高中數(shù)列知識點總結與講解含習題

1、高中數(shù)列知識點總結1.等差數(shù)列的定義與性質定義：an1 an d (d 為常數(shù))，an a n 1 d等差中項:x. A, y成等差數(shù)列2A X y前n項和:a1 a n nn n 1Sn-na1d2 2性質：(1)右 m n P q ,則 ama.ap aq； (2)an 為等差數(shù)列Sn an2 bn （ a, b為常數(shù)，是關于n的常數(shù)項為O的二次函數(shù)）定義:nq （ q 為常數(shù)，q O ），a.2. 等比數(shù)列的定義與性質等比中項：X、G、y成等比數(shù)列G2 xy ,或Gg（q 1）前-項和：Sna 1 qn(要注意公比q)(q 1)1 qa1q性質：an是等比數(shù)列(1)若m - P q ,則

2、ara. ap aq3. 求數(shù)列通項公式的常用方法、公式法 例1已知數(shù)列an滿足an 1 2an 3 2n , a 2 ,求數(shù)列a.的通項公式例2已知數(shù)列%滿足ani an 2n 1, a 1 ,求數(shù)列an的通項公式。例3已知數(shù)列an滿足an 13an 2 3n1, ai 3,求數(shù)列an的通項公式。三、累乘法丑 f(n)an 1例4已知數(shù)列an滿足a1i 2(n 1)5nan, a 3 ,求數(shù)列an的通項公式。例 5 (2004年全國 I 第 15題，原題是填空題)已知數(shù)列 an 滿足a1 1， an2a2 3a3 L(n 1)an (n 2),求a.的通項公式。四、待定系數(shù)法 (重點)例 6

3、 已知數(shù)列 an 滿足 an 12an 3 5n，a1 6 ，求數(shù)列 an 的通項公式例 7 已知數(shù)列 an 滿足 an 13an 5 2n 4，a1 1，求數(shù)列 an 的通項公式例 8 已知數(shù)列 an 滿足 an 122an 3n 4n 5，a1 1，求數(shù)列 an 的通項公式五、對數(shù)變換法7,求數(shù)列an的通項公式例9已知數(shù)列an滿足an 1 2 3n a5 , a六、換元法例12已知數(shù)列an滿足an I 公式。1(1 4an . 1 24an),印1 ,求數(shù)列a.的通項164. 求數(shù)列前n項和的常用方法、公式法利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法3、1、等差數(shù)列求和公式：S

4、n2、等比數(shù)列求和公式：Snn(a1 an)n(n1)dnad22na1(q 1)a1(1qn)a1a.q(q 1)1 q1qnnSn kk 11n(n 1)24、Sn丄n(n 1)(2 n 1)65、 Snn k3彳n(n 1)2k 12例1求X 2 3Xn 的前n項和.n 的最大值.(n 32) Sn 1(2n1)xn 1例 2設 Sn= 1+2+3+ +, n N*,求 f(n)二、錯位相減法（等差乘等比）例 3求和：Sn 1 3x 5x2 7x3例 4求數(shù)列j,4r,r, ,n,前n項的和.、倒序相加法這是推導等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排 列（反序），再把

5、它與原數(shù)列相加，就可以得到 n個（a1 an）.1 2n 5Cn例 5求證：C0 3Cn 5C(2n V)Cnn(n 1)2n2 2Sin 88 Sin 89 的值2 2 2例 6求 Sin 1 Sin 2 Sin 3四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開,可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可1 1 1例7求數(shù)列的前n項和：1 1,4,- 7, , n7 3n 2，a aa例8求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前n項和.、五、裂項法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應用.裂項法的實質是將數(shù)列中的每項(通項)分解，然后重新組合

6、，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.通項分解(裂項)如:(1)anf(n 1)f(n)(2)Si n1CoS n CoS(n1)tan(n 1)tan n(3)an1n(n 1)(4)an(2n)2(2n 1)(2 n 1)2 (2n 1(5)ann(n1)(n2)2n(n 1)(nn ann(n 1)2(n1) n 1n(n 1)2n1(n 1)2n1例9求數(shù)列 'II12 23的前n項和.例10在數(shù)列an中，anU，又 bn2an an 1,求數(shù)列bn的前n項的和.例11求證:1CoSo cos11cos1 cos 21cos12cos88 cos89 Sin 1六、合并法求和

7、針對一些特殊的數(shù)列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質，因此,在求數(shù)列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求Sn.例 12求 cos1° + cos2° + cos3° + + cos178° + cos179° 的值.2,an 2 an 1 an ，求 S2002. 例 14在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若例 13數(shù)列an: a1 1, a?3忌a5a69,求 log3a1log3 a2log3a10 的值.七、利用數(shù)列的通項求和然后再利用先根據(jù)數(shù)列的結構及特征進行分析， 找出數(shù)列的通項及其特征， 數(shù)列的通項揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前 n

8、項和，是一個重要的方法 .例 15求 1 11 1111111之和.n個1例16已知數(shù)列an: an8(n 1)(n 3)(n1)(anan 1）的值.數(shù)列練習一、選擇題21. 已知等比數(shù)列an的公比為正數(shù)，且33 39 =2as , a2=1 ,則a1 =1 42廠A.B.C. 2D.22 2I 匕；，、， 閔 +<3-> +如二 IeIH場 +«< +t3r 二 99十2. 已知為等差數(shù)列，貝U亠等于A. -1B. 1C.3D.73. 公差不為零的等差數(shù)列an的前n項和為Sn若a4是a3與a7的等比中項S 32,則Si0等于A. 18B. 24C. 60D. 9

9、0 .4設Sn是等差數(shù)列an的前n項和，已知23 ,a611 ,則S7等于A. 13B. 35C. 49D. 635.已知an為等差數(shù)列，且a7 2 a4 1,a3 0,則公差d(A)- 2(B)- 21(C) 2(D)6.等差數(shù)列 an的公差不為零，首項a1 1, a2是和a5的等比中項，貝擻列的前10項之和C.145D.A. 90B. 100am 0，S2m 1 38 ,則 m(A) 38(B) 20(G) 10(D ) 9 .8.設an是公差不為0的等差數(shù)列,2且印43,比成等比數(shù)列,an的前n190 7.等差數(shù)列an的前n項和為Sn ,已知am 1 am 1項和Sn =2nA.47n4

10、2nB. 一35n3n2 3n C.242D. n n9.等差數(shù)列 an的公差不為零，首項a1 1, a2是和a§的等比中項，貝擻列 的前10項之和是A. 90B. 100 C.145 D. 190.二、填空題1設等比數(shù)列an的公比q ,前n項和為Sn ,則$ .2a42.設等差數(shù)列an的前n項和為Sn ,則S4 , S8 S4 , S12 S8 , S16 S2成等差數(shù) 列.類比以上結論有：設等比數(shù)列bn的前n項積為Tn ,則T4 ,成等比數(shù)列.T123. 在等差數(shù)列a.中,as 7忌 a2 6,則a6.4. 等比數(shù)列a.的公比q 0,已知a2=l, a. 2 a. 1 6a.,則a.的前4項和S4三、大題1.等比數(shù)列a.的各項均為正數(shù)，且2a 3a2 I,a32 9a2a61).求數(shù)列a.的通項公式2)設 bn log 3 alog3a21log3 a.,求數(shù)列一的前項和.b12.已知等差數(shù)列。門滿足a2=0, a6+a8=-10(I)求數(shù)列an的通項公式；2n 1(II )求數(shù)列2 的前n項和.2*.已知正項等差數(shù)列an的前n項和為Sn ,若S3 12 ,且2a1, a2,a3 1成等比數(shù)求an的通項公式；")記h 3的前n項和為Tn，求Tn.3.已知數(shù)列a滿足 a=1,a2=3,a+2=3a+-2a (n N)(1)證明：數(shù)列a+-a