圓錐曲線六類問題

1、圓錐曲線綜合訓練題一、求軌跡方程 ：221、（ 1）已知雙曲線C1 與橢圓 C2 ： xy1 有公共的焦點，并且雙曲線的離心率e1 與橢圓的3649離心率 e2 之比為 7 ，求雙曲線 C1 的方程（ 2）以拋物線 y238x 上的點 M 與定點A(6,0)為端點的線段MA 的中點為 P，求 P 點的軌跡方程（1）解： C1的 焦點 坐 標 為 (0,13). e213e17得 e113設雙曲線的方程為由e233722a 2b 21322y2x21(a , b0) 則a 2b213解得 a29,b24雙曲線的方程為yx1aba 2994xx06x02x62（ 2）解：設點 M (x0 , y0

2、 ), P(x, y) ，則，y0y02 yy2代入 y028x0 得： y 24x12此即為點 P 的軌跡方程2、（ 1）ABC 的底邊 BC16 ， AC 和 AB 兩邊上中線長之和為30，建立適當?shù)淖鴺讼登蟠巳切沃匦?G 的軌跡和頂點A 的軌跡（ 2） ABC中， B(-5,0),C(5,0), 且 sinC-sinB= 3sinA, 求點 A5的軌跡方程BCBCG1所在的直線為x 軸，中點為原點建立直角坐標系設點坐標為x， y ，解：（）以由 GCGB20，知 G 點的軌跡是以B 、C 為焦點的橢圓， 且除去軸上兩點 因 a10 ，c 8 ，有 b6，故其方程為x2y21 y0 設A

3、 x， y， G x ， y， 則10036x2y2xx ，x2y21 y0 由題意有3代入，得 A 的軌跡方程為1 y 0 ，10090032436yy3x 軸上兩點）其軌跡是橢圓（除去（ 2）分析： 由于 sinA 、 sinB 、 sinC 的關系為一次齊次式，兩邊乘以2R （R 為外接圓半徑） ，可轉化為邊長的關系解： sinC-sinB=3sinA2RsinC-2RsinB=3 · 2RsinA55 ABAC3 BC即ABAC6（*）點 A 的軌跡為雙曲線的右支（去掉頂點） 2a=6， 2c=10 a=3， c=5， b=4x2y21（ x>3 ）所求軌跡方程為169

4、點評： 要注意利用定義直接解題，這里由（*）式直接用定義說明了軌跡（雙曲線右支）3、如圖，兩束光線從點M（ -4， 1）分別射向直線y= -2 上兩點 P（ x1， y1）和 Q（ x2， y2）后，反射光線恰好通過橢圓C： x2y 21（ a>b>0 ）的兩焦點，已知橢圓的離心率為1 ，且6 ，求橢圓 C 的方程 .a2b22x2-x1=5x 2y2解 ：設a=2 k， c= k， k 0 ，則b =31 .k，其 橢圓的 方 程為23k 2021(2)4k由題設條件得：x14，kx1021(2) ，kx24x2x2-x1=6 ，5x 2y 2由、解得：111.k=1， x1=，

5、 x2=-1，所求橢圓 C 的方程為4351， tan N2 ，建立適當?shù)淖鴺讼?，求出以M、N為4、在面積為 1 的 PMN 中， tan M2焦點且過 P 點的橢圓方程解：以 MN 的中點為原點，MN 所在直線為x 軸建立直角坐標系，設 P( x , y) y2,x5xc3c52 ) 則即P(,y1 ,4且3233xc2y3cc2cy1 .所求橢圓方程為4x2y 225411,15 ,15312 a23b2a 2a2b23 ,得4b23.545、已知點P 是圓 x2+y2=4 上一個動點，定點Q 的坐標為（ 4， 0）（ 1）求線段PQ 的中點的軌跡方程； （ 2）設 POQ 的平分線交PQ

6、 于點 R（O 為原點），求點 R的軌跡方程解：（ 1）設線段PQ 的中點坐標為M（ x，y），由 Q（ 4， 0）可得點P（ 2x-4， 2y），代入圓的方程 x2+y2=4 可得（ 2x-4） 2+（ 2y） 2=4，整理可得所求軌跡為（x-2） 2+y2=1.（ 2）設點 R（ x， y）， P（ m，n），由已知 |OP|=2， |OQ|=4， | OP |1 ，由角平分線性質可|OQ |2得|OP|PR|=1 ，又點 R 在線段 PQ 上， |PR|= 1|RQ|，點 R 分有向線段 PQ 的比|OQ |RQ|2214m4x22mm3x41132為，由定比分點坐標公式可得1，即，點

7、P 的坐標為223y10nn2y22n1312223x43y3x4，代入圓的方程22可得3y4，2,2x +y =4224216 （ y 0） . 點 R 的軌跡方程為4216 （ y 0） .即 x+y2=x+y2=39396、已知動圓過定點1,0，且與直線 x1 相切 .(1)求動圓的圓心軌跡C 的方程； (2) 是否存uuuvuuuv0 ？若存在，求出直在直線 l ，使 l 過點（ 0，1），并與軌跡 C 交于 P, Q 兩點，且滿足 OP OQ線 l 的方程；若不存在，說明理由 .解：（ 1）如圖，設 M 為動圓圓心，F(xiàn) 1,0 ，過點 M 作直線 x1 的垂線，垂足為 N ，由題意知

8、： MFMN ， 即動點M 到定點 F 與定直線 x1 的距離相等，由拋物線的定義知，點 M 的軌跡為拋物線，其中F 1,0 為焦點， x1 為準線， 動點 R 的軌跡方程為 y 24x（ 2）由題可設直線l 的方程為 xk ( y1)(k0) ，由xk ( y1)得 y24ky4k0y24x16k 2 160 ， k1或 k1設 P(x1, y1 ) ， Q(x2 , y2 ) ，則 y1y24k ， y1 y24k由OP OQ0，即 OPx1 , y1， OQx2 , y2 ，于是 x1 x2y1 y20 ，即 k2 y11 y21 y1 y20 ， (k 21) y1 y2k 2 ( y

9、1y2 ) k20 ，21 )24k2，0解得 k4 或 k0 （舍去），4k (kkk又 k41 ， 直線l 存在，其方程為x 4 y407 、設雙曲線 y 2x 21 的兩個焦點分別為F1、 F2 ，離心率為2（.I）求此雙曲線的漸近線 l1 、 l2a 23的方程；（II ）若 A、B 分別為 l1 、 l 2 上的點，且 2| AB|5| F1 F2 | ，求線段 AB 的中點 M 的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線；（ III）過點 N (1， 0) 能否作出直線l ，使 l 與雙曲線交于 P 、Q 兩點，且 OP · OQ0 . 若存在，求出直線l 的方程；若不存在，說明理

10、由 .解：（ I）e2，c 24a2c2a 23，a1， c 2雙曲線方程為y2x 23x4 分1，漸近線方程為 y33（ II）設 A( x1， y1 )， B( x2 ， y2 ) ， AB 的中點 M x， y2| AB| 5|F1F2| AB|5|F1F2| 52c 1022( x1x2 ) 2( y1y2 ) 210又 y13 x1 ， y23 x2 ， 2 x x1x2 ， 2 y y1 y233y1y23 ( x1x2 )， y1y23 (x1x2 )332323( y1y2 )x2 )10( x133(2 y) 21 (2 x) 2100，即 x 23y 2137525則 M

11、的軌跡是中心在原點，焦點在 x 軸上，長軸長為 103 ，短軸長為 103 的橢圓 .（9 分）3（ III）假設存在滿足條件的直線l設 l： yk( x1) ， l與雙曲線交于P( x1 ， y1 ) 、 Q( x2 ， y2 )OP·OQ0x1 x2y1 y20x1 x2k 2 ( x11)( x21) 0x1 x2k 2 x1 x2 ( x1x2 ) 1 0(i )yk( x1)2222由x得 ( 3k 1)x6kx3k3 0y21由（ i）（ ii）得 k23 03則 x1x26k 2， x1 x23k 23(ii )2213k13kk 不存在，即不存在滿足條件的直線l .8

12、、設 M 是橢圓 C : x2y21上的一點， P 、 Q、T 分別為 M 關于 y 軸、原點、 x 軸的對稱點，124N 為橢圓 C 上異于 M 的另一點，且 MN MQ ， QN 與 PT 的交點為 E，當 M 沿橢圓 C 運動時，求動點 E 的軌跡方程解：設點的坐標 M ( x1, y1 ), N (x2 , y2 )( x1 y10), E(x, y),則 P( x1, y1 ), Q ( x1 ,y1), T ( x1 ,y1 ), 1 分x12y121,(1)12413分由（ 1 ）（ 2）可得 kMN kQNx22y22.6 分1.(2)3124又MN MQ ， kMNkMQ1,

13、kMNx1 ,所 以 kQNy1 . 直 線QN的方程為y13x1yy1 (x x1) y1 ， 又 直 線 PT 的 方 程 為 yx1 x. 從 而 得 x1 x1 , y1 y1. 所 以3x1y122x12x, y12 y. 代入（ 1 ）可得 x2y21(xy 0), 此即為所求的軌跡方程 .39、已知：直線L 過原點，拋物線C的頂點在原點，焦點在x 軸正半軸上。若點A（ -1， 0）和點 B （ 0， 8）關于 L 的對稱點都在C 上，求直線 L 和拋物線C 的方程分析：曲線的形狀已知，可以用待定系數(shù)法設出它們的方程，L： y=kx(k 0),C:y 2=2px(p>0).設

14、 A、B 關于L的對稱點分別為A / 、 B/ ，則利用對稱性可求得它們的坐標分別為：A /（ k 21,2k），B（/16k, 8(k 21) ）。因為 A /、B/均在拋物線上， 代入，消去 p，得：k2-k-1=0.k 21 k21k 21 k 21解得： k=15,p=2 5.所以直線 L 的方程為： y=15x,拋物線 C 的方程為 y2=45x.252510、已知橢圓x 2y 21( ab0) 的左、右焦點分別是F1（ c，0 ）、F 2（ c，0 ）， Q 是橢圓a 2b 2外的動點，滿足| F1 Q | 2a. 點 P 是線段 F1 Q 與該橢圓的交點，點T 在線段 F2 Q

15、上，并且滿足PT TF2 0,| TF2 |0. （）設 x 為點 P 的橫坐標，證明|F1P|ac x ；（）求點 T 的軌a跡 C 的方程；（）試問：在點T 的軌跡 C 上，是否存在點 M，使 F 1MF 2 的面積 S= b 2 . 若存在，求 F1 MF2的正切值；若不存在，請說明理由.（）證法一：設點P 的坐標為 (x, y).由 P ( x, y) 在橢圓上，得2222b 22|F1P|( x c)y( x c)ba 2 x( ac x) 2 .a由 x a,知 ac xca0 ，所以|F1P|ac x. 3 分aa證法二：設點P 的坐標為 ( x, y). 記 | F1 P |r

16、1 ,| F2 P |r2 ,則 r1( x c) 2y 2 , r2(x c) 2y 2 .由r1 r22,224,得|F1 P|r1ac .ar1r2cxxa證法三：設點P 的坐標為 ( x, y). 橢圓的左準線方程為ac x 0.ac | x2c x | .由橢圓第二定義得| F1P|c ，即 | F1 P |a | | a| xa2|aacac由 xa, 知 ac xca0，所以 |F1P|ac x. 3 分aa（）解法一：設點T 的坐標為 ( x, y).當|PT |0 時，點（ a ， 0）和點（ a ， 0）在軌跡上 .當|PT |0且 |TF2 |0時，由 |PT|TF2 |

17、0，得 PTTF2 .又|PQ| |PF2| ，所以T為線段 F2Q的中點 .在QF1F2中， |OT | 1 |F1Q|a ，所以有 x2y2a 2 .2綜上所述，點 T 的軌跡 C 的方程是 x 2y2a 2 .7 分解法二：設點 T 的坐標為 (x, y). 當 | PT |0 時，點（ a ， 0）和點（ a ， 0 ）在軌跡上 .當|PT |0且 |TF2 |0 時，由 PTTF20，得 PTTF2 .又| PQ| |PF2| ，所以 T 為線段 F2Q 的中點 .xxc設點 Q 的坐標為（ x , y ），則2,yy.2因此 x2xc,y2 y.由 | F1Q | 2a 得 ( x

18、c)2y 24a 2 .將代入，可得 x2y 2a 2 .綜上所述，點T 的軌跡 C 的方程是 x 2y 2a2 . 7 分（）解法一： C 上存在點 M（ x0 , y0 ）使 S= b 2 的充要條件是x02y02a2 ,122c | y0 | b .2由得 | y0 |a ，由得 | y0 |b 2. 所以，當 ab2時，存在點 M，使 S= b 2 ；cc當 ab 2時，不存在滿足條件的點M. 11分c當 ab 2時， MF1( c x0 ,y0 ), MF2(c x0 ,y0 ) ，c由 MF1MF2x02c2y02a2c2b2 ，MF1 MF2| MF1 | | MF 2 | co

19、s F1 MF2 ，S1|MF1|MF2| sinF1MF 2b2 ，得 tanF1MF22.2解法二： C 上存在點M（ x0 , y0 ）使 S= b 2的充要條件是x222,0y0a12c | y0| b 2 . 2由得 | y0 |b2.上式代入得x02a 2b4(ab2)(ab 2) 0.cc2cc于是，當 ab 2時，存在點 M，使 S= b2 ；c當 ab2時，不存在滿足條件的點M.11分c當 ab2時，記 k1y0, k2k F2 My0kF1Mcx0 c，cx0由|F1F2 |2a,知 F1 MF290 ，所以 tanF1MF 2| k1k2 |2. 14 分1 k1 k21

20、1、設拋物線 C : yx 2 的焦點為 F，動點 P 在直線 l : xy20 上運動，過 P 作拋物線 C的兩條切線 PA 、PB ，且與拋物線C 分別相切于A、 B 兩點 .（ 1）求 APB 的重心 G 的軌跡方程；（ 2）證明 PFA= PFB .解：（ 1）設切點 A 、B 坐標分別為 ( x, x02 )和( x1 , x12 )( x1x0 ) ，切線 AP 的方程為： 2x0 xyx020;切線 BP 的方程為： 2y20;11x xx解得 P 點的坐標為： xPx02x1 , yPx0 x1所以 APB 的重心 G 的坐標為xGx0 x1 xPxP ，3y0y1yPx02x

21、12x0 x1( x0x1 )2x0 x14xP 2y pyG3333,所以 y p3yG4xG2，由點 P 在直線 l 上運動，從而得到重心G 的軌跡方程為：x ( 3y 4x 2 ) 2 0,即 y1 (4x2x 2).3（2）方法 1：因為 FA21x0 x1, x0 x11), FB21(x0 , x0), FP(4(x1 , x1).424由于 P 點在拋物線外，則| FP|0.x0x1 x0( x0 x11 )( x021 )x0 x11FPFA cos2444 ,AFP1| FP|FA|FP |x022)2|FP |( x04x0x1x1( x0 x11)( x121x0 x11

22、FPFB)同理有 cosBFP2444 ,1|FP |FB |2(x122|FP| FP | x1)4 AFP= PFB.方法 2：當 x1 x00時 ,由于 x1x0 , 不妨設 x00,則 y00, 所以 P 點坐標為 ( x1 ,0) ，2| x1 |1x121,則 P 點到直線 AF 的距離為：d14;而直線 BF 的方程 : y4x1x2即 ( x121 ) x x1 y1 x10.4421x1x1|21| x1 | (x1)24(x1)2| x1 |所以 P 點到直線 BF 的距離為： d2441) 2212(x12( x1 ) 2x144所以 d1=d 2，即得 AFP= PFB

23、.當 x x0 時，直線 AF 的方程：1x021110y4( x 0),即214x00( x0)x x0 yx0 0,4421直線 BF 的方程：1x142110,y4x10( x 0),即( x14 )xx1 y4 x1所以 P 點到直線 AF 的距離為：21 x0x121x0x121| ( x04 )(2) x0x14x0|2)( x04)| x0x1|d11 ) 2x0212，同理可得到 P( x02x0 244點到直線 BF 的距離 d2| x1 x0 | ，因此由 d 1=d 2，可得到 AFP= PFB.2二、 中點弦問題：x2y21 ，（ 1）求過點 P11且被 P 平分的弦所在直線的方程；（ 2）求斜率12、已知橢圓2，22為 2 的平行弦的中點軌跡方程； （ 3）過 A 2，1 引橢