時，xey 042， qp由求根公式由求根公式 22422, 1，pqpp021p2021/7/237由劉維爾公式求另一個解：由劉維爾公式求另一個解：xeexeeeyxpxxxpxdd)()2(2d21111021p d11。xxexxe于是，當(dāng)特征方程有重實根時，方程于是，當(dāng)特征方程有重實根時，方程 ( 1 ) 的通解為的通解為 )(2121111。xCCeexCeCyxxx2021/7/238二階常系數(shù)齊線性微分方程二階常系數(shù)齊線性微分方程) 1 ( 0 yqypy的

5、特征方程為的特征方程為 02。qp3) 特征方程有一對共軛復(fù)根：特征方程有一對共軛復(fù)根： i i21，則則， )i(2)i(121xxxxeeyeey，是方程是方程 ( 1 ) 的兩個線性無關(guān)的解，其通解為的兩個線性無關(guān)的解，其通解為 )i(2)i(12211。xxeCeCyCyCy利用歐拉公式去掉表達(dá)式中虛數(shù)單位利用歐拉公式去掉表達(dá)式中虛數(shù)單位 i 。 2021/7/239歐拉公式：歐拉公式： sinicosi。e )sini(cosi)i(1，xxeeeeyxxxx )sini(cosi)i(1。xxeeeeyxxxx由線性方程解的性質(zhì)：由線性方程解的性質(zhì)： cos)(21211，xeyy

6、yx sin)(i21212xeyyyx均為方程均為方程 ( 1 ) 的解，且它們是線性無關(guān)的：的解，且它們是線性無關(guān)的： 0sin cos。，xexeWxx2021/7/2310故當(dāng)特征方程有一對共軛復(fù)根故當(dāng)特征方程有一對共軛復(fù)根 i i21，時，原方程的通解可表示為時，原方程的通解可表示為 )sincos(21。xCxCeyx2021/7/2311二階常系數(shù)齊線性微分方程二階常系數(shù)齊線性微分方程 0 yqypy特征方程特征方程 02。qp特特 征征 根根通通 解解 形形 式式)( 21實根實根xxeCeCy2121)( 21實實重重根根)(211xCCeyx)( i2, 1共軛復(fù)根共軛復(fù)根

7、)sincos(21xCxCeyx2021/7/2312 例解解 032 的的通通解解。求求方方程程 yyy 032 2，特特征征方方程程 3 1 21，特征根特征根 321。所求通解為所求通解為xxeCeCy2021/7/2313 例解解 052 的通解。的通解。求方程求方程 yyy 052 2，特特征征方方程程 i21 i21 21，特特征征根根 )2sin2cos( 21。所所求求通通解解為為xCxCeyx2021/7/2314 例解解 0 d d2 dd 22滿足初始條件的解：滿足初始條件的解：求方程求方程ststs 012 2，特特征征方方程程 1 21，特特征征根根 ) ( 21。

8、所所求求通通解解為為tCCeyt 2 d d 4 0 0 。，tttss 2 4 2 d d 4 210 0 ，得得，由由初初始始條條件件CCtsstt故所求特解為故所求特解為 ) 24(。test2021/7/2315 例解解 的的彈彈簧簧從從靜靜止止?fàn)顮顟B(tài)態(tài)用用手手將將懸懸掛掛著著的的質(zhì)質(zhì)量量為為 m此時彈簧僅受到彈性恢復(fù)力此時彈簧僅受到彈性恢復(fù)力 f 的作用。求反映此彈的作用。求反映此彈 O 0時時，的的位位移移為為當(dāng)當(dāng)點點xx 突然放手，突然放手，開始拉長，開始拉長，簧運動的規(guī)律（設(shè)其彈性系數(shù)為簧運動的規(guī)律（設(shè)其彈性系數(shù)為 k ）。）。O2021/7/2316 例解解 的的彈彈簧簧從從

9、靜靜止止?fàn)顮顟B(tài)態(tài)用用手手將將懸懸掛掛著著的的質(zhì)質(zhì)量量為為 m此時彈簧僅受到彈性恢復(fù)力此時彈簧僅受到彈性恢復(fù)力 f 的作用。求反映此彈的作用。求反映此彈 O 0時時，的的位位移移為為當(dāng)當(dāng)點點xx 突然放手，突然放手，開始拉長，開始拉長，簧運動的規(guī)律（設(shè)其彈性系數(shù)為簧運動的規(guī)律（設(shè)其彈性系數(shù)為 k ）。）。O0 xx取取 x 軸如如圖所示。軸如如圖所示。由力學(xué)的虎克定理，有由力學(xué)的虎克定理，有 。xkf（ 恢復(fù)力與運動方向相反恢復(fù)力與運動方向相反 ）由牛頓第二定律，得由牛頓第二定律，得 dd22。xktxm2021/7/2317 2，則有，則有移項，并記移項，并記mka )0( 0 dd222。，

10、axatx它能正確描述它能正確描述我們的問題嗎？我們的問題嗎？ 0 ，則有初始條件：，則有初始條件：t記拉長后，突然放手的時刻為記拉長后，突然放手的時刻為 00 ，初初始始位位移移xxt 0 dd 0 。初初始始速速度度ttx我們要找的規(guī)律是下列初值問題的解：我們要找的規(guī)律是下列初值問題的解： 0 dd222，xatx 00 ，xxt。 0 dd 0 ttx2021/7/2318 0 dd222，xatx 00 ，xxt。 0 dd 0 ttx 0 22，特特征征方方程程a i 2, 1，特征根特征根a sin cos 21。所所求求通通解解為為taCtaCy 0100 ；，得得由由xCxxt

11、 0 0) cos sin( dd 220 210 。，得，得由由CaCtaaCtaaCtxtt從而，所求運動規(guī)律為從而，所求運動規(guī)律為 ) ( cos0。，mkataxx2021/7/2319二、二、n 階常系數(shù)齊線性微分方程階常系數(shù)齊線性微分方程形如形如) 1 ( 01)1(1)(ypypypynnnn )(常數(shù)。常數(shù)。實實為為的方程，稱為的方程，稱為 n 階常系數(shù)齊線性微分方程，階常系數(shù)齊線性微分方程， , 1npp 其其中中2021/7/2320n 階常系數(shù)齊線性微分方程的特征方程為階常系數(shù)齊線性微分方程的特征方程為 單單實實根根xCe 1 項項 實實重重根根k)( 121kkxxCx

12、CCek項項 一對共軛復(fù)根一對共軛復(fù)根)sincos( 221xCxCex項項 011 1 nnnnpppi 2, 1 重復(fù)根重復(fù)根一對共軛一對共軛 ki 2, 1 2 項項k cos)(121xxCxCCekkx sin)(121xxDxDDkk特特 征征 根根通通 解解 中中 的的 對對 應(yīng)應(yīng) 項項2021/7/2321 例解解 0dd3dd3dd 2233的通解。的通解。求方程求方程xxyxyxy 0133 23，特特征征方方程程 1 321，特特征征根根 ) ( 2321。所所求求通通解解為為xCxCCeyx2021/7/2322 例解解在研究彈性地基梁時，遇到一個微分方程在研究彈性地

13、基梁時，遇到一個微分方程 )0( 0dd444。，x試求此方程的通解。試求此方程的通解。 0 44，特特征征方方程程 i)1 (2 i)1 (2 432, 1，特特征征根根， 所求通解為所求通解為 ) 2sin2cos(212xCxCeyx ) 2sin2cos(432。xCxCex 2)(22222442021/7/2323三、二階常系數(shù)非齊線性微分方程三、二階常系數(shù)非齊線性微分方程形如形如)2( )( xfyqypy )(常數(shù)。常數(shù)。實實為為的方程，稱為二階常系數(shù)非齊線性微分方程，的方程，稱為二階常系數(shù)非齊線性微分方程， qp、其其中中它對應(yīng)的齊方程為它對應(yīng)的齊方程為) 1 ( 0 。 y

14、qypy我們只討論函數(shù)我們只討論函數(shù) f ( x ) 的幾種簡單情形下，的幾種簡單情形下，(2) 的特解。的特解。2021/7/2324常系數(shù)非齊線性微分方程算子解法常系數(shù)非齊線性微分方程算子解法參考書：參考書：常微分方程講義常微分方程講義王柔懷王柔懷 伍卓群伍卓群 編編人民教育出版社人民教育出版社2021/7/2325)2( )( xfyqypy ) 1 ( 0 。 yqypy )()( . 1的的情情形形xPexfnx )( 1110。其中其中nnnnnaxaxaxaxP方程方程 (2) 對應(yīng)的齊方程對應(yīng)的齊方程 (1) 的特征方程及特征根為的特征方程及特征根為 0 2；特特征征方方程程q

15、p 21。，特特征征根根單根單根二重根二重根一對共軛復(fù)根一對共軛復(fù)根2021/7/2326假設(shè)方程假設(shè)方程)2( )(xPeyqypynx 有下列形式的特解：有下列形式的特解： )(，xueyx則則 ，ueueyxx 22，ueueueyxxx 代入方程代入方程 (2) ，得，得 )()()2(2，xPeuqpupuenxx 即即 )3( )()()2(2。xPuqpupun 方程方程 (3) 的系數(shù)與方程的系數(shù)與方程 (2) 的特征根有關(guān)。的特征根有關(guān)。2021/7/2327)2( )(xPeyqypynx )3( )()()2(2。xPuqpupun ) 1 (不是特征根，則不是特征根，則

16、若若 02，qp由方程由方程 (3) 及多項式求導(dǎo)的特點可知，應(yīng)有及多項式求導(dǎo)的特點可知，應(yīng)有 )()(1110，nnnnnbxbxbxbxQxu )2( )()( 的的特特征征根根時時，不不是是方方程程中中的的故故當(dāng)當(dāng)xPexfnx方程方程 (2) 有下列形式的特解有下列形式的特解: )(*。xQeynx )(xueyx2021/7/2328 )2(是單特征根，則是單特征根，則若若 02，qp由多項式求導(dǎo)的特點可知，應(yīng)有由多項式求導(dǎo)的特點可知，應(yīng)有 )()()(1110，nnnnnbxbxbxbxxQxxu )2( )()( 的的單單特特征征根根時時，是是方方程程中中的的故故當(dāng)當(dāng)xPexfn

17、x方程方程 (2) 有下列形式的特解有下列形式的特解: )(*。xQexynx )3( 02 2 為為。此時，方程。此時，方程，即，即而而pp )()2(。xPupun )2( )(xPeyqypynx )3( )()()2(2。xPuqpupun )(xueyx2021/7/2329 )3(是二重特征根，則是二重特征根，則若若 02，qp由多項式求導(dǎo)的特點可知，應(yīng)有由多項式求導(dǎo)的特點可知，應(yīng)有 )()()(111022，nnnnnbxbxbxbxxQxxu )2( )()( 的的二二重重特特征征根根時時，是是方方程程中中的的故故當(dāng)當(dāng)xPexfnx方程方程 (2) 有下列形式的特解有下列形式的

18、特解: )(*2。xQexynx )3( 0 2 2 為為。此時，方程。此時，方程，即，即且且pp )(。xPun )2( )(xPeyqypynx )3( )()()2(2。xPuqpupun )(xueyx2021/7/2330當(dāng)二階常系數(shù)非齊線性方程當(dāng)二階常系數(shù)非齊線性方程)2( )( xfyqypy )()( 時時，的的右右端端為為xPexfnx它有下列形式的特解：它有下列形式的特解： )(*，xPexynxk其中：其中： 0 ；不是特征根時，取不是特征根時，取當(dāng)當(dāng)k 1 ；是是單單特特征征根根時時，取取當(dāng)當(dāng)k 2 。是是二二重重特特征征根根時時，取取當(dāng)當(dāng)k :?？梢詾閺?fù)數(shù)可以為復(fù)數(shù)注

19、意注意2021/7/2331 例解解 2。的的通通解解求求方方程程xxyy ) )()( 2 0 )(2xPexfnxxxfnx。，對應(yīng)的齊方程的特征方程為對應(yīng)的齊方程的特征方程為 012，特征根為特征根為 i2, 1。對應(yīng)的齊方程的通解為對應(yīng)的齊方程的通解為 sincos21。xCxCy 0 ，原原方方程程有有特特解解不不是是特特征征根根，故故取取由由于于k *2120，bxbxby將它代入原方程，得將它代入原方程，得 2221200，xxbxbxbb2021/7/2332比較兩邊同類項的系數(shù)，得比較兩邊同類項的系數(shù)，得 10，b 11，b 0220，bb 10，b 11，b 2 2，b故原

20、方程有一特解為故原方程有一特解為 2*2。xxy綜上所述，原方程的通解為綜上所述，原方程的通解為 2sincos*221。xxxCxCyyy2021/7/2333 例解解 32 。的通解的通解求方程求方程xeyyy ) )()( 0 1 )(xPexfnexfnxx。，對應(yīng)的齊方程的特征方程為對應(yīng)的齊方程的特征方程為 0322，特征根為特征根為 1 321。，對應(yīng)的齊方程的通解為對應(yīng)的齊方程的通解為 231。xxeCeCy 1 ，原原方方程程有有特特解解是是單單特特征征根根，故故取取由由于于k *0，bexyx將它代入原方程，得將它代入原方程，得 3)1 (2)2(000，xxeexbxbxb

21、2021/7/2334上式即上式即 140， b 410，b故原方程有一特解為故原方程有一特解為 41*。xexy綜上所述，原方程的通解為綜上所述，原方程的通解為 41*231。xxxexeCeCyyy2021/7/2335 例解解 1332 。的的通通解解求求方方程程 xeyyyx 1332 xeyyyx 32xeyyy 1332 xyyy 41*1xexy31*2xy對應(yīng)的齊方程的通解為對應(yīng)的齊方程的通解為 231。xxeCeCy綜上所述，原方程的通解為綜上所述，原方程的通解為 3141*231。xexeCeCyyyxxx2021/7/2336)2( )( xfyqypy ) 1 ( 0

22、。 yqypy sin)()( cos)()( . 2的的情情形形、xxPexfxxPexfnxnx )( 1110。其中其中nnnnnaxaxaxaxP2021/7/2337)2( )( xfyqypy ) 1 ( 0 。 yqypy sin)()( cos)()( . 2的的情情形形、xxPexfxxPexfnxnx歐拉公式：歐拉公式： sinicosi。e是是方方程程若若 )(i)(* 21xyxyy)(i)()()(21xfxfyxqyxpy )()()(1xfyxqyxpy 的一個特解。的一個特解。 )( 1是方程是方程的一個特解，則的一個特解，則xy )( 2是方程是方程的一個特解

23、；的一個特解；xy)()()(2xfyxqyxpy *Re 1yy 實部實部 *mI 2yy 虛部虛部2021/7/2338 cos)( xxPeyqypynx sin)( xxPeyqypynx )( )i(xPeyqypynx )(*)i(xQexynxk*Re*1yy*Im*2yy i不不是是特特征征根根， 0 ；取取k i是特征根，是特征根， 1 ；取取k2021/7/2339 例解解 cos 的一個特解。的一個特解。求方程求方程xyy 01 2，特特征征方方程程 i 2, 1，特征根特征根 i的特解：的特解：首先求方程首先求方程xeyy 1 0 i ，且且有有，故故取取是是特特征征根

24、根，由由于于kn *i0，xexby 代入上述方程，得代入上述方程，得 2i i20ii000，即即有有beexbxbbxx從而，原方程有一特解為從而，原方程有一特解為 sin21)cosisin(21 Re。xxxxxx)2i( Re*Re*i1xexyy2021/7/2340 例解解 sin 的的一一個個特特解解。求求方方程程xxyy 01 2，特特征征方方程程 i 2, 1，特征根特征根 i的的特特解解：首首先先求求方方程程xexyy 1 1 i ，且有，且有，故取，故取是特征根，是特征根，由于由于kn )(*i10，xebxbxy代入上述方程，得代入上述方程，得 i22i4100，xb

25、bxb比較系數(shù)，得比較系數(shù)，得 1i40，b 0i10，bb 41 4i10，bb2021/7/2341從而，原方程有一特解為從而，原方程有一特解為 )cossin()cossin(41 Im22xxxxxxxxxexyyi2)414i( Im*Im*故故 )414i()(*ii10，xxexxebxbxy )cossin(412。xxxx2021/7/2342 例解解 sincos 的的一一個個特特解解。求求方方程程xxxyy 由上面兩個例題立即可得由上面兩個例題立即可得)cossin(41sin21*221xxxxxxyyy cos41sin432。xxxx2021/7/2343 例解解

26、sin2 )4(的的通通解解。求求方方程程xyyy 012 24，特征方程特征方程)( i i 4, 32, 1二二重重共共軛軛復(fù)復(fù)根根，特特征征根根對應(yīng)的齊次方程的通解為對應(yīng)的齊次方程的通解為 sin)(cos)(2121。xxDDxxCCy 2 i)4(有有特特解解由由于于方方程程xeyyy ) 2 ( *i20。二二重重根根，取取，kexbyx將它代入此方程中，得將它代入此方程中，得 810，故，故b 81*i2，xexy從而，原方程有一特解為從而，原方程有一特解為 sin81*Im*21，xxyy2021/7/2344故原方程的通解為故原方程的通解為 sin81sin)(cos)(22121。xxxxDDxxCCy我想，我想， 你一定會做這種推廣工作。你一定會做這種推廣